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  • 5.5 周四


    本课程参考：关于自旋玻璃的一点笔记，知乎
  • 作业6：推导Introduction to quenched disorder文献中全部公式(注：老师会在接下来几次课讲完这篇文献)
    历史进程：
    1. Cu-Mn合金相变曲线实验一直看不到发散，疑似违背居里定律\(\chi=\frac{C}{T-T_c}\)，这为后续无序做铺垫

    2. 19世纪提出Brown运动，1905年Einstein博士论文中通过Brown运动估算阿伏伽德罗常数，后来佩兰实验实现获得1926Nobel物理学奖
    3. Brown运动后来成了一门专门的数学。Ito等人将其严格数学化，70年代提出Black-Sholes方程，1999年获Nobel经济学奖
    4. 1957年，Anderson localization。Anderson的很多研究完全是由实验驱动的
    5. 1975年，Edwards和Anderson提出Edwards-Anderson模型，edwards-anderson model原始文献。当时Anderson在剑桥访问，Edwards是Schwinger的学生，后来在Polymer中提出了著名的Edwards模型。Anderson和Edwards非常大胆的假设\(H=-\frac{1}{2}\sum_{\langle ij\rangle}J_{ij}\sigma_i\sigma_j\)，其中\(P(J_{ij})\)可能分布是矩阵函数，可能分布是Gauss函数
    6. Shrington-Kirkpatrick等人提出了严格可解SK模型，但它的熵在低温下小于零。参考skmodel 原始文献。SK model中放弃了固体物理中的近邻限制，认为所有格点相互作用都是随机相互作用，\(H=-\frac{1}{2}\sum_{ij}J_{ij}\sigma_i\sigma_j\)。这篇文章提出了一个Replica trick，被广泛研究。后来Thouless,Anderson,Palmer等人提出了一个新的解，在低温下可以得到正熵的结果，即所谓的TAP解。很有趣，Thouless在SK模型中有很多漂亮的结果
    7. Parisi 1979-1983年讨论了Replica symmetry breaking，并讨论了它序参量，原始文献。Parisi获得了2021年Nobel奖。他的几个主要工作：replica symmetry breaking、KPZ方程都和无序有关。Parisi还有一个工作，即随机量子化
    8. 张翼成曾经回顾了他和Parisi一起得到KPZ方程的历史，见张翼成：我与诺贝尔物理学奖获得者Parisi教授的故事，KPZ方程：\(\frac{\partial h}{\partial t}=\partial_x^2h+\lambda(\partial_xh)^2+\eta(t,x)\)，求解，KPZ方程原始文献
    9. 这种随机性可以推广到Stochastic \(\phi^4\)理论。这是因为Ising Model本质上是一种\(\phi^4\)理论
    10. Shangken Ma等人讨论了随机Heisenberg模型情况
    11. SK模型、自旋玻璃等也是数学的研究范畴，比如研究Potts模型的Spin Glass等
    12. Sachdev-Ye将SK经典Ising Model推广到量子Heisenberg模型，参考原始文献，将SK Model推广到了\(H=\sum_{ij}J_{ij}\vec{S}_i\cdot\vec{S}_j\)的情形，计算了磁化率\(\chi\propto\frac{1}{Tln^2T},\chi\propto ln\omega\)
    13. Spin Glass和aging有关，或者说这个动力学可能和Glauber动力学有关。
    14. Remark:Replica trick，它被推广到费米子的情况，比如Shankar讨论了一维情况，但是它给出的是排斥相互作用。无序对相互作用而言，可以给出排斥的相互作用。这是显而易见的，因为我们没有看到无序导致超导配对
    15. 2016年，Kitaev等人将它完全分开(在KITP做了两个报告。Kitaev很少写学术文章，一般一写就是大新闻，很多人往往引用就只引Kitaev学术报告)，讨论了模型\(H=-\sum_{ijkl}J_{ijkl}\gamma_i\gamma_j\gamma_k\gamma_l\)，其中\(\gamma=c+c^{\dagger}or i(c-c^{\dagger})\)，并假设\(J_{ijkl}\)为完全随机数，得到\(\langle J\rangle=0,\langle J_{\alpha}J_{\beta}\rangle\propto\frac{\delta_{\alpha\beta}}{N}\)，得到了SYK Model(Sachdev-Ye-Kitaev)。
    16. 2016年，Remarks on Sachdev-Ye-Kitaev Model综述中将Kitaev的细节补充全了，也补充了物理意义，它还和Black hole,entanglement entropy,黑体辐射,gravition等很多问题有关
    17. 最近研究发现，SYK可能和strange metal有关
    18. 最近有人研究了Many-body Localization。这些研究又将它和随机矩阵等联系在一起。而随机矩阵又和库伦气体有关。Dyson给了一个很漂亮的解释，以前龚老师在计算物理课程上讲过
    19. 场论物理学家也可以在其他领域建功立业：De Gennes,Edwards,G.Parisi等。Wilson将Gellman等人方法用于凝聚态物理，建立了一套对相变理论的描述，即Ginzberg-Landau-Wilson理论。Xiao-gang Wen,Shou-Cheng Zhang也算，他们将粒子物理应用到凝聚态
  • 以下讨论都基于中心极限定理，对于足够大系统，实验测量值基本逼近平均值
  • 无序一定要做平均，对配分函数和自由能做平均
    \(Z=Tr(e^{-\beta H})=e^{-\beta F}\)
    \(\bar{Z}=\int Tr(e^{-\beta H})P(\xi)d\xi\)
    \(\bar{F}=-\frac{1}{\beta}\int lnZ P(\xi)d\xi\)
    Parisi创造性的利用了公式，改写配分函数\(lnZ=\lim_{n\rightarrow0}\frac{Z^n-1}{n}\)
  • 下面考虑SK model，\(H=-\frac{1}{2}\sum_{ij}J_{ij}\sigma_i\sigma_j,Z=Tr e^{\frac{\beta}{2}\sum_{ij}J_{ij}\sigma_i\sigma_j}\),其中\(\sigma_i=\pm1\)
    我们将Trace理解为对不同态的求和。那么我们可以写作\(Z^n=Tre^{\frac{\beta}{2}\sum_{ij}\sum_{\alpha=1}^nJ_{ij}\sigma_i^{\alpha}\sigma_j^{\alpha}}\)，其中\(\sigma_i\)有n份copy，\(\sigma_i^{\alpha}\)对应第\(\alpha\)份copy
    这个道理很类似\(Z=\int e^{-x^2}dx\leftrightarrow Z^n=\int e^{-(x_1^2+\cdot\cdot\cdot+x_n^2)}dx_1\cdot\cdot\cdot dx_n\)
    \(\bar{F}=-\frac{1}{\beta}\lim_{n\rightarrow0}\frac{1}{n}(\bar{z^n}-1)\)
    假设\(\int Tr=Tr\int\)成立，故有：
    \(\bar{Z^n}=Tr[\prod_{ij}\int e^{\frac{\beta}{2}J_{ij}\sum_{\alpha=1}^n\sigma_i^{\alpha}\sigma_j^{\alpha}}P(J_{ij})dJ_{ij}]\)
    假设\(P(J_{ij})=\frac{1}{\sqrt{2\pi J^2}}e^{-\frac{J_{ij}^2}{2J^2}}\)，其中\(X_{ij}=\sum_{\alpha=1}^n\sigma_i^{\alpha}\sigma_j^{\alpha}\)
    故\(\int P(J_{ij})e^{\frac{\beta}{2}X_{ij}J_{ij}}dJ_{ij}=e^{\frac{\beta^2J^2}{8}X_{ij}^2}\),\(\bar{Z^n}=Tr\prod_{ij}e^{\frac{\beta^2}{8}J^2(\sum_{\alpha}\sigma_i^{\alpha}\sigma_j^{\alpha})^2}\)
    \(\bar{Z^n}=Tr e^{\frac{\beta^2}{8}J^2\sum_{ij}\sum_{\alpha}(\sigma_i^{\alpha}\sigma_j^{\alpha})^2}\)，由于\(\sum_{ij}\sum_{\alpha}(\sigma_i^{\alpha}\sigma_j^{\alpha})^2=\sum_{ij}\sum_{\alpha}\sum_{\beta}\sigma_i^{\alpha}\sigma_j^{\alpha}\sigma_i^{\beta}\sigma_j^{\beta}=\sum_{\alpha\beta}(\sum_i\sigma_i^{\alpha}\sigma_i^{\beta})(\sum_j\sigma_j^{\alpha}\sigma_j^{\beta})=\sum_{\alpha\beta}(\sum_i\sigma_i^{\alpha}\sigma_i^{\beta})^2\)
    对该公式进一步处理将在后续讨论
  • 整个系统的相变
    对于\(H=-\frac{J}{2N}\sum_{ij}\sigma_i\sigma_j-h\sum_i\sigma_i\),\(Tr[e^{-\beta H}]=Tr[e^{\frac{1}{2}\frac{J\beta}{N}(\sum_i\sigma_i)^2+\beta h(\sum_i\sigma_i)}]\)
    \(\int P(m)e^{\frac{1}{2}\frac{J\beta}{N}m^2+\beta hm}dm=\frac{1}{\sqrt{2\pi A}}\int e^{-\frac{m^2}{2A}+\frac{1}{2}\frac{J\beta}{N}m^2+\beta hm}dm\)，整个系统有相变，相变点在\(\frac{1}{2A}=\frac{1}{2}\frac{J\beta}{N}\)
  • 学生笔记
    学生笔记2
    学生笔记3