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计算物理(2019/春季)
主讲老师:龚明,量子信息实验室514
助教:许宏泽,量子信息实验室519,xhz1995@mail.ustc.edu.cn,15905690778
上课时间:星期二8-10节,星期五1-2节(1-16周)
上课地点:5103
-
公告:有同学建议建一个群供大家讨论,QQ群号774501908,大家自行加入。
- 参考书
- 《计算物理学》, Hoffmann
- 《计算物理学导论》,Tao Pang
- 《计算物理学》,马文淦
- 计算物理-丁泽军
- 《数值计算方法与算法》,张韵华
- 考核
- 考试:50%,开卷(5选4)
- 课题报告:20% (格式8%,内容12%)
- 平时作业:30% (作业每两周交一次)
作业1-16答案参考
作业17-29答案参考
第七次作业35-40,6月24日之前交。以往没有交作业的在考试之前补交上。纸质电子版都可以,内容包括题目代码结果,有证明之类的写必要推导过程。
代码粘贴到word或pdf与结果放一起,不要只交.m/.py/.nb等源代码。电子版发到邮箱xhz1995@mail.ustc.edu.cn,主题“计算物理-姓名-学号”,以免漏掉。
若交邮箱,收到后我会回复大家,没有收到回复的联系我。大家尽量按时交,晚交的酌情扣分。
- 优秀作业参考
作业1-6
作业7-12
作业13-18
作业19-24
作业25-29
作业30-34
作业35-40
- 考试时间统计
- 统计表 大家把不能参加考试的时间或者建议考试的时间填一下!
- 考试时间6月25日上午8-11点,地点5106。
- 课题报告(持续更新中)
- 课题报告要求(参看以往拓扑课格式,本课程计算为主)
- 参考论文
- 论文选择 (确定选题后,大家把信息填到表格里)
- 报告在7月30日之前交。电子版发邮箱,纸质版交到量子信息实验室514或519.
- 2.26周二
- 主要内容:插值方法
(1) 过(x1,y1),(x2,y2)两点插值: y=x−x1x2−x1y2+x−x2x1−x2y1
(2) 过(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN) N点插值: y=N∑ili(x)yi,li(x)=(x−x1)(x−x2)⋯(x−xi−1)(x−xi+1)⋯(x−xN)(xi−x1)(xi−x2)⋯(xi−xi−1)(xi−xi+1)⋯(xi−xN)
(3) li(x)性质:
a. li(xj)=δij
b. li(x)只和xi有关与yi无关,是x的N−1阶函数
c. l(x)=∑Nili(x)=1
(4) 误差 RN(x)=fN(ξ)N!(x−x1)⋯(x−xN)
- 作业1:已知曲线过四个点(红色标记),确定中间两点a,b之间灰色区域面积。

- 3.1周五
- 导数问题
(1) 变为积分,进行插值
y′=f(x)→y=∫xx0f(x′)dx′+y0
(2) 变为迭代方程
y′=f(x)≡y(x)−y(x−h)h→y(xn)=y(xn−1)+hf(xn−1)
y′′=f(x)≡y(x+h)+y(x−h)−2y(x)h2→y(xn+1)+y(xn−1)−2y(xn)=h2f(xn)
(3) y′=f(x,y)显式,隐式法(Picard迭代法)
- 解方程问题
f(x)=0变为迭代方程
Example: ax2+bx+c=0→xn=−abx2n−1−cb
-
{计算机只能做离散计算。→离散化→插值求面积计算机不能求导数,只能用Taylor展开。计算机不能求非线性。→线性化→迭代
- 作业2:求解方程AX2+BX+C=0,其中A,B,C,X均为矩阵。取A,B,C为任意的3×3矩阵,找到满足方程的解的X。
作业3:质量分别为m和M的两球通过劲度系数为k的弹簧连接,弹簧自然状态长为d0,初始时刻系统位置、弹簧长度任意选取,若沿x轴水平抛出,求解之后系统的运动情况,如下图示意。

- 3.5周二
- 主要内容
(1) Forward算法
yn+1=yn+hf(xn,yn)
(2) Backward算法
yn+1=yn+hf(xn+1,yn+1)
(3) 预估
yn+1=ynh2[f(xn,yn)+f(xn+1,¯yn+1)],¯yn+1=yn+hf(xn,yn)
⇒yn+1=yn+h2[f(xn,yn)+f(xn+h,yn+hf(xn,yn))]
(4) Runge-Kutta算法 不用求导数,减少求f(x,y)的次数。
RK23,2阶,误差o(h3);RK45,4阶,误差o(h5)。
(5) 矩阵
{方程AX=b,求根{QR分解A=QR,QQ†=1,R为上三角矩阵Gauss消元法,复杂度o(N3)本征值{方阵{A=A†:Aψi=λiψi,λi∈ℝ;U†ΛU=λ一定存在;A=A*⇒U†=UTA≠A†:可能存在λi∈ℂ,如果存在则P-1AP=λ非方阵:奇异值(SVD)分解
附:Mathematica代码
- 作业4:RK45算法精度分析
作业5: Baker's map
S(x,y)={(2x,y/2),0≤x<1/2(2-2x,1-y/2),1/2≤x<1
产生随机序列,画出点图。
作业6: Lorenz Attractor
{x'=-σ(x-y)y'=x(ρ-z)-yz'=xy-βz
自选参数,画出系统运动轨迹。
- 3.8周五
- 量子化
(1) 一次量子化 [x,p]=iℏ
(2) 二次量子化 Dirac(1927)
哈密顿正则方程{dpdt=-∂H∂qdqdt=∂H∂p⇒泊松括号形式{dpdt={p,H}dqdt={q,H}⇒{{pi,pj}={qi,qj}=0{qi,pj}=δij
{i∂Ψ∂t=HΨΨ=∑ncn❘ϕn〉⇒{E=〈Ψ|H|Ψ〉=∑nmtnm(cn*)cm∑ni∂∂tcn=∑mcm〈ϕn|H|ϕm〉≡cmtnm⇒{i∂∂tcn=∂E∂(cn*)i∂∂t(cn*)=-∂E∂cn
{cn,cm}={c∗n,c∗m}=0,{cn,c∗m}=δnm 等价描述 {Ψ,Ψ}={Ψ∗,Ψ∗}=0,{Ψ(x),Ψ∗(y)}=δ(x−y)
|cn|2=c∗ncn,占据数 ⇒ ˆn=c†ncn,粒子数。c†n,cn产生湮灭算子
- 附:Mathematica代码-矩阵操作
- 3.12周二
- 二次量子化refbook
- 随机矩阵
(1).三类高斯系综:GOE,GUE,GSE, (2).联合概率密度函数, (3).半圆率, (4).Wigner假设-能级间距分布, (5).能级间距比分布.
附: Matlab代码,PPT, 参考书, 参考文献
- Bloch定理 Ψk(x+R)=Ψk(x)eikR,Ψk(x)=uk(x)eikx,uk(x+R)=uk(x)
- 扩展态↔局域态 Ψ(x)=∑nCnWn(x), 其中Wn(x)为Wannier函数,局域态。
- 一维Bose-Hubbard model
H=H0+V, H0=−ℏ22m∂2∂x2+ηcos(kx), 相互作用项V=gδ(x)
近似:H0=−t∑nm(C†nCn+1+h.c.)−μC†nCn, V=UC†nC†nCnCn
H0对角化:H0=∑k(−2tcosk−μ)C†kCk
- 作业7计算GOE,GUE,GSE (1).能级间距比分布P(r), (2).半圆率, (3).换不同随机数计算,如均匀、正态分布等。矩阵大小可以选择100*100,平均1000次。
- 作业8计算四个粒子⟨x1x2x3x4|∂x1|x1x2x3x4⟩。
- 作业9相互作用项∫dxdyΨ†(x)Ψ†(y)gδ(x−y)Ψ(y)Ψ(x)=gC†n1C†n2Cn3Cn4∫W∗n1W∗n2Wn3Wn4dx,若Cn为费米子,做最低阶近似。
- 3.19周二
- Mathieu函数 附:Mathematica代码
- Tight-Binding model real space与kspace的对应变换:
(1). −t∑nc†ncn+1+h.c. ↔ −2t∑kc†kck ↔
∑k(−2t+tk2)c†kck, for k→0
(2). μ∑nc†ncn ↔ μ∑kc†kck
(3). h∑n(c†n↑cn↑−c†n↓cn↓) ↔
h∑k(c†k↑ck↑−c†k↓ck↓)
(4). h∑n(c†n↑cn↓+h.c.) ↔
h∑k(c†k↑ck↓+h.c.)
(5). ∑n(c†n↑cn+1↓+h.c.) ↔
∑k(eikc†k↑ck↓+e−ikc†k↓ck↑)
(6). λ∑n(c†n↓cn+1↑+h.c.) ↔
∑k(λeikc†k↓ck↑+λ∗e−ikc†k↑ck↓)
For λ=1, (5)+(6) ↔ ∑k(2coskc†k↑ck↓+h.c.)
For λ=i, (5)+(6) ↔ ∑k(2isinkc†k↑ck↓+h.c.)
- 定义Unitcell: →R, Unitcell里的原子或轨道: →τα
H=−∑RR′,αα′tαα′RR′c†RαcR′α′
↔ ∑kαα′c†kαckα′tαα′k
其中: tαα′k=∑Qe−ikQtαα′(Q)
- 三带model(三对角矩阵,复杂度o(N)),对应TB model: H=∑Nntc†ncn+1+∑Nnμc†ncn
- 作业10 Mathematica里Mathieu函数.(1) 画能带(变化q的大小),(2) 画出Bloch波函数,(3) 计算Wannier函数(Mathematica编程计算)
- 作业11

(1) 图a的k空间Hk表达式;变化参数问什么时候能带从m∗>0变为m∗<0
(2) 图b的k空间Hk表达式;画出能带图.其中−t近邻跃迁,−t′次近邻跃迁
(3) 图c的Graphene model的k空间Hk表达式;画出能带图;什么时候出现Dirac点.其中−t近邻跃迁,−t′次近邻跃迁
(4) 将以下两个动量空间的哈密顿量变到实空间,并在正方形格子中画出Tight-Binding model
H1=k2x+k2y2m+λ(kxσx−kyσy)−μ
H2=k2x+k2y2m+λ(kxσy−kyσx)−μ
(5) 写出下面哈密顿量的Tight-Binding model
H=(k2-μα(kx+iky)α(kx-iky)μ-k2)
- 3.22周五
- 三对角矩阵
对应TB model: H =\sum_n^L tc_n^\dagger c_{n+1} +\sum_n^L\mu c_n^\dagger c_n
两种方法求解:
(1) 设\psi = \sum_i^L \alpha_i c_i^\dagger |0 \rangle; 边界条件\alpha_0=0,\alpha_{L+1} = 0 \Rightarrow t(\alpha_{j+1}+\alpha_{j-1}) +\mu \alpha_j = \lambda\alpha_j
(2) 令Q_L = det(H_L) \Rightarrow Q_L = (\mu-\lambda)Q_{L-1} - t^2 Q_{L-2}
解为: \lambda = 2 t \cos(\theta) +\mu , \theta = \frac{2\pi q}{L+1}
- 差分方法: \frac{df^2}{dx^2} = \frac{f_{i+1} +f_{i-1} -2f_i }{(\delta x)^2} \Rightarrow
\frac{1}{(\delta x)^2}
- 二次型哈密顿量
H = \sum_{ij} t_{ij} c_i^\dagger c_j + \sum_{ij} \vartriangle_{ij} c_j^\dagger c_j^\dagger + h.c. \Leftrightarrow
, \psi^\dagger = (c_1^\dagger,\cdots,c_L^\dagger, c_1,\cdots,c_L)
- 作业12 利用差分方法求解下列哈密顿量
H = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2
H = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 +\alpha x^4
- 3.26周二
- 正则
(1) 经典力学: X=(q_1,\cdots,q_N,p_1,\cdots,p_N) \Leftrightarrow \{ X_i,X_j\} = \Sigma_{ij}
若存在 U \Sigma U^T = \Sigma (辛几何) \Rightarrow [det(U)]^2=1,则Y=UX也是正则的。
(2) 量子力学:X^\dagger = (c_1^\dagger,\cdots,c_N^\dagger,c_1,\cdots,c_N) \Leftrightarrow \{ X_i,X_j^\dagger\} = \Sigma_{ij}
, "-"表示Bose子,"+"表示Fermi子。
对于Fermi子,若存在 U \Sigma U^\dagger = \Sigma \Leftrightarrow UU^\dagger=I,则Y=UX也是正则的。
对于Bose子,若存在 U \sigma_z U^\dagger = \sigma_z,则Y=UX也是正则的。特别的若U可以写为块对角形式:
, 可以得到UU^\dagger=I
- 经典力学的震动问题:
(1) H = A_{ij}p_i p_j + B_{ij} q_i q_j +c_{ij} p_i q_j 变为Bose子:
带入上式得:
\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} = \sum_\beta [-(B_{i\beta} + B_{\beta i})q_\beta + C_{\beta i}p_\beta]
\dot{q}_i = -\frac{\partial H}{\partial p_i} = \sum_\beta [-(A_{i\beta} + A_{\beta i})p_\beta + C_{i \beta}q_\beta]
\Rightarrow
\Rightarrow \dot{X} = DX \Rightarrow 解为 \Rightarrow X \sim \sum_i X_i e^{i \omega_i t} \Rightarrow i\omega X = DX
(2) 经典力学频率 \Leftrightarrow 量子力学本征值。
(3) 经典力学的非稳定性 \Leftrightarrow Bose子的复数解 \Leftrightarrow 非厄米矩阵
- Hilbert空间与多体作用,多粒子(全同)。例如3个粒子,L个格点:
(1) Bose子空间维度:C_L^3 + 2C_L^2 + C_L
(2) Fermi子空间维度:C_L^3
- 作业13 三体系统在平衡位置附近的震动问题:H = p_1^2+p_2^2+p_3^2 + \omega^2(x_1^2+x_2^2+x_3^2) + \alpha(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)
(1). 求系统的震动过程以及频率;
(2). 转化为Bose子模型再求解;
(3). 证明(1)与(2)等价(相同的一套代数)。
- 作业14 多体系统求解:
(1). 3个格点,2个粒子的Bose-Hubbard model: H = -t\sum_{ij} (b_i^\dagger b_j +h.c.) + \frac{U}{2} \sum_i n_i (n_i-1) ,计算能谱;
(2). 4个格点,2个粒子的Fermi-Hubbard model: H = -t\sum_{ij} (c_i^\dagger c_j +h.c.) + U \sum_{ij} n_i n_j ,计算能谱。
- 3.29周五
- Floquent定理:\frac{\partial f}{\partial t} = A(t) f, \quad A(t) = A(t+T)
解:f=U(t)f_0 , U = pe^{Qt}, p(t+T) = p(t)
- Bloch定理: [-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} A\cos(x) ] \psi(x) = \lambda \psi(x) 求解步骤:
(1). 找周期R, H(x+R) = H(R) \Rightarrow \cos(x+R) = \cos(x) \Rightarrow R=2\pi
(2). |kR|\leq \pi \Rightarrow |k|\leq 1/2
(3). 写出Bloch波函数:U_k(x+R) = U_k(x) \Rightarrow U_k(x)=\sum_G c_k (G) e^{iGx} \Rightarrow G=n\in(-\infty,\infty)
(4). \psi_k(x) = \sum_G c_k(G)e^{i(G+k)x} ,代入薛定谔方程: 比较系数得
-\frac{\hbar^2}{2m} (n+k)^2 c_k(n) +\frac{A}{2}c_k(n-1) +\frac{1}{2} c_k(n+1) = \lambda c_k(n)
(5). 写成矩阵形式,阶段大小N_c。
物理图像:与H\sum_{ij} t_{ij}c_i^\dagger c_j +h.c. +\mu_i c_i^\dagger c_i联系, \Rightarrow t_{ij} = A/2, \mu_i = \frac{\hbar^2}{2m}(i+k)^2
其他结论:
(1). A\cos(x) \rightarrow A/2(e^{ix} + e^{-ix})
(2). A\sin(x) \rightarrow -iA/2(e^{ix} - e^{-ix})
(3). A_2\cos(2x) \rightarrow A_2/2(e^{i2x} + e^{-i2x})
(4). A_2\sin(2x) \rightarrow -iA_2/2(e^{i2x} - e^{-i2x})
- 作业15 根据以前步骤(1)计算 [-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} A\cos(x) ] \psi(x) = \lambda \psi(x) 本征值,
(2).检查N_c多少时结果收敛, (3). 画出能带和Mathieus和Mathieuc比较。
- 作业16 找几个任意2维图形(矩形,圆,椭圆,操场,心形等),计算本征值以及波函数的空间分布。
- 4.2周二
- 2D差分方法,Quantum Scar
附:PPT
- Exact Diagonalization(ED)步骤:
(1). 取一组正交完备的基矢
(2). 求矩阵元
(3). 得到矩阵对角化
- 两个粒子的ED:
(1). 两个费米子:基矢 c_n^\dagger c_m^\dagger |0\rangle, (n\neq m) \Rightarrow \Psi = \sum_{n_1,n_2} c_{n_1,n_2} | n_1 n_2 \rangle ,( n_2>n_1)
\Rightarrow 一维化处理:\Psi = \sum_{\alpha} c_\alpha | \alpha \rangle
基态|GS\rangle = a_1^\dagger a_2^\dagger |0\rangle , 基态能量一阶微扰E_g = E_1 + E_2 + \langle GS | V | GS\rangle
(2). 两个玻色子:基矢 a_n^\dagger a_m^\dagger |0\rangle,(n\neq m) or \frac{1}{\sqrt{2}} (a_n^\dagger)^2 |0\rangle
基态|GS\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(a_1^\dagger)^2 |0\rangle , 基态能量一阶微扰E_g = 2E_1 + \langle GS | V | GS\rangle
- ED总结:
(1). 适用单/多粒子
(2). 随粒子数Hilbert空间指数增长,小系统有一定参考价值,但无法做到热力学极限
(3). 可以计算基态和激发态,原则上没有算法误差,可以作为其他算法参考(Benchmark)
- Lanczos method(WiKi)
- 作业17 求解一维单粒子体系[-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V_0 \sin(qx)] \Psi(x) = E \Psi(x) 参数自取。
- 作业18 两粒子系统H=H_0+V,单粒子部分H_0 = -\frac{\hbar^2}{2m} (\frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^2}{dy^2}) ,相互作用部分
V = g\delta(x-y)。任选Bose/Fermi子一种情况求解,并且当g\rightarrow 0和微扰结果比较。
- 4.9周二
- 平均场
(1). 无固定模式; (2). 常见问题有各种近似方法;(3). 往往用于求解相变问题和相边界。
(4). “多体~单体+自洽”
(5). Idea: 算符AB,A=\overline{A}+\delta A, B=\overline{B}+\delta B \Rightarrow AB = \overline{A} \overline{B} +\overline{A}\delta B + \overline{B}\delta A
+ \delta A \delta B \approx \overline{A}B+\overline{B}A-\overline{A}\overline{B} ,忽略了关联(涨落)项\delta A \delta B
- Holstein–Primakoff(HP)变换,Spin系统和Bose系统之间的变换,设变换形式:
\left\{
\begin{array}{l}
& S^\dagger = f(n) a^\dagger \\
& S^- = a f(n) \\
& S^z = g(n) \end{array}
\right.
得到关系式:
\left\{
\begin{array}{l}
& f^2(n) = B_1+B_2n \\
& g(n) = A+n \end{array}
\right.
确定A,B_1,B_2可以得到:
\left\{
\begin{array}{l}
& S_i^\dagger = (\sqrt{2S-n})a_i\\
& S_i^- = a_i^\dagger\sqrt{2S-n}\\
& S_i^z = S-n \end{array}
\right. or
\left\{
\begin{array}{l}
& S_i^\dagger = a_i^\dagger (\sqrt{2S-n})\\
& S_i^- = \sqrt{2S-n}a_i\\
& S_i^z = n-S \end{array}
\right. 其中n=a_i^\dagger a_i
- 作业19 找到上面参数A,B_1,B_2之间的关系
- 作业20
(1). Schwinger Boson \left\{
\begin{array}{l}
& S^\dagger = a^\dagger b\\
& S^- = b^\dagger a\\
& S^z = (a^\dagger a -b^\dagger b)/2 \end{array}
\right.
(a).证明[S^\dagger,S^-] = 2 S_z; (b). 计算S^2; (c). 证明基矢| S,m \rangle =\frac{(a^\dagger)^{S+m}(b^\dagger)^{S-m}}{\sqrt{(S+m)!(S-m)!}} |0\rangle 是算符S^2,S^z的本证态,
对应本征值S(S+1),m,这里a^\dagger a+b^\dagger b = 2S
(2). Schwinger Fermion同样计算(1)中的问题
(3). Dyson–Maleev变化
\left\{
\begin{array}{l}
& J^\dagger = a\\
& J^- = a^\dagger (2S-n)\\
& J^z = S-a^\dagger a \end{array}
\right.
计算[J^\dagger,J^\dagger], J^2
(4). \overrightarrow{J} = \frac{1}{2}a^\dagger \overrightarrow{\sigma} a,证明\overrightarrow{J}和\overrightarrow{\sigma}有相同对易关系,计算J^2
- 4.12周五
- Jordan-Wigner变换
\left\{
\begin{array}{l} &S_{n}^{+} =c_{n}^{\dagger} \exp \left(i \pi \sum_{m=1}^{n-1} c_{m}^{\dagger} c_{m}\right) \\
&S_{n}^{-} =\exp \left(-i \pi \sum_{m=1}^{n-1} c_{m}^{+} c_{m}\right) c_{n} \\ &S_{n}^{z} =c_{n}^{\dagger} c_{n}-\frac{1}{2} \end{array}
\right.
- 应用铁磁,反铁磁系统
- 作业21 H = bS^\dagger + b^* S^- +b_z S^z,代入HP变换S^\dagger = a^\dagger\sqrt{2S-a^\dagger a},
S^- = \sqrt{2S-a^\dagger a}a, S^z = a^\dagger a-S ,求解自由能。
- 作业22 计算\sum_{ij}(\Delta a_i^\dagger b_i^\dagger + \Delta b_i^\dagger a_j^\dagger +h.c.)的色散关系。
- 4.17周二
- 牛顿法求\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=0
\overrightarrow{x}_{n+1} = \overrightarrow{x}_n -(J)^{-1} \overrightarrow{f}(\overrightarrow{x}_n) , 其中J为Jacobian矩阵。
\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=0与(J)^{-1}无关,迭代中(J)^{-1}的计算最为复杂。
- Broyden算法
基本思想:不计算J^{-1},用近似值代替,对最后的根无影响。
\mathbf{J}_{n}=\mathbf{J}_{n-1}+\frac{\Delta \mathbf{f}_{n}-\mathbf{J}_{n-1} \Delta \mathbf{x}_{n}}{\left\|\Delta \mathbf{x}_{n}\right\|^{2}} \Delta \mathbf{x}_{n}^{\mathrm{T}}
\mathbf{J}_{n}^{-1}=\mathbf{J}_{n-1}^{-1}+\frac{\Delta \mathbf{x}_{n}-\mathbf{J}_{n-1}^{-1} \Delta \mathbf{f}_{n}}{\Delta \mathbf{x}_{n}^{\mathrm{T}} \mathbf{J}_{n-1}^{-1} \Delta \mathbf{f}_{n}} \Delta \mathbf{x}_{n}^{\mathrm{T}} \mathbf{J}_{n-1}^{-1}
只需得到J_1,J_1^{-1}可以利用上式迭代求J_n,J_n^{-1}
- Dicke model: 附:Ref
(1)量子方法:H = \omega a^\dagger a +\omega_0 \sum_i \sigma_i^z + g/\sqrt{N} \sum(a^\dagger \sigma_i^- +h.c.), 其中N为原子数,g相互作用强度,定义:
\left\{
\begin{array}{l} & J^z = \sum_i \sigma_i^z \\
& J^+ = \sum_i \sigma_i^+ \\
& J^- = \sum_i \sigma_i^- \end{array}
\right.
得到H = \omega a^\dagger a +\omega_0 J^z + g/\sqrt{N} (J^\dagger a + h.c.)
利用近似HP变换J^+ \approx \sqrt{2N}b^\dagger ,得到
H = \omega a^\dagger a +\omega_0 b^\dagger b + \sqrt{2}g (a^\dagger b + h.c.) + \text{const} , const=-N\omega_0
(a^\dagger,b^\dagger)\left(
\begin{array}{l} & \omega \qquad \sqrt{2}g \\
&\sqrt{2}g \qquad \omega_0 \end{array}
\right)\left(
\begin{array}{l} & a \\
&b \end{array}
\right)
得到E_{\pm} = \frac{\omega+\omega_0}{2}\pm \sqrt{\frac{(\omega-\omega_0)^2}{4} + 2g^2},相变点g_c = \sqrt{\frac{\omega\omega_0}{2} }
(2)经典方法:H = \frac{p_1^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 x_1^2 + \frac{p_2^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega_0^2 x_2^2
+\sqrt{2}g m \sqrt{\omega\omega_0} x_1x_2 + \sqrt{2}g \frac{p_1p_2}{m\sqrt{\omega\omega_0} }
\dot{p_1} =-\frac{ \partial H}{ \partial x_1} = m\omega^2x_1 + \sqrt{2}gm\sqrt{\omega\omega_0}x_2
\dot{x_1} = \frac{ \partial H}{ \partial p_1} = \frac{p_1}{m} + \frac{\sqrt{2}gp_2}{m\sqrt{\omega\omega_0}}
- 作业23 H = E_1 a_1^\dagger a + E_2 a_2^\dagger a_2 + U_1 n_1(n_1-1) + U_2n_2(n_2-1) + J(a_1^\dagger a_2 + h.c.)
方法一:(1). 利用Schwinger-Boson变换,用自旋算符J_x,J_y,J_z表示以上哈密顿量
(2). 在(1)结果上进行HP变换得到H(a,a^\dagger),求运动方程
(3). Josephson变换:a=e^{-i\theta}\sqrt{\rho}, a^\dagger=\sqrt{\rho}e^{i\theta}
方法二:a_1 = e^{-i\theta_1}\sqrt{N_1}, a_2 = e^{-i\theta_2}\sqrt{N_2} \Rightarrow i\dot{a_1} = [a_1,H],i\dot{a_2} = [a_2,H]
(1). 推导 \left\{
\begin{array}{l} \dot{z} &=-\sqrt{1-z^{2}} \sin \phi \\
\dot{\phi} &=\Lambda z+\frac{z}{\sqrt{\left(1-z^{2}\right)}} \cos \phi+\Delta E \end{array}
\right. 其中 \left\{
\begin{array}{l} z &=\frac{N_1-N_2}{N_1+N_2} \\
\phi & = \theta_2 -\theta_1 \end{array}
\right.
(2). 数值计算
(3). 比较两种方法
附:Ref
- 作业24 对于上文Dicke model经典方法,定义Y = (x_1,p_1,x_2,p_2), 求\dot{Y} = A Y
- 4.19周五
- \overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})=0 \Rightarrow x_{n+1}=x_n-J^{-1}f(x_n), where
J is Jacobi matrix
\Leftrightarrow
F=\sum_i f_i^2 \Rightarrow F\rightarrow \min \Rightarrow \nabla F=0
\Rightarrow x_{n+1} = =x_n - H^{-1} \nabla F, where H is Hessian matrix
- 算法:(1)steepest descent method(最速下降法), (2)conjugate gradient method(共轭梯度法)
- 4.23周二
- Bose-Hubbard model平均场
- Kuramoto model
\dot{\theta} = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_j^N \sin(\theta_j - \theta_i)
序参量:Z=Re^{i\psi} = \frac{1}{N}\sum_j e^{i \theta_j} \Rightarrow
\dot{\theta} = \omega_i - KR \sin(\theta_i - \psi),解
(1). 所以\dot{\theta_i}都不一样,长时间平均|Z|\sim \frac{1}{\sqrt{N}}
(2). 所有振子同频率\dot{\theta_i} = \overline{\omega} \Rightarrow
稳态解:\dot{\theta_i} = \omega_i-KR \sin[\theta_i(0)-\theta(0)], 条件:|\frac{\omega_i-\overline{\omega}}{KR}| \leq 1
同步时的\theta_i(0)分布:P_s(\varphi)=g(\overline{\omega} + KR \sin \varphi) KR \cos \varphi
临界点K_c = \frac{2}{\pi g(\overline{\omega})}
- 作业25 Kuramoto model \dot{\theta} = \omega_i + \frac{K}{N}\sum_j^N \sin(\theta_j - \theta_i) 数值求解,N=200\sim 500左右。
- 4.26周五
- 混沌
(1). Lorentza吸引子,(2). 极限环
连续方程:Lorentza吸引子;离散:Logistic map
Ref: PPT
- Kicked rotor: H = \frac{p^2}{2}+k \cos q \sum_n \delta(t-nT)
Standord map eq: p_{n+1}^- = p_n^- +k\sin q_n, \quad q_{n+1} = q_n+p_{n+1}^-
- 作业26 求Standard map相图,扫描k
- 作业27 H = \frac{p^2}{2} + k\cos q \sum_n [\delta(t-nT) + \delta(t-nT+T_0)]
(1). 求出standard map方程(eq1)
(2). 画出相图(fig1)
Ref: PhysRevLett.99.234101
- 4.30周二
- Bogoliubov-De-Gennes方程
- 相互作用与平均场
(1) Coulomb Interaction: V(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})
(2) Contact Interaction: g\delta(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y})
(3) Spinless: \sum_{k_1k_2 q}V_q \psi_{k_1+q}^{\dagger}\psi_{k_1-q}^{\dagger}\psi_{k_2}\psi_{k_1}
Spin: \sum_{k_1k_2 q}V_q \psi_{k_1+q,\uparrow}^{\dagger}\psi_{k_1-q,\downarrow}^{\dagger}\psi_{k_2,\downarrow}\psi_{k_1,\uparrow}
(4) Hatree项: \psi_{k_1+q,\uparrow}^{\dagger}\psi_{k_1,\uparrow}\psi_{k_1-q,\downarrow}^{\dagger}\psi_{k_2,\downarrow}
Fock项: -\psi_{k_1+q,\uparrow}^{\dagger}\psi_{k_2,\downarrow} \psi_{k_1-q,\downarrow}^{\dagger}\psi_{k_1,\uparrow}
(5) g>0: 排斥相互作用, Hatree项主要
(6) g<0: 吸引相互作用, Fock项主要
H = \sum_{k\sigma}\varepsilon_{k\sigma}\psi_{k\sigma}^{\dagger}\psi_{k\sigma}+\Delta \psi_{k\uparrow}^\dagger\psi_{k\downarrow}^\dagger +h.c.
基态能量: E_g=\sum_{k}(\varepsilon_k-\sqrt{\varepsilon_k^2+|\Delta|^2})-\frac{|\Delta|^2}{g}
求解: \frac{\partial E_g}{\partial \Delta^*}=0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{\Delta}{g}-\sum_k \frac{\Delta}{\sqrt{\varepsilon_k^2+|\Delta|^2}} =0
- 5.5周日
- Nonlinear equation, PPT
- (1) Gross–Pitaevskii(GP)方程
(2) Fast Fourier Method
(3) Imaginary Time Method
PPT , Ref: Numerical solution of the Gross–Pitaevskii equation
GP方程代码
- 作业28 已知H = T(x)+V(x), T = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}, Time-evolution equation,
\psi(x, t+\Delta t)=e^{-i \Delta t H / \hbar} \psi(x, t), 证明:
e^{-i \Delta t H / \hbar} \approx e^{-i \Delta t V /(2 \hbar)} e^{-i \Delta t T / \hbar} e^{-i \Delta t V / 2 \hbar} \psi holds the error
\left(\mathcal{O}\left(\Delta t^{3}\right)\right)
- 作业29 已知Time-Dependent Gross-Pitaevskii Equation
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{x}, t)=\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2}+V(\mathbf{x}, t)+g|\psi(\mathbf{x}, t)|^{2}\right] \psi(\mathbf{x}, t),
其中V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2(x^2-a^2),数值求解基态能量和波函数。
- 5.7周二
- BCS
(1) k-space: H = \sum_{k\sigma}\varepsilon_k c_{k\sigma}^\dagger c_{k\sigma} + \Delta c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger +h.c.
(2) r-space: H = -t\sum_{i\sigma} c_{i\sigma}^\dagger c_{i+1,\sigma} + \Delta c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger +h.c.
写基矢,对应矩阵形式
- 作业30 (1) Spinless model(Kitaev model)
H = \sum_i ( -tc_i^\dagger c_{i+1} + \Delta c_i^\dagger c_{i+1}^\dagger + h.c. ) + \sum_i c_i^\dagger c_i
取值L=100,t=1,扫描\mu,\Delta,画出能谱和相图。
(2) s-wave SC model
H = -t\sum_{i,\sigma} (c_{i,\sigma}^\dagger c_{i+1,\sigma} +h.c. ) +\Delta \sum_i ( c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\downarrow}^\dagger + h.c.) +
\mu \sum_{i,\sigma} c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma} + h \sum_i (c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\uparrow}- c_{i,\downarrow}^\dagger c_{i,\downarrow})
取值L=100,t=1,讨论问题自定。
(3) SOC-s-wave SC model
H = -t\sum_{i,\sigma} (c_{i,\sigma}^\dagger c_{i+1,\sigma} +h.c. ) +\Delta \sum_i ( c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\downarrow}^\dagger + h.c.) +
\mu \sum_{i,\sigma} c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma} + h \sum_i (c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i,\uparrow}- c_{i,\downarrow}^\dagger c_{i,\downarrow})
+\lambda \sum_{i} ( c_{i,\uparrow}^\dagger c_{i+1,\downarrow} - c_{i,\downarrow}^\dagger c_{i+1,\uparrow } +h.c.)
取值L=100,t=1,画相图。
- 5.10周五
- BdG方程对称性: particle-hole symmetry
c=\sigma_x k, cHc^{-1} = -H
- Anderson localization
(1) 1维,2维没有extended state到localized state转变,任意小的无序都为 localized state
(2) 3维度存在extended state到localized state转变,W < W_c为 extended state,W > W_c为 localized state
(3) 1D model: H = -t\sum_i[c_i^\dagger c_{i+1} + h.c.] + \sum_i V_i c_i^\dagger c_i。其中:V_i \in [-W,W]的均匀分布。
(4) 转移矩阵,参考Hoffmann的书章节 Transfer-Matrix Methods and Finite-Size Scaling for Disordered Systems
(5) QR分解:A = QR, 满足Q^\dagger Q = 1. T_nT_{n-1}...T_2T_1 = Q_n R_n R_{n-1} R_2R_1
- Aubry-André (AA) model: H = -t\sum_i (c_i^\dagger c_{i+1}+h.c.) + \sum_{i}V \cos(qi)c_i^\dagger c_i, q为无理数。V=-2t时,傅里叶变换一致H_k=H_i,对偶。相边界:V=-2t
- 作业31 讨论 AA model 性质:
(1) 用严格对角化方法证明扩展态到局域态转变在V=-2t, 取L=1000,q=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, 计算inverse participation (IPR), IPR=\sum_i |P_i|^2
(2) 推导AA model 的对偶关系:V=-2t
(3) 用转移矩阵方法计算\xi (E)的值,与(1)得到的边界比较。
- 5.14周二
- 有限元
- 随机过程
(1) 中心极限定理,大数定理
(2) Einstein扩散方程 Einstein paper
\frac{D}{2} \frac{\partial ^2 p}{\partial t^2} = \frac{\partial p}{\partial t}
(3) 郎之万方程
m \dot{\overrightarrow{v}} =\overrightarrow{F} -\eta \overrightarrow{v} +\xi
(4) Einstein关系: D = 2\eta k_B T
- 作业32 用投针法计算\pi的值。求\pi分别近似到3.14, 3.1415, 3.14159时所需要的总投针次数N
- 5.17周五
- 随机行走
n步以后,在l处的位置: P(l) = \frac{1}{2^n} C_n^{n/2+l/2} =\frac{n!}{2^n (n/2+l/2)!(n/2-l/2)!}
- 随机过程
- 物理中:m \dot{x}=-\dot{v}(x)-r\dot{x}+\xi
数学中:dx=\mu dt+\sigma dw, dw=\xi dt
- Itô's lemma (Wiki)
- 作业33 Mathematica计算随机行走P(l)
- 作业34 Brownian motion: \dot{v}=-rv+\xi
v(t)-v(0)=\int_0^t (-\gamma v+\xi)dt, 数值:v_n = v_{n-1}-\gamma v_{n-1} \delta t +\xi_{n-1} \delta t, \langle \xi_n^2\rangle = \frac{1}{\delta t}
和严格结果对比(每一时刻平均值,方差)
- 5.21周二
- caldeira-leggett model (Wiki)
振子与振子之间的相互作用
H = \frac{P^2}{2M}+V(X)+\sum_j^N [\frac{p_j^2}{2m_j}+\frac{1}{2}m_j\omega_j^2(x_j-\frac{C_j}{m_j\omega_j^2}X)^2]
定义:\gamma(t)=\sum_j \frac{1}{M}\frac{C_j^2}{m_j\omega_j^2}\cos(\omega_j t)
F_L = \sum_j C_j [x_j(t_0)\cos(\omega_j(t-t_0))+\frac{p_j}{m_j\omega_j}\sin(\omega_j(t-t_0))] \Rightarrow
M \ddot{x}+M \int_{t_0}^t \gamma(t-t^\prime)\frac{dx(t^\prime)}{dt}dt^\prime = -M\gamma(t-t_0)x(t_0)+F_L-V^\prime(x)
极端情况:\gamma(t)=\gamma\delta(t) \Rightarrow M\ddot{x}+\frac{M}{2}\gamma \dot{x}(t)=F_L-V^\prime(x)
- 谱函数:J(\omega)=\frac{\pi}{2}\sum_j \frac{C_j^2}{m_j\omega_j^2}\delta(\omega-\omega_j)
- 作业35 \overline{F_L}=\sum_j C_j \overline{x_j} = 0, \overline{x_j}=\int x_je^{-\beta}(\frac{p_j^2}{2m_j}+\frac{1}{2}m_j\omega_j^2x_j^2)dx_j,
计算\overline{F_L(t)F_L(t+\tau)} = Mk_BT \gamma(\tau) \doteq Mk_BT\delta(\tau)
- 作业36 1个粒子和N个振子相互作用,求该粒子的运动。N=1000, \omega_j,m_j随机分布
- 5.28周二
- 随机力F_L=\sum_i(m_i \omega_i^2 \alpha_i q_i)
(1). \langle F_L \rangle = 0 (2). \langle F_L^2\rangle \propto k_BT
- 量子CL model
b_i = \sqrt{\frac{m_i \omega_i}{2}}q_i + \frac{i p_i}{\sqrt{2m_i\omega_i}}
b_i = \sqrt{\frac{m_i \omega_i}{2}}q_i - \frac{i p_i}{\sqrt{2m_i\omega_i}}
\Rightarrow F_L = \sum_i \frac{m_i\omega_i^2 \alpha_i}{\sqrt{2m_i\omega_i}}(b_i+b_i^\dagger)
\langle (b_ib_i^\dagger)^2 \rangle = (2n_i+1) \Rightarrow \langle F_L^2 \rangle \approx \sum_i m_i \omega_i^2 \alpha_i^2 k_BT \propto k_BT
- Langevin方程
\left\{\begin{aligned}
& m \ddot{x} = -V^\prime(x) -\gamma \dot{x} +\sum_i \eta_i (b_i+b_i^\dagger) \\
& V(x) = \frac{1}{2}m \omega^2 x^2
\end{aligned}
\right.
\left\{\begin{aligned}
& a = \sqrt{\frac{m\omega}{2}} x +\frac{ip}{\sqrt{2m\omega}}\\
& a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2}} x- \frac{ip}{\sqrt{2m\omega}}
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{aligned}
& i \dot{a} = \omega a -i \frac{\gamma}{m}a +\xi \\
& \xi = \sum_i \sqrt{\frac{2}{m\omega}} \eta_i b_i
\end{aligned}
\right.
- 耗散/退相干
t=0, 纯态\rho_0 =|\psi\rangle \langle \psi|, 热浴\rho_B
初始:\rho(t=0) = \rho_0 \otimes \rho_B , 演化:\rho(t)=U\rho(t=0)U^\dagger, 约化密度矩阵:\rho_s(t)=Tr_B(\rho(t)) = Tr_B(U\rho_0\otimes \rho_B U^\dagger)
若\rho_B = |0 \rangle \langle 0|,则:
(1). \rho_s(t) = \sum_i \langle i|U|0\rangle \rho_0 \langle 0 |U^\dagger|i\rangle = \sum_i M_i \rho_0 M_i^\dagger, 其中M_i = \langle i|U|0\rangle
\sum_i M_i^\dagger M_i = 1
(2). \rho_s = \rho_s^\dagger
(3). Tr(\rho_s) = 1
(4). 正定的:\langle \psi |\rho_0 |\psi \rangle = \langle \psi | \rho_0 | \psi \rangle \geqslant 0
- 作业37 若\rho_B = \frac{1}{Z} \sum_\alpha e^{-\beta \varepsilon_\alpha |\alpha \rangle \langle \alpha |},证明以上4点性质。
- 5.31周五
- Kraus表示
\rho_s(t) = \sum_i M_i \rho_s M_i^\dagger \equiv \$(\rho)
\rho_s(t+dt) = \sum_i M_i (dt) \rho_s(t) M_i^\dagger (dt) = \rho_s(t) + \frac{d \rho_s}{dt} (dt)
假设M_0 = 1+ Gdt, M_i = Li \sqrt{dt}
设G = A+iB, G^\dagger=A-iB. A=-\frac{1}{2}\sum_i Li^\dagger Li
总结:\frac{d \rho_s}{dt} = L(\rho_s), L(\rho_s) = -i[H,\rho_s] + \sum_i D_i(\rho_s),
D_i(\rho_s) = \sum_i (Li \rho_s Li^\dagger -\frac{1}{2}\rho_s Li^\dagger Li -\frac{1}{2}Li^\dagger Li \rho_s)
好处:(1)无需求M_i(t), (2)定义几个简单的Operator可以了解环境贡献, (3)无法用定性方法,可以用实验方法确定, (4)\sum M_i^\dagger(t) M_i(t)=1,Li无限定,自动满足
数值:\frac{d}{dt}\langle n| \rho_s |m \rangle = \frac{d}{dt}\rho_{n+1}
- 作业38 Spin-1/2
\frac{d \rho}{dt} = -i [H,\rho] + \gamma(1-f) D(\sigma_-) + \gamma f D(\sigma_+), D(L) = L \rho L^\dagger - \frac{1}{2}\rho L^\dagger L -\frac{1}{2}L^\dagger L \rho,
H = \frac{\Omega}{2}\sigma_z, Hilbert空间|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle.
求解\rho_{\uparrow\uparrow},\rho_{\downarrow\downarrow}, \rho_{\uparrow\downarrow}, \rho_{\downarrow\uparrow}演化方程,画图。
- 6.4周二
- Lindblad Equation
(1)Spin model, \gamma与f的物理意义:
f是平衡时的分配,\gamma是delay rate
(2) Boson model
H_s = \omega (a^\dagger a +\frac{1}{2}),
i \dot{\rho} = [H_s,\rho] +\gamma_1 D(a) + \gamma_2 D(a^\dagger)=[H_s,\rho]+ \gamma_1(a^\dagger \rho a -\frac{1}{2}\rho a a^\dagger
-\frac{1}{2}a a^\dagger \rho) + \gamma_2 (a \rho a^\dagger -\frac{1}{2}\rho a^\dagger a -\frac{1}{2}a^\dagger a \rho)
求解:Hilbert空间\{|0\rangle,|1\rangle,...\}, 长时间平衡\overline{n} = \frac{1}{e^{\beta\omega}-1}
对角化稳态:\dot{\rho}_{nn}=0, 引入\rho_{nn}=\rho_n
\gamma_1(n \rho_{n-1}-(n+1)\rho_n ) \gamma_2 ((n+1)\rho_{n+1} - n \rho_n) = 0
\gamma_1/\gamma_2 = e^{-\beta \omega} for \forall n \Rightarrow \gamma_1 = \gamma\overline{n}, \gamma_1 = \gamma(\overline{n}+1)
(3) Fermion model
D(f^\dagger), D(f), D(n)
D(n)= (n\rho n -\frac{1}{2}\rho n^2 -\frac{1}{2}n^2\rho ) \equiv n\rho n -\frac{1}{2}\rho n -\frac{1}{2}n \rho
平衡意义下:\rho(t+dt) = \rho(t) + i\rho A^\dagger dt -iA \rho dt +\sum_i Li \rho Li^\dagger dt
Let:A = H-\frac{i}{2}\sum_i Li^\dagger Li
- Vec函数
(1) 定义 \rho = \sum_{ij} |i\rangle \langle j|
(2) tr(A^\dagger B) = \sum_{ik} A_{ki}^* B_{ki} = Vec(A)^\dagger Vec(B)
(3) Vec(ABC) = \sum A_{ij} B_{jm} C_{mn} |i\rangle |n \rangle = (C^T \bigotimes A)Vec(B)
(4) 定义:V = Vec(\rho) \Rightarrow i \dot{V} = L V
- 作业39 Boson model 求解\rho的对角和非对角元
- 作业40 Fermion model
讨论H_s = w f^\dagger f, \gamma_1 D(f) + \gamma_2 D(f^\dagger) + \gamma_3 D(f^\dagger f), \gamma_1,\gamma_2\gamma_3任取,Hilbert空间0,1 or \uparrow,\downarrow
- 6.11周二
- 相干态
|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-|\alpha|^2/2}\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle, \quad \alpha\in \mathcal{C}
a|\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle, a^\dagger|\alpha\rangle = (\frac{\partial}{\partial \alpha}+\frac{1}{2}\alpha^*)|\alpha\rangle
\langle\alpha|a^\dagger = \alpha^* \langle\alpha|, \langle\alpha|a = (\frac{\partial}{\partial\alpha^*}+\frac{1}{2}\alpha)\langle\alpha|
\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\gamma_+}{2} \frac{\partial}{\partial\alpha} [\alpha p\alpha + c.c.] + \gamma_- \frac{\partial^2}{\partial\alpha^*\partial\alpha}p
- MC simulation
重要采样:W(x)=\frac{P(x)}{f(x)}, f(x) = \frac{1}{L}\sum_i \delta(x-x_i), \int_a^b P(x)dx = \frac{1}{L}\sum_iW(x_i)
Metropolis算法:
(1) 细致平衡\frac{dp_a}{dt} = \sum_B P_{B} W_{B\rightarrow A} - \sum_A P_{A} W_{A\rightarrow B} =0
(2) 配分函数:Z=Tr(e^{\beta H})
P_B W_{B\rightarrow A} = P_A W_{A\rightarrow B} \Rightarrow e^{-\beta E_A}W_{A\rightarrow B} = e^{-\beta E_B}W_{B\rightarrow A}
\Rightarrow W_{A\rightarrow B} = \min (1,e^{-\beta \Delta E}), \Delta E = E_B-E_A
USTC|
BBS
