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  • 4.11 周一

    1. 1D情况下ψ=eiΦ证明：
    2. Shankar第17章
    3. Sine-Gordon Model重整化参考文献：
      1. 文小刚书中文版3.3.12节
      2. Shankar 18.4.2节
    4. XY模型与BKT相变参考：
      1. Naoto Nagaosa,Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics,page 68-70(最基本最简单的图像)
      2. 上面书page70页过后还计算了关联函数等等性质，计算过程较复杂
      3. BKT相变与Sine-Gordon Model联系：Naoto Nagaosa,Quantum Field Theory in Condensed Matter Physics，从page68开始可一直用各种技巧，一直推导到Eq3.3.32为Sine-Gordon Model，然后利用Sine-Gordon Model的重整化推出相变临界值
      4. BKT相变原始文献
      5. kosterlitz-nobellecture
      6. BKT相变实验进展
        7. ，前面用最简洁语言介绍了基本理论，里面Eq22为高等固体物理第四章准长程序
    5. BKT相变实验进展：
    6. BKT相变实验文章1
    7. BKT相变实验文章2
    8. BKT相变实验文章3
    9. 龚老师总结
    10. 在量子霍尔效应(QHE)前已经有很多超越朗道相变理论的现象，如Anderson局域化、BKT相变，BKT相变是无穷阶相变
    11. Sine-Gordon Model:L=12(∂xϕ)2+12(∂tϕ)2+Acosβϕ,∂2tϕ=∂2xϕ+Aβsinβϕ
      Sine-Gordon Model是经典问题，是少数的可解Model，可以给出孤子解
      变换坐标(x,t)→(x,y)为BKT相变形式
    12. Sine-Gordon Model的重整化
      能标变换：Z=∫Dϕe−S,S=∫dtdx[12(∂tϕ)2+12(∂xϕ)2+Acosβϕ]
      作标度分析，∫dtdx(∂tϕ)2=∫dt′dx′(∂t′ϕ′(x′))2，取t′=λt,x′=λx，则有ϕ′(λx,λt)=ϕ(x,t)
      不同的表述形式：∫dydxAcos(βϕ)=∫dydxy∧2cosβϕ=∫dtdxya2cosβϕ，其中A是动量平方量纲，可表述为y∧2或ya2形式，其中∧=1πa
      Z=∫Dϕe−∫12(∂ϕ)2+Acosβϕ=∫Dϕ<Dϕ>e−(S<+S>+δS)
      第一种表示形式S<=∫dx12(∂ϕ<)2+Acos(βϕ<),S>=∫dx12(∂ϕ>)2,δS=∫Acos[β(ϕ<+ϕ>)]−Acos(βϕ<)
      第二种表示形式S<=∫dx12(∂ϕ<)2,S>=∫dx12(∂ϕ>)2,δS=∫Acos[β(ϕ<+ϕ>)]
      这两种形式在b→1−上是等价的。我们进行泰勒展开cos[β(ϕ<+ϕ>)]−Acos(βϕ<)=cos(βϕ<)(−β22ϕ2>)−βsin(βϕ<)ϕ>
      Z=∫Dϕ<e−S<⟨e−δS⟩S>∫Dϕ>e−S>，其中∫Dϕ>e−S>,⟨e−δS⟩S>=e−⟨δS⟩>+12⟨δS2⟩c>
      一般当一阶连通项⟨δS⟩>≠0时，可忽略二阶连通项12⟨δS2⟩c>，故
      ⟨δS⟩>=−Aβ22∫dxcos(βϕ<)⟨ϕ2>⟩=−Aβ22∫dxcos(βϕ<)1−b2π
      故有Z=∫Dϕ<e−∫dx12(∂ϕ<)2+A(1−1−b4πβ2)cos(βϕ<)
      做Rescaling，k→1bk,A→1b2A，Rescaling过后有
      Z=∫Dϕe−∫dx12(∂ϕ)2+Ab−2(1−1−b4πβ2)cosβϕ
      A(b)=Ab−2(1−1−b4πβ2),b=1−dl→A(b)=A+A(2−β24π)dl=A−dAdln∧dl
      A(∧)∝e(β24π−2)ln∧


    13. 文小刚书中文版3.3.12节中BKT相变的相图，文小刚书讨论的形式为S=∫d2x[ηl2(∂xθl)2−glcosθl]，不考虑ηλ的重整化，相图为


      当考虑ηλ项重整化时，相图为


      相变点：图中均为ηλ=18π，对应于BKT相变的相变点kBT=π2Ja2
    14. 学生笔记
    15. 学生笔记2
    16. 学生笔记3

  • 4.14 周四

    1. 上节课龚老师总结
    2. 本课程参考：
      1. Introduction to Bosonization,Miranda
      2. Shankar第17，18章
      3. 玻色化C.L.Kane Note
      4. 玻色化tokura Note
      5. 建议阅读Miranda Note的第3-16页，Tokura Note的1-6页，就能把这次课和下次课都弄懂
    3. 附注一：相干态，可参考任意与量子光学相关的教材
      湮灭算符的本征态a|ψ⟩=α|ψ⟩→|ψ⟩=e−|α|2/2eαa†|0⟩
      电磁场量子化(可参考高等量子力学)E∝∑(ape−iωt+i→p⋅→x+a†peiωt−i→p⋅→x)，故相干态是经典电磁场的本征态
    4. 附注二：正规排序，可参考任意与量子光学相关的教材
      :A:=A−⟨0|A|0⟩，其中|0⟩为真空态。在电磁场中，|0⟩为无光子的真空态。
      A=A(ai,a†i)，在正规排序中我们只做排序，不计算对易子，将湮灭真空态的算符放右侧，将能作用在真空态的产生算符放左侧，即:a†1a2a†3a4:=a†1a†3a2a4，这样我们就能得到和上一条等价的定义
      对Luttinger液体而言，真空态为|0⟩=(k≤0)all−filled，真正的作用在真空态的湮灭算符为c†k≤0,ck≥0，作用在真空态的产生算符为ck≤0,c†k≥0
      对Luttinger液体的正规排序形式为:ck1≥0ck2≤0c†k3≥0c†k4≤0:=ck2≤0c†k3≥0ck1≥0c†k4≤0
      对:eiΦ:正规排序形式，Φ=Φ++Φ−，其中Φ+全为产生算符，Φ−全为湮灭算符，则:eiΦ:=eiΦ+eiΦ−
    5. 附注三：eAeBe−[A,B]/2=eA+B,eAeB=eA+Be[A,B]/2，其中得满足[A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0，直接泰勒展开即可证明
    6. 以下模型讨论的整个希尔伯特空间为H=⊕+∞n=−∞Hn，n为kF附近n个粒子的激发态或-n个粒子的湮灭态，F为Klein算子，F将Hn变为Hn−1，F†将Hn变为Hn+1
    7. 上最终结论：ψi∼eiΦi,Φi=π∫x−∞ρ(x′)dx′+θi，其中π∫x−∞ρ(x′)dx′改变统计性质，θi为相位涨落
      ψ=FeiΦ√2πa，a→0+为截断。其中i表示有多个独立的场，在Luttinger液体中i=L,R两种类型的场相互独立
      最终结论：[Φi(x),Φi(y)]=iπH(x−y)，原因后续慢慢叙述，FiFj=−FjFi,F2i=1原因也后续叙述
    8. 总之，Bosonization目的为：凑出ψ=FeiΦ√2πa中反对易关系，以及做实验只能观测到的关联函数等价、不同场Φi不同让ψi无关联
    9. 开始慢慢叙述：参考Miranda Note的第3-16页，Tokura Note的1-6页
      定义下列本征态形式如下：


      一个很重要的引理：bq|N⟩0=0，即|N⟩0为bq的基态(bq定义见Tokura Note的Eq17)，可以理解为没有粒子空穴对可以湮灭
      我们接下来要表示费米场ψ(x)=1√L∑∞k=−∞e−ikxck
      总的希尔伯特空间形式H=⊕∞n=−∞Hn，有粒子空穴激发的态写作|N⟩f=F†f{b†q}|N⟩0，其中bq,b†q为玻色化后算符，具体可见Tokura Note的Eq17
      Klein算符F要保证费米子反对易，我们后续证明是反对易关系。F作用后形式为
      F†|N⟩f=F†f({b†q)}|0⟩0=f({b†q})c†k0,N+1|N⟩0=f({b†q})|N+1⟩0
      同理，F|N⟩f=f({b†q})|N−1⟩0,F†F|N⟩f=|N⟩f,FF†|N⟩f=|N⟩f
    10. 部分对易关系：
      ρ(x)=:ψ†(x)ψ(x):,根据[c†ici,ci]=−ci可得[ρ(x),ψ(y)]=−ψ(y)δ(x−y)，由此可得[ρq,ψ(y)]=−e−iq⋅yψ(y)
      [ρ(x),ψ(y)]=−ψ(x)δ(x−y),[ρq,ψ(x)]=−e−iqxψ(x),[bq,ψ(x)]=−√2πL|q|e−iqxψ(x)=−αq(x)ψ(x)，其中αq=i√nqeiqx
    11. 证明ψ(x)|N⟩0为相干态：
      Tokura Note的Eq47证明了[b†q,ψ(x)]=α∗q(x)ψ(x)，其中αq(x)=i√nqeiq⋅x
      故bqψ(x)|N⟩0=[bq,ψ(x)]|N⟩0=αq(x)ψ(x)|N⟩0
      根据之前提到的对相干态的定义，有|αN(x)⟩≡ψ(x)=λe∑q>0αq(x)b†q|N−1⟩0
      Introducing Klein factor F，有
      ψ|N⟩0=Fλ(x)e∑q>0αq(x)b†q|N⟩0=Fλ(x)e−iφ†(x)|N⟩0
      0⟨N|F†ψ(x)|N⟩0=0⟨N|F†Fλ(x)e−iφ†(x)|N⟩0=0⟨N|e−iφ†(x)λ(x)|N⟩0=λ(x)，由于之前提到的引理bq|N⟩0=0，故0⟨N|φ†(x)=0，因此λ(x)=1√Le−ik0Nx
    12. 学生笔记
      学生笔记2
      学生笔记3