计算物理(2019/春季)

主讲老师：龚明，量子信息实验室514

助教：许宏泽，量子信息实验室519，xhz1995@mail.ustc.edu.cn，15905690778

上课时间：星期二8-10节，星期五1-2节（1-16周）

上课地点：5103

公告：有同学建议建一个群供大家讨论，QQ群号774501908，大家自行加入。

参考书
1. 《计算物理学》, Hoffmann
2. 《计算物理学导论》，Tao Pang
3. 《计算物理学》，马文淦
4. 计算物理-丁泽军
5. 《数值计算方法与算法》，张韵华

考核
1. 考试：50%，开卷（5选4）
2. 课题报告：20% (格式8%，内容12%)
3. 平时作业：30% (作业每两周交一次)
  作业1-16答案参考
  作业17-29答案参考
  第七次作业35-40，6月24日之前交。以往没有交作业的在考试之前补交上。纸质电子版都可以，内容包括题目代码结果，有证明之类的写必要推导过程。代码粘贴到word或pdf与结果放一起，不要只交.m/.py/.nb等源代码。电子版发到邮箱xhz1995@mail.ustc.edu.cn，主题“计算物理-姓名-学号”，以免漏掉。若交邮箱，收到后我会回复大家，没有收到回复的联系我。大家尽量按时交，晚交的酌情扣分。
4. 优秀作业参考
  作业1-6
  作业7-12
  作业13-18
  作业19-24
  作业25-29
  作业30-34
  作业35-40

考试时间统计
1. 统计表大家把不能参加考试的时间或者建议考试的时间填一下！
2. 考试时间6月25日上午8-11点，地点5106。

课题报告(持续更新中)
1. 课题报告要求(参看以往拓扑课格式，本课程计算为主)
2. 参考论文
3. 论文选择（确定选题后，大家把信息填到表格里）
4. 报告在7月30日之前交。电子版发邮箱，纸质版交到量子信息实验室514或519.

2.26周二
1. 主要内容：插值方法
  (1) 过$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$两点插值: \[y=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}y_2 + \frac{x-x_2}{x_1-x_2}y_1 \]
  (2) 过$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)$ N点插值: \[y=\sum_i^N l_i(x) y_i, \quad l_i(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_N)}{(x_i-x_1)(x_i-x_2)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_N)}\]
  (3) $l_i(x)$性质：
  a. $l_i(x_j) = \delta_{ij}$
  b. $l_i(x)$只和$x_i$有关与$y_i$无关，是$x$的$N-1$阶函数
  c. $l(x)=\sum_i^N l_i(x) = 1$
  (4) 误差 \[ R_N(x) = \frac{f^N(\xi)}{N!}(x-x_1)\cdots(x-x_N)\]
2. 作业1：已知曲线过四个点（红色标记），确定中间两点a,b之间灰色区域面积。

3.1周五
1. 导数问题
  (1) 变为积分，进行插值 \[y^{\prime} = f(x) \quad \rightarrow \quad y = \int_{x_0}^{x}f(x^{\prime})dx^{\prime} + y_0 \] (2) 变为迭代方程 \[y^{\prime} = f(x) \equiv \frac{y(x)-y(x-h)}{h} \quad\rightarrow\quad y(x_n) = y(x_{n-1}) + hf(x_{n-1}) \] \[y^{\prime\prime} = f(x) \equiv \frac{y(x+h)+y(x-h)-2y(x)}{h^2} \quad\rightarrow\quad y(x_{n+1}) + y(x_{n-1}) -2y(x_n) = h^2f(x_{n}) \] (3) $y^{\prime} = f(x,y)$显式，隐式法（Picard迭代法）
2. 解方程问题
  $f(x) = 0$变为迭代方程
  Example: $ax^2+bx+c=0 \quad\rightarrow\quad x_n = -\frac{a}{b}x_{n-1}^2 - \frac{c}{b}$
3. ${\begin{matrix} 计算机只能做离散计算。 \to 离散化 \to 插值求面积 \\ 计算机不能求导数，只能用Taylor展开。 \\ 计算机不能求非线性。 \to 线性化 \to 迭代 \end{matrix}$
4. 作业2：求解方程$AX^2+BX+C=0$，其中$A,B,C,X$均为矩阵。取$A,B,C$为任意的$3\times3$矩阵，找到满足方程的解的$X$。
  作业3：质量分别为$m$和$M$的两球通过劲度系数为$k$的弹簧连接，弹簧自然状态长为$d_0$，初始时刻系统位置、弹簧长度任意选取，若沿$x$轴水平抛出，求解之后系统的运动情况，如下图示意。

3.5周二
1. 主要内容
  (1) Forward算法 \[ y_{n+1} = y_n + hf(x_n,y_n) \] (2) Backward算法 \[ y_{n+1} = y_n + hf(x_{n+1},y_{n+1}) \] (3) 预估 \[y_{n+1} = y_n \frac{h}{2} [f(x_n,y_n) + f(x_{n+1},\overline{y}_{n+1})] ,\quad \overline{y}_{n+1} = y_n+h f(x_n,y_n)\] \[\Rightarrow \quad y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} [f(x_n,y_n) + f(x_n+h,y_n+h f(x_n,y_n))] \] (4) Runge-Kutta算法不用求导数，减少求$f(x,y)$的次数。
  RK23，2阶，误差$o(h^3)$；RK45，4阶，误差$o(h^5)$。
  (5) 矩阵
  ${\begin{matrix} 方程 AX = b, 求根 {\begin{matrix} QR分解 A = QR, {QQ}^{†} = 1, R为上三角矩阵 \\ Gauss消元法，复杂度 o (N^{3}) \end{matrix} \\ 本征值 {\begin{matrix} 方阵 {\begin{matrix} A = A^{†} : {Aψ}_{i} = λ_{i} ψ_{i}, λ_{i} \in ℝ; U^{†} ΛU = λ 一定存在; A = A^{*} \Rightarrow U^{†} = U^{T} \\ A \neq A^{†} : 可能存在 λ_{i} \in ℂ, 如果存在则 P^{- 1} AP = λ \end{matrix} \\ 非方阵 : 奇异值 (SVD) 分解 \end{matrix} \end{matrix}$
  附：Mathematica代码
2. 作业4：RK45算法精度分析
  作业5： Baker's map
  $S (x, y) = {\begin{matrix} (2 x, y / 2), 0 \leq x < 1 / 2 \\ (2 - 2 x, 1 - y / 2), 1 / 2 \leq x < 1 \end{matrix}$
  产生随机序列，画出点图。
  作业6： Lorenz Attractor
  ${\begin{matrix} x^{'} = - σ (x - y) \\ y^{'} = x (ρ - z) - y \\ z^{'} = xy - βz \end{matrix}$
  自选参数，画出系统运动轨迹。

3.8周五
1. 量子化
  (1) 一次量子化 $[x,p] = i\hbar$
  (2) 二次量子化 Dirac(1927)
  $哈密顿正则方程 {\begin{matrix} \frac{dp}{dt} = - \frac{\partial H}{\partial q} \\ \frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p} \end{matrix} \Rightarrow 泊松括号形式 {\begin{matrix} \frac{dp}{dt} = {p, H} \\ \frac{dq}{dt} = {q, H} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} {p_{i}, p_{j}} = {q_{i}, q_{j}} = 0 \\ {q_{i}, p_{j}} = δ_{ij} \end{matrix}$
  ${\begin{matrix} i \frac{\partial Ψ}{\partial t} = HΨ \\ Ψ = \sum_{n} c_{n} ❘ ϕ_{n} 〉 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} E = 〈 Ψ | H | Ψ 〉 = \sum_{nm} t_{nm} ({c_{n}}^{*}) c_{m} \\ \sum_{n} \frac{i \partial}{\partial t} c_{n} = \sum_{m} c_{m} 〈 ϕ_{n} | H | ϕ_{m} 〉 \equiv c_{m} t_{nm} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} i \frac{\partial}{\partial t} c_{n} = \frac{\partial E}{\partial ({c_{n}}^{*})} \\ i \frac{\partial}{\partial t} ({c_{n}}^{*}) = - \frac{\partial E}{\partial c_{n}} \end{matrix}$
  $\{c_n,c_m\} = \{c_n^*,c_m^*\}=0, \{c_n,c_m^*\}=\delta_{nm} $ 等价描述 $\{\Psi,\Psi\} = \{\Psi^*,\Psi^*\} = 0, \{\Psi(x),\Psi^*(y)\} = \delta(x-y) $
  $|c_n|^2 = c_n^*c_n$,占据数 $\Rightarrow$ $\widehat{n} = c_n^{\dagger}c_n$,粒子数。$ c_n^{\dagger},c_n $产生湮灭算子
2. 附：Mathematica代码-矩阵操作

3.12周二
1. 二次量子化refbook
2. 随机矩阵
  (1).三类高斯系综:GOE,GUE,GSE， (2).联合概率密度函数， (3).半圆率， (4).Wigner假设-能级间距分布， (5).能级间距比分布.
  附： Matlab代码，PPT，参考书，参考文献
3. Bloch定理 $\Psi_k(x+R) = \Psi_k(x)e^{ikR}, \Psi_k(x) = u_k(x)e^{ikx}, u_k(x+R)=u_k(x)$
4. 扩展态$\leftrightarrow$局域态 $\Psi(x) = \sum_n C_n W_n(x)$, 其中$W_n(x)$为Wannier函数，局域态。
5. 一维Bose-Hubbard model
  $H = H_0 + V$, $H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \eta \cos(kx)$, 相互作用项$V=g\delta(x)$
  近似：$ H_0 = -t\sum_{nm}(C_n^\dagger C_{n+1} + h.c.) -\mu C_n^\dagger C_n $, $V = UC_n^\dagger C_n^\dagger C_nC_n$
  $H_0$对角化：$H_0 = \sum_k (-2t\cos k-\mu) C_k^\dagger C_k$
6. 作业7计算GOE,GUE,GSE (1).能级间距比分布$P(r)$， (2).半圆率， (3).换不同随机数计算，如均匀、正态分布等。矩阵大小可以选择100*100,平均1000次。
7. 作业8计算四个粒子$\langle x_1 x_2x_3x_4|\partial x_1 | x_1 x_2x_3x_4 \rangle $。
8. 作业9相互作用项$\int dxdy \Psi^\dagger (x)\Psi^\dagger (y) g \delta(x-y) \Psi(y)\Psi(x) = g C^\dagger_{n_1} C^\dagger_{n_2} C_{n_3} C_{n_4}\int W^*_{n_1}W^*_{n_2}W_{n_3}W_{n_4}dx$，若$C_n$为费米子，做最低阶近似。

3.19周二
1. Mathieu函数附:Mathematica代码
2. 　Tight-Binding model real space与ｋspace的对应变换：
  (1). $-t\sum_n c_n^\dagger c_{n+1}+h.c.$ $ \leftrightarrow $ $-2t\sum_k c_k^\dagger c_{k}$ $\leftrightarrow$ $\sum_k (-2t+tk^2) c_k^\dagger c_k$, for $k \rightarrow 0$
  (2). $\mu\sum_n c_n^\dagger c_{n} $ $ \leftrightarrow $ $\mu\sum_k c_k^\dagger c_{k}$
  (3). $h \sum_n (c_{n \uparrow}^\dagger c_{n\uparrow} - c_{n\downarrow}^\dagger c_{n\downarrow})$ $\leftrightarrow$ $h \sum_k (c_{k \uparrow}^\dagger c_{k\uparrow} - c_{k\downarrow}^\dagger c_{k\downarrow})$
  (4). $h \sum_n (c_{n \uparrow}^\dagger c_{n\downarrow} + h.c.)$ $\leftrightarrow$ $h \sum_k (c_{k \uparrow}^\dagger c_{k\downarrow} + h.c.)$
  (5). $ \sum_{n} ( c_{n\uparrow}^\dagger c_{n+1\downarrow} + h.c. ) $ $\leftrightarrow$ $ \sum_k (e^{ik}c_{k\uparrow}^{\dagger} c_{k\downarrow} + e^{-ik}c_{k\downarrow}^{\dagger} c_{k\uparrow} )$
  (6). $\lambda \sum_{n} ( c_{n\downarrow}^\dagger c_{n+1\uparrow} + h.c. )$ $\leftrightarrow$ $ \sum_k (\lambda e^{ik}c_{k\downarrow}^{\dagger} c_{k\uparrow} + \lambda^* e^{-ik}c_{k\uparrow}^{\dagger} c_{k\downarrow} )$
  For $\lambda=1$, (5)+(6) $\leftrightarrow$ $ \sum_k (2\cos k c_{k\uparrow}^{\dagger} c_{k\downarrow} +h.c.)$
  For $\lambda=i$, (5)+(6) $\leftrightarrow$ $ \sum_k (2i\sin k c_{k\uparrow}^{\dagger} c_{k\downarrow} +h.c.)$
3. 定义Unitcell: $\overrightarrow{R}$, Unitcell里的原子或轨道: $\overrightarrow{\tau_\alpha}$
  $ H=-\sum_{RR^\prime , \alpha\alpha^\prime} t_{RR^\prime}^{\alpha\alpha^\prime} c_{R\alpha}^{\dagger} c_{R^\prime\alpha^\prime}$ $\leftrightarrow$ $ \sum_{k\alpha\alpha^\prime} c_{k\alpha}^{\dagger} c_{k\alpha^\prime} t_{k}^{\alpha\alpha^\prime} $
  其中: $ t_{k}^{\alpha\alpha^\prime} =\sum_Q e^{-ikQ}t^{\alpha\alpha^\prime}(Q)$
4. 三带model(三对角矩阵，复杂度$o(N)$),对应TB model: $ H =\sum_n^N tc_n^\dagger c_{n+1} +\sum_n^N\mu c_n^\dagger c_n$
5. 作业10 Mathematica里Mathieu函数．(1) 画能带(变化q的大小)，(2) 画出Bloch波函数，(3) 计算Wannier函数(Mathematica编程计算)
6. 作业11
  (1) 图a的k空间$H_k$表达式；变化参数问什么时候能带从$m^*>0$变为$m^*<0$
  (2) 图b的k空间$H_k$表达式；画出能带图．其中$-t$近邻跃迁，$-t^\prime$次近邻跃迁　
  (3) 图c的Graphene model的k空间$H_k$表达式；画出能带图；什么时候出现Dirac点．其中$-t$近邻跃迁，$-t^\prime$次近邻跃迁　
  (4) 将以下两个动量空间的哈密顿量变到实空间，并在正方形格子中画出Tight-Binding model
  $H_1 = \frac{k_x^2+k_y^2}{2m} + \lambda (k_x\sigma_x-k_y\sigma_y) -\mu $　
  $H_2 = \frac{k_x^2+k_y^2}{2m} + \lambda (k_x\sigma_y-k_y\sigma_x) -\mu $
  (5) 写出下面哈密顿量的Tight-Binding model
  $H = (\begin{matrix} \begin{matrix} k^{2} - μ & α (k_{x} + {ik}_{y}) \end{matrix} \\ \begin{matrix} α (k_{x} - {ik}_{y}) & μ - k^{2} \end{matrix} \end{matrix})$

3.22周五
1. 三对角矩阵
  $(\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} μ & t \end{matrix} & 0 \end{matrix} & ⋰ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} t & \begin{matrix} ⋱ & ⋱ \end{matrix} \end{matrix} & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & \begin{matrix} ⋱ & ⋱ \end{matrix} \end{matrix} & t \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} ⋰ & 0 \end{matrix} & t \end{matrix} & μ \end{matrix} \end{matrix})$
  对应TB model: $ H =\sum_n^L tc_n^\dagger c_{n+1} +\sum_n^L\mu c_n^\dagger c_n$
  两种方法求解：
  (1) 设$\psi = \sum_i^L \alpha_i c_i^\dagger |0 \rangle$; 边界条件$\alpha_0=0,\alpha_{L+1} = 0$ $\Rightarrow$ $ t(\alpha_{j+1}+\alpha_{j-1}) +\mu \alpha_j = \lambda\alpha_j $
  (2) 令$Q_L = det(H_L)$ $\Rightarrow$ $Q_L = (\mu-\lambda)Q_{L-1} - t^2 Q_{L-2} $
  解为: $ \lambda = 2 t \cos(\theta) +\mu $, $\theta = \frac{2\pi q}{L+1}$
2. 差分方法：$ \frac{df^2}{dx^2} = \frac{f_{i+1} +f_{i-1} -2f_i }{(\delta x)^2} $ $\Rightarrow$
  $\frac{1}{(\delta x)^2}$ $(\begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} - 2 & 1 \end{matrix} & 0 \end{matrix} & ⋰ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 1 & \begin{matrix} ⋱ & ⋱ \end{matrix} \end{matrix} & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & \begin{matrix} ⋱ & ⋱ \end{matrix} \end{matrix} & 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} ⋰ & 0 \end{matrix} & 1 \end{matrix} & - 2 \end{matrix} \end{matrix})$
3. 二次型哈密顿量
  $H = \sum_{ij} t_{ij} c_i^\dagger c_j + \sum_{ij} \vartriangle_{ij} c_j^\dagger c_j^\dagger + h.c. $ $ \Leftrightarrow $
  $ψ^{†} (\begin{matrix} \begin{matrix} t & △ \end{matrix} \\ \begin{matrix} △^{T} & \pm t^{T} \end{matrix} \end{matrix}) ψ$ , $\psi^\dagger = (c_1^\dagger,\cdots,c_L^\dagger, c_1,\cdots,c_L) $
4. 作业12 利用差分方法求解下列哈密顿量
  $H = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 $
  $H = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 +\alpha x^4$

3.26周二
1. 正则
  (1) 经典力学: $X=(q_1,\cdots,q_N,p_1,\cdots,p_N)$ $ \Leftrightarrow $ $ \{ X_i,X_j\} = \Sigma_{ij} $
  $\sum = (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 & I \end{matrix} \\ \begin{matrix} - I & 0 \end{matrix} \end{matrix})$
  若存在$ U \Sigma U^T = \Sigma$ (辛几何) $\Rightarrow $ $[det(U)]^2=1$，则$Y=UX$也是正则的。
  (2) 量子力学：$X^\dagger = (c_1^\dagger,\cdots,c_N^\dagger,c_1,\cdots,c_N)$ $ \Leftrightarrow $ $ \{ X_i,X_j^\dagger\} = \Sigma_{ij} $
  $\sum = (\begin{matrix} \begin{matrix} I & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & \pm I \end{matrix} \end{matrix})$ ， $"-"$表示Bose子，$"+"$表示Fermi子。
  对于Fermi子，若存在$ U \Sigma U^\dagger = \Sigma$ $ \Leftrightarrow $ $UU^\dagger=I$，则$Y=UX$也是正则的。
  对于Bose子，若存在$ U \sigma_z U^\dagger = \sigma_z$，则$Y=UX$也是正则的。特别的若$U$可以写为块对角形式：
  $U = (\begin{matrix} \begin{matrix} V & 0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & W \end{matrix} \end{matrix})$ ，可以得到$UU^\dagger=I$
2. 经典力学的震动问题：
  (1) $H = A_{ij}p_i p_j + B_{ij} q_i q_j +c_{ij} p_i q_j$ 变为Bose子：
  ${\begin{matrix} p_{i} = i (a_{i} - {a_{i}}^{†}) / \sqrt{2} \\ q_{i} = (a_{i} + {a_{i}}^{†}) / \sqrt{2} \end{matrix}$ 带入上式得：
  $ \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} = \sum_\beta [-(B_{i\beta} + B_{\beta i})q_\beta + C_{\beta i}p_\beta] $
  $ \dot{q}_i = -\frac{\partial H}{\partial p_i} = \sum_\beta [-(A_{i\beta} + A_{\beta i})p_\beta + C_{i \beta}q_\beta] $
  $\Rightarrow$ $X = (\begin{matrix} q \\ p \end{matrix})$ $\Rightarrow$ $\dot{X} = DX$ $\Rightarrow$ 解为 $\Rightarrow$ $X \sim \sum_i X_i e^{i \omega_i t}$ $\Rightarrow$ $i\omega X = DX$
  (2) 经典力学频率 $\Leftrightarrow$ 量子力学本征值。
  (3) 经典力学的非稳定性 $\Leftrightarrow$ Bose子的复数解 $\Leftrightarrow$ 非厄米矩阵
3. Hilbert空间与多体作用，多粒子(全同)。例如3个粒子，$L$个格点：
  (1) Bose子空间维度：$C_L^3 + 2C_L^2 + C_L$
  (2) Fermi子空间维度：$C_L^3$
4. 作业13 三体系统在平衡位置附近的震动问题：$H = p_1^2+p_2^2+p_3^2 + \omega^2(x_1^2+x_2^2+x_3^2) + \alpha(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ (1). 求系统的震动过程以及频率； (2). 转化为Bose子模型再求解； (3). 证明(1)与(2)等价（相同的一套代数）。
5. 作业14 多体系统求解： (1). 3个格点，2个粒子的Bose-Hubbard model: $H = -t\sum_{ij} (b_i^\dagger b_j +h.c.) + \frac{U}{2} \sum_i n_i (n_i-1) $，计算能谱；
  (2). 4个格点，2个粒子的Fermi-Hubbard model: $H = -t\sum_{ij} (c_i^\dagger c_j +h.c.) + U \sum_{ij} n_i n_j $，计算能谱。

3.29周五
1. Floquent定理：$\frac{\partial f}{\partial t} = A(t) f, \quad A(t) = A(t+T) $
  解：$f=U(t)f_0 , U = pe^{Qt}, p(t+T) = p(t)$
2. Bloch定理：$ [-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} A\cos(x) ] \psi(x) = \lambda \psi(x) $ 求解步骤：
  (1). 找周期$R$, $H(x+R) = H(R)$ $\Rightarrow$ $\cos(x+R) = \cos(x)$ $\Rightarrow$ $R=2\pi$
  (2). $|kR|\leq \pi$ \Rightarrow $|k|\leq 1/2$
  (3). 写出Bloch波函数：$U_k(x+R) = U_k(x) $ $\Rightarrow$ $ U_k(x)=\sum_G c_k (G) e^{iGx} $ $\Rightarrow$ $G=n\in(-\infty,\infty)$
  (4). $\psi_k(x) = \sum_G c_k(G)e^{i(G+k)x} $,代入薛定谔方程：比较系数得
  $-\frac{\hbar^2}{2m} (n+k)^2 c_k(n) +\frac{A}{2}c_k(n-1) +\frac{1}{2} c_k(n+1) = \lambda c_k(n) $
  (5). 写成矩阵形式，阶段大小$N_c$。
  物理图像：与$H\sum_{ij} t_{ij}c_i^\dagger c_j +h.c. +\mu_i c_i^\dagger c_i$联系， $\Rightarrow$ $t_{ij} = A/2, \mu_i = \frac{\hbar^2}{2m}(i+k)^2 $
  其他结论：
  (1). $A\cos(x) \rightarrow A/2(e^{ix} + e^{-ix}) $
  (2). $A\sin(x) \rightarrow -iA/2(e^{ix} - e^{-ix}) $
  (3). $A_2\cos(2x) \rightarrow A_2/2(e^{i2x} + e^{-i2x}) $
  (4). $A_2\sin(2x) \rightarrow -iA_2/2(e^{i2x} - e^{-i2x}) $
3. 作业15 根据以前步骤(1)计算$ [-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} A\cos(x) ] \psi(x) = \lambda \psi(x) $本征值， (2).检查$N_c$多少时结果收敛， (3). 画出能带和Mathieus和Mathieuc比较。
4. 作业16 找几个任意2维图形（矩形，圆，椭圆，操场，心形等），计算本征值以及波函数的空间分布。

4.2周二
1. 2D差分方法，Quantum Scar
  附：PPT
2. Exact Diagonalization(ED)步骤：
  (1). 取一组正交完备的基矢
  (2). 求矩阵元
  (3). 得到矩阵对角化
3. 两个粒子的ED:
  (1). 两个费米子：基矢 $c_n^\dagger c_m^\dagger |0\rangle, (n\neq m) $ $\Rightarrow$ $\Psi = \sum_{n_1,n_2} c_{n_1,n_2} | n_1 n_2 \rangle ,( n_2>n_1) $ $\Rightarrow$ 一维化处理：$\Psi = \sum_{\alpha} c_\alpha | \alpha \rangle $
  基态$|GS\rangle = a_1^\dagger a_2^\dagger |0\rangle $, 基态能量一阶微扰$E_g = E_1 + E_2 + \langle GS | V | GS\rangle$
  (2). 两个玻色子：基矢 $ a_n^\dagger a_m^\dagger |0\rangle,(n\neq m) $ or $\frac{1}{\sqrt{2}} (a_n^\dagger)^2 |0\rangle $
  基态$|GS\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(a_1^\dagger)^2 |0\rangle $, 基态能量一阶微扰$E_g = 2E_1 + \langle GS | V | GS\rangle$
4. ED总结：
  (1). 适用单/多粒子 (2). 随粒子数Hilbert空间指数增长，小系统有一定参考价值，但无法做到热力学极限
  (3). 可以计算基态和激发态，原则上没有算法误差，可以作为其他算法参考(Benchmark)
5. Lanczos method(WiKi)
6. 作业17 求解一维单粒子体系$[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V_0 \sin(qx)] \Psi(x) = E \Psi(x) $参数自取。
7. 作业18 两粒子系统$H=H_0+V$，单粒子部分$H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m} (\frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^2}{dy^2}) $，相互作用部分 $V = g\delta(x-y)$。任选Bose/Fermi子一种情况求解，并且当$g\rightarrow 0$和微扰结果比较。

4.9周二
1. 平均场
  (1). 无固定模式； (2). 常见问题有各种近似方法；(3). 往往用于求解相变问题和相边界。
  (4). “多体～单体+自洽”
  (5). Idea: 算符$AB$，$A=\overline{A}+\delta A, B=\overline{B}+\delta B $ $\Rightarrow$ $AB = \overline{A} \overline{B} +\overline{A}\delta B + \overline{B}\delta A + \delta A \delta B \approx \overline{A}B+\overline{B}A-\overline{A}\overline{B} $，忽略了关联(涨落)项$\delta A \delta B $
2. Holstein–Primakoff(HP)变换，Spin系统和Bose系统之间的变换，设变换形式：
  $ \left\{ \begin{array}{l} & S^\dagger = f(n) a^\dagger \\ & S^- = a f(n) \\ & S^z = g(n) \end{array} \right. $
  得到关系式：
  $ \left\{ \begin{array}{l} & f^2(n) = B_1+B_2n \\ & g(n) = A+n \end{array} \right. $
  确定$A,B_1,B_2$可以得到： $ \left\{ \begin{array}{l} & S_i^\dagger = (\sqrt{2S-n})a_i\\ & S_i^- = a_i^\dagger\sqrt{2S-n}\\ & S_i^z = S-n \end{array} \right. $ or $ \left\{ \begin{array}{l} & S_i^\dagger = a_i^\dagger (\sqrt{2S-n})\\ & S_i^- = \sqrt{2S-n}a_i\\ & S_i^z = n-S \end{array} \right. $ 其中$n=a_i^\dagger a_i$
3. 作业19 找到上面参数$A,B_1,B_2$之间的关系
4. 作业20
  (1). Schwinger Boson $ \left\{ \begin{array}{l} & S^\dagger = a^\dagger b\\ & S^- = b^\dagger a\\ & S^z = (a^\dagger a -b^\dagger b)/2 \end{array} \right. $
  (a).证明$[S^\dagger,S^-] = 2 S_z$; (b). 计算$S^2$; (c). 证明基矢$| S,m \rangle =\frac{(a^\dagger)^{S+m}(b^\dagger)^{S-m}}{\sqrt{(S+m)!(S-m)!}} |0\rangle $是算符$S^2,S^z$的本证态，对应本征值$S(S+1),m$，这里$a^\dagger a+b^\dagger b = 2S$
  (2). Schwinger Fermion同样计算(1)中的问题
  (3). Dyson–Maleev变化
  $ \left\{ \begin{array}{l} & J^\dagger = a\\ & J^- = a^\dagger (2S-n)\\ & J^z = S-a^\dagger a \end{array} \right. $
  计算$[J^\dagger,J^\dagger]$, $J^2$
  (4). $\overrightarrow{J} = \frac{1}{2}a^\dagger \overrightarrow{\sigma} a$，证明$\overrightarrow{J}$和$\overrightarrow{\sigma}$有相同对易关系，计算$J^2$

4.12周五
1. Jordan-Wigner变换
  $ \left\{ \begin{array}{l} &S_{n}^{+} =c_{n}^{\dagger} \exp \left(i \pi \sum_{m=1}^{n-1} c_{m}^{\dagger} c_{m}\right) \\ &S_{n}^{-} =\exp \left(-i \pi \sum_{m=1}^{n-1} c_{m}^{+} c_{m}\right) c_{n} \\ &S_{n}^{z} =c_{n}^{\dagger} c_{n}-\frac{1}{2} \end{array} \right. $
2. 应用铁磁，反铁磁系统
3. 作业21 $H = bS^\dagger + b^* S^- +b_z S^z$，代入HP变换$S^\dagger = a^\dagger\sqrt{2S-a^\dagger a}, S^- = \sqrt{2S-a^\dagger a}a, S^z = a^\dagger a-S $，求解自由能。
4. 作业22 计算$\sum_{ij}(\Delta a_i^\dagger b_i^\dagger + \Delta b_i^\dagger a_j^\dagger +h.c.)$的色散关系。

4.17周二
1. 牛顿法求$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=0$
  $\overrightarrow{x}_{n+1} = \overrightarrow{x}_n -(J)^{-1} \overrightarrow{f}(\overrightarrow{x}_n) $, 其中$J$为Jacobian矩阵。
  $\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=0$与$(J)^{-1}$无关，迭代中$(J)^{-1}$的计算最为复杂。
2. Broyden算法
  基本思想：不计算$J^{-1}$，用近似值代替，对最后的根无影响。
  $\mathbf{J}_{n}=\mathbf{J}_{n-1}+\frac{\Delta \mathbf{f}_{n}-\mathbf{J}_{n-1} \Delta \mathbf{x}_{n}}{\left\|\Delta \mathbf{x}_{n}\right\|^{2}} \Delta \mathbf{x}_{n}^{\mathrm{T}}$
  $\mathbf{J}_{n}^{-1}=\mathbf{J}_{n-1}^{-1}+\frac{\Delta \mathbf{x}_{n}-\mathbf{J}_{n-1}^{-1} \Delta \mathbf{f}_{n}}{\Delta \mathbf{x}_{n}^{\mathrm{T}} \mathbf{J}_{n-1}^{-1} \Delta \mathbf{f}_{n}} \Delta \mathbf{x}_{n}^{\mathrm{T}} \mathbf{J}_{n-1}^{-1}$
  只需得到$J_1,J_1^{-1}$可以利用上式迭代求$J_n,J_n^{-1}$
3. Dicke model: 附：Ref
  （1）量子方法：$H = \omega a^\dagger a +\omega_0 \sum_i \sigma_i^z + g/\sqrt{N} \sum(a^\dagger \sigma_i^- +h.c.)$, 其中$N$为原子数，$g$相互作用强度，定义：
  $ \left\{ \begin{array}{l} & J^z = \sum_i \sigma_i^z \\ & J^+ = \sum_i \sigma_i^+ \\ & J^- = \sum_i \sigma_i^- \end{array} \right. $
  得到$H = \omega a^\dagger a +\omega_0 J^z + g/\sqrt{N} (J^\dagger a + h.c.)$
  利用近似HP变换$J^+ \approx \sqrt{2N}b^\dagger $,得到
  $H = \omega a^\dagger a +\omega_0 b^\dagger b + \sqrt{2}g (a^\dagger b + h.c.) + \text{const} $, const$=-N\omega_0$
  $(a^\dagger,b^\dagger)$$\left( \begin{array}{l} & \omega \qquad \sqrt{2}g \\ &\sqrt{2}g \qquad \omega_0 \end{array} \right)$$\left( \begin{array}{l} & a \\ &b \end{array} \right)$
  得到$E_{\pm} = \frac{\omega+\omega_0}{2}\pm \sqrt{\frac{(\omega-\omega_0)^2}{4} + 2g^2}$，相变点$g_c = \sqrt{\frac{\omega\omega_0}{2} }$
  （2）经典方法：$H = \frac{p_1^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x_1^2 + \frac{p_2^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_0^2 x_2^2 +\sqrt{2}g m \sqrt{\omega\omega_0} x_1x_2 + \sqrt{2}g \frac{p_1p_2}{m\sqrt{\omega\omega_0} }$
  $\dot{p_1} =-\frac{ \partial H}{ \partial x_1} = m\omega^2x_1 + \sqrt{2}gm\sqrt{\omega\omega_0}x_2 $
  $\dot{x_1} = \frac{ \partial H}{ \partial p_1} = \frac{p_1}{m} + \frac{\sqrt{2}gp_2}{m\sqrt{\omega\omega_0}}$
4. 作业23 $H = E_1 a_1^\dagger a + E_2 a_2^\dagger a_2 + U_1 n_1(n_1-1) + U_2n_2(n_2-1) + J(a_1^\dagger a_2 + h.c.)$
  方法一：(1). 利用Schwinger-Boson变换，用自旋算符$J_x,J_y,J_z$表示以上哈密顿量
  (2). 在（1）结果上进行HP变换得到$H(a,a^\dagger)$，求运动方程
  (3). Josephson变换：$a=e^{-i\theta}\sqrt{\rho}$, $a^\dagger=\sqrt{\rho}e^{i\theta}$
  方法二：$a_1 = e^{-i\theta_1}\sqrt{N_1}$, $a_2 = e^{-i\theta_2}\sqrt{N_2}$ $\Rightarrow$ $i\dot{a_1} = [a_1,H]$,$i\dot{a_2} = [a_2,H]$
  (1). 推导 $\left\{ \begin{array}{l} \dot{z} &=-\sqrt{1-z^{2}} \sin \phi \\ \dot{\phi} &=\Lambda z+\frac{z}{\sqrt{\left(1-z^{2}\right)}} \cos \phi+\Delta E \end{array} \right.$ 其中 $\left\{ \begin{array}{l} z &=\frac{N_1-N_2}{N_1+N_2} \\ \phi & = \theta_2 -\theta_1 \end{array} \right.$
  (2). 数值计算
  (3). 比较两种方法
5. 作业24 对于上文Dicke model经典方法,定义$Y = (x_1,p_1,x_2,p_2)$, 求$\dot{Y} = A Y$

4.19周五
1. 　$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=0$ $\Rightarrow$ $x_{n+1}=x_n-J^{-1}f(x_n)$, where $J$ is Jacobi matrix $\Leftrightarrow$
  $F=\sum_i f_i^2$ $\Rightarrow$ $F\rightarrow \min$ $\Rightarrow$ $\nabla F=0$ $\Rightarrow$ $x_{n+1} = =x_n - H^{-1} \nabla F$, where $H$ is Hessian matrix
2. 算法：(1)steepest descent method(最速下降法), (2)conjugate gradient method(共轭梯度法)

4.23周二
1. Bose-Hubbard model平均场
2. Kuramoto model
  $\dot{\theta} = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_j^N \sin(\theta_j - \theta_i)$
  序参量：$Z=Re^{i\psi} = \frac{1}{N}\sum_j e^{i \theta_j}$ $\Rightarrow$
  $\dot{\theta} = \omega_i - KR \sin(\theta_i - \psi)$，解
  (1). 所以$\dot{\theta_i}$都不一样，长时间平均$|Z|\sim \frac{1}{\sqrt{N}}$
  (2). 所有振子同频率$\dot{\theta_i} = \overline{\omega}$ $\Rightarrow$
  稳态解：$\dot{\theta_i} = \omega_i-KR \sin[\theta_i(0)-\theta(0)]$，条件：$|\frac{\omega_i-\overline{\omega}}{KR}| \leq 1$
  同步时的$\theta_i(0)$分布：$P_s(\varphi)=g(\overline{\omega} + KR \sin \varphi) KR \cos \varphi$
  临界点$K_c = \frac{2}{\pi g(\overline{\omega})}$
3. 作业25 Kuramoto model $\dot{\theta} = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_j^N \sin(\theta_j - \theta_i)$ 数值求解，$N=200\sim 500$左右。

4.26周五
1. 混沌
  (1). Lorentza吸引子，(2). 极限环
  连续方程：Lorentza吸引子；离散：Logistic map
  Ref: PPT
2. Kicked rotor: $H = \frac{p^2}{2}+k \cos q \sum_n \delta(t-nT)$
  Standord map eq: $p_{n+1}^- = p_n^- +k\sin q_n, \quad q_{n+1} = q_n+p_{n+1}^-$
3. 作业26 求Standard map相图，扫描k
4. 作业27 $H = \frac{p^2}{2} + k\cos q \sum_n [\delta(t-nT) + \delta(t-nT+T_0)]$
  (1). 求出standard map方程(eq1)
  (2). 画出相图(fig1)
  Ref: PhysRevLett.99.234101

4.30周二
1. Bogoliubov-De-Gennes方程
2. 相互作用与平均场
  (1) Coulomb Interaction: $V(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$
  (2) Contact Interaction: $g\delta(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$
  (3) Spinless: $\sum_{k_1k_2 q}V_q \psi_{k_1+q}^{\dagger}\psi_{k_1-q}^{\dagger}\psi_{k_2}\psi_{k_1}$
  Spin: $\sum_{k_1k_2 q}V_q \psi_{k_1+q,\uparrow}^{\dagger}\psi_{k_1-q,\downarrow}^{\dagger}\psi_{k_2,\downarrow}\psi_{k_1,\uparrow}$
  (4) Hatree项: $\psi_{k_1+q,\uparrow}^{\dagger}\psi_{k_1,\uparrow}\psi_{k_1-q,\downarrow}^{\dagger}\psi_{k_2,\downarrow}$
  Fock项: $-\psi_{k_1+q,\uparrow}^{\dagger}\psi_{k_2,\downarrow} \psi_{k_1-q,\downarrow}^{\dagger}\psi_{k_1,\uparrow}$
  (5) $g>0$: 排斥相互作用, Hatree项主要
  (6) $g<0$: 吸引相互作用, Fock项主要
  $H = \sum_{k\sigma}\varepsilon_{k\sigma}\psi_{k\sigma}^{\dagger}\psi_{k\sigma}+\Delta \psi_{k\uparrow}^\dagger\psi_{k\downarrow}^\dagger +h.c.$
  基态能量: $E_g=\sum_{k}(\varepsilon_k-\sqrt{\varepsilon_k^2+|\Delta|^2})-\frac{|\Delta|^2}{g}$
  求解: $\frac{\partial E_g}{\partial \Delta^*}=0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{\Delta}{g}-\sum_k \frac{\Delta}{\sqrt{\varepsilon_k^2+|\Delta|^2}} =0 $

5.5周日
1. Nonlinear equation, PPT
2. (1) Gross–Pitaevskii(GP)方程
  (2) Fast Fourier Method
  (3) Imaginary Time Method
  PPT , Ref: Numerical solution of the Gross–Pitaevskii equation
  GP方程代码
3. 作业28 已知$H = T(x)+V(x), T = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$, Time-evolution equation, $\psi(x, t+\Delta t)=e^{-i \Delta t H / \hbar} \psi(x, t)$, 证明: $e^{-i \Delta t H / \hbar} \approx e^{-i \Delta t V /(2 \hbar)} e^{-i \Delta t T / \hbar} e^{-i \Delta t V / 2 \hbar} \psi$ holds the error $\left(\mathcal{O}\left(\Delta t^{3}\right)\right)$
4. 作业29 已知Time-Dependent Gross-Pitaevskii Equation
  $i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{x}, t)=\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+V(\mathbf{x}, t)+g|\psi(\mathbf{x}, t)|^{2}\right] \psi(\mathbf{x}, t)$, 其中$V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2(x^2-a^2)$,数值求解基态能量和波函数。

5.7周二
1. BCS
  (1) k-space: $H = \sum_{k\sigma}\varepsilon_k c_{k\sigma}^\dagger c_{k\sigma} + \Delta c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger +h.c.$
  (2) r-space: $H = -t\sum_{i\sigma} c_{i\sigma}^\dagger c_{i+1,\sigma} + \Delta c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger +h.c.$
  写基矢，对应矩阵形式
2. 作业30 (1) Spinless model(Kitaev model)
  $H = \sum_i ( -tc_i^\dagger c_{i+1} + \Delta c_i^\dagger c_{i+1}^\dagger + h.c. ) + \sum_i c_i^\dagger c_i$
  取值$L=100,t=1$,扫描$\mu,\Delta$，画出能谱和相图。
  (2) s-wave SC model
  $H = -t\sum_{i,\sigma} (c_{i,\sigma}^\dagger c_{i+1,\sigma} +h.c. ) +\Delta \sum_i ( c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\downarrow}^\dagger + h.c.) + \mu \sum_{i,\sigma} c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma} + h \sum_i (c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\uparrow}- c_{i,\downarrow}^\dagger c_{i,\downarrow})$
  取值$L=100,t=1$,讨论问题自定。 (3) SOC-s-wave SC model
  $H = -t\sum_{i,\sigma} (c_{i,\sigma}^\dagger c_{i+1,\sigma} +h.c. ) +\Delta \sum_i ( c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\downarrow}^\dagger + h.c.) + \mu \sum_{i,\sigma} c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma} + h \sum_i (c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\uparrow}- c_{i,\downarrow}^\dagger c_{i,\downarrow}) +\lambda \sum_{i} ( c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i+1,\downarrow} - c_{i,\downarrow}^\dagger c_{i+1,\uparrow } +h.c.) $
  取值$L=100,t=1$,画相图。

5.10周五
1. BdG方程对称性： particle-hole symmetry
  $c=\sigma_x k$, $cHc^{-1} = -H$
2. Anderson localization
  (1) 1维，2维没有extended state到localized state转变，任意小的无序都为 localized state
  (2) 3维度存在extended state到localized state转变，$W < W_c$为 extended state，$W > W_c$为 localized state
  (3) 1D model: $H = -t\sum_i[c_i^\dagger c_{i+1} + h.c.] + \sum_i V_i c_i^\dagger c_i$。其中：$V_i \in [-W,W]$的均匀分布。
  (4) 转移矩阵，参考Hoffmann的书章节 Transfer-Matrix Methods and Finite-Size Scaling for Disordered Systems
  (5) QR分解：$A = QR$, 满足$Q^\dagger Q = 1$. $T_nT_{n-1}...T_2T_1 = Q_n R_n R_{n-1} R_2R_1$
3. Aubry-André (AA) model: $H = -t\sum_i (c_i^\dagger c_{i+1}+h.c.) + \sum_{i}V \cos(qi)c_i^\dagger c_i$, $q$为无理数。$V=-2t$时，傅里叶变换一致$H_k=H_i$，对偶。相边界:$V=-2t$
4. 作业31 讨论 AA model 性质：
  (1) 用严格对角化方法证明扩展态到局域态转变在$V=-2t$, 取$L=1000,q=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, 计算inverse participation (IPR), IPR=$\sum_i |P_i|^2$
  (2) 推导AA model 的对偶关系:$V=-2t$
  (3) 用转移矩阵方法计算$\xi (E)$的值，与(1)得到的边界比较。

5.14周二
1. 有限元
2. 随机过程
  (1) 中心极限定理，大数定理
  (2) Einstein扩散方程 Einstein paper
  $\frac{D}{2} \frac{\partial ^2 p}{\partial t^2} = \frac{\partial p}{\partial t}$
  (3) 郎之万方程
  $m \dot{\overrightarrow{v}} =\overrightarrow{F} -\eta \overrightarrow{v} +\xi$
  (4) Einstein关系： $D = 2\eta k_B T$
3. 作业32 用投针法计算$\pi$的值。求$\pi$分别近似到3.14， 3.1415， 3.14159时所需要的总投针次数$N$

5.17周五
1. 随机行走
  $n$步以后，在$l$处的位置： $P(l) = \frac{1}{2^n} C_n^{n/2+l/2} =\frac{n!}{2^n (n/2+l/2)!(n/2-l/2)!} $
2. 随机过程
3. 物理中：$m \dot{x}=-\dot{v}(x)-r\dot{x}+\xi$
  数学中：$dx=\mu dt+\sigma dw$, $dw=\xi dt$
4. Itô's lemma (Wiki)
5. 作业33 Mathematica计算随机行走$P(l)$
6. 作业34 Brownian motion: $\dot{v}=-rv+\xi$
  $v(t)-v(0)=\int_0^t (-\gamma v+\xi)dt$, 数值：$v_n = v_{n-1}-\gamma v_{n-1} \delta t +\xi_{n-1} \delta t$, $\langle \xi_n^2\rangle = \frac{1}{\delta t}$
  和严格结果对比（每一时刻平均值，方差）

5.21周二
1. caldeira-leggett model (Wiki)
  振子与振子之间的相互作用
  $H = \frac{P^2}{2M}+V(X)+\sum_j^N [\frac{p_j^2}{2m_j}+\frac{1}{2}m_j\omega_j^2(x_j-\frac{C_j}{m_j\omega_j^2}X)^2]$
  定义：$\gamma(t)=\sum_j \frac{1}{M}\frac{C_j^2}{m_j\omega_j^2}\cos(\omega_j t)$
  $F_L = \sum_j C_j [x_j(t_0)\cos(\omega_j(t-t_0))+\frac{p_j}{m_j\omega_j}\sin(\omega_j(t-t_0))]$ $\Rightarrow$
  $M \ddot{x}+M \int_{t_0}^t \gamma(t-t^\prime)\frac{dx(t^\prime)}{dt}dt^\prime = -M\gamma(t-t_0)x(t_0)+F_L-V^\prime(x)$
  极端情况：$\gamma(t)=\gamma\delta(t)$ $\Rightarrow$ $M\ddot{x}+\frac{M}{2}\gamma \dot{x}(t)=F_L-V^\prime(x)$
2. 谱函数：$J(\omega)=\frac{\pi}{2}\sum_j \frac{C_j^2}{m_j\omega_j^2}\delta(\omega-\omega_j)$
3. 作业35 $\overline{F_L}=\sum_j C_j \overline{x_j} = 0$, $\overline{x_j}=\int x_je^{-\beta}(\frac{p_j^2}{2m_j}+\frac{1}{2}m_j\omega_j^2x_j^2)dx_j$,
  计算$\overline{F_L(t)F_L(t+\tau)} = Mk_BT \gamma(\tau) \doteq Mk_BT\delta(\tau)$
4. 作业36 1个粒子和N个振子相互作用，求该粒子的运动。N=1000, $\omega_j,m_j$随机分布

5.28周二
1. 随机力$F_L=\sum_i(m_i \omega_i^2 \alpha_i q_i)$
  (1). $\langle F_L \rangle = 0$ (2). $\langle F_L^2\rangle \propto k_BT$
2. 量子CL model
  $b_i = \sqrt{\frac{m_i \omega_i}{2}}q_i + \frac{i p_i}{\sqrt{2m_i\omega_i}}$
  $b_i = \sqrt{\frac{m_i \omega_i}{2}}q_i - \frac{i p_i}{\sqrt{2m_i\omega_i}}$
  $\Rightarrow$ $F_L = \sum_i \frac{m_i\omega_i^2 \alpha_i}{\sqrt{2m_i\omega_i}}(b_i+b_i^\dagger)$
  $\langle (b_ib_i^\dagger)^2 \rangle = (2n_i+1)$ $\Rightarrow$ $\langle F_L^2 \rangle \approx \sum_i m_i \omega_i^2 \alpha_i^2 k_BT \propto k_BT$
3. Langevin方程
  $\left\{\begin{aligned} & m \ddot{x} = -V^\prime(x) -\gamma \dot{x} +\sum_i \eta_i (b_i+b_i^\dagger) \\ & V(x) = \frac{1}{2}m \omega^2 x^2 \end{aligned} \right.$
  $ \left\{\begin{aligned} & a = \sqrt{\frac{m\omega}{2}} x +\frac{ip}{\sqrt{2m\omega}}\\ & a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2}} x- \frac{ip}{\sqrt{2m\omega}} \end{aligned} \right. $
  $\Rightarrow$ $\left\{\begin{aligned} & i \dot{a} = \omega a -i \frac{\gamma}{m}a +\xi \\ & \xi = \sum_i \sqrt{\frac{2}{m\omega}} \eta_i b_i \end{aligned} \right.$
4. 耗散/退相干
  $t=0$, 纯态$\rho_0 =|\psi\rangle \langle \psi|$, 热浴$\rho_B$
  初始：$\rho(t=0) = \rho_0 \otimes \rho_B $, 演化：$\rho(t)=U\rho(t=0)U^\dagger$, 约化密度矩阵：$\rho_s(t)=Tr_B(\rho(t)) = Tr_B(U\rho_0\otimes \rho_B U^\dagger)$
  若$\rho_B = |0 \rangle \langle 0|$,则：
  (1). $\rho_s(t) = \sum_i \langle i|U|0\rangle \rho_0 \langle 0 |U^\dagger|i\rangle = \sum_i M_i \rho_0 M_i^\dagger$, 其中$M_i = \langle i|U|0\rangle $
  $\sum_i M_i^\dagger M_i = 1$
  (2). $\rho_s = \rho_s^\dagger$
  (3). $Tr(\rho_s) = 1$
  (4). 正定的：$\langle \psi |\rho_0 |\psi \rangle = \langle \psi | \rho_0 | \psi \rangle \geqslant 0$
5. 作业37 若$\rho_B = \frac{1}{Z} \sum_\alpha e^{-\beta \varepsilon_\alpha |\alpha \rangle \langle \alpha |}$,证明以上4点性质。

5.31周五
1. Kraus表示
  $ \rho_s(t) = \sum_i M_i \rho_s M_i^\dagger \equiv \$(\rho) $
  $ \rho_s(t+dt) = \sum_i M_i (dt) \rho_s(t) M_i^\dagger (dt) = \rho_s(t) + \frac{d \rho_s}{dt} (dt) $
  假设$M_0 = 1+ Gdt$, $ M_i = Li \sqrt{dt}$
  设$G = A+iB$, $G^\dagger=A-iB$. $A=-\frac{1}{2}\sum_i Li^\dagger Li$
  总结：$\frac{d \rho_s}{dt} = L(\rho_s)$, $L(\rho_s) = -i[H,\rho_s] + \sum_i D_i(\rho_s)$, $D_i(\rho_s) = \sum_i (Li \rho_s Li^\dagger -\frac{1}{2}\rho_s Li^\dagger Li -\frac{1}{2}Li^\dagger Li \rho_s)$
2. 作业38 Spin-1/2
  $\frac{d \rho}{dt} = -i [H,\rho] + \gamma(1-f) D(\sigma_-) + \gamma f D(\sigma_+)$, $D(L) = L \rho L^\dagger - \frac{1}{2}\rho L^\dagger L -\frac{1}{2}L^\dagger L \rho$, $H = \frac{\Omega}{2}\sigma_z$, Hilbert空间$|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle$. 求解$\rho_{\uparrow\uparrow},\rho_{\downarrow\downarrow}, \rho_{\uparrow\downarrow}, \rho_{\downarrow\uparrow}$演化方程，画图。

6.4周二
1. Lindblad Equation
  （1）Spin model， $\gamma$与$f$的物理意义：
  $f$是平衡时的分配，$\gamma$是delay rate
  (2) Boson model
  $H_s = \omega (a^\dagger a +\frac{1}{2})$,
  $i \dot{\rho} = [H_s,\rho] +\gamma_1 D(a) + \gamma_2 D(a^\dagger)=[H_s,\rho]+ \gamma_1(a^\dagger \rho a -\frac{1}{2}\rho a a^\dagger -\frac{1}{2}a a^\dagger \rho) + \gamma_2 (a \rho a^\dagger -\frac{1}{2}\rho a^\dagger a -\frac{1}{2}a^\dagger a \rho)$
  求解：Hilbert空间$\{|0\rangle,|1\rangle,...\}$, 长时间平衡$\overline{n} = \frac{1}{e^{\beta\omega}-1}$
  对角化稳态：$\dot{\rho}_{nn}=0$, 引入$\rho_{nn}=\rho_n$
  $\gamma_1(n \rho_{n-1}-(n+1)\rho_n ) \gamma_2 ((n+1)\rho_{n+1} - n \rho_n) = 0$
  $\gamma_1/\gamma_2 = e^{-\beta \omega}$ for $\forall n$ $\Rightarrow$ $\gamma_1 = \gamma\overline{n}, \gamma_1 = \gamma(\overline{n}+1) $
  (3) Fermion model
  $D(f^\dagger), D(f), D(n)$
  $D(n)= (n\rho n -\frac{1}{2}\rho n^2 -\frac{1}{2}n^2\rho ) \equiv n\rho n -\frac{1}{2}\rho n -\frac{1}{2}n \rho $
  平衡意义下：$\rho(t+dt) = \rho(t) + i\rho A^\dagger dt -iA \rho dt +\sum_i Li \rho Li^\dagger dt$
  Let:$A = H-\frac{i}{2}\sum_i Li^\dagger Li$
2. Vec函数
  (1) 定义 $\rho = \sum_{ij} |i\rangle \langle j|$
  (2) $tr(A^\dagger B) = \sum_{ik} A_{ki}^* B_{ki}$ = Vec(A)^\dagger Vec(B)
  (3) $Vec(ABC) = \sum A_{ij} B_{jm} C_{mn} |i\rangle |n \rangle$ = (C^T \bigotimes A)Vec(B)
  (4) 定义：$V = Vec(\rho)$ $\Rightarrow$ $i \dot{V} = L V$
3. 作业39 Boson model 求解$\rho$的对角和非对角元
4. 作业40 Fermion model
  讨论$H_s = w f^\dagger f$, $\gamma_1 D(f) + \gamma_2 D(f^\dagger) + \gamma_3 D(f^\dagger f)$, $\gamma_1,\gamma_2\gamma_3$任取，Hilbert空间0,1 or $\uparrow,\downarrow$

6.11周二
1. 相干态
  $|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-|\alpha|^2/2}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle, \quad \alpha\in \mathcal{C}$
  $a|\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle$, $a^\dagger|\alpha\rangle = (\frac{\partial}{\partial \alpha}+\frac{1}{2}\alpha^*)|\alpha\rangle$
  $\langle\alpha|a^\dagger = \alpha^* \langle\alpha|$, $\langle\alpha|a = (\frac{\partial}{\partial\alpha^*}+\frac{1}{2}\alpha)\langle\alpha| $
  $\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\gamma_+}{2} \frac{\partial}{\partial\alpha} [\alpha p\alpha + c.c.] + \gamma_- \frac{\partial^2}{\partial\alpha^*\partial\alpha}p$
2. MC simulation
  重要采样：$W(x)=\frac{P(x)}{f(x)}$, $f(x) = \frac{1}{L}\sum_i \delta(x-x_i)$, $\int_a^b P(x)dx = \frac{1}{L}\sum_iW(x_i)$
  Metropolis算法：
  (1) 细致平衡$\frac{dp_a}{dt} = \sum_B P_{B} W_{B\rightarrow A} - \sum_A P_{A} W_{A\rightarrow B} =0 $
  (2) 配分函数：$Z=Tr(e^{\beta H})$ $P_B W_{B\rightarrow A} = P_A W_{A\rightarrow B} $ $\Rightarrow$ $e^{-\beta E_A}W_{A\rightarrow B} = e^{-\beta E_B}W_{B\rightarrow A} $ $\Rightarrow$ $W_{A\rightarrow B} = \min (1,e^{-\beta \Delta E})$, $\Delta E = E_B-E_A$

USTC| BBS

Big Boat