4.18 周一

1. 本课程参考：
   1. Introduction to Bosonization,Miranda
   2. Shankar第17，18章
   3. 玻色化tokura Note
   4. 建议阅读Miranda Note的第3-16页，Tokura Note的1-6页，就能把这次课和上次课都弄懂
2. 附注一：相干态，可参考任意与量子光学相关的教材
   湮灭算符的本征态\(a|\psi\rangle=\alpha|\psi\rangle\rightarrow|\psi\rangle=e^{-|\alpha|^2/2}e^{\alpha a^{\dagger}}|0\rangle\)
   电磁场量子化(可参考高等量子力学)\(E\propto\sum (a_pe^{-i\omega t+i\vec{p}\cdot\vec{x}}+a_p^{\dagger}e^{i\omega t-i\vec{p}\cdot\vec{x}})\)，故相干态是经典电磁场的本征态
3. 附注二：正规排序，可参考任意与量子光学相关的教材
   \(:A:=A-\langle 0|A|0\rangle\)，其中\(|0\rangle\)为真空态。在电磁场中，\(|0\rangle\)为无光子的真空态。
   \(A=A(a_i,a_i^{\dagger})\)，在正规排序中我们只做排序，不计算对易子，将湮灭真空态的算符放右侧，将能作用在真空态的产生算符放左侧，即\(:a_1^{\dagger}a_2a_3^{\dagger}a_4:=a_1^{\dagger}a_3^{\dagger}a_2a_4\)，这样我们就能得到和上一条等价的定义
   对Luttinger液体而言，真空态为\(|0\rangle=(k\leq0)all-filled\)，真正的作用在真空态的湮灭算符为\(c_{k\leq0}^{\dagger},c_{k\geq0}\)，作用在真空态的产生算符为\(c_{k\leq0},c_{k\geq0}^{\dagger}\)
   对Luttinger液体的正规排序形式为\(:c_{k_1\geq0}c_{k_2\leq0}c_{k_3\geq0}^{\dagger}c_{k_4\leq0}^{\dagger}:=c_{k_2\leq0}c_{k_3\geq0}^{\dagger}c_{k_1\geq0}c_{k_4\leq0}^{\dagger}\)
   对\(:e^{i\Phi}:\)正规排序形式，\(\Phi=\Phi_++\Phi_-\)，其中\(\Phi_+\)全为产生算符，\(\Phi_-\)全为湮灭算符，则\(:e^{i\Phi}:=e^{i\Phi_+}e^{i\Phi_-}\)
4. 附注三：\(e^Ae^Be^{-[A,B]/2}=e^{A+B},e^Ae^B=e^{A+B}e^{[A,B]/2}\)，其中得满足\([A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0\)，直接泰勒展开即可证明
5. 以下模型讨论的整个希尔伯特空间为\(H=\oplus_{n=-\infty}^{+\infty}H_n\)，n为\(k_F\)附近n个粒子的激发态或-n个粒子的湮灭态，F为Klein算子，F将\(H_n\)变为\(H_{n-1}\)，\(F^{\dagger}\)将\(H_n\)变为\(H_{n+1}\)
6. 上最终结论：\(\psi_i\sim e^{i\Phi_i},\Phi_i=\pi\int_{-\infty}^x\rho(x')dx'+\theta_i\)，其中\(\pi\int_{-\infty}^x\rho(x')dx'\)改变统计性质，\(\theta_i\)为相位涨落
   \(\psi=\frac{Fe^{i\Phi}}{\sqrt{2\pi a}}\)，\(a\rightarrow0^+\)为截断。其中i表示有多个独立的场，在Luttinger液体中\(i=L,R\)两种类型的场相互独立
   最终结论：\([\Phi_i(x),\Phi_i(y)]=i\pi H(x-y)\)，原因后续慢慢叙述，\(F_iF_j=-F_jF_i,F_i^2=1\)原因也后续叙述
7. 总之，Bosonization目的为：凑出\(\psi=\frac{Fe^{i\Phi}}{\sqrt{2\pi a}}\)中反对易关系，以及做实验只能观测到的关联函数等价、不同场\(\Phi_i\)不同让\(\psi_i\)无关联
8. 开始慢慢叙述：参考Miranda Note的第3-16页，Tokura Note的1-6页
   定义下列本征态形式如下：

   

   
   一个很重要的引理：\(b_q|N\rangle_0=0\)，即\(|N\rangle_0\)为\(b_q\)的基态(\(b_q\)定义见Tokura Note的Eq17)，可以理解为没有粒子空穴对可以湮灭
   我们接下来要表示费米场\(\psi(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{-ikx}c_k\)
   总的希尔伯特空间形式\(H=\oplus_{n=-\infty}^{\infty}H_n\)，有粒子空穴激发的态写作\(|N\rangle_f=F^{\dagger}f\{b_q^{\dagger}\}|N\rangle_0\)，其中\(b_q,b_q^{\dagger}\)为玻色化后算符，具体可见Tokura Note的Eq17
   Klein算符F要保证费米子反对易，我们后续证明是反对易关系。F作用后形式为
   \(F^{\dagger}|N\rangle_f=F^{\dagger}f(\{b_q^{\dagger})\}|0\rangle_0=f(\{b_q^{\dagger}\})c_{k_0,N+1}^{\dagger}|N\rangle_0=f(\{b_q^{\dagger}\})|N+1\rangle_0\)
   同理，\(F|N\rangle_f=f(\{b_q^{\dagger}\})|N-1\rangle_0,F^{\dagger}F|N\rangle_f=|N\rangle_f,FF^{\dagger}|N\rangle_f=|N\rangle_f\)
9. 部分对易关系：
   \(\rho(x)=:\psi^{\dagger}(x)\psi(x):\),根据\([c_i^{\dagger}c_i,c_i]=-c_i\)可得\([\rho(x),\psi(y)]=-\psi(y)\delta(x-y)\)，由此可得\([\rho_q,\psi(y)]=-e^{-iq\cdot y}\psi(y)\)
   \([\rho(x),\psi(y)]=-\psi(x)\delta(x-y),[\rho_q,\psi(x)]=-e^{-iqx}\psi(x),[b_q,\psi(x)]=-\sqrt{\frac{2\pi}{L|q|}}e^{-iqx}\psi(x)=-\alpha_q(x)\psi(x)\)，其中\(\alpha_q=\frac{i}{\sqrt{n_q}}e^{iqx}\)
10. 证明\(\psi(x)|N\rangle_0\)为相干态：
    Tokura Note的Eq47证明了\([b_q^{\dagger},\psi(x)]=\alpha_q^*(x)\psi(x)\)，其中\(\alpha_q(x)=\frac{i}{\sqrt{n_q}}e^{iq\cdot x}\)
    故\(b_q\psi(x)|N\rangle_0=[b_q,\psi(x)]|N\rangle_0=\alpha_q(x)\psi(x)|N\rangle_0\)
    根据之前提到的对相干态的定义，有\(|\alpha_N(x)\rangle\equiv\psi(x)=\lambda e^{\sum_{q>0}\alpha_q(x)b_q^{\dagger}}|N-1\rangle_0\)
    Introducing Klein factor F，有
    \(\psi|N\rangle_0=F\lambda(x)e^{\sum_{q>0}\alpha_q(x)b_q^{\dagger}}|N\rangle_0=F\lambda(x)e^{-i\varphi^{\dagger}(x)}|N\rangle_0\)
    \( _0\langle N|F^{\dagger}\psi(x)|N\rangle_0=_0\langle N|F^{\dagger}F\lambda(x)e^{-i\varphi^{\dagger}(x)}|N\rangle_0=_0\langle N|e^{-i\varphi^{\dagger}(x)}\lambda(x)|N\rangle_0=\lambda(x)\)，由于之前提到的引理\(b_q|N\rangle_0=0\)，故\(_0\langle N|\varphi^{\dagger}(x)=0\)，因此\(\lambda(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}e^{-ik_{0N}x}\)
11. Bose场傅里叶变换引入截断\(a\rightarrow0^+\)避免发散，这和量子多体理论中推迟格林函数性质一样，将幺正矩阵\(U(t)=e^{-iHt}\)傅里叶变换到频率空间\(U(\omega)=\frac{i}{\omega-H+i\epsilon}\)一个道理，Bose场引入截断后傅里叶变换性质如下
    \(\psi\equiv-\sum_{q>0}\frac{1}{\sqrt{n_q}}e^{-iqx}b_qe^{-aq/2},\psi^{\dagger}(x)\equiv-\sum_{q>0}\frac{1}{\sqrt{n_q}}e^{iqx}b_q^{\dagger}e^{-aq/2}\)
    定义\(\Phi=\varphi+\varphi^{\dagger}\)，其对易关系可见Miranda Note第11页
    Miranda Note第10-11页,Tokura Note第6页经过一堆复杂的变换，证明了\(\psi(x)=\frac{F}{\sqrt{2\pi a}}e^{-i\phi(x)}\)
12. 证明Klein Factor F满足反对易关系(Miranda Note第15页)
    我们先以Luttinger液体为例，无相互作用下\(\psi_L,\psi_R\)独立，Hilbert空间为\(|N_R,N_L\rangle=|N_R\rangle_0\bigotimes|N_L\rangle_0=c_{N_R}^{R\dagger}c_{N_R-1}^{R\dagger}\cdot\cdot\cdot c_1^{R\dagger}|0\rangle_0\bigotimes c_{N_L}^{L\dagger}c_{N_L-1}^{L\dagger}\cdot\cdot\cdot c_1^{L\dagger}|0\rangle_0\)
    前面证明了对于单个态\(F|N\rangle_0=|N-1\rangle_0,F^{\dagger}|N\rangle_0=|N+1\rangle_0\)，故推广到双态情况为
    \(F_L|N_R,N_L\rangle_0\equiv(-1)^{N_R}|N_R\rangle_0\bigotimes|N_L-1\rangle_0,F_L^{\dagger}|N_R,N_L\rangle_0\equiv(-1)^{N_R}|N_R\rangle_0\bigotimes|N_L+1\rangle_0\)
    推广到多粒子态情况有
    \(F_{\nu}|N_1,N_2,\cdot\cdot\cdot,N_M\rangle_0=(-1)^{\sum_{\mu=1}^{\nu-1}N_{\mu}}|N_1,N_2,\cdot\cdot\cdot,N_{\nu}-1,\cdot\cdot\cdot,N_M\rangle_0\),对于\(F_{\nu}^{\dagger}\)算符类比即可
    故反对易关系得证\(\{F_{\nu},F_{\nu'}\}=2\delta_{\nu,\nu'}\)
13. 学生笔记
14. 学生笔记2

4.21 周四，特殊事件停课一次