计算物理(2019/春季)

主讲老师：龚明，量子信息实验室514

助教：许宏泽，量子信息实验室519，xhz1995@mail.ustc.edu.cn，15905690778

上课时间：星期二8-10节，星期五1-2节（1-16周）

上课地点：5103

• 公告：有同学建议建一个群供大家讨论，QQ群号774501908，大家自行加入。

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• 参考书
  1. 《计算物理学》, Hoffmann
  2. 《计算物理学导论》，Tao Pang
  3. 《计算物理学》，马文淦
  4. 计算物理-丁泽军
  5. 《数值计算方法与算法》，张韵华

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• 考核
  1. 考试：50%，开卷（5选4）
  2. 课题报告：20% (格式8%，内容12%)
  3. 平时作业：30% (作业每两周交一次)
     作业1-16答案参考
     作业17-29答案参考
     第七次作业35-40，6月24日之前交。以往没有交作业的在考试之前补交上。纸质电子版都可以，内容包括题目代码结果，有证明之类的写必要推导过程。 代码粘贴到word或pdf与结果放一起，不要只交.m/.py/.nb等源代码。电子版发到邮箱xhz1995@mail.ustc.edu.cn，主题“计算物理-姓名-学号”，以免漏掉。 若交邮箱，收到后我会回复大家，没有收到回复的联系我。大家尽量按时交，晚交的酌情扣分。
  4. 优秀作业参考
     作业1-6
     作业7-12
     作业13-18
     作业19-24
     作业25-29
     作业30-34
     作业35-40
     

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• 考试时间统计
  1. 统计表 大家把不能参加考试的时间或者建议考试的时间填一下！
  2. 考试时间6月25日上午8-11点，地点5106。

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• 课题报告(持续更新中)
  1. 课题报告要求(参看以往拓扑课格式，本课程计算为主)
  2. 参考论文
  3. 论文选择 （确定选题后，大家把信息填到表格里）
  4. 报告在7月30日之前交。电子版发邮箱，纸质版交到量子信息实验室514或519.

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• 2.26周二
  1. 主要内容：插值方法
     (1) 过$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$两点插值: $$y=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}y_2 + \frac{x-x_2}{x_1-x_2}y_1$$
     (2) 过$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)$ N点插值: $$y=\sum_i^N l_i(x) y_i, \quad l_i(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\cdots(x-x_N)}{(x_i-x_1)(x_i-x_2)\cdots(x_i-x_{i-1})(x_i-x_{i+1})\cdots(x_i-x_N)}$$
     (3) $l_i(x)$性质：
     a. $l_i(x_j) = \delta_{ij}$
     b. $l_i(x)$只和$x_i$有关与$y_i$无关，是$x$的$N-1$阶函数
     c. $l(x)=\sum_i^N l_i(x) = 1$
     (4) 误差 $$R_N(x) = \frac{f^N(\xi)}{N!}(x-x_1)\cdots(x-x_N)$$
  2. 作业1：已知曲线过四个点（红色标记），确定中间两点a,b之间灰色区域面积。

     

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• 3.1周五
  1. 导数问题
     (1) 变为积分，进行插值 $$y^{\prime} = f(x) \quad \rightarrow \quad y = \int_{x_0}^{x}f(x^{\prime})dx^{\prime} + y_0$$ (2) 变为迭代方程 $$y^{\prime} = f(x) \equiv \frac{y(x)-y(x-h)}{h} \quad\rightarrow\quad y(x_n) = y(x_{n-1}) + hf(x_{n-1})$$ $$y^{\prime\prime} = f(x) \equiv \frac{y(x+h)+y(x-h)-2y(x)}{h^2} \quad\rightarrow\quad y(x_{n+1}) + y(x_{n-1}) -2y(x_n) = h^2f(x_{n})$$ (3) $y^{\prime} = f(x,y)$显式，隐式法（Picard迭代法）
  2. 解方程问题
     $f(x) = 0$变为迭代方程
     Example: $ax^2+bx+c=0 \quad\rightarrow\quad x_n = -\frac{a}{b}x_{n-1}^2 - \frac{c}{b}$
  3. $\{\begin{array}{c}\mathrm{计算机只能做离散计算}。\to \mathrm{离散化}\to \mathrm{插值求面积}\\ \mathrm{计算机不能求导数}，\mathrm{只能用Taylor展开}。\\ \mathrm{计算机不能求非线性}。\to \mathrm{线性化}\to \mathrm{迭代}\end{array}$
     
  4. 作业2：求解方程$AX^2+BX+C=0$，其中$A,B,C,X$均为矩阵。取$A,B,C$为任意的$3\times3$矩阵，找到满足方程的解的$X$。
     作业3：质量分别为$m$和$M$的两球通过劲度系数为$k$的弹簧连接，弹簧自然状态长为$d_0$，初始时刻系统位置、弹簧长度任意选取，若沿$x$轴水平抛出，求解之后系统的运动情况，如下图示意。

     

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• 3.5周二
  1. 主要内容
     (1) Forward算法 $$y_{n+1} = y_n + hf(x_n,y_n)$$ (2) Backward算法 $$y_{n+1} = y_n + hf(x_{n+1},y_{n+1})$$ (3) 预估 $$y_{n+1} = y_n \frac{h}{2} [f(x_n,y_n) + f(x_{n+1},\overline{y}_{n+1})] ,\quad \overline{y}_{n+1} = y_n+h f(x_n,y_n)$$ $$\Rightarrow \quad y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} [f(x_n,y_n) + f(x_n+h,y_n+h f(x_n,y_n))]$$ (4) Runge-Kutta算法 不用求导数，减少求$f(x,y)$的次数。
     RK23，2阶，误差$o(h^3)$；RK45，4阶，误差$o(h^5)$。
     (5) 矩阵
     $\{\begin{array}{c}\mathrm{方程}\mathrm{AX}=b,\mathrm{求根}\{\begin{array}{c}\mathrm{QR分解}A=\mathrm{QR},{\mathrm{QQ}}^{†}=1,\mathrm{R为上三角矩阵}\\ \mathrm{Gauss消元法}，\mathrm{复杂度}o\left(N^3\right)\end{array}\\ \mathrm{本征值}\{\begin{array}{c}\mathrm{方阵}\{\begin{array}{c}A=A^{†}:{\mathrm{A\psi }}_i={\lambda }_i{\psi }_i,{\lambda }_i\in ℝ;U^{†}\mathrm{\Lambda U}=\lambda \mathrm{一定存在};A=A^{*}\Rightarrow U^{†}=U^T\\ A\ne A^{†}:\mathrm{可能存在}{\lambda }_i\in ℂ,\mathrm{如果存在则}{P}^{-1}\mathrm{AP}=\lambda \end{array}\\ \mathrm{非方阵}:\mathrm{奇异值}\left(\mathrm{SVD}\right)\mathrm{分解}\end{array}\end{array}$
     附：Mathematica代码
  2. 作业4：RK45算法精度分析
     作业5： Baker's map
     $S\left(x,y\right)=\{\begin{array}{c}\left(2x,y/2\right),0\le x<1/2\\ \left(2-2x,1-y/2\right),1/2\le x<1\end{array}$
     产生随机序列，画出点图。
     作业6： Lorenz Attractor
     $\{\begin{array}{c}{x}^{\text{'}}=-\sigma \left(x-y\right)\\ y^{\text{'}}=x\left(\rho -z\right)-y\\ z^{\text{'}}=\mathrm{xy}-\mathrm{\beta z}\end{array}$
     自选参数，画出系统运动轨迹。

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• 3.8周五
  1. 量子化
     (1) 一次量子化 $[x,p] = i\hbar$
     (2) 二次量子化 Dirac(1927)
     $\mathrm{哈密顿正则方程}\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dt}}=-\frac{\partial H}{\partial q}\\ \frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}}=\frac{\partial H}{\partial p}\end{array}\Rightarrow \mathrm{泊松括号形式}\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{dt}}=\left\{p,H\right\}\\ \frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dt}}=\left\{q,H\right\}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\left\{p_i,p_j\right\}=\left\{q_i,q_j\right\}=0\\ \left\{q_i,p_j\right\}={\delta }_{\mathrm{ij}}\end{array}$
     $\{\begin{array}{c}i\frac{\partial \Psi }{\partial t}=\mathrm{H\Psi }\\ \Psi ={\sum }_n{c}_n❘{\varphi }_n\rangle \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}E=\langle \Psi \left|H\right|\Psi \rangle ={\sum }_{\mathrm{nm}}{t}_{\mathrm{nm}}\left({c_n}^{*}\right)c_m\\ {\sum }_n\frac{i\partial }{\partial t}{c}_n={\sum }_m{c}_m\langle {\varphi }_n\left|H\right|{\varphi }_m\rangle \equiv c_m{t}_{\mathrm{nm}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}i\frac{\partial }{\partial t}{c}_n=\frac{\partial E}{\partial \left({c_n}^{*}\right)}\\ i\frac{\partial }{\partial t}\left({c_n}^{*}\right)=-\frac{\partial E}{\partial c_n}\end{array}$
     $\{c_n,c_m\} = \{c_n^*,c_m^*\}=0, \{c_n,c_m^*\}=\delta_{nm}$ 等价描述 $\{\Psi,\Psi\} = \{\Psi^*,\Psi^*\} = 0, \{\Psi(x),\Psi^*(y)\} = \delta(x-y)$
     $|c_n|^2 = c_n^*c_n$,占据数 $\Rightarrow$ $\widehat{n} = c_n^{\dagger}c_n$,粒子数。$c_n^{\dagger},c_n$产生湮灭算子
  2. 附：Mathematica代码-矩阵操作

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• 3.12周二
  1. 二次量子化refbook
     
  2. 随机矩阵
     (1).三类高斯系综:GOE,GUE,GSE， (2).联合概率密度函数， (3).半圆率， (4).Wigner假设-能级间距分布， (5).能级间距比分布.
     附： Matlab代码，PPT， 参考书， 参考文献
  3. Bloch定理 $\Psi_k(x+R) = \Psi_k(x)e^{ikR}, \Psi_k(x) = u_k(x)e^{ikx}, u_k(x+R)=u_k(x)$
  4. 扩展态$\leftrightarrow$局域态 $\Psi(x) = \sum_n C_n W_n(x)$, 其中$W_n(x)$为Wannier函数，局域态。
  5. 一维Bose-Hubbard model
     $H = H_0 + V$, $H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \eta \cos(kx)$, 相互作用项$V=g\delta(x)$
     近似：$H_0 = -t\sum_{nm}(C_n^\dagger C_{n+1} + h.c.) -\mu C_n^\dagger C_n$, $V = UC_n^\dagger C_n^\dagger C_nC_n$
     $H_0$对角化：$H_0 = \sum_k (-2t\cos k-\mu) C_k^\dagger C_k$
  6. 作业7计算GOE,GUE,GSE (1).能级间距比分布$P(r)$， (2).半圆率， (3).换不同随机数计算，如均匀、正态分布等。矩阵大小可以选择100*100,平均1000次。
  7. 作业8计算四个粒子$\langle x_1 x_2x_3x_4|\partial x_1 | x_1 x_2x_3x_4 \rangle$。
  8. 作业9相互作用项$\int dxdy \Psi^\dagger (x)\Psi^\dagger (y) g \delta(x-y) \Psi(y)\Psi(x) = g C^\dagger_{n_1} C^\dagger_{n_2} C_{n_3} C_{n_4}\int W^*_{n_1}W^*_{n_2}W_{n_3}W_{n_4}dx$，若$C_n$为费米子，做最低阶近似。

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• 3.19周二
  1. Mathieu函数 附:Mathematica代码
     
  2. 　Tight-Binding model real space与ｋspace的对应变换：
     (1). $-t\sum_n c_n^\dagger c_{n+1}+h.c.$ $\leftrightarrow$ $-2t\sum_k c_k^\dagger c_{k}$ $\leftrightarrow$ $\sum_k (-2t+tk^2) c_k^\dagger c_k$, for $k \rightarrow 0$
     (2). $\mu\sum_n c_n^\dagger c_{n}$ $\leftrightarrow$ $\mu\sum_k c_k^\dagger c_{k}$
     (3). $h \sum_n (c_{n \uparrow}^\dagger c_{n\uparrow} - c_{n\downarrow}^\dagger c_{n\downarrow})$ $\leftrightarrow$ $h \sum_k (c_{k \uparrow}^\dagger c_{k\uparrow} - c_{k\downarrow}^\dagger c_{k\downarrow})$
     (4). $h \sum_n (c_{n \uparrow}^\dagger c_{n\downarrow} + h.c.)$ $\leftrightarrow$ $h \sum_k (c_{k \uparrow}^\dagger c_{k\downarrow} + h.c.)$
     (5). $\sum_{n} ( c_{n\uparrow}^\dagger c_{n+1\downarrow} + h.c. )$ $\leftrightarrow$ $\sum_k (e^{ik}c_{k\uparrow}^{\dagger} c_{k\downarrow} + e^{-ik}c_{k\downarrow}^{\dagger} c_{k\uparrow} )$
     (6). $\lambda \sum_{n} ( c_{n\downarrow}^\dagger c_{n+1\uparrow} + h.c. )$ $\leftrightarrow$ $\sum_k (\lambda e^{ik}c_{k\downarrow}^{\dagger} c_{k\uparrow} + \lambda^* e^{-ik}c_{k\uparrow}^{\dagger} c_{k\downarrow} )$
     For $\lambda=1$, (5)+(6) $\leftrightarrow$ $\sum_k (2\cos k c_{k\uparrow}^{\dagger} c_{k\downarrow} +h.c.)$
     For $\lambda=i$, (5)+(6) $\leftrightarrow$ $\sum_k (2i\sin k c_{k\uparrow}^{\dagger} c_{k\downarrow} +h.c.)$
     
  3. 定义Unitcell: $\overrightarrow{R}$, Unitcell里的原子或轨道: $\overrightarrow{\tau_\alpha}$
     $H=-\sum_{RR^\prime , \alpha\alpha^\prime} t_{RR^\prime}^{\alpha\alpha^\prime} c_{R\alpha}^{\dagger} c_{R^\prime\alpha^\prime}$ $\leftrightarrow$ $\sum_{k\alpha\alpha^\prime} c_{k\alpha}^{\dagger} c_{k\alpha^\prime} t_{k}^{\alpha\alpha^\prime}$
     其中: $t_{k}^{\alpha\alpha^\prime} =\sum_Q e^{-ikQ}t^{\alpha\alpha^\prime}(Q)$
  4. 三带model(三对角矩阵，复杂度$o(N)$),对应TB model: $H =\sum_n^N tc_n^\dagger c_{n+1} +\sum_n^N\mu c_n^\dagger c_n$
  5. 作业10 Mathematica里Mathieu函数．(1) 画能带(变化q的大小)，(2) 画出Bloch波函数，(3) 计算Wannier函数(Mathematica编程计算)
  6. 作业11

     

     (1) 图a的k空间$H_k$表达式；变化参数问什么时候能带从$m^*>0$变为$m^*<0$
     (2) 图b的k空间$H_k$表达式；画出能带图．其中$-t$近邻跃迁，$-t^\prime$次近邻跃迁　
     (3) 图c的Graphene model的k空间$H_k$表达式；画出能带图；什么时候出现Dirac点．其中$-t$近邻跃迁，$-t^\prime$次近邻跃迁　
     (4) 将以下两个动量空间的哈密顿量变到实空间，并在正方形格子中画出Tight-Binding model
     $H_1 = \frac{k_x^2+k_y^2}{2m} + \lambda (k_x\sigma_x-k_y\sigma_y) -\mu$　
     $H_2 = \frac{k_x^2+k_y^2}{2m} + \lambda (k_x\sigma_y-k_y\sigma_x) -\mu$
     (5) 写出下面哈密顿量的Tight-Binding model
     $H=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{k}^2-\mu & \alpha \left(k_x+{\mathrm{ik}}_y\right)\end{array}\\ \begin{array}{cc}\alpha \left(k_x-{\mathrm{ik}}_y\right)& \mu -k^2\end{array}\end{array}\right)$

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• 3.22周五
  1. 三对角矩阵
     $\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\mu & t\end{array}& 0\end{array}& ⋰\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}t& \begin{array}{cc}\ddots & \ddots \end{array}\end{array}& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}0& \begin{array}{cc}\ddots & \ddots \end{array}\end{array}& t\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}⋰& 0\end{array}& t\end{array}& \mu \end{array}\end{array}\right)$
     对应TB model: $H =\sum_n^L tc_n^\dagger c_{n+1} +\sum_n^L\mu c_n^\dagger c_n$
     两种方法求解：
     (1) 设$\psi = \sum_i^L \alpha_i c_i^\dagger |0 \rangle$; 边界条件$\alpha_0=0,\alpha_{L+1} = 0$ $\Rightarrow$ $t(\alpha_{j+1}+\alpha_{j-1}) +\mu \alpha_j = \lambda\alpha_j$
     (2) 令$Q_L = det(H_L)$ $\Rightarrow$ $Q_L = (\mu-\lambda)Q_{L-1} - t^2 Q_{L-2}$
     解为: $\lambda = 2 t \cos(\theta) +\mu$, $\theta = \frac{2\pi q}{L+1}$
  2. 差分方法：$\frac{df^2}{dx^2} = \frac{f_{i+1} +f_{i-1} -2f_i }{(\delta x)^2}$ $\Rightarrow$
     $\frac{1}{(\delta x)^2}$ $\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-2& 1\end{array}& 0\end{array}& ⋰\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& \begin{array}{cc}\ddots & \ddots \end{array}\end{array}& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}0& \begin{array}{cc}\ddots & \ddots \end{array}\end{array}& 1\end{array}\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}⋰& 0\end{array}& 1\end{array}& -2\end{array}\end{array}\right)$
  3. 二次型哈密顿量
     $H = \sum_{ij} t_{ij} c_i^\dagger c_j + \sum_{ij} \vartriangle_{ij} c_j^\dagger c_j^\dagger + h.c.$ $\Leftrightarrow$
     ${\psi }^{†}\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cc}t& △\end{array}\\ \begin{array}{cc}{△}^T& \pm t^T\end{array}\end{array}\right)\psi$ , $\psi^\dagger = (c_1^\dagger,\cdots,c_L^\dagger, c_1,\cdots,c_L)$
  4. 作业12 利用差分方法求解下列哈密顿量
     $H = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
     $H = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 +\alpha x^4$
     

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• 3.26周二
  1. 正则
     (1) 经典力学: $X=(q_1,\cdots,q_N,p_1,\cdots,p_N)$ $\Leftrightarrow$ $\{ X_i,X_j\} = \Sigma_{ij}$
     $\sum =\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cc}0& I\end{array}\\ \begin{array}{cc}-I& 0\end{array}\end{array}\right)$
     若存在$U \Sigma U^T = \Sigma$ (辛几何) $\Rightarrow$ $[det(U)]^2=1$，则$Y=UX$也是正则的。
     (2) 量子力学：$X^\dagger = (c_1^\dagger,\cdots,c_N^\dagger,c_1,\cdots,c_N)$ $\Leftrightarrow$ $\{ X_i,X_j^\dagger\} = \Sigma_{ij}$
     $\sum =\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cc}I& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& \pm I\end{array}\end{array}\right)$ ， $"-"$表示Bose子，$"+"$表示Fermi子。
     对于Fermi子，若存在$U \Sigma U^\dagger = \Sigma$ $\Leftrightarrow$ $UU^\dagger=I$，则$Y=UX$也是正则的。
     对于Bose子，若存在$U \sigma_z U^\dagger = \sigma_z$，则$Y=UX$也是正则的。特别的若$U$可以写为块对角形式：
     $U=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{cc}V& 0\end{array}\\ \begin{array}{cc}0& W\end{array}\end{array}\right)$ ， 可以得到$UU^\dagger=I$
  2. 经典力学的震动问题：
     (1) $H = A_{ij}p_i p_j + B_{ij} q_i q_j +c_{ij} p_i q_j$ 变为Bose子：
     $\{\begin{array}{c}{p}_i=i\left(a_i-{a_i}^{†}\right)/\sqrt{2}\\ q_i=\left(a_i+{a_i}^{†}\right)/\sqrt{2}\end{array}$ 带入上式得：
     $\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} = \sum_\beta [-(B_{i\beta} + B_{\beta i})q_\beta + C_{\beta i}p_\beta]$
     $\dot{q}_i = -\frac{\partial H}{\partial p_i} = \sum_\beta [-(A_{i\beta} + A_{\beta i})p_\beta + C_{i \beta}q_\beta]$
     $\Rightarrow$ $X=\left(\begin{array}{c}q\\ p\end{array}\right)$ $\Rightarrow$ $\dot{X} = DX$ $\Rightarrow$ 解为 $\Rightarrow$ $X \sim \sum_i X_i e^{i \omega_i t}$ $\Rightarrow$ $i\omega X = DX$
     (2) 经典力学频率 $\Leftrightarrow$ 量子力学本征值。
     (3) 经典力学的非稳定性 $\Leftrightarrow$ Bose子的复数解 $\Leftrightarrow$ 非厄米矩阵
  3. Hilbert空间与多体作用，多粒子(全同)。例如3个粒子，$L$个格点：
     (1) Bose子空间维度：$C_L^3 + 2C_L^2 + C_L$
     (2) Fermi子空间维度：$C_L^3$
  4. 作业13 三体系统在平衡位置附近的震动问题：$H = p_1^2+p_2^2+p_3^2 + \omega^2(x_1^2+x_2^2+x_3^2) + \alpha(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ (1). 求系统的震动过程以及频率； (2). 转化为Bose子模型再求解； (3). 证明(1)与(2)等价（相同的一套代数）。
  5. 作业14 多体系统求解： (1). 3个格点，2个粒子的Bose-Hubbard model: $H = -t\sum_{ij} (b_i^\dagger b_j +h.c.) + \frac{U}{2} \sum_i n_i (n_i-1)$，计算能谱；
     (2). 4个格点，2个粒子的Fermi-Hubbard model: $H = -t\sum_{ij} (c_i^\dagger c_j +h.c.) + U \sum_{ij} n_i n_j$，计算能谱。

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• 3.29周五
  1. Floquent定理：$\frac{\partial f}{\partial t} = A(t) f, \quad A(t) = A(t+T)$
     解：$f=U(t)f_0 , U = pe^{Qt}, p(t+T) = p(t)$
  2. Bloch定理：$[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} A\cos(x) ] \psi(x) = \lambda \psi(x)$ 求解步骤：
     (1). 找周期$R$, $H(x+R) = H(R)$ $\Rightarrow$ $\cos(x+R) = \cos(x)$ $\Rightarrow$ $R=2\pi$
     (2). $|kR|\leq \pi$ \Rightarrow $|k|\leq 1/2$
     (3). 写出Bloch波函数：$U_k(x+R) = U_k(x)$ $\Rightarrow$ $U_k(x)=\sum_G c_k (G) e^{iGx}$ $\Rightarrow$ $G=n\in(-\infty,\infty)$
     (4). $\psi_k(x) = \sum_G c_k(G)e^{i(G+k)x}$,代入薛定谔方程： 比较系数得
     $-\frac{\hbar^2}{2m} (n+k)^2 c_k(n) +\frac{A}{2}c_k(n-1) +\frac{1}{2} c_k(n+1) = \lambda c_k(n)$
     (5). 写成矩阵形式，阶段大小$N_c$。
     物理图像：与$H\sum_{ij} t_{ij}c_i^\dagger c_j +h.c. +\mu_i c_i^\dagger c_i$联系， $\Rightarrow$ $t_{ij} = A/2, \mu_i = \frac{\hbar^2}{2m}(i+k)^2$
     其他结论：
     (1). $A\cos(x) \rightarrow A/2(e^{ix} + e^{-ix})$
     (2). $A\sin(x) \rightarrow -iA/2(e^{ix} - e^{-ix})$
     (3). $A_2\cos(2x) \rightarrow A_2/2(e^{i2x} + e^{-i2x})$
     (4). $A_2\sin(2x) \rightarrow -iA_2/2(e^{i2x} - e^{-i2x})$
  3. 作业15 根据以前步骤(1)计算$[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} A\cos(x) ] \psi(x) = \lambda \psi(x)$本征值， (2).检查$N_c$多少时结果收敛， (3). 画出能带和Mathieus和Mathieuc比较。
  4. 作业16 找几个任意2维图形（矩形，圆，椭圆，操场，心形等），计算本征值以及波函数的空间分布。

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• 4.2周二
  1. 2D差分方法，Quantum Scar
     附：PPT
  2. Exact Diagonalization(ED)步骤：
     (1). 取一组正交完备的基矢
     (2). 求矩阵元
     (3). 得到矩阵对角化
  3. 两个粒子的ED:
     (1). 两个费米子：基矢 $c_n^\dagger c_m^\dagger |0\rangle, (n\neq m)$ $\Rightarrow$ $\Psi = \sum_{n_1,n_2} c_{n_1,n_2} | n_1 n_2 \rangle ,( n_2>n_1)$ $\Rightarrow$ 一维化处理：$\Psi = \sum_{\alpha} c_\alpha | \alpha \rangle$
     基态$|GS\rangle = a_1^\dagger a_2^\dagger |0\rangle$, 基态能量一阶微扰$E_g = E_1 + E_2 + \langle GS | V | GS\rangle$
     (2). 两个玻色子：基矢 $a_n^\dagger a_m^\dagger |0\rangle,(n\neq m)$ or $\frac{1}{\sqrt{2}} (a_n^\dagger)^2 |0\rangle$
     基态$|GS\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(a_1^\dagger)^2 |0\rangle$, 基态能量一阶微扰$E_g = 2E_1 + \langle GS | V | GS\rangle$
     
  4. ED总结：
     (1). 适用单/多粒子 (2). 随粒子数Hilbert空间指数增长，小系统有一定参考价值，但无法做到热力学极限
     (3). 可以计算基态和激发态，原则上没有算法误差，可以作为其他算法参考(Benchmark)
  5. Lanczos method(WiKi)
  6. 作业17 求解一维单粒子体系$[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V_0 \sin(qx)] \Psi(x) = E \Psi(x)$参数自取。
  7. 作业18 两粒子系统$H=H_0+V$，单粒子部分$H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m} (\frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^2}{dy^2})$，相互作用部分 $V = g\delta(x-y)$。任选Bose/Fermi子一种情况求解，并且当$g\rightarrow 0$和微扰结果比较。

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• 4.9周二
  1. 平均场
     (1). 无固定模式； (2). 常见问题有各种近似方法；(3). 往往用于求解相变问题和相边界。
     (4). “多体～单体+自洽”
     (5). Idea: 算符$AB$，$A=\overline{A}+\delta A, B=\overline{B}+\delta B$ $\Rightarrow$ $AB = \overline{A} \overline{B} +\overline{A}\delta B + \overline{B}\delta A + \delta A \delta B \approx \overline{A}B+\overline{B}A-\overline{A}\overline{B}$，忽略了关联(涨落)项$\delta A \delta B$
  2. Holstein–Primakoff(HP)变换，Spin系统和Bose系统之间的变换，设变换形式：
     $\left\{ \begin{array}{l} & S^\dagger = f(n) a^\dagger \\ & S^- = a f(n) \\ & S^z = g(n) \end{array} \right.$
     得到关系式：
     $\left\{ \begin{array}{l} & f^2(n) = B_1+B_2n \\ & g(n) = A+n \end{array} \right.$
     确定$A,B_1,B_2$可以得到： $\left\{ \begin{array}{l} & S_i^\dagger = (\sqrt{2S-n})a_i\\ & S_i^- = a_i^\dagger\sqrt{2S-n}\\ & S_i^z = S-n \end{array} \right.$ or $\left\{ \begin{array}{l} & S_i^\dagger = a_i^\dagger (\sqrt{2S-n})\\ & S_i^- = \sqrt{2S-n}a_i\\ & S_i^z = n-S \end{array} \right.$ 其中$n=a_i^\dagger a_i$
     
  3. 作业19 找到上面参数$A,B_1,B_2$之间的关系
  4. 作业20
     (1). Schwinger Boson $\left\{ \begin{array}{l} & S^\dagger = a^\dagger b\\ & S^- = b^\dagger a\\ & S^z = (a^\dagger a -b^\dagger b)/2 \end{array} \right.$
     (a).证明$[S^\dagger,S^-] = 2 S_z$; (b). 计算$S^2$; (c). 证明基矢$| S,m \rangle =\frac{(a^\dagger)^{S+m}(b^\dagger)^{S-m}}{\sqrt{(S+m)!(S-m)!}} |0\rangle$是算符$S^2,S^z$的本证态， 对应本征值$S(S+1),m$，这里$a^\dagger a+b^\dagger b = 2S$
     (2). Schwinger Fermion同样计算(1)中的问题
     (3). Dyson–Maleev变化
     $\left\{ \begin{array}{l} & J^\dagger = a\\ & J^- = a^\dagger (2S-n)\\ & J^z = S-a^\dagger a \end{array} \right.$
     计算$[J^\dagger,J^\dagger]$, $J^2$
     (4). $\overrightarrow{J} = \frac{1}{2}a^\dagger \overrightarrow{\sigma} a$，证明$\overrightarrow{J}$和$\overrightarrow{\sigma}$有相同对易关系，计算$J^2$

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• 4.12周五
  1. Jordan-Wigner变换
     $\left\{ \begin{array}{l} &S_{n}^{+} =c_{n}^{\dagger} \exp \left(i \pi \sum_{m=1}^{n-1} c_{m}^{\dagger} c_{m}\right) \\ &S_{n}^{-} =\exp \left(-i \pi \sum_{m=1}^{n-1} c_{m}^{+} c_{m}\right) c_{n} \\ &S_{n}^{z} =c_{n}^{\dagger} c_{n}-\frac{1}{2} \end{array} \right.$
  2. 应用铁磁，反铁磁系统
  3. 作业21 $H = bS^\dagger + b^* S^- +b_z S^z$，代入HP变换$S^\dagger = a^\dagger\sqrt{2S-a^\dagger a}, S^- = \sqrt{2S-a^\dagger a}a, S^z = a^\dagger a-S$，求解自由能。
  4. 作业22 计算$\sum_{ij}(\Delta a_i^\dagger b_i^\dagger + \Delta b_i^\dagger a_j^\dagger +h.c.)$的色散关系。

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• 4.17周二
  1. 牛顿法求$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=0$
     $\overrightarrow{x}_{n+1} = \overrightarrow{x}_n -(J)^{-1} \overrightarrow{f}(\overrightarrow{x}_n)$, 其中$J$为Jacobian矩阵。
     $\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=0$与$(J)^{-1}$无关，迭代中$(J)^{-1}$的计算最为复杂。
  2. Broyden算法
     基本思想：不计算$J^{-1}$，用近似值代替，对最后的根无影响。
     $\mathbf{J}_{n}=\mathbf{J}_{n-1}+\frac{\Delta \mathbf{f}_{n}-\mathbf{J}_{n-1} \Delta \mathbf{x}_{n}}{\left\|\Delta \mathbf{x}_{n}\right\|^{2}} \Delta \mathbf{x}_{n}^{\mathrm{T}}$
     $\mathbf{J}_{n}^{-1}=\mathbf{J}_{n-1}^{-1}+\frac{\Delta \mathbf{x}_{n}-\mathbf{J}_{n-1}^{-1} \Delta \mathbf{f}_{n}}{\Delta \mathbf{x}_{n}^{\mathrm{T}} \mathbf{J}_{n-1}^{-1} \Delta \mathbf{f}_{n}} \Delta \mathbf{x}_{n}^{\mathrm{T}} \mathbf{J}_{n-1}^{-1}$
     只需得到$J_1,J_1^{-1}$可以利用上式迭代求$J_n,J_n^{-1}$
  3. Dicke model: 附：Ref
     （1）量子方法：$H = \omega a^\dagger a +\omega_0 \sum_i \sigma_i^z + g/\sqrt{N} \sum(a^\dagger \sigma_i^- +h.c.)$, 其中$N$为原子数，$g$相互作用强度，定义：
     $\left\{ \begin{array}{l} & J^z = \sum_i \sigma_i^z \\ & J^+ = \sum_i \sigma_i^+ \\ & J^- = \sum_i \sigma_i^- \end{array} \right.$
     得到$H = \omega a^\dagger a +\omega_0 J^z + g/\sqrt{N} (J^\dagger a + h.c.)$
     利用近似HP变换$J^+ \approx \sqrt{2N}b^\dagger$,得到
     $H = \omega a^\dagger a +\omega_0 b^\dagger b + \sqrt{2}g (a^\dagger b + h.c.) + \text{const}$, const$=-N\omega_0$
     $(a^\dagger,b^\dagger)$$\left( \begin{array}{l} & \omega \qquad \sqrt{2}g \\ &\sqrt{2}g \qquad \omega_0 \end{array} \right)$$\left( \begin{array}{l} & a \\ &b \end{array} \right)$
     得到$E_{\pm} = \frac{\omega+\omega_0}{2}\pm \sqrt{\frac{(\omega-\omega_0)^2}{4} + 2g^2}$，相变点$g_c = \sqrt{\frac{\omega\omega_0}{2} }$
     （2）经典方法：$H = \frac{p_1^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x_1^2 + \frac{p_2^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_0^2 x_2^2 +\sqrt{2}g m \sqrt{\omega\omega_0} x_1x_2 + \sqrt{2}g \frac{p_1p_2}{m\sqrt{\omega\omega_0} }$
     $\dot{p_1} =-\frac{ \partial H}{ \partial x_1} = m\omega^2x_1 + \sqrt{2}gm\sqrt{\omega\omega_0}x_2$
     $\dot{x_1} = \frac{ \partial H}{ \partial p_1} = \frac{p_1}{m} + \frac{\sqrt{2}gp_2}{m\sqrt{\omega\omega_0}}$
  4. 作业23 $H = E_1 a_1^\dagger a + E_2 a_2^\dagger a_2 + U_1 n_1(n_1-1) + U_2n_2(n_2-1) + J(a_1^\dagger a_2 + h.c.)$
     方法一：(1). 利用Schwinger-Boson变换，用自旋算符$J_x,J_y,J_z$表示以上哈密顿量
     (2). 在（1）结果上进行HP变换得到$H(a,a^\dagger)$，求运动方程
     (3). Josephson变换：$a=e^{-i\theta}\sqrt{\rho}$, $a^\dagger=\sqrt{\rho}e^{i\theta}$
     方法二：$a_1 = e^{-i\theta_1}\sqrt{N_1}$, $a_2 = e^{-i\theta_2}\sqrt{N_2}$ $\Rightarrow$ $i\dot{a_1} = [a_1,H]$,$i\dot{a_2} = [a_2,H]$
     (1). 推导 $\left\{ \begin{array}{l} \dot{z} &=-\sqrt{1-z^{2}} \sin \phi \\ \dot{\phi} &=\Lambda z+\frac{z}{\sqrt{\left(1-z^{2}\right)}} \cos \phi+\Delta E \end{array} \right.$ 其中 $\left\{ \begin{array}{l} z &=\frac{N_1-N_2}{N_1+N_2} \\ \phi & = \theta_2 -\theta_1 \end{array} \right.$
     (2). 数值计算
     (3). 比较两种方法
  附：Ref
  5. 作业24 对于上文Dicke model经典方法,定义$Y = (x_1,p_1,x_2,p_2)$, 求$\dot{Y} = A Y$

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• 4.19周五
  1. 　$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=0$ $\Rightarrow$ $x_{n+1}=x_n-J^{-1}f(x_n)$, where $J$ is Jacobi matrix $\Leftrightarrow$
     $F=\sum_i f_i^2$ $\Rightarrow$ $F\rightarrow \min$ $\Rightarrow$ $\nabla F=0$ $\Rightarrow$ $x_{n+1} = =x_n - H^{-1} \nabla F$, where $H$ is Hessian matrix
  2. 算法：(1)steepest descent method(最速下降法), (2)conjugate gradient method(共轭梯度法)

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• 4.23周二
  1. Bose-Hubbard model平均场
     
  2. Kuramoto model
     $\dot{\theta} = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_j^N \sin(\theta_j - \theta_i)$
     序参量：$Z=Re^{i\psi} = \frac{1}{N}\sum_j e^{i \theta_j}$ $\Rightarrow$
     $\dot{\theta} = \omega_i - KR \sin(\theta_i - \psi)$，解
     (1). 所以$\dot{\theta_i}$都不一样，长时间平均$|Z|\sim \frac{1}{\sqrt{N}}$
     (2). 所有振子同频率$\dot{\theta_i} = \overline{\omega}$ $\Rightarrow$
     稳态解：$\dot{\theta_i} = \omega_i-KR \sin[\theta_i(0)-\theta(0)]$， 条件：$|\frac{\omega_i-\overline{\omega}}{KR}| \leq 1$
     同步时的$\theta_i(0)$分布：$P_s(\varphi)=g(\overline{\omega} + KR \sin \varphi) KR \cos \varphi$
     临界点$K_c = \frac{2}{\pi g(\overline{\omega})}$
  3. 作业25 Kuramoto model $\dot{\theta} = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_j^N \sin(\theta_j - \theta_i)$ 数值求解，$N=200\sim 500$左右。

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• 4.26周五
  1. 混沌
     (1). Lorentza吸引子，(2). 极限环
     连续方程：Lorentza吸引子；离散：Logistic map
     Ref: PPT
  2. Kicked rotor: $H = \frac{p^2}{2}+k \cos q \sum_n \delta(t-nT)$
     Standord map eq: $p_{n+1}^- = p_n^- +k\sin q_n, \quad q_{n+1} = q_n+p_{n+1}^-$
  3. 作业26 求Standard map相图，扫描k
  4. 作业27 $H = \frac{p^2}{2} + k\cos q \sum_n [\delta(t-nT) + \delta(t-nT+T_0)]$
     (1). 求出standard map方程(eq1)
     (2). 画出相图(fig1)
     Ref: PhysRevLett.99.234101

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• 4.30周二
  1. Bogoliubov-De-Gennes方程
  2. 相互作用与平均场
     (1) Coulomb Interaction: $V(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$
     (2) Contact Interaction: $g\delta(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})$
     (3) Spinless: $\sum_{k_1k_2 q}V_q \psi_{k_1+q}^{\dagger}\psi_{k_1-q}^{\dagger}\psi_{k_2}\psi_{k_1}$
     Spin: $\sum_{k_1k_2 q}V_q \psi_{k_1+q,\uparrow}^{\dagger}\psi_{k_1-q,\downarrow}^{\dagger}\psi_{k_2,\downarrow}\psi_{k_1,\uparrow}$
     (4) Hatree项: $\psi_{k_1+q,\uparrow}^{\dagger}\psi_{k_1,\uparrow}\psi_{k_1-q,\downarrow}^{\dagger}\psi_{k_2,\downarrow}$
     Fock项: $-\psi_{k_1+q,\uparrow}^{\dagger}\psi_{k_2,\downarrow} \psi_{k_1-q,\downarrow}^{\dagger}\psi_{k_1,\uparrow}$
     (5) $g>0$: 排斥相互作用, Hatree项主要
     (6) $g<0$: 吸引相互作用, Fock项主要
     $H = \sum_{k\sigma}\varepsilon_{k\sigma}\psi_{k\sigma}^{\dagger}\psi_{k\sigma}+\Delta \psi_{k\uparrow}^\dagger\psi_{k\downarrow}^\dagger +h.c.$
     基态能量: $E_g=\sum_{k}(\varepsilon_k-\sqrt{\varepsilon_k^2+|\Delta|^2})-\frac{|\Delta|^2}{g}$
     求解: $\frac{\partial E_g}{\partial \Delta^*}=0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{\Delta}{g}-\sum_k \frac{\Delta}{\sqrt{\varepsilon_k^2+|\Delta|^2}} =0$

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• 5.5周日
  1. Nonlinear equation, PPT
  2. (1) Gross–Pitaevskii(GP)方程
     (2) Fast Fourier Method
     (3) Imaginary Time Method
     PPT , Ref: Numerical solution of the Gross–Pitaevskii equation
     GP方程代码
  3. 作业28 已知$H = T(x)+V(x), T = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$, Time-evolution equation, $\psi(x, t+\Delta t)=e^{-i \Delta t H / \hbar} \psi(x, t)$, 证明: $e^{-i \Delta t H / \hbar} \approx e^{-i \Delta t V /(2 \hbar)} e^{-i \Delta t T / \hbar} e^{-i \Delta t V / 2 \hbar} \psi$ holds the error $\left(\mathcal{O}\left(\Delta t^{3}\right)\right)$
  4. 作业29 已知Time-Dependent Gross-Pitaevskii Equation
     $i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{x}, t)=\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+V(\mathbf{x}, t)+g|\psi(\mathbf{x}, t)|^{2}\right] \psi(\mathbf{x}, t)$, 其中$V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2(x^2-a^2)$,数值求解基态能量和波函数。

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• 5.7周二
  1. BCS
     (1) k-space: $H = \sum_{k\sigma}\varepsilon_k c_{k\sigma}^\dagger c_{k\sigma} + \Delta c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger +h.c.$
     (2) r-space: $H = -t\sum_{i\sigma} c_{i\sigma}^\dagger c_{i+1,\sigma} + \Delta c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger +h.c.$
     写基矢，对应矩阵形式
  2. 作业30 (1) Spinless model(Kitaev model)
     $H = \sum_i ( -tc_i^\dagger c_{i+1} + \Delta c_i^\dagger c_{i+1}^\dagger + h.c. ) + \sum_i c_i^\dagger c_i$
     取值$L=100,t=1$,扫描$\mu,\Delta$，画出能谱和相图。
     (2) s-wave SC model
     $H = -t\sum_{i,\sigma} (c_{i,\sigma}^\dagger c_{i+1,\sigma} +h.c. ) +\Delta \sum_i ( c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\downarrow}^\dagger + h.c.) + \mu \sum_{i,\sigma} c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma} + h \sum_i (c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\uparrow}- c_{i,\downarrow}^\dagger c_{i,\downarrow})$
     取值$L=100,t=1$,讨论问题自定。 (3) SOC-s-wave SC model
     $H = -t\sum_{i,\sigma} (c_{i,\sigma}^\dagger c_{i+1,\sigma} +h.c. ) +\Delta \sum_i ( c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\downarrow}^\dagger + h.c.) + \mu \sum_{i,\sigma} c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma} + h \sum_i (c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\uparrow}- c_{i,\downarrow}^\dagger c_{i,\downarrow}) +\lambda \sum_{i} ( c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i+1,\downarrow} - c_{i,\downarrow}^\dagger c_{i+1,\uparrow } +h.c.)$
     取值$L=100,t=1$,画相图。

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• 5.10周五
  1. BdG方程对称性： particle-hole symmetry
     $c=\sigma_x k$, $cHc^{-1} = -H$
     
  2. Anderson localization
     (1) 1维，2维没有extended state到localized state转变，任意小的无序都为 localized state
     (2) 3维度存在extended state到localized state转变，$W < W_c$为 extended state，$W > W_c$为 localized state
     (3) 1D model: $H = -t\sum_i[c_i^\dagger c_{i+1} + h.c.] + \sum_i V_i c_i^\dagger c_i$。其中：$V_i \in [-W,W]$的均匀分布。
     (4) 转移矩阵，参考Hoffmann的书章节 Transfer-Matrix Methods and Finite-Size Scaling for Disordered Systems
     (5) QR分解：$A = QR$, 满足$Q^\dagger Q = 1$. $T_nT_{n-1}...T_2T_1 = Q_n R_n R_{n-1} R_2R_1$
  3. Aubry-André (AA) model: $H = -t\sum_i (c_i^\dagger c_{i+1}+h.c.) + \sum_{i}V \cos(qi)c_i^\dagger c_i$, $q$为无理数。$V=-2t$时，傅里叶变换一致$H_k=H_i$，对偶。相边界:$V=-2t$
  4. 作业31 讨论 AA model 性质：
     (1) 用严格对角化方法证明扩展态到局域态转变在$V=-2t$, 取$L=1000,q=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, 计算inverse participation (IPR), IPR=$\sum_i |P_i|^2$
     (2) 推导AA model 的对偶关系:$V=-2t$
     (3) 用转移矩阵方法计算$\xi (E)$的值，与(1)得到的边界比较。

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• 5.14周二
  1. 有限元
  2. 随机过程
     (1) 中心极限定理，大数定理
     (2) Einstein扩散方程 Einstein paper
     $\frac{D}{2} \frac{\partial ^2 p}{\partial t^2} = \frac{\partial p}{\partial t}$
     (3) 郎之万方程
     $m \dot{\overrightarrow{v}} =\overrightarrow{F} -\eta \overrightarrow{v} +\xi$
     (4) Einstein关系： $D = 2\eta k_B T$
     
  3. 作业32 用投针法计算$\pi$的值。求$\pi$分别近似到3.14， 3.1415， 3.14159时所需要的总投针次数$N$

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• 5.17周五
  1. 随机行走
     $n$步以后，在$l$处的位置： $P(l) = \frac{1}{2^n} C_n^{n/2+l/2} =\frac{n!}{2^n (n/2+l/2)!(n/2-l/2)!}$
  2. 随机过程
  3. 物理中：$m \dot{x}=-\dot{v}(x)-r\dot{x}+\xi$
     数学中：$dx=\mu dt+\sigma dw$, $dw=\xi dt$
  4. Itô's lemma (Wiki)
  5. 作业33 Mathematica计算随机行走$P(l)$
  6. 作业34 Brownian motion: $\dot{v}=-rv+\xi$
     $v(t)-v(0)=\int_0^t (-\gamma v+\xi)dt$, 数值：$v_n = v_{n-1}-\gamma v_{n-1} \delta t +\xi_{n-1} \delta t$, $\langle \xi_n^2\rangle = \frac{1}{\delta t}$
     和严格结果对比（每一时刻平均值，方差）

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• 5.21周二
  1. caldeira-leggett model (Wiki)
     振子与振子之间的相互作用
     $H = \frac{P^2}{2M}+V(X)+\sum_j^N [\frac{p_j^2}{2m_j}+\frac{1}{2}m_j\omega_j^2(x_j-\frac{C_j}{m_j\omega_j^2}X)^2]$
     定义：$\gamma(t)=\sum_j \frac{1}{M}\frac{C_j^2}{m_j\omega_j^2}\cos(\omega_j t)$
     $F_L = \sum_j C_j [x_j(t_0)\cos(\omega_j(t-t_0))+\frac{p_j}{m_j\omega_j}\sin(\omega_j(t-t_0))]$ $\Rightarrow$
     $M \ddot{x}+M \int_{t_0}^t \gamma(t-t^\prime)\frac{dx(t^\prime)}{dt}dt^\prime = -M\gamma(t-t_0)x(t_0)+F_L-V^\prime(x)$
     极端情况：$\gamma(t)=\gamma\delta(t)$ $\Rightarrow$ $M\ddot{x}+\frac{M}{2}\gamma \dot{x}(t)=F_L-V^\prime(x)$
  2. 谱函数：$J(\omega)=\frac{\pi}{2}\sum_j \frac{C_j^2}{m_j\omega_j^2}\delta(\omega-\omega_j)$
  3. 作业35 $\overline{F_L}=\sum_j C_j \overline{x_j} = 0$, $\overline{x_j}=\int x_je^{-\beta}(\frac{p_j^2}{2m_j}+\frac{1}{2}m_j\omega_j^2x_j^2)dx_j$,
     计算$\overline{F_L(t)F_L(t+\tau)} = Mk_BT \gamma(\tau) \doteq Mk_BT\delta(\tau)$
  4. 作业36 1个粒子和N个振子相互作用，求该粒子的运动。N=1000, $\omega_j,m_j$随机分布

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• 5.28周二
  1. 随机力$F_L=\sum_i(m_i \omega_i^2 \alpha_i q_i)$
     (1). $\langle F_L \rangle = 0$ (2). $\langle F_L^2\rangle \propto k_BT$
  2. 量子CL model
     $b_i = \sqrt{\frac{m_i \omega_i}{2}}q_i + \frac{i p_i}{\sqrt{2m_i\omega_i}}$
     $b_i = \sqrt{\frac{m_i \omega_i}{2}}q_i - \frac{i p_i}{\sqrt{2m_i\omega_i}}$
     $\Rightarrow$ $F_L = \sum_i \frac{m_i\omega_i^2 \alpha_i}{\sqrt{2m_i\omega_i}}(b_i+b_i^\dagger)$
     $\langle (b_ib_i^\dagger)^2 \rangle = (2n_i+1)$ $\Rightarrow$ $\langle F_L^2 \rangle \approx \sum_i m_i \omega_i^2 \alpha_i^2 k_BT \propto k_BT$
  3. Langevin方程
     $\left\{\begin{aligned} & m \ddot{x} = -V^\prime(x) -\gamma \dot{x} +\sum_i \eta_i (b_i+b_i^\dagger) \\ & V(x) = \frac{1}{2}m \omega^2 x^2 \end{aligned} \right.$
     $\left\{\begin{aligned} & a = \sqrt{\frac{m\omega}{2}} x +\frac{ip}{\sqrt{2m\omega}}\\ & a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2}} x- \frac{ip}{\sqrt{2m\omega}} \end{aligned} \right.$
     $\Rightarrow$ $\left\{\begin{aligned} & i \dot{a} = \omega a -i \frac{\gamma}{m}a +\xi \\ & \xi = \sum_i \sqrt{\frac{2}{m\omega}} \eta_i b_i \end{aligned} \right.$
  4. 耗散/退相干
     $t=0$, 纯态$\rho_0 =|\psi\rangle \langle \psi|$, 热浴$\rho_B$
     初始：$\rho(t=0) = \rho_0 \otimes \rho_B$, 演化：$\rho(t)=U\rho(t=0)U^\dagger$, 约化密度矩阵：$\rho_s(t)=Tr_B(\rho(t)) = Tr_B(U\rho_0\otimes \rho_B U^\dagger)$
     若$\rho_B = |0 \rangle \langle 0|$,则：
     (1). $\rho_s(t) = \sum_i \langle i|U|0\rangle \rho_0 \langle 0 |U^\dagger|i\rangle = \sum_i M_i \rho_0 M_i^\dagger$, 其中$M_i = \langle i|U|0\rangle$
     $\sum_i M_i^\dagger M_i = 1$
     (2). $\rho_s = \rho_s^\dagger$
     (3). $Tr(\rho_s) = 1$
     (4). 正定的：$\langle \psi |\rho_0 |\psi \rangle = \langle \psi | \rho_0 | \psi \rangle \geqslant 0$
  5. 作业37 若$\rho_B = \frac{1}{Z} \sum_\alpha e^{-\beta \varepsilon_\alpha |\alpha \rangle \langle \alpha |}$,证明以上4点性质。

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• 5.31周五
  1. Kraus表示
     $\rho_s(t) = \sum_i M_i \rho_s M_i^\dagger \equiv \$(\rho)$
     $\rho_s(t+dt) = \sum_i M_i (dt) \rho_s(t) M_i^\dagger (dt) = \rho_s(t) + \frac{d \rho_s}{dt} (dt)$
     假设$M_0 = 1+ Gdt$, $M_i = Li \sqrt{dt}$
     设$G = A+iB$, $G^\dagger=A-iB$. $A=-\frac{1}{2}\sum_i Li^\dagger Li$
     总结：$\frac{d \rho_s}{dt} = L(\rho_s)$, $L(\rho_s) = -i[H,\rho_s] + \sum_i D_i(\rho_s)$, $D_i(\rho_s) = \sum_i (Li \rho_s Li^\dagger -\frac{1}{2}\rho_s Li^\dagger Li -\frac{1}{2}Li^\dagger Li \rho_s)$
  好处：(1)无需求$M_i(t)$, (2)定义几个简单的Operator可以了解环境贡献， (3)无法用定性方法，可以用实验方法确定， (4)$\sum M_i^\dagger(t) M_i(t)=1$,$Li$无限定，自动满足
  数值：$\frac{d}{dt}\langle n| \rho_s |m \rangle = \frac{d}{dt}\rho_{n+1}$
  2. 作业38 Spin-1/2
     $\frac{d \rho}{dt} = -i [H,\rho] + \gamma(1-f) D(\sigma_-) + \gamma f D(\sigma_+)$, $D(L) = L \rho L^\dagger - \frac{1}{2}\rho L^\dagger L -\frac{1}{2}L^\dagger L \rho$, $H = \frac{\Omega}{2}\sigma_z$, Hilbert空间$|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle$. 求解$\rho_{\uparrow\uparrow},\rho_{\downarrow\downarrow}, \rho_{\uparrow\downarrow}, \rho_{\downarrow\uparrow}$演化方程，画图。

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• 6.4周二
  1. Lindblad Equation
     （1）Spin model， $\gamma$与$f$的物理意义：
     $f$是平衡时的分配，$\gamma$是delay rate
     (2) Boson model
     $H_s = \omega (a^\dagger a +\frac{1}{2})$,
     $i \dot{\rho} = [H_s,\rho] +\gamma_1 D(a) + \gamma_2 D(a^\dagger)=[H_s,\rho]+ \gamma_1(a^\dagger \rho a -\frac{1}{2}\rho a a^\dagger -\frac{1}{2}a a^\dagger \rho) + \gamma_2 (a \rho a^\dagger -\frac{1}{2}\rho a^\dagger a -\frac{1}{2}a^\dagger a \rho)$
     求解：Hilbert空间$\{|0\rangle,|1\rangle,...\}$, 长时间平衡$\overline{n} = \frac{1}{e^{\beta\omega}-1}$
     对角化稳态：$\dot{\rho}_{nn}=0$, 引入$\rho_{nn}=\rho_n$
     $\gamma_1(n \rho_{n-1}-(n+1)\rho_n ) \gamma_2 ((n+1)\rho_{n+1} - n \rho_n) = 0$
     $\gamma_1/\gamma_2 = e^{-\beta \omega}$ for $\forall n$ $\Rightarrow$ $\gamma_1 = \gamma\overline{n}, \gamma_1 = \gamma(\overline{n}+1)$
     (3) Fermion model
     $D(f^\dagger), D(f), D(n)$
     $D(n)= (n\rho n -\frac{1}{2}\rho n^2 -\frac{1}{2}n^2\rho ) \equiv n\rho n -\frac{1}{2}\rho n -\frac{1}{2}n \rho$
     平衡意义下：$\rho(t+dt) = \rho(t) + i\rho A^\dagger dt -iA \rho dt +\sum_i Li \rho Li^\dagger dt$
     Let:$A = H-\frac{i}{2}\sum_i Li^\dagger Li$
  2. Vec函数
     (1) 定义 $\rho = \sum_{ij} |i\rangle \langle j|$
     (2) $tr(A^\dagger B) = \sum_{ik} A_{ki}^* B_{ki}$ = Vec(A)^\dagger Vec(B)
     (3) $Vec(ABC) = \sum A_{ij} B_{jm} C_{mn} |i\rangle |n \rangle$ = (C^T \bigotimes A)Vec(B)
     (4) 定义：$V = Vec(\rho)$ $\Rightarrow$ $i \dot{V} = L V$
  3. 作业39 Boson model 求解$\rho$的对角和非对角元
  4. 作业40 Fermion model
     讨论$H_s = w f^\dagger f$, $\gamma_1 D(f) + \gamma_2 D(f^\dagger) + \gamma_3 D(f^\dagger f)$, $\gamma_1,\gamma_2\gamma_3$任取，Hilbert空间0,1 or $\uparrow,\downarrow$

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• 6.11周二
  1. 相干态
     $|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-|\alpha|^2/2}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle, \quad \alpha\in \mathcal{C}$
     $a|\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle$, $a^\dagger|\alpha\rangle = (\frac{\partial}{\partial \alpha}+\frac{1}{2}\alpha^*)|\alpha\rangle$
     $\langle\alpha|a^\dagger = \alpha^* \langle\alpha|$, $\langle\alpha|a = (\frac{\partial}{\partial\alpha^*}+\frac{1}{2}\alpha)\langle\alpha|$
     $\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\gamma_+}{2} \frac{\partial}{\partial\alpha} [\alpha p\alpha + c.c.] + \gamma_- \frac{\partial^2}{\partial\alpha^*\partial\alpha}p$
  2. MC simulation
     重要采样：$W(x)=\frac{P(x)}{f(x)}$, $f(x) = \frac{1}{L}\sum_i \delta(x-x_i)$, $\int_a^b P(x)dx = \frac{1}{L}\sum_iW(x_i)$
     Metropolis算法：
     (1) 细致平衡$\frac{dp_a}{dt} = \sum_B P_{B} W_{B\rightarrow A} - \sum_A P_{A} W_{A\rightarrow B} =0$
     (2) 配分函数：$Z=Tr(e^{\beta H})$ $P_B W_{B\rightarrow A} = P_A W_{A\rightarrow B}$ $\Rightarrow$ $e^{-\beta E_A}W_{A\rightarrow B} = e^{-\beta E_B}W_{B\rightarrow A}$ $\Rightarrow$ $W_{A\rightarrow B} = \min (1,e^{-\beta \Delta E})$, $\Delta E = E_B-E_A$

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