计算物理(2022/秋季)

主讲老师：龚明，物质科研楼C栋812,电话：0551-63606522，邮箱:gongm@ustc.edu.cn

助教：林孝水，物质科研楼C栋810, 邮箱：lxsphys@mail.ustc.edu.cn

助教：闵振寰，理化大楼6016, 邮箱：mzh94773@mail.ustc.edu.cn

上课时间：星期三6-7节, 星期五8-9节

上课地点：2106

• QQ群号722083420，大家自行加入。

• 参考书

  1. 《计算物理学》, Hoffmann
  2. 《计算物理学导论》,Tao Pang
  3. 《计算物理学》, 马文淦
  4. 计算物理, 丁泽军
  5. 《数值计算方法与算法》, 张韵华

• 考核

  1. 考试：33.3%，开卷，带电脑，现场编程（8-12道题目选4道）
  2. 课题报告：33.3%
  3. 平时作业：33.3%
• 作业上交为电子版，每两周交一次，内容包括题目代码结果，有证明之类的写必要推导过程。 代码粘贴到word或pdf与结果放一起，不要只交.m/.py/.nb等源代码。电子版发到邮箱lxsphys@mail.ustc.edu.cn(学号为BA, BC, PB, SC， BZ等非SA开头的同学), mzh94773@mail.ustc.edu.cn (学号为SA开头的同学) 主题“计算物理-姓名-学号”，以免漏掉。 大家尽量按时交，晚交的酌情扣分。
• 部分优秀作业
  • 优秀作业参考
• 课程报告(更新中 2022-12-5)
  • 参考论文
  • 课题报告要求(参看以往拓扑课格式，本课程计算为主)
  • 电子版发邮箱或者纸质版交到物质科研楼C810

• 9.7 周三

  1. 课程笔记1

• 9.9 周五

  1. Newton-Cotes插值
     (1) 过$(x_0, f(x_0),\ (x_1, f(x_1)),\ \cdots (x_n,f(x_n))$ N+1 个点的插值函数： $$\tilde{f} (x) = b_0 + b_1(x-x_0) + b_2 (x-x_0)(x-x_1) + \cdots + b_{n}(x-x_0) \cdots (x-x_{n-1})$$
     (2) $b_0 = f[x_0]=f(x_0)$, $b_1 =f[x_0,x_1]= \dfrac{f(x_i)-f(x_{x_i+1})}{x_i-x_{i+1}}$, $b_2 = f[x_0,x_1,x_2] =\dfrac{f[x_i,x_{i+1}]-f[x_{i+1},x_{i+2}]}{x_i-x_{i+2}}$
  2. Lagrange 插值
     (1) $$\tilde{f}(x) = \sum_{i} w_i l_i(x) = \sum_i f(x_i) \dfrac{\Pi_{j\neq i}(x-x_j)} {\Pi_{j\neq i} (x_i-x_j)}$$
     (2) $l_i(x)$性质：
     1. $l_i(x_j) = \delta_{ij}$
     2. $\sum_i l_i(x) = 1$
     3. $l_i(x)$ 是N阶多项式
  3. 积分问题
     a. $\dot{y} = f(x)\Rightarrow y_n = \int_{x_0}^{x_n} f(x) dx$, 离散点插值构成$f(x)$, Lagrange插值积分(Newton-Cotes 积分)
     b. $\dot{y} = f(x,y)$
  4. Newton-Cotes 积分
     (1) 等分点$x_i = a+ih,\ i=0,1,\cdots,n,\ h=(b-a)/n$, $$I = \sum_i f(x_i) \int_a^b l_i(x) dx = \sum_i f(x_i) \int_a^b \dfrac{\Pi_{j\neq i}(x-x_j)}{\Pi_{j \neq i}(x_i -x_j)}dx = \sum_i f(x_i) h \int_0^n \dfrac{\Pi_{j\neq i}(t-j)}{\Pi_{j \neq i}(i -j)}dt, \ x=a+th, \ t\in [0,n]$$
     (2) Newton-Cotes系数 (系数表) $$c^{(n)}_i = \int_0^h \dfrac{\Pi_{j\neq i}(t-j)}{n\Pi_{j \neq i}(i-j)} dt = \dfrac{(-1)^{n-i}}{i!(n-i)! n }\int_0^n \Pi_j(t-j) dt$$
     (3) $n=1$, 梯形积分, $I = (f_a+f_b)h/2$; $n=2$, Simpson 积分，$I =\dfrac{h}{6} [f(a)+4f(\dfrac{a+b}{2})+f(b) ]$
  5. 作业 ：
     (1). 考虑复合摆的动力学(可在课程笔记中看到)
     (2). 求解质点在中心力场$U(r) = -A/r^{a}$中的运动，并给出其运动轨迹。
     (3). 一个刚性杆在光滑平面上，在给定初始角速度后，利用其运动方程求解圆杆落下的时间。
     以上作业利用数值方法求解并给出对应的讨论。(NDSolve)
  6. 课程笔记1

• 9.14 周三

  1. Mathematica 使用
     示范程序下载
  2. Runge-Kutta Method (ref)
  
  (1) $$y(x_{n+1}) = y(x_{n}+h) = y(x_n)+ y^\prime(x_n)h + \dfrac{h^2}{2!} y^{\prime \prime}(x_n) + \cdots = y(x_n) + hf(x_n,y_n) + \dfrac{h^2}{2} (f_x + f_y y_n^\prime )$$ 比较 $$y_{n+1} = y_n + h[c_1 f(x_n,y_n) + c_2 f(x_n+\alpha h,y_n+bhf(x_n,y_n))]$$ 待定$c_1,c_2,\alpha,b$
  (2)
  1. 二阶：$y_{n+1} = y_n + \dfrac{h}{2} [k_1+k_2],\ k_1 = f(x_n,y_n), k_2=f(x_n+h,y_n+h)$
  2. 三阶：$y_{n+1} =y_n + \dfrac{h}{6} (k_1 + 4 k_2 + k_3),\ k_1=f(x_n,y_n),k_2=f(x_n+\dfrac{h}{2},y_n+\dfrac{h}{2}k_1), k_3 = f(x_n+h,y_n-hk_1+2hk_2)$
  3. 四阶：$y_{n+1}= y_n +\dfrac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+h_4)$, Ref 张韵华P177-178
  3. ode 函数实例
     (1). matlab 中的ode函数
     (2). python中的ode函数
     (3). python中的scipy.integrate.RK45函数
  4. 课程笔记1

• 9.16 周五

  1. 数值求解偏微分方程简介
     (1). 扩散方程 $$\frac{\partial u }{\partial t} = D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ 离散化后 $$\frac{\partial u(t, x_n)}{\partial t} = D \frac{u(t, x_{n-1}) + u(t, x_{n+1}) - 2 u(t, x_n)}{\Delta x^2}$$
  2. 求根问题和求极值问题 ：很多问题离散化后变为求解数列的问题
     求根问题和求极值问题可以相互转化$f(x) = 0\ \mathrm{and}\ \frac{\partial F}{\partial x} = 0$
     (1) Newton Method: $x_{n+1}=x_n - f(x_n)/f^\prime(x_n)$
     推广(单变量到多变量) $$f \rightarrow \vec{f}=(f_1,\cdots,f_N),\ \vec{x}_{n+1} = \vec{x}_n - J_n^{-1} \vec{f}(x_n),\ J_{ij}= \partial f_i/ \partial x_j$$
     (2)Conjugate gradient method Ref: Conjugate Gradient
  $$\vec{x}_{n+1} = \vec{x}_n + \lambda_n \vec{x}_n,\ \lambda_{n+1}= \lambda_n + \beta_n \vec{x}_n$$
  3. 作业(细节在课堂笔记1中可以看到) ：
     (1). Baker's map, Ref: wiki
  
  (2). Logistic map
  (3). Kiecked rotor model, Ref: "Simulation of Modified Kicked Rotor Hamiltonian System "， "Kicked rotor and Anderson localization"， "Atom Optics Realization of the Quantum $\delta$-Kicked Rotor"， Chirikov standard map
  4. 课程笔记1

• 9.21 周三

  1. 数值求解扩散方程
     (1). 方程 $$\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P(x,t)}{\partial x^2} + U(x)P(x,t)$$
     (2). 离散化后 $$\frac{P_{i+1}^n-P_{i}^n}{\delta t} = D \frac{P_{i}^{n+1} + P_{i}^{n-1} - 2 P_{i}^n}{(\Delta x)^2}$$
     (3).边界条件：开边界$P_{N+1} = P_{0} = 0$; 周期边界$P_{N+1} = P_{1}$.
     (4). 时间步长和空间步长的选取：$\Delta t \sim (\Delta x)^2$.
  2. Kuramoto Model
     (1). 运动方程： $$\dot{\theta_{i}} = \omega_i - \frac{K}{N}\sum_j \sin(\theta_{i} - \theta_{j})$$
     (2). 离散化后的运动方程： $$\theta_{i}(t+dt) = \theta_{i}(t) + dt\left[\omega_i - \frac{K}{N}\sum_j \sin(\theta_{i}(t) - \theta_{j}(t))\right]$$
     (3). 同步序参量: $r \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi} = \frac{1}{N}\sum_j \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_j}$. 参考资料： The Kuramoto model: a simple paradigm for synchronization phenomena
  3. 牛顿力学问题的数值求解
     (1). 运动方程： $$\ddot{x} = f(x)$$
     (2). 离散化后的运动方程： $$x_{n+1} = 2x_n - x_{n-1} + (\Delta t)^2 f(x_n)$$
     (3). 初始条件： $x_0 = ?$ and $x_1 = x_0 + dt v(0)$
  4. 作业
     (1). 求解Kuramoto模型并讨论其中出现的同步相变.
  5. 课程笔记1

• 9.23 周五

  1. 分子动力学模拟
     (1). Positive Verlet method $$\left\{\begin{array}{l} \mathbf{x_{n+1/2}} = \mathbf{x_n} + \mathbf{v_n} \delta t /2 \\ \mathbf{v_{n+1}} = \mathbf{v_n} + \mathbf{a_{n+1/2}} \delta t \end{array} \right.$$ 其中$\mathbf{a_{n+1/2}} = \mathbf{f(x_{n+1/2})}$.
     (2). Velocity Verlet method $$\left\{\begin{array}{l} \mathbf{v_{n+1/2}} = \mathbf{v_n} + \mathbf{a_{n}} \delta t/2 \\ \mathbf{x_{n+1}} = \mathbf{x_n} + \mathbf{v_{n+1/2}} \delta t \\ \mathbf{v_{n+1}} = \mathbf{v_{n+1/2}} + \mathbf{a_{n+1/2}} \delta t/2 \end{array} \right.$$
     (3). 整个过程中最消耗计算资源的步骤是计算$\mathbf{a_{n}}$.
     (4). 参考资料：
     Chap.14, Computational physics;
     Michael P. Allen, Introduction to Molecular Dynamics Simulation;
     K. Vollmayr-Lee, Introduction to molecular dynamics simulations
  2. 矩阵基本知识回顾 $\begin{eqnarray} \left \lbrace \begin{array}{cc} \text{矩阵变换} \left \lbrace \begin{array}{ccc} {\rm SVD} 奇异值分解 A = U \lambda V, \ U^\dagger U =1 ,\ V^\dagger V =1 \\ {\rm QR} 分解 , A=QR,\ Q^\dagger Q =1, R\text{上三角矩阵}\\ {\rm LU} 分解 ,A=LU,L\text{下三角矩阵},U\text{上三角矩阵} \\ \end{array}\right. \\ \text矩阵对角化 \left \lbrace \begin{array}{cc} 方阵 \left \lbrace \begin{array}{cc} A = A ^\dagger, A=U^\dagger \lambda U,\ U^\dagger U=1, \lambda_i \in \mathbb{R}. \text{若} A,U\in \mathbb{R}, \text{则}U^T U=1, \text{正交矩阵}\\ A \neq A^\dagger, \text{相似变换}A = P^{-1} \lambda P \end{array} \right. \\ 非方阵 A_{n\times m} =\rm SVD(奇异值分解) \end{array} \right. \end{array} \right. \end{eqnarray}$
     
  3. 概率论基本知识回顾
     (1). 大数定理和中心极限定理：对于M个独立同分布的随机数的平均数的概率分布，其在M非常大为$N(\mu, \sigma^2/N)$.
     (2). 证明可见课程笔记
  4. 课程笔记1

• 9.28 周三

  1. 有限差分方法求解薛定谔方程
     (1). 差分 $$\dfrac{df(x)}{dx} = \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{f(x) - f(x-h)}{h} = \dfrac{f(x+h) -f(x-h)}{2h} \Rightarrow \dfrac{d^2 f}{dx^2} = \dfrac{f(x+h) + f(x-h)－ 2 f(x)}{h^2} ＝f^{\prime \prime } + O(h^2)$$
     (2). 薛定谔方程 $$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2} \psi(x) + V \psi(x) = E \psi(x) \xrightarrow{无量纲化 \ x = ay} -\frac{1}{2} \dfrac{d^2}{dx^2} \psi(y) + \tilde{V} \psi(y) = \frac{E}{\hbar^2/m a^2} \psi(y) \xrightarrow{离散化\ y_n = n \Delta x, \psi_n = \psi(y_n)} - \dfrac{1}{2(\Delta x)^2}(\psi_{n+1} + \psi_{n-1} - 2\psi_{n} )+ V_n \psi_n = E \psi_n$$ $$\begin{eqnarray} H = - \dfrac{1}{2(\Delta x)^2} \left( \begin{array}{cccc} -2 & 1 & & \\ 1 & -2 & 1& \\ & 1 & -2 & \\ & & & \ddots \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} V_1 & & & \\ & \ddots & \\ & & V_n \end{array} \right),\ \end{eqnarray}$$ 　　　　　　　　　　　
     
     (3). 2维下的薛定谔方程 $$-\frac{1}{2} \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\right) \psi(x,y) + V(x,y) \psi(x,y) = E \psi(x, y)$$ $$\xrightarrow{离散化\ x_m, y_n = m \Delta x, n \Delta x; \psi_{m,n} = \psi(x_m, y_n)}$$ $$- \dfrac{1}{2(\Delta x)^2}(\psi_{m+1,n} + \psi_{m-1,n} - 2\psi_{m,n} ) - \dfrac{1}{2(\Delta y)^2}(\psi_{m,n+1} + \psi_{m,n-1} - 2\psi_{m,n} ) + V_{mn} \psi_{mn} = E \psi_{mn}$$
     • 作业 :
       (1). 求解如下的一维薛定谔方程，讨论其能级的性质 $$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2} \psi(x) + V \psi(x) = E \psi(x)$$ 其中$V(x) = \frac{1}{2}m \omega^2 x^2 + A\sin(k x)$.
       (2). 求解二维心形势阱中薛定谔方程： 心形线 ($x^2+y^2+ a x-a\sqrt{x^2+y^2}=0$)
• 课程笔记1

• 9.30 周五

  1. 有限差分方法
     (1). 高阶差分系数表： 系数表
  
  (2). 一个二维的简单范例： 见课程笔记。
  2. 严格对角化(精确对角化)
     (1). 选取一组正交归一的完备基矢 $\{ |n\rangle\}$；对于无穷维的希尔伯特空间应选取合理的截断
     (2). 将本征态展开到完备基矢上 $H\sum_n C_n |n\rangle = E\sum_n C_n |n\rangle$.
     (3). 哈密顿量在此基矢上写为矩阵形式$H_{mn} = \langle m|H|n \rangle = \int d\mathbf{x}\phi_m^*(\mathbf{x})H\phi_n(\mathbf{x} )$
     (4). 求解薛定谔方程的本征值问题转化为求解矩阵$\{H_{mn}\}$的本征值问题。
     精确对角化适用范围非常广泛。其甚至可以用于求解多体强关联系统。
  3. Lanczos method
     (1) 算法过程:
     1. $b \rightarrow b_1 = b/||b||$
     2. $A b_1 = \alpha_1 b_1 + \beta_1 b_2$，要求 $b_2 \bot b_1, \ b_1^T b_2 = 0$ $\Rightarrow \alpha_1 = b_1^T A b_1,\ \beta_1=b_2^T A b_1$
     3. $3\sim N$ 步： $A b_n = \beta_{n-1}^\ast b_{n-1} + \alpha_n b_n + \beta_n b_{n+1}$ $\Rightarrow$ $\beta_{n-1}^\ast = b_{n-1}^T A b_n,\ \alpha_n=b_n^T A b_n ,\ \beta_n = b_{n+1}^T A b_n$
     $$AU = U T ,\ U^{-1} A U = T, \ A = UTU^{-1} \Rightarrow {\rm det} (A - \lambda) = {\rm det} (UTU^{-1} -\lambda) = {\rm det }(T-\lambda)$$ $$\begin{eqnarray} T = \left( \begin{array}{cccc} \alpha_1 & \beta_1 & & \\ \beta_1^\ast & \alpha_2 & \beta_2 & \\ & \beta_2^\ast & \alpha_3 & \\ & & & \ddots \end{array} \right) \end{eqnarray} , \ U =(b_1,\ b_2,\ b_3\cdots)$$ 矩阵$A$转化成三对角阵$T$，对角化的本征值一样，只需存储系数$\alpha_i,\ \beta_i,\ \beta_i^\ast$
     (2) 缺点：$b_1$ 的选择；稳定性不好；
  4. 作业 :
     利用mathemtica 推导如下论文中的结果(二选一)
     (1). PRB, 105, 094421 (2022)
     (2). PRE, 105, 054204 (2022)
• 课程笔记1

• 10.9 周日

  1. 具有旋转对称性的薛定谔方程的求解 (ref: 柱坐标系)
  
  (1). 利用贝塞尔函数：$J_n(x)$, 波函数展开为$\psi_{jn} = \sum_{k=1}^{\infty} C_{nk} J_{n}(\frac{rX_{nk}}{R})$
  (2). 贝塞尔函数满足的方程：$x^2 \frac{d^2 f(x)}{dx^2} + x\frac{d^2 f(x)}{dx^2} + (x^2-v^2)f(x)=0$
  (3). 贝塞尔函数的正交关系：$\int_0^R J_{n}(\frac{rX_{nj}}{R})J_{n}(\frac{rX_{nk}}{R})r dr = \delta_{jk}\frac{R^2}{2}J^2_{n+1}(X_{nj})$
  (4). 贝塞尔函数相关知识参考资料： Bessel functions 1, Bessel functions 2, Bessel functions 3
  2. 具有自选轨道耦合以及旋转对称的量子点 : (Ref: Weyl Semimetal)
     (1). 直角坐标下的哈密顿量 $$\begin{eqnarray} H = \left( \begin{array}{cc} M+\frac{1}{2}\left(\mathbf{k} -e\mathbf{A}\right)^2& \alpha(k_x - \mathrm{i} k_y) \\ \alpha(k_x + \mathrm{i} k_y) & -M-\frac{1}{2}\left(\mathbf{k} -e\mathbf{A}\right)^2 \end{array} \right) \end{eqnarray}$$
     (2). 柱坐标下的哈密顿量 (选取对称规范$\mathbf{A} = -\frac{B}{2}(-y, x)$) $$\begin{eqnarray} H = \left( \begin{array}{cc} M-\frac{1}{2}\left( \frac{\partial}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} -\frac{e^2B^2}{4} r^2 - \mathrm{i}eB \frac{\partial}{\partial \theta} \right) & \alpha\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\left( -\mathrm{i}\left(\frac{\partial}{\partial r} - \mathrm{i}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \mathrm{i}\frac{eBr}{2}\right)\\ \alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\left( \mathrm{i}\left(\frac{\partial}{\partial r} + \mathrm{i}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\right) - \mathrm{i}\frac{eBr}{2}\right) & -M+\frac{1}{2}\left( \frac{\partial}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} -\frac{e^2B^2}{4} r^2 - \mathrm{i}eB \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \end{array} \right) \end{eqnarray}$$
  3. 作业 :
     推导文章 Phyisca B, 407, 2334 (2012)中方程1-方程20.
• 课程笔记1

• 10.12 周三

  1. 具有自选轨道耦合以及旋转对称的量子点
     见参考资料中(26)式：(参考资料: Weyl Semimetal)
  2. 周期势能里的薛定谔方程
     (1). 方程 $$\left(-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + V\cos(x)\right)\psi(x) = E\psi(x)$$
     (2). 展开基矢 $\{|n\rangle \sim \mathrm{e}^{\mathrm{i} n x} \}$
     (3). 在展开基矢下的定态薛定谔方程 $$\frac{1}{2}(k+n)^2 C_n + \frac{V}{2}\left( C_{n+1} + C_{n+1} \right) = EC_n$$
  3. Bloch定理
     (1). 对于一个具有平移对称性的Hamiltonian $H(\mathbf{x} + \mathbf{R}) = H(\mathbf{x})$, 其中$\mathbf{R} = a_1 \mathbf{a_1} + n_2 \mathbf{a_2} + \dots$。 其薛定谔方程$H\psi = E\psi$的解一定满足$\psi(\mathbf{x}+\mathbf{R}) = \psi(\mathbf{x}) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}\mathbf{R}}$.
     (2). 一个方便的展开基矢是$\psi(\mathbf{x}) = \sum_{\mathbf{G}}C_{\mathbf{G}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k} + \mathbf{G})\mathbf{x}}$
     (3). 固体物理学 黄昆
  4. 作业 :
     计算二维、三维晶体(如：cubic 晶格， 六角晶格，fcc晶格)中的Bloch能带，并画出其费米面
     $V(\mathbf{r}) = \sum_m \frac{e^2}{4\pi \epsilon |\mathbf{r} - \mathbf{R_m}|}$
     
• 课程笔记1

• 10.14 周五

  1. 一维周期势阱中的薛定谔方程
     (1). 方程 $$\left(-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\right)\psi(x) = E\psi(x)$$ 其中$V(x + a) = V(x)$.一个例子是$V(x) = \sum_n A \mathrm{e}^{-\frac{(x-na)^2}{2\sigma^2}}$.
     (2). 展开基矢 $\{|n\rangle \sim \mathrm{e}^{\mathrm{i} G n x} \}$,其中$G = \frac{2\pi}{a}$.
     (3). 在展开基矢下的定态薛定谔方程 $$\frac{1}{2}(k+ l G)^2 C_l + \sum_n A_{nl} C_n = EC_l$$ 其中$A_{nl} = \tilde{V}(nG - lG)$ 是势能对应的傅里叶变换分量。
  2. 二次量子化 (正则量子化)
     (1). 哈密顿力学 $$\begin{eqnarray} \text{哈密顿正则方程} \left\lbrace \begin{array}{cc} \dfrac{d p}{dt} = -\dfrac{\partial H}{\partial q} \\ \dfrac{d q}{d t} = \dfrac{ \partial H}{\partial p} \end{array} \right. \Rightarrow \text{泊松括号形式} \left\lbrace \begin{array}{cc} \dfrac{d p}{dt} =\lbrace q, H\rbrace \\ \dfrac{d q}{d t} =\lbrace p,H\rbrace \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{cc} \lbrace q_i , q_j \rbrace=0,\ \lbrace p_i , p_j \rbrace=0 \\ \lbrace q_i , p_j \rbrace= \delta_{i,j} \end{array} \right. \end{eqnarray}$$
     (2). 量子化的关键 $[q_i, p_j] = \mathrm{i}\hbar \delta_{ij} \rightarrow [a_i, a_j^{\dagger}] = \delta_{ij}$. 其中在$a$表象里,系统的哈密顿量可以写为$H = \sum_{mn}h_{mn}a_m^{\dagger}a_n$。
     (3). 好处: 不需要处理微分方程，便于处理全同粒子。
  3. 参考资料
     (1). 朗道力学
  
  (2). "Second quantization" by Simons
  4. 课程笔记1

• 10.19 周三

  1. 量子化
     (1) 一次量子化，坐标量子化，$[x,p]=i\hbar$
     (2) 二次量子化 $$\begin{eqnarray} \text{哈密顿正则方程} \left\lbrace \begin{array}{cc} \dfrac{d p}{dt} = -\dfrac{\partial H}{\partial q} \\ \dfrac{d q}{d t} = \dfrac{ \partial H}{\partial p} \end{array} \right. \Rightarrow \text{泊松括号形式} \left\lbrace \begin{array}{cc} \dfrac{d p}{dt} =\lbrace q, H\rbrace \\ \dfrac{d q}{d t} =\lbrace p,H\rbrace \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{cc} \lbrace q_i , q_j \rbrace=0,\ \lbrace p_i , p_j \rbrace=0 \\ \lbrace q_i , p_j \rbrace= \delta_{i,j} \end{array} \right. \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} \left\lbrace \begin{array}{cc} i \dfrac{\partial \psi }{ \partial t} = H \psi \\ \psi = \sum_n c_n(t) |\phi_n \rangle \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{cc} E = \langle \psi |H| \psi \rangle = \sum_{nm} t_{nm} c_n^\ast c_m \\ i \dot{c}_n = \sum_m c_m \langle \phi_n |H| \phi_m \rangle =\sum_m t_{nm} c_m \end{array} \right. \Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{cc} i \dot{c}_n = \dfrac{\partial E}{\partial c_n^\ast} \\ i\dot{c}_n^\ast = -\dfrac{\partial E}{\partial c_n} \end{array} \right. \end{eqnarray}$$ 类比，$c_n \sim q,\ c_n^\ast \sim p$，将$c_n,\ c_n^\ast$提升到算符$c_n,\ c_n^\dagger$
     $\{c_n,c_m\} = \{c^\dagger_n,c_m^\dagger\}=0, \{c_n,c_m^\dagger\}=\delta_{nm}$ 等价描述 $\{\psi,\psi\} = \{\psi^\dagger,\psi^\dagger\} = 0, \{\psi(x),\psi^\dagger(y)\} = \delta(x-y)$
  2. 全同粒子
     自然的满足对称和反对称的条件，只需要知道每个能级的占据数就可以知道系统的状态。
     (1). Boson 交换对称 $$\left\{\begin{array}{c} [a_i, a_j] = [a_i^{\dagger}, a_j^{\dagger}] = 0 \\ [a_i, a_j^{\dagger}] = \delta_{ij} \end{array}\right.$$
     (2). Fermion交换反对称 $$\left\{\begin{array}{c} {c_i, c_j} = {c_i^{\dagger}, c_j^{\dagger}} = 0 \\ \{c_i, c_j^{\dagger}\} = \delta_{ij} \end{array}\right.$$
     (3). 算符作用在态上： $$\begin{array}{c} a_i | n_1, n_2, \dots, n_i, \dots, m_N\rangle = (\pm 1)^{\sum_j^{i-1}n_j }\sqrt{n_i} | n_1, n_2, \dots, n_i-1, \dots, n_N\rangle \\ a_i^{\dagger} | n_1, n_2, \dots, n_i, \dots, m_N\rangle = (\pm 1)^{\sum_j^{i-1}n_j }\sqrt{1 \pm n_i} | n_1, n_2, \dots, n_i + 1, \dots, n_N\rangle \end{array}$$ 玻色子是加号，费米子是减号。
  3. 参考资料
     (1). Dirac 1927
  4. 课程笔记1

• 10.21 周五

  1. 二次型哈密顿量的对角化
     (1). 例子一 $$H= \sum_i -\mu_i c_i^{\dagger}c_i - t \sum_i c_i^{\dagger}c_{i+1} + \mathrm{h.c.}$$ 对于单粒子($N = 1$)，系统的Hilbert 空间由$\{ c^{\dagger}_i|0\rangle\}$张开。其哈密顿量在此基矢下可以写为 $$[H] = \begin{pmatrix}-\mu & t & 0 & \dots \\ t & -\mu & t & 0 & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \vdots & \vdots & \end{pmatrix}$$
     (2). 例子二 $$H= \sum_{i,\sigma} -\mu_i^{\sigma} c_{i,\sigma}^{\dagger}c_{i,\sigma} + \sum_{i,\sigma,\sigma'} - t_{i,i+1}^{\sigma,\sigma'} c_{i,\sigma}^{\dagger}c_{i+1,\sigma} + \mathrm{h.c.}$$ 矩阵形式参考课程笔记。
     (3). 高维的哈密顿量 $$H= \sum_i -\mu_{i} c_{i}^{\dagger}c_i - t \sum_{\langle i,j\rangle}c_i^{\dagger}c_{i+1} + \mathrm{h.c.}$$ 其中$\langle i,j\rangle$表示最近邻跃迁。可以通过和二维差分方法类似的写法写下系统的哈密顿量。
     (4). 写下矩阵时的技巧:
     (i). 对哈密顿量中的不同项进行分类
     (ii). 对基矢建立索引表。
  2. 课程笔记1

• 10.26 周三

  1. 具有平移不变形的二次型哈密顿量
     (1). 一维无自旋费米子 $$H= \sum_i \mu c_i^{\dagger}c_i - t \sum_i c_i^{\dagger}c_{i+1} + \mathrm{h.c.}$$ 动量空间 $$H= \sum_i \left(\mu - 2t\cos(ka) \right)c_k^{\dagger}c_k$$ 利用傅里叶变换$c_n = \sum_k \frac{1}{\sqrt{N}} \exp{i k n} c_k$。
     (2). 其余例子可以看课程笔记。
     (3). 更一般的例子 $$H= \sum_{i,j,s,s'} t_{i,j}^{s,s'} c_{i,s}^{\dagger}c_{j,s'}\rightarrow \sum_{\mathbf{k}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k}(\mathbf{R_j} - \mathbf{R_i} )} c_{\mathbf{k}}^{\dagger}c_{\mathbf{k}}$$ .
     (4). 小结:
     (i). 对于具有平移对称性的哈密顿量，其动量是好量子数，我们可以利用傅里叶变换对角化
     (ii). 处理此类问题的技巧是一类一类的处理。
  2. 保持粒子统计性质的变换: bogoliubov变换
     (1). 可以用来处理具有反常配对项的二次型哈密顿量。
     (2). 在超导和超流问题的处理中具有重要作用。
  3. 课程笔记1

• 10.28 周五

  1. Bogoliubov变换和BdG方程
     (1).将原有的哈密顿量按照一半一半原则携程BdG形式 $$H = \frac{1}{2}(\phi^{\dagger},\phi)\begin{pmatrix} [t] & \Delta \\ \Delta^{\dagger} & \pm [t] \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi \\ \phi^{\dagger}\end{pmatrix}$$
     (2).对于费米子，对角化$H$, 引入的变换 $$\begin{pmatrix} \psi \\ \psi^{\dagger}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U & V^{*} \\ V & U^{*} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \phi \\ \phi^{\dagger}\end{pmatrix}$$ 且满足 $S S^{\dagger} = 1$
     (3).对于波色子，对角化$H_{\mathrm{BdG}} = \sigma_z H$, 引入的变换 $$\begin{pmatrix} \psi \\ \psi^{\dagger}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U & V^{*} \\ V & U^{*} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \phi \\ \phi^{\dagger}\end{pmatrix}$$ 且满足 $S \sigma_z S^{\dagger} = \sigma_z$
  2. Bogoliubov变换的应用
     (1). s波超导 $$H = \sum_{k,s} \epsilon_k c_{k,s}^{\dagger}c_{k,s} + \Delta \left(c_{k,\uparrow}^{\dagger}c_{-k,\downarrow}^{\dagger} + \mathrm{h.c.}\right)$$ 利用展开$|\psi_k\rangle = x|00\rangle + y|11\rangle$,我们可以对角化得到其本征值$E_k = \pm \sqrt{\epsilon_k^2 + |\Delta|^2}$
  3. 课程笔记1
  4. 作业 :
     (1). 求解开边界条件下的一维kitaev模型的能谱和本征态，并讨论其边缘态存在的范围 $$H = \sum_{i} -t c_{i}^\dagger c_{i+1} + \Delta c_{i}^\dagger c_{i+1}^\dagger +h.c. - \sum_i \mu c_{i}^\dagger c_{i}$$ 如果系统中存在一定的无序，其边缘态可能被破坏，请另外讨论在如下的具有无序的kitaev模型中的边缘态性质 Topological Superconductor to Anderson Localization Transition in One-Dimensional Incommensurate Lattices $$H = \sum_{i} -t c_{i}^\dagger c_{i+1} + \Delta c_{i}^\dagger c_{i+1}^\dagger +h.c. + \sum_i \lambda\cos(2\pi\alpha i) c_{i}^\dagger c_{i}$$ 其中$\alpha = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
     (2). 求解一维弱相互作用下的Bose气体，并讨论其能谱. $$H = \sum_{i} -tb_{i}^\dagger b_{i+1} + \frac{1}{2}gn_0 b_{i}^\dagger b_{i}^\dagger +h.c. + \sum_i (-\mu + gn_0) b_{i}^\dagger b_{i}$$

• 11.2 周三

  1. 多体模型的平均场处理
     (1). 超导 $$H = \sum_{k,s} \epsilon_k c_{k,s}^{\dagger}c_{k,s} + \Delta \left(c_{k,\uparrow}^{\dagger}c_{-k,\downarrow}^{\dagger} + \mathrm{h.c.}\right)$$
     (2). 超流 (Ref: Bogoliubov theory of the weakly interacting Bose gas)
  $$H = \sum_{k>0} \epsilon_k a_{k}^{\dagger}a_{k} +\epsilon_{-k} a_{-k}^{\dagger}a_{-k} + \Delta \left(a_{k}^{\dagger}a_{-k}^{\dagger} + \mathrm{h.c.}\right)$$
  (3-1). Holstein–Primakoff 变换 spin wave theory using the Holstein-Primakoff transformation
  (3). Dicke 模型 (Ref: Phys. Rev. E, 67, 066203) $$H = \omega b^{\dagger}b + \Omega S^z + \frac{g}{\sqrt{N}}\left( S^{+}b + \mathrm{h.c.}\right)$$ 应用HP变换 $$H = \omega b^{\dagger}b + \Omega (a^{\dagger}a - N/2) + g\left( a^{\dagger}b + \mathrm{h.c.}\right)$$
  (4). Heisenberg 模型 $$H = -J\sum_{\langle i,j\rangle} \mathbf{S_i} \cdot \mathbf{S_j}$$ 应用HP变换 $$H = -J\sum_{\langle i,j\rangle} \frac{1}{2}\left(a_i^{\dagger}a_j + a_j^{\dagger}a_i - a_i^{\dagger}a_i- a_j^{\dagger}a_j \right)$$
  2. 简单模型的对角化(Bogoliubov 变换)
     (1). 模型的形式 $$H = \epsilon a^{\dagger}a + \epsilon a^{\dagger}a + \lambda \left(a^{\dagger}b^{\dagger} + \mathrm{h.c.} \right)$$ bogoliubovTrans.pdf
     (2). Bogoliubov 变换 一般化的二次型哈密顿量的对角化
  3. 作业
     (1). 分别利用运动方程法和Bogoliubov变换的方法求解$H = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{1}{2}k\left(x_1^2 + x_2^2\right) + \lambda x_1 x_2$的本征值，并讨论其中的物理。
  4. 课程笔记1

• 11.4 周五

  1. HP变换的物理意义
     (1). 当我们考虑的是低温下的铁磁物理时，自旋基本指向同一个方向，自旋的激发数较少，可以近似看成和Boson的Hilbert空间一样。
     (2). 一个较为正式的推导 H-P变换
  2. 平均场理论和Ising模型
     (1). 核心的思想:平均场$=$ 单体 $+$ 自洽。
     (2). Ising 模型 mean-fields solution of the Ising model, Magnetisation and mean field theory in the Ising model $$H = \sum_{\langle i,j\rangle} -J \sigma_i \sigma_j + h\sum_i \sigma_i$$ 平均场近似 $$H = \sum_{i} (-zJm + h)\sigma_i$$ 其中$m = \mathrm{tr}(e^{\beta H}\sigma_i)/Z$，$z$是配位数，$Z$是配分函数。 其中自洽方程为($h=0$时) $$m = \tanh(zJm)$$
  3. 课程笔记1

• 11.9 周三

  1. BCS超导理论
     (1).赝势下的哈密顿量： $$H = \sum_{k,s} \epsilon_k c_{k,s}^{\dagger}c_{k,s} + g\sum_{k,p,q} c_{k+q,\uparrow}^{\dagger}c_{p-q,\downarrow}^{\dagger}c_{p,\downarrow} c_{k,\uparrow}$$
     (2). BCS 哈密顿量(只考虑相互作用中的主导项) $$H = \sum_{k,s} \epsilon_k c_{k,s}^{\dagger}c_{k,s} + g\sum_{k,p} c_{k,\uparrow}^{\dagger}c_{-k,\downarrow}^{\dagger}c_{-p,\downarrow} c_{p,\uparrow}$$
     (3). 平均场处理 ($\Delta = \langle g \sum_k c_{-k,\downarrow} c_{k,\uparrow} \rangle$) $$H = \sum_{k,s} \epsilon_k c_{k,s}^{\dagger}c_{k,s} + \left( \Delta c_{k,\uparrow}^{\dagger}c_{-k,\downarrow}^{\dagger} + \mathrm{h.c.}\right) - \frac{|\Delta|^2}{g}$$ 系统的色散关系是 $$E_k = \pm \sqrt{\epsilon_k^2 + |\Delta|^2}$$
     (4). 基态能和朗道相变理论
     基态能是 $$E_g = \left(\sum_k \epsilon_k - E_k - |\Delta|^2/g \right) \sim \left( A + B |\Delta|^2 + C|\Delta|^4 \right)$$ 相变点由$B = 0$确定。
  2. 对于Tight-binding 模型中相互作用项的平均场处理
     (1). 排斥相互作用 $n_{i,\downarrow}n_{i,\uparrow} \sim \overline{n_{\downarrow}}n_{i,\uparrow} + n_{i,\downarrow}\overline{n_{\uparrow}} - \overline{n_{\downarrow}} \overline{n_{\uparrow}}$
     (2). 吸引相互作用 $n_{i,\downarrow}n_{i,\uparrow} \sim \Delta c_{i,\uparrow}^{\dagger}c_{i,\downarrow}^{\dagger} + \mathrm{h.c.} - |\Delta|^2$
  3. 课程笔记1

• 11.11 周五

  1. 精确对角化
     (1). 自旋 $$H = -J \sum_{i} \left(S_i^x S_{i+1}^x + S_i^y S_{i+1}^y + \Delta S_i^z S_{i+1}^z \right)$$ 基矢是 $|\downarrow\downarrow\downarrow\downarrow\rangle,|\uparrow\downarrow\downarrow\downarrow\rangle,\dots$
     (2). 无自旋费米子 $$H = -J \sum_{i} \left(c_i^{\dagger} c_{i+1} + \mathrm{h.c.} \right) + U n_i n_{i+1} - \mu n_i$$ 基矢是 $|0000\rangle,|0001\rangle,\dots$
     (3). 玻色子 $$H = -J \sum_{i} \left(c_i^{\dagger} c_{i+1} + \mathrm{h.c.} \right) + \frac{U}{2} n_i (n_{i}-1） - \mu n_i$$ 基矢是 $|0000\rangle,|0001\rangle,|0002\rangle,|0011\rangle\dots$
     (4). 写出关注系统的Hibert空间；判断其具有的对称性；写出态作用在基矢上之后的关系。
  2. Jordan-Wigner 变换
     $$\left\{ \begin{array}{l} S_j^{+}=e^{\left(-i \pi \sum_{k=1}^{j-1} a_k^{\dagger} a_k\right)} \cdot a_j^{\dagger} \\ S_j^{-}=e^{\left(+i \pi \sum_{k=1}^{j-1} a_k^{\dagger} a_k\right)} \cdot a_j \\ S_j^z= a_j^{\dagger} a_j- 1/2 \end{array} \right.$$
  3. 阅读材料
     (1). 立方晶体铁磁各向异性的自旋波理论
  4. 作业
     (1). 求解在链长$L = 5$,粒子数或者激发数$N = 2$时，上述自旋，费米子，玻色子模型的能谱。
  5. 课程笔记1

• 11.16 周三

  1. XXZ 模型
     (1).哈密顿量 $$H = \sum_{i} J \left(S_i^x S_{i+1}^x + S_i^y S_{i+1}^y \right) + J_z S_i^z S_{i+1}^z + h S_i^{z}$$ .
     (2). 相图 Symmetries and entanglement in the one-dimensional spin-1/2 XXZ model
     (3). 善于利用特殊点对物理模型进行分析。
  2. Bethe Ansatz
     (1). XXZ 模型具有 U(1) 对称性， 总自旋数是一个好量子数。我们可以在不同总自旋的空间中求解该模型。
     (2). 具体推导参考： Quantum Field Theory in Strongly Correlated Electronic Systems
  3. 阅读材料
     (1). 一维海森堡模型的Bethe Ansatz解和量子度量学
     (2). Quantum Field Theory in Strongly Correlated Electronic Systems
     (3). Yang-Baxter Equations
     (4). 汉斯·贝特——20世纪最多产的物理学家之一
  4. 作业
     (1). 推导和复现 Quantum Field Theory in Strongly Correlated Electronic Systems 中第一章的内容。
  5. 课程笔记1

• 11.18 周五

  1. Bethe Ansatz of the XXZ model
     (1). 对于两个自旋波激发的 Bethe-Ansatz 解 $|\psi\rangle = \sum_{m,n} C_{m,n}|m,n\rangle$
     (i). 其系数满足的方程为 $$\epsilon C_{m,n} = -2 J_z C_{m,n} + \frac{J}{2}\left(C_{m,n} + C_{m,n} + C_{m,n} + C_{m,n}\right)$$ , 以及其满足的边界条件为 $$-J_z C_{n, n+1} + \frac{J}{2}\left(C_{n,n} + C_{n+1,n+1} \right)$$
     (ii). 将猜测解$C_{m,n} = c_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_1 n_1 + k_2 n_2)} + c_2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_1 n_2 + k_2 n_1)}$ 带入边界条件，我们可以得到系数满足的方程 $$\frac{c_1}{c_2} = \frac{J_z\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k_1 - k_2)/2}-J\cos((k_1 + k_2)/2)}{J_z\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(k_1 - k_2)/2}-J\cos((k_1 + k_2)/2)}$$
     (iii). Bethe-Ansatz 求解的基本步骤：给定$m_1,m_2 \in Z$;把$k_1,k_2$带入边界条件确定$\phi$; 求解得到$k_1,k_2$；计算能量$\epsilon = \epsilon_{k_1} + \epsilon_{k_2}$
     (2). 具体推导参考： Quantum Field Theory in Strongly Correlated Electronic Systems
  2. 阅读材料
     (1). 龚明老师笔记扫描
  3. 课程笔记1

• 11.23 周三

  1. 概率论
     (1). 大数定理和中心极限定理
     (2). 布丰投针实验
     随机投针$N$次，记录其在院内的次数$N_i$,在许多次以后有 $$\frac{\pi}{16} \simeq \frac{N_i}{N}$$
  2. 布朗运动
     (1). 1905年，爱因斯坦的处理方式
     (i). 下一刻粒子所处的位置的概率分布满足 $$P(x, t + dt) = \int dy P(x + y, t ) w(y) \simeq \int dy \left(P(x,t) + \frac{\partial P}{\partial x}y + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}y^2 \right) w(y)$$
     (ii). 简单推导可以得到扩散方程 $$\frac{\partial P(x, t)}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P(x, t)}{\partial x^2}$$
     (2). 朗之万方程
     (i). 方程 $$\ddot{\mathrm{x}} = -\gamma\dot{\mathrm{x}} - \vec{\nabla} V + \mathrm{\xi}(t)$$ 其中$\langle\mathrm{\xi}(t) \rangle = 0, \langle\mathrm{\xi}(t)\mathrm{\xi}(t')\rangle = D\delta(t-t')$
     (ii). 稳定解是 $$\langle x^2 \rangle = \frac{2k_B T}{\gamma} t$$
     (3). 数值求解
     (i). 一个简单方程 $$\dot{x} = a + b \xi$$
     (ii). 离散方程是 $$x_{n+1} = x_0 + a t + \sum_{n=1}^{N} \delta t \xi_N ,\quad \xi_N \in N(0, \frac{1}{\delta t} )$$
  3. 阅读材料
     (1). Xin Bian and et. al. "111 years of Brownian motion"
     (2). Pawel F. Gora, "The theory of Brownian Motion: A Hundred Years’ Anniversary"
  4. 课程笔记1

• 11.25 周五

  1. Ito 引理和随机微分方程求解
     (1). Black-scholes 方程 $$dS = \gamma S dt + \sigma S dW$$ 直接利用微积分的求解是不对的，得到了与常识不符的结果。
     (2). 随机微分方程中链式法则的修改($dx = \mu dt + \sigma dW$)
     (i). 对于函数$f(x)$的微分的求解 $$df = \left( \mu \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right)dx + \frac{\partial f}{\partial x} \sigma dW$$
     (3). Black-scholes 方程的解 $$\ln(S/S_0) = \left(\gamma - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma W(t)$$ 在$\gamma - \frac{\sigma^2}{2} = 0$时系统具有一个转变点。
  2. 数值求解随机微分方程
     (1). 迭代方程 $$x_{n+1} = x_0 + \sum_{m=0}^{n} \mu_m dt + \sum_{m=0}^{n} \sigma_m \xi_m,\quad \text{其中}\quad \xi_m \in N(0, dt)$$
  3. 随机数的生成
     (1). 均匀分布的伪随机数生成
     (i). $r_{i+1} = (a r_{i} + c)\mod(m)$
     (i). $r_{i+1} = (r_{i-2} - r_{i-3} - c)\mod(2^{32}-18)$
     (i). $r_{i+1} = (69069r_{i} + 1073904243)\mod(2^{32})$
     (2). Guassian 分布随机数的生成: Box-Muller 方法
  4. 作业
     (1). 利用数值方法模拟 $$dx = \mu dt + \sigma dW$$ 并且讨论其对应的分布和测试时间。（方程自选, (2)中的方程是一个可供参考的选择）
     (2). 一个例子是模拟在周期势阱中做布朗运动的粒子的方程 $$\left\{\begin{array}{cc} dx = v dt \\ dv = (-\gamma v + V_{p} \sin(x)) dt + D dW \end{array}\right.$$
  5. 课程笔记1

• 11.30 周三

  1. 蒙特卡洛求解数值积分
     (1). 一维情况 $$I = \int_{a}^{b} f(x)dx = \frac{b-a}{N}\sum_m f(x_m),\ \text{其中},\ x_m \in U(a,b)$$
     (2). 高维情况 $$I = \int_{\Omega} f(\mathbf{x})d\mathbf{x} = \frac{S}{N}\sum_m f(x_m),\ \text{其中}\ x_m \text{是积分区域上的均匀分布}$$ 其还可以写为 $$I = S\overline{f},\ \text{其中}\ \overline{f} \text{满足} U(\mu, \frac{\sigma^2}{N})$$
     (3). 参考代码 python 代码
  2. Metropolis 方法
     (1). 利用马尔科夫过程 $P(x_{i+1}) = P(x_{i+1}|x_{i}) P(x_i)$
     (2). 细致平衡： $$\dfrac{dp_{n}}{dt}=\sum_{m}(p_{m}T_{m\rightarrow n}-p_{n}T_{n\rightarrow m});\quad p_{m}T_{m\rightarrow n}=p_{n}T_{n\rightarrow m}$$
     (3). 参考代码 可参考的python 代码
     (4). 参考内容 “从马尔可夫链到蒙特卡洛-Metropolis方法（Python）”
  3. 作业
     (1). 蒙特卡洛方法计算十维积分，函数形式自选
     (2). 一个例子是 $$I = \int d\mathbf{x} \exp\{-(\mathbf{a}\cdot\mathbf{x})^2 -(\mathbf{b}\cdot\mathbf{x})^4 + \sin(\mathbf{c}\cdot\mathbf{x}) \}$$ 其中 $\mathbf{x} = (x_1,x_2,\dots,x_{10})$.
  4. 课程笔记1

• 12.2 周五

  1. Metropolis 方法
     (1). 龚明老师ppt
  2. 经典Ising模型
     (1). 转移矩阵 $$Z = \mathrm{Tr}(T_n T_{n-1}\dots T_1) = \mathrm{Tr}(T^N)$$ 其中 $$T = \begin{pmatrix} \mathrm{e}^{\beta J + \beta h} && \mathrm{e}^{-\beta J}\\ \mathrm{e}^{-\beta J} && \mathrm{e}^{\beta J + \beta h} \end{pmatrix}$$
     参考内容 二维Ising模型的严格解
  3. 作业
     (1). 利用蒙特卡洛方法模拟二维经典Ising 模型，计算其热容，磁化率等物理量，讨论其相变点和相变附近的行为。
     (2). Onsager解给出的二维方格子上Ising模型的单格点自由能 $f$ (Ref: Analytic Properties of the Onsager Solution of the Ising Model ) $$-\beta f = \ln(2\cosh(2\beta J)) + \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi/2}d\omega \ln[\frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{1-k^2\sin^2(\omega)}\right)]$$ 以及$k = \frac{2\sinh(2\beta J)}{(\cosh(2\beta J))^2}$ 请讨论其热容等热力学量的性质，并确定相变点。
  4. 课程笔记1

• 12.7 周三

  1. 课程笔记page1
  2. 课程笔记page2
  3. 课程笔记page3

• 12.9 周三

  1. Anderson 局域化
     (1). 由于相干的背散射导致的局域化$|\psi(r)|\sim \mathrm{e}^{-|r-r_0|/\xi}$
     (2). Aubry-Andre 模型 $$H = \sum_m t(c_m^{\dagger}c_{m+1} + \mathrm{h.c.}) + V\cos(2\pi\alpha m) c_m^{\dagger}c_{m}$$ 相变点发生在$V = 2t$处。
     (3). 阅读资料: 固体理论-李正中
  2. 转移矩阵方法
     (1). 最近邻跃迁的紧束缚模型的运动方程 $$E\psi_n= t(\psi_{n+1} + \psi_{n-1}) + V_n\psi_n$$
     (2). 转移矩阵 $$\begin{pmatrix}\psi_{n+1} \\ \psi_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}E-V_n & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\psi_{n} \\ \psi_{n-1}\end{pmatrix}$$
     (3). 局域长度 $$\frac{1}{\xi} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log(\langle \psi_1|T^{\dagger}T |\psi_1\rangle)$$
     (4). 利用QR分解方法数值求解 参考资料： Transfer-Matrix Methods and Finite-Size Scaling for Disordered Systems)
  3. 作业
     (1). 对角化如下的一维紧束缚模型，并画出其波函数 $$H = \sum_m t_m (c_m^{\dagger}c_{m+1} + \mathrm{h.c.}) + V_m c_m^{\dagger}c_{m}$$ 其中$t_m,\ V_m$是随机数，随机数的形式自己选取。
  4. 课程笔记1

• 12.14 周三

  1. Lindblad 主方程
     (1). 方程的一般形式 $$\mathrm{i}\frac{\partial \rho}{\partial t} = [H,\rho] + L(\rho) = [H,\rho] + \sum_m (2L_m\rho L_m^{\dagger}-L_m^{\dagger}L_m\rho - \rho L_m^{\dagger}L_m)$$
     (2). 数值模拟: 将其线性化为一阶含时微分方程 $$\mathrm{i}\frac{\partial \rho_{\alpha\beta}}{\partial t} = A_{\alpha\nu}\rho_{\nu\beta}$$
     (3). 从随机过程出发推导主方程 $$|\psi(t+dt)\rangle = |\psi\rangle +|d \psi\rangle = |\psi\rangle +|v \rangle dt + \sum_m \gamma_m |u_m\rangle d\xi_m$$ 其中$\langle d\xi_m^* d\xi_n \rangle = 2\delta_{mn}dt,\quad |u_m\rangle = L_m |\psi\rangle$，由此可以得到 $$\rho(t+dt) = |\psi(t+dt)\rangle\langle \psi(t+dt)| = \dots$$
  2. 阅读材料
     (1). "Quantum Measurements and Stochastic Processes"
  3. 作业
     (1).分别从$\sigma_x,\quad \sigma_y,\quad \sigma_z$中选取Lindblad算符，并讨论其对于单比特系统产生的影响 系统的哈密顿量为 $$H = \omega \sigma_z$$ 其运动满足Lindblad主方程。
     (2).分别从$a, a^{\dagger}\, a^2, (a^{\dagger})^2$中选取Lindblad算符，并讨论其对于单比特系统产生的影响 系统的哈密顿量为 $$H = \omega a^{\dagger}a$$ 其运动满足Lindblad主方程。
  4. 课程笔记1

• 12.16 周五

  1. FDTD求解麦克斯韦方程
     (1). 运动方程 $$\left\{\begin{array}{c} E^{n+1/2}_{x,k} - E^{n-1/2}_{x,k} = \frac{\delta t}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\delta z}\left(H^{n}_{y,k-1/2} - H^{n}_{y,k+1/2}\right) \\ H^{n+1}_{y,k+1/2} - H^{n}_{y,k+1/2} = \frac{\delta t}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\delta z}\left(E^{n+1/2}_{x,k} - E^{n+1/2}_{x,k+1}\right) \end{array}\right.$$
     (2). 罗朗数 $$C= \frac{\delta t}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\delta z}$$
     (3). 阅读资料: The Finite-Difference Time-Domain method
  2. 课程笔记1

• 12.28 周三

  1. 课程总结
     (1). 阅读资料: 龚明老师ppt

• 12.30 周五

  1. 随机矩阵
     (1). 矩阵元满足高斯独立变量分布的随机矩阵根据对称性可以分为：GOE(实数矩阵元),GUE(复数矩阵元),GSE(四元数).
     (2). 本征值联合概率分布 $$P_{\beta}(\theta) = \exp [-a\sum_j \theta_j^2 - b\sum_j \theta_j]\prod_{i< j }|\theta_i - \theta_j|^{\beta} Z_\beta$$ 其中 $\beta =$ 1, GOE; 2, GUE; 3, GSE
     (3). 阅读资料: RANDOM MATRICES and the Statistical Theory of Energy Levels
  2. 随机矩阵和多体局域化
     阅读资料:
     (1). "The distribution of the ratio of consecutive level spacings in random matrix ensembles"
     (2). "Many-body localization: an introduction and selected topics"
     (3). "Non-Hermitian Many-Body Localization"
  3. 课程笔记1

• 1.4 周三

  1. 随机矩阵和布朗运动
     (1). 库伦气体模型 $$P_{\beta}(\theta) = \exp [-a\sum_j \theta_j^2 - b\sum_j \theta_j]\prod_{i< j }|\theta_i - \theta_j|^{\beta} Z_\beta = e^{-beta W(\theta_1,\dots,\theta_N)}$$ 而$W$对应的外力为 $$E_i = -\frac{\partial W(\theta)}{\partial x_i} = -x_i + \frac{1}{\beta}\sum_j \frac{1}{x_j - x_i}$$ 对应的分布函数是FP方程的稳态解 $$f \frac{\partial p}{\partial t}=\sum_j \beta^{-1} \frac{\partial^2 p}{\partial x_j^2}-\frac{\partial}{\partial x_j}\left(E_j p\right)$$
     (2). 阅读资料: RANDOM MATRICES and the Statistical Theory of Energy Levels
     (2). 阅读资料: A Brownian-Motion Model for the Eigenvalues of a Random Matrix
  2. 课程笔记1