凝聚态场论以及在拓扑相变中的应用(2020/秋季)

主讲老师：龚明

地址：量子信息实验室519 电话：86-0551-63606522 上课时间：每周三(3,4,5) 上课地点：2209

参考资料
1. 《Condensed Matter Field Theory》, Alexander Altland, Ben Simons
2. Nagaosa
  1. 《Quantum field theory in condensed matter physics》，Naoto Nagaosa, S. Heusler
  2. 《Quantum Field Theory in Strongly Correlated Electronic Systems》，Naoto Nagaosa, S. Heusler
3. 《Quantum Field Theory and Condensed Matter, an Introduction》, Ramamurti Shankar
4. 文小刚
  1. 《Quantum field theory of many-body systems: from the origin of sound to an origin of light and electrons》，Xiao-Gang Wen
  2. 《量子多体理论_从声子的起源到光子和电子》，文小刚
5. 《The physics of quantum fields》，Michael Stone
6. 《Many-Particle Physics》，Gerald D.Mahan
7. 《An Introduction to Quantum Field Theory》，Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder
8. 《Field Theories of Condensed Matter Physics》，Eduardo Fradkin
9. 《Quantum Field Theory in a Nutshell》，A. Zee
10. Google, Wikipedia
考核
1. 课题报告：50%
2. 平时作业：50%
课题报告
1. 课题报告要求
2. 参考论文
20.09.23 第一次课：
20.09.30 第二次课：用一个简单的delta势模型介绍重整化的基本思想、必要性。除了在粒子物理中用到，在凝聚态中也广泛用到（散射问题、相变问题等）
1. 重整化过程：解决理论发散和实验有限的矛盾，此时必须在耦合参数上引入发散。核心---观念上的改变（参数和截断有关） \(\lambda=\lambda(\Lambda)\)
  1. 重整化(renormalization)
    为了使观察值与能标\(\Lambda\)无关, 不得不引入另外的发散抵消\(\Lambda\)的发散
  2. 正规化(regularization)
    \(\left.\begin{array}{l} d-\varepsilon \text{方法} \\ \Lambda-\text{cutoff方法} \end{array}\right\} \text{二者等价}, \Lambda\rightarrow\infty\text{对应}\varepsilon\rightarrow 0\)
  3. Wilson's RG & \(\beta\)-function
    \(\beta(\lambda)=\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\ln\Lambda} \left\{\begin{array}{ll} <0, & \text{低能下贡献小} \\ >0, & \text{低能下更重要} \end{array}\right.\)
2. 场的相关概念
3. 作业1：仿照Su-long Nyeo(1999) paper讨论\(d=3\)时\(\delta\)-potential的情况
  (1)任意小的吸收, 都会导致束缚态
  (2)\(\beta < 0\)时, 发生渐近自由
4. 作业2：讨论2D \(\delta\)-potential在维度正规化下的后续结果, 如求解积分, \(\beta\)-function分析等
20.10.14 第三次课：场量子化、红外发散和不稳定性、路径积分
1. 无穷大悖论
  1. 例：静止点电荷能量
    人们对极小尺度物理上的无知(Human ignornance, see A. Zee Book QFT), 导致只能在特定能标下用低能有效模型加以描述
  2. 解决方案：参数与能标一起变动
    形式上：\(E=f(\Lambda, g_{\Lambda})\), 左侧为有限实验值, 右侧\(\Lambda\)和\(g_{\Lambda}\)必须同时变动, 从而抵消发散项的影响.
  3. 凝聚态中的发散——相变点处发散（来源于红外或者紫外）
2. 场量子化、红外发散 < 不稳定性
  1. 一维声子模型——线性色散. 这个模型具有重要的意义, 值得仔细思考. 在1d模型中, 可以将位移量\(x_n\)改成\(\phi(n,t)\)的形式, 所以这个波函数表示在\((x,t)\)位置的振动幅度, 所以可以量子化. 这个例子也说明, 二次量子化没有什么神秘之处, 本质上还是canonical quantization. Ben Simons等书本中一般不叫二次量子化, 而叫正则量子化.
  2. 声子模型与红外发散
    线性色散：1d发散, 2d稳定; 二次型色散：1d和2d都发散
    但Goldstone定理保证了声子一定是线性色散
  3. Wagner-Mermin Theorem：2d系统+短程, 不可能有长程序
    但当时发现理论与实验观察似乎不一致(2d Ising model等)
  4. Thouless和Kosterlitz的BKT相变
3. 从路径积分（path integral）到量子场论（QFT）
  1. 路径积分的意义：将最小作用量原理引入量子力学
  2. 量子力学中的路径积分
    \(P(a, b, t)=\int_{a}^{b} Dx e^{i \int_{0}^{t} \mathcal{L} d \tau}\)
  3. QFT中的路径积分
    \(\int D \phi(x, t) e^{i \int d x d t} \mathcal{L}\left(\phi, \partial_{\mu} \phi\right)\)
    推广过程中要尤其注意类比思想。我们将path integral中的\(x(t)\)写成\(\phi(x,t)\), 从而让\(\phi\)具有波函数的形式.
4. 场量子化与路径积分连续化
  场量子化(以1d chain为例)与路径积分连续化示意图
20.10.21 第四次课：发散问题与无穷维路径积分计算方法
1. 维度在凝聚态物理中的重要作用
  1. 无BEC, 即无长程有序
  2. Wagner-Mermin定理
  3. BKT相变、QHE和高温超导
  4. Ising model
2. 无穷维路径积分的计算
  1. 二次型积分——给出复杂的算符行列式
    计算公式: \(\int\mathrm{d}x e^{-Ax^2+Jx} = \sqrt{\frac{2\pi}{A}} e^{\frac{J^2}{4A}}\)
    实数情况: \(\int\mathrm{D}X e^{-\frac{1}{2}X^{T}AX+J^{T}X} \propto \frac{1}{\sqrt{\mathrm{det}A}} e^{\frac{1}{2}J^{T}A^{-1}J}\); 复数情况(可简单认为是两个实数变量): \(\int \mathrm{d}z \mathrm{d}\bar{z} e^{-\frac{1}{2}A\bar{z}z + \bar{J}z} \propto \frac{1}{\mathrm{det}A} e^{\bar{J}A^{-1}J}\)
  2. Fourier变换——给出Jacobi行列式
    Fourier变换本质上是线性变换
    Fourier变换将无穷维的积分化成exp上与\(\vec{k}\)的求和, 就可以简单拆开成一系列一维积分.
    配分函数: \(Z=\prod_{k} \left( \mathrm{D} \bar{\phi}(k) \mathrm{D} \phi(k) e^{-\frac{1}{2}(\omega^2+k^2)} \bar{\phi}(k) \phi(k) \right) \)
  3. 计算传播子/关联函数 \(\left\langle \phi(x)\phi(y) \right\rangle\)
    经过Fourier变换后: \(\sum_{k,k^{\prime}} e^{i k \cdot x+i k^{\prime} \cdot y} \frac{\int \phi(k) \phi\left(k^{\prime}\right) e^{-S} \mathrm{D} \phi \mathrm{D} \bar{\phi}}{\int e^{-S} \mathrm{D} \phi \mathrm{D} \bar{\phi}}\)
    只有\(k^{\prime}=-k\)的才有贡献, 最终\(\langle\phi(x) \phi(y)\rangle=\left(\frac{1}{\omega^{2}+k^{2}}\right)\)
3. 作业：推导文小刚书上(2.1.3)节和(2.1.4)节, 对自由空间和harmonic oscillator的路径积分的讨论. 原书截取
20.10.28 第五次课：有相互作用场论计算方法(微扰论)与重整化、重整化群
1. 回顾
  1. 发散
  2. 路径积分
2. 微扰论
  1. 与概率论的关系
    矩(moment)分解：\(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(ik)^{n}}{n!}\langle x^{n}\rangle\), 比较麻烦, 不同阶之间都嵌套耦合在一起
    累积量(cumulant)展开：如\(\langle x^{2}\rangle=\sigma_{2}+\langle x\rangle^{2}\), 把各阶区分开
    \(n\)体关联的计算关键是算到不能分解为更低的为止
    本质上二者等价：\(\sum_{n}\frac{(ik)^{n}}{n!} \int P(x)x^{n}\mathrm{d}x \Leftrightarrow \sum_{n}\left(\frac{i\lambda}{4!}\right)^{n}\int e^{iS_{0}[\phi]}(\phi^{4})^{n} \mathrm{D}\phi\)
  2. linked cluster theorem
    详细推导见note
    累积量之间没有任何关联, 可以算完一阶, 算二阶, ... 之间没有任何overlap
  3. 计算物理量
    \(Z=\inf \mathrm{D}\phi e^{-H_{0}-u}\)
    \(\langle \hat{O}\rangle = \frac{\int D \phi e^{-H_{0}-u} \hat{O}}{\int D \phi e^{-1 / H{0}-u}} = \int\left(\frac{1}{Z}e^{-H_{0}-u}\right)\hat{O}\)
    只有连通图有贡献, 详细见note
3. 重整化与重整化群
  处理发散问题有两种思路
  1. 第一种：重整化方法——利用抵消项, 多用于粒子物理
    令重整化后\(\left\{\begin{array}{l}m_{R}^{2}=m^{2}+\delta m^{2} \\ \lambda_{R}=\lambda+\delta \lambda \end{array}\right.\) 带入到原Lagrangian中
    如果可以抵消掉, 只剩有限部分(要证明到任意阶都能抵消), 称为该理论可重整
  2. 第二种：重整化群RG——凝聚态、相变问题中常用
    分为\(0 \sim b\Lambda\)和\(b\Lambda \sim \Lambda\)两部分, 积掉\(b\Lambda \sim \Lambda\)部分
    方便加上不同的项加以讨论, 更通用
4. \(\phi^{4}\)理论（开头）
  \(\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi\partial^{\mu}\phi - \frac{m^{2}}{2}\phi^{2} - \frac{\lambda}{4!}\phi^{4}\)
5. 作业：推导Peskin书上(4.4)-(4.5)节, 需要用到P96-P97 cumulant expansion
20.11.04 第六次课：\(\phi^{4}\)理论、Feynman图与质量重整化
1. 回顾与本节内容概述
  1. Green函数
    Wick收缩、累积量分解
  2. 重整化
  3. 微扰是处理有相互作用多体问题的唯一通用方法.
2. \(\phi^{4}\)理论
  1. \(\phi^{4}\)理论
    \(\mathcal{L}=\frac{1}{2} \partial_{\mu} \phi \partial^{\mu} \phi-\frac{m^{2}}{2} \phi^{2}-\frac{\lambda}{4 !} \phi^{4}\)
  2. 计算传播子
    Wick转动: \(Z(t)=\int \mathrm{D}\phi e^{i \int \mathrm{d}t \mathrm{d}x \mathcal{L}} \stackrel{t=-i \tau}{\longrightarrow} \int \mathrm{D} \phi e^{-\int \mathrm{d}\tau \mathrm{d}x H}\)
  3. 发散问题
    之前处理\(g\delta^{2}(x)\)的方法已经无法处理了, 因为有相互作用.
    可重整代表只要用简单几个参数就能cancel掉任意阶的无穷大发散.
    为了解决发散问题, 必须假定耦合常数与\(\Lambda\)有关.
  4. 无相互作用时
    转到动量空间计算, \(\langle\phi(x) \phi(y)\rangle_{0}=\frac{1}{V^{2}} \sum_{k, q}\langle\phi(k) \phi(q)\rangle e^{ikx+iqy}\)
    配对条件\(q=-k\), 再求和化积分
    最终有: 自由传播子\(D_{F}(x-y)=\sum_{q} \frac{i}{\left(q^{0}\right)^{2}-q^{2}-m^{2}} e^{-i q(x-y)}\)
  5. 有相互作用时
    必须用微扰论处理
3. Feynman图
  1. Feynman图就是抵消所有非连通图后, 所有可能的配对
    因涉及图形, 具体细节见笔记
  2. Dyson方程
    \(D=\frac{1}{D_{F}^{-1}-\Sigma}\)
4. 质量重整化: \(m^{2}=m_{0}^{2}+\Sigma\) 或 \(m^{2}=m_{0}^{2}+\delta m\)
5. 作业：\(H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m \omega^{2}x^{2}+\lambda x^{4}\), 求解本征值
  注意要用\(H=\frac{p^{2}}{2 m_{R}}+\frac{1}{2} m_{R} \omega_{R}^{2} x^{2} + \delta m\ p^{2}+\delta \omega\ x^{2}+\lambda x^{4}\)做
20.11.11 第七次课：四体关联计算、圈图计算和波函数重整化
1. 回顾与本节内容概述
  1. Gauss积分
  2. 有相互作用后, 会重整化质量、频率等参数
    Dyson方程与质量重整化\(m_{R}^{2}=m^{2}+\delta m^2\)
    \(\int \frac{k^{d-1} d k}{k^{2}+m^{2}}\), 只有维度为1才不发散
2. 四体之间的散射
  1. 累积量展开
    \(\left\langle\phi(x) \phi(y) \phi\left(y^{\prime}\right) \phi\left(x^{\prime}\right)\right\rangle = =\sum_{l=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{l}}{l !}\left\langle\hat{O} u^{l}\right\rangle_{0}\)
    具体计算中只有4个点都参与散射过程的才有贡献
  2. 逐阶展开
    \(l=0\), \(\langle\hat{O}\rangle_{0}^{c}=\frac{1}{V^{4}} \sum_{k_{1} k_{2} k_{3} k_{4}}\left\langle\phi\left(k_{1}\right) \phi\left(k_{2}\right) \phi\left(k_{3}\right) \phi\left(k_{4}\right)\right\rangle_{0}^{c} e^{i\left(k_{1} x+k_{2} y+k_{3} y^{\prime}+k_{4} x^{\prime}\right)}\), 具体见笔记
    \(l=1\), \(\left\langle\hat{O} \frac{(-1)^{l}}{1!} u\right\rangle_{0}^{c}=-\left\langle\phi(x) \phi(y) \phi\left(y^{\prime}\right) \phi\left(x^{\prime}\right) \frac{i \lambda}{4 !} \int d z \phi^{4}(z)\right\rangle_{0}^{c}\), 有贡献的是vortex, 具体见笔记
    \(l=2\), \(\left(\frac{i\lambda}{4!}\right)^{2} \frac{1}{2!} \int\left\langle \phi(x) \phi(y) \phi(y^{\prime}) \phi(x^{\prime}) \phi^{4}(z) \phi^{4}(z^{\prime})\right\rangle_{0}^{c} dz dz^{\prime}\), 开始出现圈图贡献, 具体见笔记
  3. 转到动量空间计算
    高能物理学家使用很多trick(如Feynman trick)
    凝聚态物理学家大多讨论\(k_{1} \sim k_{2} \sim k_{3} \sim k_{4} \sim 0\), 此时三个圈图等同, 此时变为ln发散
    还可以维度正规化计算
3. 波函数重整化
  1. 重整化质量(重整化耦合常数)、裸质量(裸耦合常数)
    实验上可以观测到一个质量, 发散项互相抵消, 最后给出有效值.
  2. 具体细节见笔记
4. 作业：计算\(\frac{\int d x x^{2} e^{-\frac{a}{2} x^{2}-b x^{4}}}{\int d x e^{-\frac{a}{2} x^{2}-b x^{4}}}\)
  (1)求解表达式, 展开至3阶
  (2)用图表示每一个解
  (3)设\(a=1\), 展开至10阶, 比较严格结果和数值结果. 可以发现结果就是所有连接图的贡献.
20.11.18 第八次课：两种重整化的等价性、重整化群
1. 回顾与本节内容概述
  1. 两种重整化的等价性详细内容请点击
  2. Casimir力
  3. 没有时间详细讲述的内容
    Effective potential/action: 引入Source \(J\), \(\int\mathrm{D}\phi e^{-S+J\phi}=Z=e^{iW[J]}\)
    Callan-Symanzik equation.
2. 重整化群的基本思想
  1. Ising model标度变换(实空间)
    \(H=-J\sum_{i} \sigma_{i} \sigma_{i+1},\quad \sigma_{i}=\pm 1\)
    把所有偶数格点"挖"出来, 积分掉
    \[Z=\operatorname{Tr} e^{-\beta H} = \operatorname{Tr} e^{\beta J(\sum_{i}\sigma_{i}\sigma_{i+1})} = \operatorname{Tr}_{\text{odd}} e^{\beta J^{\prime}\sum_{i}\sigma_{2i-1} \sigma_{2i+1}}\]
    Re-scale(重新标定index), 具有自相似性
    找\(J^{\prime}=R(J)\), 即标度不变点
  2. \(\phi^{4}\)-RG(动量空间)
    积分或\(\operatorname{Tr}\)掉短波shell, 留下\(\int_{|k|\leq b\Lambda} \mathrm{D}\tilde{\phi} e^{-S_{\text{eff}}[\tilde{\phi}]}\)
    \(\phi(k^{\prime})=z\phi(q)\), \(|q|\leq \Lambda\)
  3. 总结和二者比较
    实空间扩大(粗粒化), 损失小尺度细节; 动量空间缩小, 损失高能细节
    \(J^{\prime}=R(J)\), 由于损失信息, RG无逆
    比较表格详细内容请点击
3. RG的优势
  1. 与重整化相比, 对具体形式没有特殊要求, 更具普适性
  2. 由于取的shell很薄, 总可以做微扰, 一般只需要展开到低阶项. 在凝聚态中一般不超过二阶.
  3. re-scale不变的与临界点有关, 可以自然用来处理相变和临界现象
4. RG与临界现象之间的关系
  1. Landau相变理论的缺陷
    \(-a \Delta^{2} + b\Delta^{4}\), 预言的临界指数一定是\(\frac{1}{2}\), 这与实验和很多模型不符
  2. 新现象的出现
    Onsager给出2D Ising model严格解, 杨振宁给出其临界指数为\(\frac{1}{8}\)
  3. RG处理临界现象的可能性
    由于各种临界指数不规律, 考虑一定与能标\(\Lambda\)有关
20.12.02 第九次课：重整化群
1. 回顾与本节内容概述
  1. 重正化的两种方法：
    抵消项方法：高能物理常用(QED, QCD), 强烈依赖于\(\mathscr{L}\)的具体形式
    RG(Renormalization Group)：适合于研究相变
    第一种形式有更清晰的物理图像; 第二种适用面更广, 更适合研究相变问题. 本质上这两种方法是等价的, 抵消项方法其实也可以得到\(\beta\)-function, 但操作很难, 实用性不如RG.
  2. Ising model：细节无关, 相变只由低能物理决定.
  3. RG一般的三个步骤：上节表格详细内容请点击
  4. 没有时间详细讲述的内容
    Feynman diagram的表观发散度(涉及图论的一些内容)
2. 重整化群的基础知识
  1. 半群(无逆)
  2. 三个类似的model
    \(\phi^4\)模型： \[Z=\int D \phi e^{-\int d x\left[\frac{1}{2}(\partial_{\mu} \phi)^{2}+\frac{m^{2}}{2} \phi^{2}+\frac{\lambda}{4 !} \phi^{4}\right]}\]
    磁性： \[z=\int D \vec{m}\ e^{-\beta \int H d \vec{x}}=\int D \vec{m}\ e^{-\beta \int\left[\frac{t}{2}(\nabla \vec{m})^{2}+k \vec{m}^{2}+\lambda \vec{m}^{4}\right] d \vec{x}}\]
    BEC interaction： \[Z=\int D \phi^{\dagger} D\phi e^{-\beta \int dx\ \phi^{\dagger}\left(-\nabla^{2}-\mu\right) \phi+g|\phi|^{4}} \]
3. 表观发散度(Superficial divergence)
  1. 定义
    指的是参数与尺度/能标之间的关系, 有两种定义方式
    \(g \sim L^{\nu}\) OR. \(g \sim \Lambda^{-\nu}\)
  2. 分析\(\phi^{4}\) theory的表观发散度
    \[ S=\int dx\ \left[\frac{1}{2}(\partial_{\mu} \phi)^{2}-\frac{m^{2}}{2} \phi^{2}-\frac{\lambda}{4 !} \phi^{4}+g_{n} \phi^{n}\right] \]
    \[ [\phi]=1-\frac{d}{2}, [m]=-1\]
    \(m \sim L^{-1} \sim \Lambda\), 即能标越大, 尺度越小(细节越清楚), 质量越大.
  3. 三种情况
    \[L^{\nu}=\Lambda^{-\nu} \left\{\begin{array}{lll} \nu > 0, & \text{relevant} \\ \nu = 0, & \text{marginal} \\ \nu < 0, & \text{irrelevant} \end{array}\right.\]
    relevant低能时很强, 不能用perturbation; irrelevant低能下不重要, 但注意不是直接扔掉, 而是指perturbation可以奏效
  4. 发散度的意义
    \(x \rightarrow x^{\prime}=\lambda x\)
    空间拉伸后, 能量不变
4. 具体计算(具体细节见笔记)
  1. 计算一阶贡献
  2. 计算二阶贡献(注意为了方便要列表)
20.12.09 第十次课：\(\phi^4\)重整化群
1. 回顾与其他补充
  1. 上节课最后表格勘误(具体见课堂笔记)
  2. 未细讲的内容——非线性分析
    对参数随能标变化的微分方程做非线性分析(参考秦敢老师《力学与理论力学》中非线性力学部分)
  3. 下节课预告——BKT相变
    \(\left\{\begin{array}{lll} [\phi]=1-\frac{d}{2} \\ [\lambda]=4-d \end{array}\right.\)
    可见\(d>4\)和\(d<4\)对\(\lambda\)有很大差别, 本节课以讨论
    而\(d=2\)使\([\phi]\)无标度, 与BKT相变有关
  4. Spin liquid 与场的衍生
2. \(\phi^4\)的质量修正和相互作用修正计算(具体过程见笔记)
  1. 质量修正部分增大
  2. 相互作用修正部分减小
3. 重整化群过程与重整化流分析
  1. 动量空间的重整化群三步与Kardanoff block类似
  2. 保证形式不变, 分析不动点、重整化流(具体图示见笔记)
    Gaussian Point(对应自由粒子): \(\lambda^{*}=m^{*}=0\)
    Wilson-Fisher(WF) Point: \(\lambda^{*}\leq 0, m^{*}\leq 0\)
4. 作业：讨论
  \(\left\{\begin{array}{lll} m^{2}(b) \\ \lambda(b) \end{array}\right.\)
  随能标的变化趋势. 重复出书上的图.
20.12.16 第十一次课：重整化流具体分析与BKT相变
1. 重整化流分析(具体图示见笔记)
  1. Fixed point与Universality
    不同的参数flow到同一个Lagrangian, 区分了不同的phases(universality). 任意小的差别的初始点, 都会跑到不同的fixed point去, 中间的线实际上起着相边界的作用.
  2. Stable phase: 平均场(低能) + 涨落(高能)
2. BKT相变
  1. 历史沿革
  2. 模型建立
    两个角度: 磁性或BEC(具体计算见笔记)
3. 其他补充
  1. 为何低维系统不稳定？(证明方法都是反证法)
    一维声子: \(\left\langle x_{i}^{2}\right\rangle=\frac{1}{L} \sum_{k} n_{k} \sim \int_{0}^{\text{BZ}} dk \left(\frac{1}{e^{\beta v_{k}}-1}\right)\)
    磁性: \(\left\langle M_{i}^{2}\right\rangle \sim \frac{1}{V} \sum_{k} n_{k} \sim \int \frac{1}{e^{\beta v_k^{2}}-1} k dk \)
  2. 文小刚的 Superfluid as toy Universe.
    真实宇宙: 激发的是光子, 传递的是Coulomb相互作用\(\frac{1}{r}\), 对应的charge就是电荷
    Superfluid宇宙: 激发的是声子, 传递的相互作用\(\frac{1}{r^{4}}\), 对应的charge是vortex
4. 作业：讨论文小刚书上problem 3.3.3.
  XG Wen, problem 3.3.3
20.12.23 第十二次课：BKT相变
1. 重整化群分析
  1. \(\mathrm{d}y=Dy\mathrm{d}l+Ay\mathrm{d}l=(D+A)y\mathrm{d}l\)
    0阶项: \(Dy\mathrm{d}l\). \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}l}=Dy \Leftrightarrow y\propto e^{Dl}\)
    修正效应: \(Ay\mathrm{d}l\).
    相边界对应着\(D+A=0\)
  2. 不能做平均场的原因
    虽然每一种高能贡献都很小, 但高能对应很多态, 加在一起贡献会很大.
    表现为虽然初始位置很接近, 但最终会达到完全不同的fixed points.
2. XY model
  1. \(H=const+\frac{J}{2}\int \mathrm{d}\vec{x}(\nabla \theta)^{2}\)
  2. 重要性质
    0阶项(表观发散度): \(D=0\). 一阶修正对该系统至关重要.
  3. 两种解
    平面波解: \(\theta=\vec{k}\cdot\vec{x}\), 对应phonon/magnon激发
    2D Coulomb gas: \(\theta \sim \frac{1}{2\pi}\ln|\vec{x}|\), 对应vortex激发
3. 半经典处理方法
  1. Thouless定义正负vortex
  2. 热力学分析
    对于1个vortex\(J\pi=2k_{B}T\)
    \(F=U-TS=J\pi\ln(\frac{L}{a}) - 2k_{B}T\ln(\frac{L}{a})\)
    超过某一个临界温度后, 系统倾向于产生vortex以降低自由能.
4. 场论处理
  1. 关联(本节课计算的核心)
    1d: 指数衰减; 2d: 幂函数衰减; 3d: 定值
  2. BKT相变的RG分析
20.12.30 第十三次课：BKT相变
1. BKT相变的几种处理方法
  1. 半经典处理(不一定可靠)
  2. Thouless(1973), Nelson-Kosterlitz(PRL)和Simon书上的处理方法
    实空间RG的方法
  3. Wilson RG
    文小刚和Shankar书上采用的方法
  4. Jose的对偶方法
    Nagaosa书上采用的方法
2. Wilson RG方法(具体见笔记)
3. 格点对偶方法
  1. Villian transformation
    \[e^{\beta J\cos(\theta)} \rightarrow \sum_{m} e^{\beta J - \frac{1}{2}\beta J(\theta-2\pi m)^{2}}\]
    注意: 不是恒等式, 但确实是一个非常好的近似.
  2. Possion求和
    \[\sum_{n}h(m)=\sum_{l}\int \mathrm{d}\phi \tilde{h}(\phi)e^{2\pi i l \phi}\]
    物理中其他常用的求和: Euler求和 \(\sum_{n=1}^{k}f(n) \rightarrow \int_{1}^{k}f(x)\mathrm{d}x + \cdots\)
21.01.06 第十五次课：BKT相变和Ising model中的duality
1. BKT相变的对偶(具体细节见笔记)
  1. 第一步\(Z = \int D\theta e^{\beta J \sum_{ij}\cos(\theta_{i}-\theta_{j})} \)
  2. 第二步: 利用Villian transformation + Possion求和, 从连续的\(\theta\)变为离散的\(n\)
  3. 第三步: 重新标记符号
  4. 第四步: 找\(l_{\mu}(r)\)的解, 去掉\(\delta\left[\sum_{\mu}l_{\mu}(r) - l_{\mu}(r-\mu)\right]\)的限制
  5. 第五步: 再利用Villian transformation + Possion求和, 连续化为\(\phi\), 并使用了中性条件.
  6. 第六步: Sine-Gordon方程与近似
2. Ising model的Kramers-Wannier对偶
  1. 高温展开
    \(Z=Tr(e^{-\beta H})=\sum_{ij}\prod e^{K S_{i}\cdot S_{j}}=\cosh(K)\sum \prod [(1+\tanh(K))S_{i}S_{j}] \)
    如果\(\sum S_{1}S_{2}=0\), \(\sum S_{1}S_{2}S_{3}S_{4}=0\)
    \(Z=2^{N_{s}} \cosh^{N_{s}}(K)\)
  2. 低温展开
    \(Z=\sum \prod e^{KS_{i}S_{j}}=2 e^{k \varepsilon_{0}}+e^{k \varepsilon_{0}} N_{s} e^{-4 k}+\text{2 loops}+\text{3 loops}+\cdots \propto f(e^{-2K})\)
  3. 高低温对偶
    \(\frac{Z_{H}}{2^{N} \cosh ^{2 N}(K)}=1+N \tanh ^{4}(K)+2 N \tanh ^{6}(k)+\cdots\)
    \(\tanh(K)=e^{-2K} \Rightarrow K_{c}=\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})=0.44067\)
3. 作业：请尝试求解Honeycomb lattice上的BKT相变.(注意: 要画lattice图, 会更清晰.)
21.01.10 第十六次课：Bosonization(玻色化)
1. 2D或(1+1)D体系特殊性的来源(凝聚态物理的特别之处就在于低维物理)
  1. 1D Maxwell equation
    一维Maxwell equation: \(\mathscr{L}=\dot{A}^{2}-(\partial_{x}A)^{2}\)
    一维波动方程: \(\mathscr{L}=\frac{1}{2}[(\partial_{t}\phi)^{2}-v^{2}(\partial_{x}\phi)^{2}]\)
    XY model/superfluid: \(\mathscr{L}=\frac{1}{2}[(\partial_{t}\theta)^{2}-(\nabla\theta)^{2}]\)
    形式上都是典型的玻色子形式.
  2. 连续性方程\(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\vec{J}=0\)
    在(1+1)D有通解: \(\rho=\partial_{x}\phi\), \(j=-\partial_{t}\phi\)
  3. 复变函数
    conformal对称性: 保角变换
    \(\ln|z|\)对应的2D Green函数
  4. 手征性(chiral)
    高维Fermi球可以激发在不同方向; 但1D Fermi面的激发只有Left和Right两种
  5. 统计行为
    \(d\geq 3\)时, 只有fermion或boson
    但在低维下, 还可以有anyon
  6. Linear spectra/Linear excitation
    1D情况下在Fermi面附近是线性谱
2. Jordan-Wigner transformation
  1. fermion用boson表示
    \(f(x)=e^{i\pi\int_{-\infty}^{x}b^{\dagger}(y)b(y)dy}b(x) \), exp部分称为string.
    关键在于\(\theta_{i}\)只与\((-\infty,i)\)部分有关
  2. boson用fermion表示
    \(\psi(x)=e^{i\theta\int_{-\infty}^{x} f^{\dagger}(y^{\prime})f(y)dy}f(x) \)
  3. 也可以表示anyon
3. Bosonization(玻色化)
  1. 目标: 将fermion用\(n\)及\(\phi\)的场描述(即用boson描述)
  2. 核心
    \[b(x) \rightarrow e^{i\phi(x)}\]
    这个表达式符合1927年Dirac文章的思想, 重要的是考察对偶的场是什么
    但这里的表达形式仍然有问题, 比如会导致粒子数不守恒.
    因此现有的定义反映出一些物理, 但仍然有不自洽的地方.
  3. 关键点(Shankar书上17.4 Bosonization Dictionary)
    \[\psi_{\pm}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \alpha}} e^{\pm i \sqrt{4 \pi} \phi_{\pm}(x)}\]
    This is not an operator identity: no combination of boson operators can change the fermion number the way \(ψ\) can. The equation above really means that any correlation function of the Fermi field, calculated in the Fermi vacuum with the given \(\alpha\) cut-off, is reproduced by the correlator of the bosonic operator given on the right-hand side, if computed in the bosonic vacuum with the same momentum cut-off. Given this equivalence, we can replace any interaction term made out of the Fermi field by the corresponding bosonic counterpart. Sometimes this will require some care, but this is the general idea.
    即: 上式not an operator Identity —— 不可能完全由\(\phi\)场构成fermion场; 但从关联函数的角度又是一样的, 用boson关联代替fermion关联时可观测量不变
  4. lattice上得到Dirac eq
    \(H=-t \sum_{n}\left(\psi_{n}^{\dagger} \psi_{n+1}+h.c.\right)+h \psi_{n}^{\dagger} \psi_{n} = \sum_{k}(-2 t \cos k+h) \psi_{k}^{\dagger} \psi_{k}\)
    \[H_{\text {eff}}=\psi_{q}^{\dagger}\left(\begin{array}{cc} vq & 0 \\ 0 & -vq \end{array}\right) \psi_{q}\]
    其中\(\psi_{q}=\left(\begin{array}{l} \psi_{R}(q) \\ \psi_{L}(p) \end{array}\right)\)
  5. 关联函数计算(未讲完)
4. 其他补充
  1. Baker-Haustoff-Feynman公式
    \[e^{-A}Be^{A}=B-[A,B]+\cdots\]
  2. Glauber公式
    \[e^{A}e^{B}=e^{A+B+\frac{1}{2}[A,B]}\]
21.01.13 第十七次课：Bosonization(玻色化)
1. 玻色化基础
  1. 目的
    \[\psi_{\pm}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \alpha}} e^{\pm i \sqrt{4 \pi} \varphi_{\pm}(x)}\]
    其中: \(4\pi\)系数是为了满足fermion反对易关系; \(\eta\)是Klein算符, 为了使boson粒子数不变; cutoff \(\alpha\)是为了使fermion关联和boson关联结果相同.
    上式并不是恒等式, 可以看成某种"对偶性"
  2. \(\varphi\)场
    \(\varphi=\frac{1}{2}\left(\phi \pm \int_{-\infty}^{x} \pi\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime}\right)\)
    其中\(\phi\)场代表boson的相位涨落; \(\pi\)的积分代表string. 且\(\phi\)与\(\pi\)是共轭量
    为简便有时也写成\(\varphi=\frac{1}{2}(\phi \pm \theta)\)
  3. Shankar书上几个重要式子
    \(\phi_{\pm}=\pm \int_{0}^{\pm \infty} \frac{d p}{2 \pi \sqrt{2 |p|}}\left(e^{i p x} \phi(p)+h . c .\right) e^{-\frac{1}{2}|\alpha| |p|}\)
    \(\left[\phi_{\pm}(x), \phi_{\pm}\left(x^{\prime}\right)\right]=\pm \frac{1}{4} \operatorname{sgn}\left(x-x^{\prime}\right)\)
2. 正规序算符(Normal ordering operator)
  1. 定义
    将湮灭算符\(a\)放在右边, 产生算符\(a^{\dagger}\)放在左边, 允许交换(\(\pm 1\)), 但不允许计算!
  2. 意义
    处理问题有无穷大的背景Fermi海, 如果直接\(\psi^{\dagger}(x) \psi(x) \rightarrow \infty\), 需要扣除发散背景.
    \(: A: \Leftrightarrow A-\langle 0|A| 0\rangle\)
  3. Shankar书上关于正规序的几个重要式子
    \(e^{i\left(A+A^{+}\right)}=: e^{i\left(A+A^{+}\right)}: e^{c}\)
    \(e^{A} e^{B}=: e^{A+B}: e^{\left\langle A B+\frac{A^{2}+B^{2}}{2}\right\rangle}\)
3. 证明关联函数相同
  1. 引入Klein/Majorana operator
    满足\(\eta_{i}^{2}=1, \quad \eta_{i} \eta_{j}=-\eta_{j} \eta_{i}(i \neq j)\), 且\(\eta\)与\(\phi\)对易.
  2. 确定\(\beta\)值(具体过程见笔记)
  3. 很多项都可以归结为Sine-Gordon模型
    \(\sim \cos\phi\)
    涉及到Thirring model(相对论fermion)与Sine-Gordon model(boson)的对偶
  另一种方法: 定义current algebra处理以上问题
4. Duality of fermion/boson的一个简单图像(见笔记)
21.01.17 第十八次课：Bosonization(玻色化)的一些问题和几个应用
1. fermion用boson表示的具体实现
  1. 问题
    \(\psi \sim e^{i\sqrt{4\pi}\phi}\), 上节课已经在数学上证明了其关联函数的等价性. 但仍未回答这种替代需要什么样的算符代数关系和这种替代的物理意义是什么
  2. 算符代数关系(数学本质是Kac-Moody algebra, 一种无穷维Lie代数)
    这种算符代数关系正确形式最早是在Luttinger Liquid中给出的
    \([\phi(x), \phi(y)]=\frac{i}{4} \operatorname{sgn}(x-y)\)
    \([\partial \phi, \partial \phi] \propto \delta^{\prime}(x-y)\)
    \([\rho(x), \rho(y)] \propto \delta^{\prime}(x-y)\)
    \(\left[\rho_{q}, \rho_{-q}\right] e^{i q(x-y)} \propto \delta^{\prime}(x-y)\)
  3. 关键点：要注意\([\rho_{q},\rho_{q^{\prime}}]\)对易关系.
    当维度\(d=2, \text{or}\ 3\)时, \([\rho_{q},\rho_{q^{\prime}}]=\sum_{k} C_{k}^{\dagger} C_{k+q+q^{\prime}}-\sum_{k^{\prime}} C_{k^{\prime}}^{\dagger} C_{k^{\prime}+q+q^{\prime}}=0\); 但在一维情况下并不正确
    原因在于一维基态(GS)不能平移, 即\(k \rightarrow k+q\)是不合法的!
  4. 物理意义
    物理上\(b_{q}:=\sum_{k} \sqrt{\frac{2 \pi}{L|q|}}\rho_{q}= \sum_{k} \sqrt{\frac{2 \pi}{L|q|}}C_{k}^{\dagger} C_{k+q}\)
    即: particle-hole excitation等价于boson
2. Bosonization应用1：XXZ model
  1. XXZ model
    \[H=\sum_{i} S_{i}^{x} S_{i+1}^{x}+S_{i}^{y} S_{i+1}^{y}+\Delta S_{i}^{z} S_{i+1}^{z}\]
    注：如果\(\Delta=0\), 即XX model(可用简单的Jordan-Wigner变换解决)
    对于fermion, 也有类似形式
    \[H=-\frac{1}{2} \sum_{j}\left(\psi_{j+1}^{\dagger} \psi_{j}+h.c.\right)+\Delta \sum_{j}\left(\psi_{j}^{\dagger} \psi_{j}-\frac{1}{2}\right)\left(\psi_{j+1}^{\dagger} \psi_{j+1}-\frac{1}{2}\right)+h \sum_{j} \psi_{j}^{\dagger} \psi_{j}\]
  2. 若\(\Delta\)较大, 可能有CDW(charge density wave)产生
  3. 若\(\Delta\)较小
    经过Fourier transformation后
    \[H=-\sum_{k} 2 t \cos k C_{k}^{+} C_{k}+h C_{k}^{+} C_{k}\]
    当\(k_{F}=\frac{\pi}{2}\)时, \(\psi_{j}=\sqrt{a}\left[e^{i \frac{\pi}{2} j} \psi_{+}\left(a_{i}\right)+e^{-i \frac{\pi}{2} j} \psi_{-}\left(a_{j}\right)\right]\)
    (具体推导见笔记)最终有Sine-Gordon的形式(且与XY model有类似形式)
    \[H_{\mathrm{c}} K=\int d x\left(\frac{1}{2}\left[K \Pi^{2}+\frac{1}{K}\left(\partial_{x} \phi\right)^{2}\right]+\frac{y}{2 \pi^{2} \alpha^{2}} \cos \sqrt{16 \pi} \phi\right)\]
    其中\(K=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4 \Delta}{\pi}}}\), \(y=K \cdot \Delta=\frac{\Delta}{\sqrt{1+\frac{4 \Delta}{\pi}}}\).
3. Bosonization应用2：FQHE中的edge state(文小刚1992年的工作)
  1. 任意子的交换统计性质:
    \[\psi(x) \psi(y)=(-1)^{1/\nu} \psi(y) \psi(x)\]
  2. 联立
    \(\frac{\partial \rho}{\partial t}+v \frac{\partial \rho}{\partial x}=0\)
    \(H = 2 \pi \frac{v}{\nu} \sum_{k>0} \rho_{-k} \rho_{k}\)
  3. 将\(\rho_{k}\)与\(\Pi_{k}\)看作正则量
    有\(\left[\rho_{k}, \rho_{k^{\prime}}^{\dagger}\right]=\frac{\nu}{2 \pi} k \delta_{k=k^{\prime}}\), \([\rho(x), \phi(y)]=-i \nu \delta(x-y)\)
    且\(\rho=\frac{1}{2 \pi}\partial \phi\), \(\psi \sim e^{i\frac{1}{\nu}\phi(x)}\)
    得任意子交换统计性质: \(\psi(x) \psi(y)=(-1)^{\nu} \psi(y) \psi(x)\)
4. Bosonization应用3：Random Ising model(不细讲)
  Shankar书上18.3, 涉及到replica trick(最早是由Anderson提出的)
5. 其他补充: particle-vortex duality、non-Abelian bosonization等
本学期内容回顾
1. 基础内容
  1. 第一讲：内容简介及教材推荐
  2. 第二讲：从一个简单的例子开始：\(\delta^{(2)}(\vec{x})\)势的重整化
  3. 第三讲：发散问题; Path Integral.
  4. 第四讲：Gaussian积分与无穷维积分.
  5. 第五讲：具体计算(moment展开/cumulant展开=connected diagram)
    \(\left\langle u e^{-\hat{O}}\right\rangle = \sum_{l}(-1)^{l} \frac{\left\langle u \hat{O}^{l}\right\rangle_{c}^{0}}{l!}\)
2. \(\phi^{4}\)-theory(第六讲——第十讲)
  1. \(\phi^{4}\)理论重整化的完整过程
  2. 重整化与重整化群的等价性
  3. Callan-Symanzik equation
3. BKT相变(第十一讲——第十五讲)
  1. 简单的热力学分析方法
  2. Wilson重整化群方法(Thouless)
  3. Kramers-Wannier对偶方法
4. Bosonization(玻色化)(第十六讲——第十八讲)
  1. Bosonization定义及物理意义
  2. 证明代替后关联函数不变
  3. Bosonization的几个应用

USTC| BBS

Big Boat