2.24 周四

1. 加入抛物势束缚后拼凑Klein-Gordon Equation
   (1)狭义相对论\(E=\sqrt{p^2+m^2}\)，对于光子和声子来说\(m=0\)，之前我们讨论声子构型，这儿我们通过加抛物势凑出质量项
   (2)引入含抛物束缚势\(\mathcal{L}=\frac{m}{2}\sum_a\dot{q}_a^2-\frac{k}{2}(q_a-q_{a-1})^2-\frac{\triangle^2}{4}(q_a^2+q_{a+1}^2)\)
   (3)进行连续化得\(S=\int dxdt[\frac{m}{2}(\frac{\partial\phi}{\partial t})^2-\frac{\kappa^2a^2}{2}(\frac{\partial\phi}{\partial x})^2-\triangle^2\phi^2]\)
   (4)小量微扰f。理论力学\(\delta S=0\rightarrow S[\phi+f]-S[\phi]=O(f)\)
   \((\partial_t\phi+\partial_tf)^2-(\partial_t\phi)^2=0(\partial_tf)+2\partial_t\phi\partial_tf=2\partial_t[(\partial_t\phi)f]-2(\partial_t^2\phi)f\)
   (5)进行积分，用理论力学办法一系列步骤后可以得到运动方程
   \(m\partial_t^2\phi-\kappa^2a^2\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+\triangle^2\phi=0\)
   \(-m\omega^2+\kappa^2a^2k^2+\triangle^2=0\)
   通过类比发现连续化后凑出了质量项m
2. 类比到其他场
   (1)粒子场\((\frac{\partial\phi}{\partial t})^2-(\frac{\partial\phi}{\partial x})^2=\triangle^2\phi^2\)
   (2)带质量电磁场\(\frac{\partial\vec{A}}{\partial t})^2-(\triangledown\times\vec{A})^2-\frac{\triangle^2}{2}\vec{A}^2\)，其中\(\frac{\triangle^2}{2}\vec{A}^2\)为超导带质量电磁场，形成磁屏蔽迈斯纳效应，自由电磁场\(\triangle=0\)
   可参考：电磁场的量子化与自发对称破缺介质耦合拉格朗日量形式(Nagaosa书)，23-26页
   电磁场拉格朗日量在高斯单位制形式为\(L=\int d^3x(-\frac{1}{4})F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\propto E^2-B^2\)，可推出麦克斯韦方程，参考：电磁场的拉格朗日量，格里菲斯电动力学相关部分
   (3)Non-linear sigma model(本课程不需要掌握)
   拉格朗日量：\(\mathcal{L}_0=\sum_i[\frac{1}{2}(\partial_t\phi_i)^2-\frac{1}{2}(\partial_x\phi_i)^2-\frac{\triangle^2}{2}|\phi_i|^2]\)
   \(\mathcal{L}=\mathcal{L}_0-\frac{\lambda}{4!}(\sum_i|\phi_i|^2)^2\)，这是不同分量之间的多体相互作用
   矩阵形式下也属于Nonlinear sigma model
   符号约定：和量子场论中符号约定一致，参考：Peskin书最前言
   Define:\((\partial\phi)^2\equiv(\partial_t\phi)^2-(\partial_x\phi)^2\),\(A^2=\sum_iA^iA_i=(A^0)^2-\sum_{a=1,2,3}(A^a)^2\),\(\partial_i=(\partial_t,\triangledown),\partial^i=(\partial_t,-\triangledown)\)
3. 路径积分简介
   参考：azee书1.2节，可参考：Sakurai书,Altland书95-101页
   可参考：文小刚书第二章路径积分，路径积分总的贡献主要来源于经典路径及其附近的二阶涨落
   最早灵感来自Dirac，由Feynman实现。杨氏双缝可看作两条路径叠加，在双缝上可推广到开无数个孔，而后在双缝板后面再放一个有无数个孔的板，而后放置无数个有无数个孔的板。光的传播可以看作对无数条路径的叠加
   \(\langle x|e^{-iHt}|y\rangle=\langle q'_1q'_2\cdot\cdot\cdot q'_N|e^{-iHt}|q_1q_2\cdot\cdot\cdot q_N\rangle \)，其中\(|q_1q_2\cdot\cdot\cdot q_N\rangle \)为多粒子构型
   推广到\(N\rightarrow+\infty\)场的形式：\(\langle\phi'(x)|e^{-iHT}|\phi(x)\rangle\)
   下面先讨论单粒子路径积分形式，下一节课推广到场的形式：
   \(\langle x_i|e^{-iHT}|y\rangle=\langle x,T|y,0\rangle=\int\langle x|e^{-iH\delta t}|x_1\rangle\langle x_1|e^{-iH\delta t}|x_2\rangle\cdot\cdot\cdot\langle x_N|e^{-iH\delta t}|y\rangle dx_1dx_2\cdot\cdot\cdot dx_N\)
   \(\langle x_i|e^{-iH\delta\epsilon}|x_{i+1}\rangle=\langle x_i|e^{-i\frac{p^2}{2m}\delta\epsilon}|x_{i+1}\rangle e^{-iV(x_{i+1})\delta\epsilon}\)
   \(\langle x_i|e^{-i\frac{p^2}{2m}\delta\epsilon}|x_{i+1}\rangle=\frac{1}{2\pi}\int\langle x_i|e^{-i\frac{p^2}{2m}\delta\epsilon}|k\rangle\langle k|x_{i+1}\rangle\frac{dk}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\int e^{-i\frac{k^2}{2m}\delta\epsilon}e^{ik(x_{i+1}-x_i)}dk=\sqrt{\frac{\pi}{\delta\epsilon/(2m)}}e^{-\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{4i(\delta\epsilon/(2m))}}\)
   \(\langle x|e^{-iHt}|y\rangle\propto\int dx_1\cdot\cdot\cdot dx_Ne^{\sum_ii\frac{m}{2}(\frac{x_{i+1}-x_i}{\delta\epsilon})^2\delta\epsilon-iV(x_{i+1})\delta\epsilon}\propto\int dx_1\cdot\cdot\cdot dx_Ne^{iS}\)
   可简记为\(\int DXe^{iS[X]}\)，其中\(DX=dx_1\cdot\cdot\cdot dx_N,S[X]=\sum_i S[x_i,x_{i-1}]\)，物理意义：x到y的传播子对应于所有可能路径的求和(积分)
   变换到动量空间\( \prod_i\int d\phi(x_i)=J\prod_k\int d\phi(k)\)，J为jacobi行列式
   意义：求解平均值\(\langle A\rangle=\frac{\int D\phi(x)Ae^{iS_{eff}(x)}}{\int D\phi(x)e^{iS_{eff}(x)}}=\frac{\int D\phi(k)Ae^{iS_{eff}[k]}}{\int D\phi(k)e^{iS_{eff}[k]}}\)，这样Jacobi矩阵分子分母可以约掉，这个在路径积分中经常使用
   Kardar：物理量的平均值等于物理量乘以路径积分对应的权重，即\(\langle f(X)\rangle =\frac{\int DXf(X)e^{iS[X]}}{\int DXe^{iS[X]}}\)
   学生笔记
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