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  • 3.28 周一

    1. 上节课图像补充：
      1D Ising model重整化图像：


      2D Ising model重整化图像，下图中Kc=√2−1,说明2D系统存在相变，低温下铁磁有序，和零温物理一致；高温下铁磁无序，和+∞温物理一致

    2. 对费曼图做高阶修正：
      =∑k1k2+m2=1(2π)d∫ddk1k2+m2=Ωd(2π)d∫∧b∧kd−1dkk2+m2
      定义Sd=Ωd(2π)d，做二阶近似得
      原式=Sd∫∧b∧kd−1k2(1−m2k2)dk=∧d−2(1−b)−m2∧d−4(1−b)
      ∝∑q1q2+m21(q+k)2+m2≃Sd∧d−4(1−b)
    3. 一阶微扰正比于相互作用耦合系数，二阶微扰一定降低基态能量
      H=H0+V,En=E0n+λVnn−λ2∑m≠n|V2mn|E0m−E0n
      故BCS理论中有效电子电子配对给出的是吸引相互作用，大致论证如下：
      固体材料中电子声子相互作用一阶项如下图片所示


      电子声子相互作用二阶项给出BCS理论中有效电子电子相互作用，为电子和电子通过传递声子配对，该相互作用是二阶微扰降低基态能量，故为吸引相互作用


      真实电子电子有效相互作用包括：库伦排斥、二阶微扰吸引项、2n+2阶微扰项。一般情况下二阶微扰吸引项大于库伦排斥项，BCS理论下电子和电子间为吸引相互作用。四阶项费曼图如下所示：


      其他应用：Yang-Mills理论、Sidney-Coleman-Wilzeck工作
    4. Rescaling:∫Dϕ⟨e−Seff,Seff=∑|k|≤b∧ϕk1ϕk2ϕk3ϕk4δ(k1+k2+k3+k4)
      Renormalization前|k|≤∧,Renormalization后|k|≤b∧。Rescaling前|k|≤b∧，Rescaling后|k|≤∧
      在动量空间中，Rescaling本质上是标度变换，将b∧的物理再标度变换到∧，相当于一根橡皮筋伸长后剪掉一部分再伸长再剪掉一部分⋅⋅⋅，参考我写的Note
      设k=bq，ϕk=Zϕq，根据∑kk22ϕ∗kϕk→1(2π)d∫|k|≤b∧dkk22ϕ∗kϕk=1(2π)dbd+2Z2∫|q|≤∧dqq22ϕ∗qϕq
      于是有bd+2Z2=1→Z=b−1−d/2，对于动量空间中未做标度变换下只积分掉高能球壳给出(参考上节课内容)m2→m2+λ2Ωd∧d−2(1−b)
      在标度变换(Rescaling)后m2∫|k|≤b∧dkϕ∗kϕk=m′2bdZ2∫|q|≤∧dqϕ∗qϕq=m′2b−2∫|q|≤∧dqϕ∗qϕq
      于是得到标度变换后质量m2=m′2b−2,或者可以这样理解：当从|k|≤∧标度变换到|k|≤b∧后m2→m2b−2
      故同时考虑Renormalization和Rescaling后，即将b∧≤|k|≤∧积分掉过后剩余部分再b∧→∧，后质量变换公式：
      m21(m20,b)=b−2[m20+λ2Ωd∧d−2(1−b)]
      类似的，相互作用系数λ经过Renormalization和Rescaling后，相互作用系数变为
      λ1(λ0,b)=bd−4[λ−Bλ2Sd∧d−4(1−b)]
      β−function：取b=1−dl，定义β(λ)=dλdl=Bλ2∧d−4+(d−4)λ
      其中重整化流如下图所示。而λ⟨0是非物理的部分，因为一阶微扰下能量趋近于负无穷，相当于每多一个粒子能量越来越趋近于负无穷，便不存在基态了。或者可以这样理解：m2ϕ2(x)+λϕ4(x)画出能量随着⟨ϕ⟩的变化曲线，发现不存在能量最低点


      重整化流绘制方法：m20→m21=m21(m20,b)→m22=m22(m21,b)→⋅⋅⋅,λ0→λ1=λ1(λ0,b)→λ2=λ2(λ1,b)→⋅⋅⋅
      微扰到二阶项后重整化流构型如下图所示：


      λ>0，在m2=0处有相变；当m2⟨0时候，基态⟨ϕ⟩≠0，当m2⟩0时，基态⟨ϕ⟩=0，发生自发对称破缺相变
    5. 作业3：用C语言或Matlab或Mathematica或Python等语言绘制m2-λ重整化流，自己选参数 :
      图像大致长相：Shankar书245页Fig13.4，Shankar书238页图像，但是Shankar书重整化公式用的是 S=∫∧0ϕ∗(k)k2ϕ(k)ddk(2π)d+r0∫∧0ϕ∗(k)ϕ(k)ddk(2π)d+u04∫|k|<∧ϕ∗(−k1−k2−k3)ϕ∗(k3)ϕ(k2)ϕ(k1)∏3i=1ddki(2π)d=S0+SI
      请在做题时采用Peskin公式L=12(∂ϕ)2−m22ϕ2−λ4!ϕ4，并给出Wilson-Fisher Point的理论值和模拟值
      请绘制出d>4,d<4,d=4的三张重整化流出来，横坐标纵坐标为m2,λ，需要取多个初始值画出多条线看大致走势，逐渐逼近边界但不需要画出边界(因为实际公式是近似的)，并求出Wilson Fixed Point值，自己画图模拟值和理论值是否有偏差(因为公式本身是近似，所以可能有偏差，请说明以下偏离了多少)
      参考方法：shankar13-14章，kardar,chap5，重整化流大致长相：kardar,chap5,Fig5.5
    6. 作业4：题目二选一
      学生笔记
      学生笔记2

  • 3.31 周四

    1. 本节内容参考：
      1. Lectures on bosonization,C.L.Kane
      2. Fermions in one-dimension:Tomonaga-Luttinger Liquid,Sachdev
      3. shankar17-19章
      4. An introduction to bosonization,senechal
      5. Cazalilla,bosonization one-dimensional cold atom gases
      6. Introduction to one dimensional physics and luttinger liquid
      7. 诺贝尔奖Haldane,1979-1981年间论文，包括：
      8. 论文1
      9. 论文2
    2. 区分概念：Regularization正规化，Renormalization重整化，RenormalizationGroup重整化群，Rescaling重新标度
      RenormalizationGroup典型粒子为Ising Model对偶数格点求迹，对Wilson积分掉动量空间的高能区域，Renormalization最典型粒子为2Dδ(x)势取发散截断求本正能量
      重整化群一般为半群，以Ising Model对偶数格点求迹为例，Kn+1=R(Kn)，半群是不可逆的
      Rescaling为标度变换而已，在标度变换下k→bk(b→1−),λ→λbd−4,m2→m2b−2，如下图所示

    3. 观测与能标的关系：
      正规化-如何消除求和发散？回顾黎曼ζ函数：1+12+13+⋅⋅⋅=−112，参考卡西米尔力，苗兵
      观测到电荷e∗、质量m2、耦合系数λ不是真实值，而是低能有效值
      相变能标越高临界指数越接近真实结果

    4. Bosonization初步：简介对偶
      实数空间和动量空间就是对偶
      BKT相变和1D量子相变(Sine-Gordon Model)就是对偶。BKT相变见shankar18.1节，1D量子相变见shankar18.4节，作用量为
      HBKT=12[(∂xϕ)2+(∂yϕ)2]+Jcosϕ
      LSG=12[(∂tϕ)2−(∂xϕ)2]+Acosϕ
      D维量子体系可与D+1维经典体系对偶。但是这里ϕ是相位因子，而不是ϕ4理论的振幅因子
      Sidney Coleman严格证明了Sine-Gordon Model(shankar18.4节)严格和Thirring Model(shankar18.1.2节)对偶
      Application:Lots of physical systems(cold atom,1D superconductor,Hall Effect,et al)
      d≤3D在空间中交换两个粒子有费米子/玻色子，d=2D有任意子，d=1D有任意子，但是无法做交换做编制，只会有密度和相位改变，不同统计都对应着玻色激发
    5. 额外补充：Mermin-Wagner Theorem：1D、2D系统无长程序，3D系统有长程序，也就是说1D系统在考虑声子激发后不存在完美晶体，1D、2D系统在考虑海森堡模型磁激发后不存在完美晶体
      1D声子系统：N=∑q1eβH(q)−1∼∫dq1eβvq−1，是发散的
      2D磁性系统：Heisenberg Equation,H=−J∑⟨ij⟩→Si⋅→Sj=−J∑⟨ij⟩cosθij，类似固体物理中完全有序晶格基态中激发声子，在基态上激发磁子， 在小角近似下H=∫d2xJ2(▽θ)2，能量激发曲线为ϵ(q)=vq2,N=∑q1eβϵ(q)−1∼qdq1eβvq2−1是发散的
    6. 从Kane Note出发推导玻色化，参考：Lectures on bosonization,C.L.Kane
      1D chain中声子激发：kF=±π附近出现激发，ω=v|q|，q=nπ/L,ωq=πvLn→H=vπL∑n≤1nb†nbn
      在推导此哈密顿量中隐含了一种对偶思想，费米子算符本来是反对易关系的ψ(r)，我们用满足对易关系的Bose型算符θi(ri=r0i+aπθi)来代替费米算符，结果该哈密顿量和声波、光波对偶，这是玻色化思想
      Fermion体系：H=∫ψ†(−ℏ22md2dx2−μ)ψ,H=∑k(ℏ2k22m−μ)ψ†kψk
      我们只需要得到kF附近等效行为，参考：Shankar书Eq18.80-Eq18.83，推导如下：只取费米面附近小量∧截断
      ψ(j)=∫π−πψ(k)eikjdk2π≃∫∧−∧ψ(KF+k)eiKFjeikjdk2π+∫∧−∧ψ(−KF+k)e−iKFjeikjdk2π
      定义ψ(KF+k)=ψ+(k),ψ(−KF+k)=ψ−(k)，有
      ψ(j)=∫∧−∧ψ+(k)eiKFjeikjdk2π+∫∧−∧ψ−(k)e−iKFjeikjdk2π
      做变换∫∧∧→∫π−π，并傅里叶变换得
      ψ(j)=√a[eiKFjψ+(x=aj)+e−iKFjψ−(x=aj)]=eiKFxψR(x)+e−iKFxψL(x)
      由于ψR/L(x)=∫∧−∧ψ(±KF+k)eikxdk2π，故ψR/L由一系列k较低波包构成，是慢变场，即波函数随在x方向上振动较慢，e±iKFx是快变场，波函数在x方向上振动较快
      求解哈密顿量H=∫dx[e−iKFxψ†R+eiKFxψ†L](−ℏ22md2dx2−μ)[eiKFxψR+e−iKFxψL]
      需要用到：ℏ22mk2F=μ，以及忽略慢变场的二阶偏导d2dx2ψR/L
      并同时用到引理：∫dx慢变包络⋅正弦型快变波包=0，考察下图(∫dxf(x)=∫dxe−x2cos(100x))即可：


      故最终结果为H=dxℏvF∫ψ†R(−iddx)ψRdx−vFψ†L(−iddx)ψL
      下列引自Lectures on bosonization,C.L.Kane：
      这种形式，1D在费米面附近的低能低动量长程激发，为Luttinger model
      对称性：满足手征对称性Γ†HΓ=−H，在固体物理两能带模型中手征对称性形式为Γ†HkΓ=−Hk
      除了total charge NR+NL外，还有个手征守恒荷NR−NL
    7. 费米子和玻色子在1D时可严格对偶，具体推导见Fermions in one-dimension:Tomonaga-Luttinger Liquid,Sachdev
    8. 作业5：推导Fermions in one-dimension:Tomonaga-Luttinger Liquid,Sachdev文献中Eq1-Eq11，并接着Eq1-Eq11式子往下推导彻底证明出费米玻色对偶关系ZF=ZB 要求：能尽可能详细的用自己的话阐明Eq1-Eq11每一个公式的物理意义，按照每一个物理意义给分，之后助教会评讲的
      学生笔记
      学生笔记2

  • 4.2 周六

    1. 本节内容参考：
      1. jordan-wigner and bosonization
      2. Kapil Adhikari-Bosonization lecture
      3. shankar17-19章
    2. jordan-wigner transformation：In 1927,Jordan and Wigner established a mapping between fermion and spin-1/2 σ operators
      上结论：σ+i=exp[iπ∑i−1j=−∞c†jcj]c†i=Uc†i，其中exp[iπ∑i−1j=−∞c†jcj]项表示x点的粒子与−∞∼x−1的粒子有关，这是弦的性质
      证明上面式子，需要证明两个公式，第一个公式：σ−iσ+i+σ+iσ−i=I，这个利用eABe−A=B+[A,B]+12[A,[A,B]]+⋅⋅⋅很好证明
      还得证明的式子是σ†iσ†i′，即U(i)c†iU(i′)c†i′=U(i′)c†i′U(i)c†i
      我们假设i′⟨i，有以下公式：
      U(i)U(i′)=U(i′)U(i),U(i)ci=ciU(i),U(i′)c†i=c†iU(i′),c†i′U(i)=−U(i)c†i′
      故有c†iU(i)c†i′U(i′)=c†i′U(i′)c†iU(i)=c†i′c†iU(i′)U(i)=−c†ic†i′U(i′)U(i)=−c†ic†i′U(i)U(i′)=c†iU(i)c†i′U(i′)
      类似的方法可证明费米玻色变换f†(x)=exp[±iπ∫x−∞n(x′)dx′]b†(x)，以及任意子与玻色子变换，任意子对易关系为eiθψiψj−ψjψi=0，故任意子玻色子变换为ψ†i=exp[iθ∑i−1u=1b†ubu]b†i
    3. 1D XX model：少数严格可解的Model，H=−J∑i(σxiσxi+1+σyiσyi+1+hσzi)，作Jordan-Wigner变换求解得
      σ+i=exp[∑i−1j=0iπc†jcj]c†i,σ+i的物理意义：类似量子光学中的原子从基态激发到了激发态σ+i=σx+iσy=|e⟩⟩g|，类似的σ−i=|g⟩⟨e|=σx−iσy,σz=σ+σ−−σ−σ+
      σzi=2c†ici−1
      H=−J2∑j(c†jcj+1+c†j+1cj)+∑jh(2c†jcj−1)=−J∑kcoskc†kck+h∑k(2c†kck−1)
      其中磁场项起到了调节Fermi面的作用，在费米面附近做泰勒展开得ϵ=±v|k|
      加相互作用得到XXZ model，H=−J∑i(σxiσxi+1+σyiσyi+1−△σziσzi+1)，可用Bethe ansatz严格求解，这里不展开论述
      类似的道理，对XXZ model做Jordan-Wigner变换后H=−J2(c†jcj+1+c†j+1cj)+△∑j(nj−12)(nj+1−12)
    4. 什么样的相互作用能打开Gap?
      不可能是∫ψ†(x)ψ†(x)dx，因为等于0
      联系超导配对：单分量对应p波配对能打开Gap
      试着构造H=12∫dxψ†(x)(−i∂∂x)ψ†(x)，其中ψ=1√2(eikFxψR+e−ikFxψL)，根据上节课描述的快变慢变等内容，有
      H=kF2(ψ†Rψ†L−ψ†Lψ†R)=kFψ†Rψ†L
      第二种能打开Gap形式为对自由电子气的晶格势周期微扰，形式为[−d2dx2−μ+Acos(2kFx)]ψ(x)=Eψ(x)，能带大致如下所示


      据上面公式可推出费米面附近电子发生散射能导致Gap，证明如下：
      ∫dxAcosxψ†ψ=∫dxAcos(2kFx)[e−ikFxψ†R+eikFxψ†L][eikFxψR+e−ikFxψL]
      上式中存在此项:12∫dxAcos(2kFx)[ψ†RψR+ψ†LψL]，其中cosx是快变项，ψL/R是慢变项，根据上节课论述∫dx⋅快变项⋅慢变项=0，故此项值为0
      剩下两项为A2∫dxcos(2kFx)[e−2ikFxψ†RψL+e2ikFxψ†LψR]，再次应用上节课讲的引理∫dx⋅快变项⋅慢变项=0得
      ∫Acos(2kFx)ψ†ψdx=A4∫[ψ†LψR+ψ†RψL]dx HF=(vk00−vk)+(0gg0) 左边矩阵表示没有散射时候费米面附近左右两侧各自独立哈密顿量，右边矩阵为引入散射项，能量本征值E=√v2k2+g2，故散射一定打开Gap
      可以用外场激发某些散射，从而导致相变。Gap打开↔导致相变
    5. Interacting Boson Model，原理参考文小刚书60-63页，在BEC凝聚体中加入相互作用后波函数变化为φ=φ0+δφ，其中φ0为凝聚体，δφ为小激发
      今天讲解新处理方法，玻色算符表示为b=eiθ√n，其中对易关系为[n(x),θ(y)]=iδ(x−y)，具体推导见郭光灿《量子光学》1.8节，推至[N,cosϕ]=−isinϕ,[N,sinϕ]=icosϕ这部分过后进行泰勒展开可得[N,ϕ]=i
      我们将在nandθ表象下处理，其中n=n0+ρ，其中n0为BEC凝聚体大的密度，等价为大的湖，ρ为小的激发，等价为湖表面的振动


      Interacting Boson体系的哈密顿量为H=∫dxℏ22m(ddxψ†)(ddxψ)+g∫(ψ†ψ)2dx
      考虑n=n0+ρ,ρ⟨⟨n0，哈密顿量变为
      H=∫dxℏ2n02m(∂xθ)2+(∂xρ)28mn0+∫g(n0+ρ)2dx=const+∫dxℏ2n02m(∂xθ)2+∫dx(∂xρ)28mn0+g∫dxρ2
      进行傅里叶变换ρ(x)=1√L∑qeiq⋅xρq可得
      H=ℏ2n02m∑qq2θqθ−q+∑qℏ28mn0q2ρqρ−q+g∑qρqρ−q=∑q⟩0ℏ2n0q2mθ∗qθq+ℏ24mn0q2ρqρ−q+2gρ∗qρq，其中[ρq,θ∗q]=i
      类似谐振子[x,p]=iℏ,H=p22m+m2ω2x2，我们可以得到此的激发频率为ωp=√p22m(p22m+2gρ0)
      可以看到，用ρ,θ共轭表象比用ψ,ψ†共轭表象更能处理相互作用，还能处理强相互作用
      关联函数具体求法(纯粹是我个人补充，不要求掌握)，参考jordan-wigner and bosonization第6页和Lectures on bosonization,C.L.Kane
      ⟨0|ψ†(x)ψ(x′)⟩∼ρ0⟨0|e−iθ(x)eiθ(x′)|0⟩
      根据前面论述的累积量展开公式，保留到二阶项得⟨0|ψ†(x)ψ(x′)|0⟩∼ρ0exp[−12⟨0|[θ(x)−θ(x′)]|0⟩]
      只考虑低能激发，对玻色子体系ϵp=vp，则序参量为∫dq1−cosq|x−x′|eβvq−1∼1|x−x′|(|x−x′|→+∞)，故1D相互作用体系无长程序
      1D费米子激发声子体系：后续再慢慢讨论

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