在光学上，我们常常使自然光通过一个偏振片和一个波晶片来获得椭圆偏振光，其原理在于双折射晶体对于两种本征振动，即o光和e光的折射率在非光轴的方向不同。在应用时一般使波晶片的光轴平行于入射面，利用折射率的对称性来避免o、e光分离，同时产生光程差。我们简单地假设有一波长为λ的线偏振光垂直入于一厚度为d的波晶片上，波晶片对于o光的折射率为no，对e光的折射率为ne，则附加相位差为δ=2π / λ(|no-ne|d)。在这个相位差下，线偏振光依入射时与波晶片光轴夹角不同可能会保持为线偏振光(0°/90°)或者转化成圆(45°)、椭圆偏振光(其他角度)。具体地说，如果把线、圆偏振光都看做椭圆偏振光的特例，则这个椭圆的指向、长短轴长度和其电矢量旋转的方向都由这个附加相位差唯一决定。但是这些关系具体是如何得到的？光学教材一般省略了具体的讨论，而仅是概括地给出一个结果。毫无疑问的是，这个问题在理论上非常清晰，我们可以用多种方法去讨论它。

通常，我们可以通过代数运算来直接得到附加相位差后电矢量端点轨迹的特征。假设入射光的电矢量模长为A，与光轴夹角为α，不妨设0<α<π/2(否则对整个系统作一个适当的旋转或翻转即可化为这种情况)。入射光通过波晶片后光轴方向分量（设为x分量）相对垂直光轴方向分量（设为y分量）落后一相位δ，则入射光的两个分量可以表示为

式中ω为入射光的角频率。

观察上式，可以看到，y分量最大值Eymax=Asinα，x分量最大值Exmax=Acosα，于是得到电矢量轨迹的第一个特征：其必与横宽Acosα、纵宽Asinα的矩形相切。

另一方面，消去(1)式中的ωt，可以得到一个椭圆方程

式中Ax=Acosα，Ay=Asinα，即电矢量端点轨迹为一椭圆。

为了具体得到椭圆半长短轴长度的表达式，我们求两个分量的平方和，得到

式中E为电矢量模长。整理得

令cos(2ωt+φ(α))分别等于1和-1，即求得半长短轴长度表达式

为了求得椭圆的指向（即长轴的方向）随着约束条件α、δ的变化关系，利用关系式

可以得到电矢量与x轴的夹角θ，电矢量取长轴方向时，由dE2/dt=dEx2/dt+dEy2/dt=2ExdEx/dt+2EydEy/dt=0可得

代入关系式(6)可得

想要从纯数学角度化简此式并不容易。

再看电矢量的旋转方向。对(6)式两边求导，可得

要判断dθ/dt是大于0还是小于0需要对α和δ作讨论，非常繁琐。

为了避免这样的讨论和运算，我们试图寻找一些更加清晰直观的方法。注意到(2)式是一个二次曲线方程，线性代数中已经对这类方程形成了处理的方法，我们可以尝试从这个方向突破。

考虑(2)式，它表明了电矢量端点的轨迹是一个椭圆，我们可以通过化二次型为标准型的方式来处理这个二次曲线方程。把(2)式写成矩阵乘积形式

对电矢量所在平面(R2)作第一类正交变换

式中θ为新坐标系(O-x'y')基矢相对于旧坐标系(O-xy)基矢顺时针转过的角度。

使得

式中λ1、λ2为二次型的特征值。即在旋转变换(11)下，二次型的矩阵变为对角阵，椭圆旋转到长轴和短轴与坐标轴重合的位置。由线性代数结论，旋转角与二次型系数间有如下关系

注意到此时旋转角就是长轴在原本坐标系中与x轴或y轴的夹角（依赖于λ1、λ2的大小关系，见后文），该角就可以表示椭圆的指向，故此式即为(8)式的一个等价表述（注意两式不完全等价，θ的意义不完全相同）。为了通过该式得到椭圆指向随参数α,δ的变化，需要再对变换后的(2)式作一些技巧性的限制和处理。变换后，(2)式化为

或

因此，λ1、λ2的大小关系决定了旋转以后的椭圆长轴是在x'轴还是在y'轴上。具体来说，λ1>λ2时，长轴在y'轴上；λ1<λ2时，长轴在x'轴上。为了判断λ1、λ2的大小，我们写出二次型的特征方程

解出它的两根

其中b=1/Ax2+1/Ay2>0，Δ为方程的判别式，√Δ>0，故μ1> μ2。注意到旋转角θ本来在R上取值，是“自由”的，因此我们可以限定它的取值范围，令λ1=μ1,λ2=μ2，这样旋转以后椭圆的长轴将在y'轴上，θ只能取原本可能的几个解中的一部分。接下来，我们需要从这个变换中提取出一个关键的方程。令，则有

对比上式左右两边的右上角项，我们得到

注意到已使λ1=μ1,λ2=μ2，则

进一步限制θ的取值范围，令θ∈(0,π)，则由上式我们可以发现cosθ与cosδ同号。故对于δ的各种取值，就可以得到在限制区间内θ唯一确定的值。从主动观点看这个旋转变换，我们就可以从变换后椭圆长轴与y'轴重合的图像出发，画出变换前椭圆所在的位置（图1-5）。

1> cosδ>0，即0<δ<π/2或3π/2<δ<2π时，0<θ<π/2，椭圆长轴在一三象限

2> cosδ<0，即π/2<δ<π或π<δ<3π/2时，π/2<θ<π，椭圆长轴在二四象限

3> δ=0时，由(1)式，此时椭圆退化为与Ex轴正向夹角为α的线偏振光

4> δ=π时，由(1)式，此时椭圆退化为与Ex轴负向夹角为α的线偏振光

5> δ=π/2或3π/2时，由(2)式，此时轨迹方程变为

端点轨迹为长短轴与坐标轴重合的椭圆，α=π/4时，退化为圆。

把上面图1-5串联起来，我们就得到了椭圆指向与相差δ之间的定性关系，δ从0增长到2π的过程中椭圆长轴从右偏（一三象限）逐渐向左摆动，经过正椭圆（圆）偏振光变成左偏（二四象限），再经过相反的过程回到最初位置。这种方法的优点是思路简单而且清晰，无须对α作讨论，无须计算出任何具体角度，就可以得到大致的定性关系。但是同时，由于转角θ的取值范围是人为限定的，所以不一定能体现δ变化时“同一根”长轴的移动，对写出夹角θ的解析式造成了困难。而且，求解电矢量的旋转方向方面也有欠缺。我们注意到物理上经常有这样的例子，某些系统从初始条件出发直接列方程，解起来会非常繁琐；而从物理入手，变换看问题的物理观点，就能寻找到一种比较容易的解法，这个问题正是如此。这就相当于对原来的系统做了一个变换，只不过这个变换不是凭空获得的，而是依靠物理的启发得到的。接下来，我们试图以这样的方法来寻找(8)、(9)式的另外一种等价表述。

我们知道，线偏振光可以分解为同频旋转方向相反的两个圆偏振光，这在处理三相电路、旋转磁场时也是常用的技巧。或者说，左右旋倾向相同的光就是线偏振光。那么，椭圆偏振光的左右旋是否就是因为其中之一的倾向比较强呢？我们可以尝试把椭圆偏振光的x分量和y分量各分解为两个圆偏振光，分别加和其中的左旋分量和右旋分量，比较其左右旋的倾向。

沿用之前的符号，记椭圆偏振光的电矢量为E，两分量为Ex、Ey，但是用复数的指数形式来表示圆偏振光与x轴的夹角，从而线偏振光表示为两个辐角为相反数的复数。

式中Ax'=1/2 Acosα，Ay'=1/2 Asinα，K1和K2分别为分量中的左旋和右旋部分，如图6所示，这两者的模长不一定相同，我们可以通过上式计算它们的模长

以图6的情况为例，此时|K1|<|K2|，为了比较两者旋转的倾向，注意到线偏振光是“没有倾向”的光，可以尝试把K1、K2中较短的那个与较长的那个的一部分合成一线偏振光，剩下的那部分就体现了总体的旋转偏向。

令，其中\hat{K2}为与K2同方向的单位矢量，K1'即为与K2同方向、与K1同长度的部分，K2'为剩余部分。

记K=K1+K1'，K'=K2'，则

其中φ、ψ为与参数α,δ有关的常数。

这样，通过把K2中与K1模长相同的部分与K1加和，就把椭圆偏振光分解成了在K1和K2的角平分线方向上的线偏振光K和圆偏振光K'。注意到在t=-ψ/ω时K、K'方向相同且|K|取到极大值，因而K的方向就是椭圆偏振光长轴的方向；而且显而易见，K'的旋转方向就是椭圆偏振光的旋转方向。由K'的定义可知，K'的旋转方向与K1、K2中较长的那个的旋转方向相同。所以只需求解α,δ取不同值时，K1、K2中哪个较长即可。由图7易见，δ对圆偏振光的作用是使得Ey的两个圆偏振光分量先各自向左右转动δ。从图上可以看出，由于Ex的两分量是向右的并且等长，所以Ey的两个分量之中一定是在右边的那个加上Ex的分量以后比较长。所以0<δ<π时，K2在右，|K1|<|K2|，K'和K2相同为右旋，椭圆偏振光也右旋；同理，π<δ<2π时，|K1|>|K2|，K'左旋，椭圆偏振光也左旋。即椭圆的左右旋只与δ有关而与α无关。

我们也可以考察椭圆的半长轴长度，由(22)可知，

与(5)式的结果相同。

最后我们得出椭圆指向的等价表述。根据之前的论述，K的方向就是椭圆长轴的指向，又注意到K的方向是K1、K2的角平分线方向，有

式中\hat{K}为和K方向相同的单位矢量，\hat{K}的辐角就是(6)中的θ，\hat{K}^2的辐角为2θ，故

于是我们得到了(8)式的另一种等价表述，与(13)式不同的是，这里θ的意义很清楚，所以(27)式与(8)式是完全等价的。根据(26)式，我们可以画出α,δ变化时，\hat{K}^2的变化范情况，如图8所示。当δ从0变化到2π时，\hat{K}^2的方向与α有关，且|\hat{K}^2|=1，故\hat{K}^2端点始终在半径为1的圆上运动，x分量的符号不变，y分量由正变负，再由负变正。δ=0时\hat{K}^2=cos2α+isin2α，与x轴夹角为2α，故α<π/4时\hat{K}^2端点取在y轴右侧，α>π/4时\hat{K}^2端点取在y轴左侧，α=π/4时\hat{K}^2端点取在y轴上。

然后再依据

可以画出\hat{K}的图像（图9）。事实上，由于椭圆的长轴是相差π的两个方向，所以上式的根取哪个值无关紧要，这里取能反映“同一个”长轴“连续”变动的值。和\hat{K}^2类似，α的取值各自限定长轴在一定的角域里随δ变化。可以看到α<π/4，即Ax>Ay时，长轴在x轴附近先向下摆再向上摆；α>π/4，即Ax<Ay时，长轴在y轴附近先向左摆再向右摆。这与我们直观的图像相符合。特别地，当α=π/4时，长轴始终在π/4(0<δ<π/2或3π/2<δ<2π)或3π/4(π/2<δ<π或π<δ<3π/2)两个方向上，δ=π/2 或 3π/2时椭圆退化为圆，长轴无意义。α=0或π/2时，线偏振光出射时仍保持为同方向的线偏振光。通过mathematica作图（图10）也可以验证这一点。

弄清楚各个取值范围内θ随α、δ的变化情况以后，我们就可以通过(27)式写出长轴与x轴正方向夹角θ的解析表达式：

这样，我们就完全解析地得到了入射线偏振光在一定附加相位差δ下可能发生的所有变化。通过这个拆分分量再组合的方法，清晰直观地得出了结论，而且这种方法很初等，不需要任何高等数学的分析，这也是这种方法的最大优势。