物理量与表象

  为了量化某个物体的物理性质，我们需要用到一些数（可以是一个，也可以是多个），他们的集合称为 物理量。有的物理量只需要一个数就能完全描述，例如质量、能量；但有的却不能。为了完全描述一个更为复杂的物理量，我们需要使用更多的数，我们就讲这些数称为 分量。描述同一物理性质的分量应当有某种结构或者组织形式，这是因为这些复杂的物理量大多与这个物理性质的各向异性有关。体现在这些数上，就是不同位置的数不能随意交换，应当按照某些顺序排列起来。

  此外，坐标系在描述物理系统的演化时也具有非常关键的作用，而不同参考系之间存在一定的变换，在经典力学中即是 正交变换， 它是欧氏空间中保内积、保长度、保标准正交基的变换。

  在不同坐标系中，我们不能先验地认为某量在不同坐标系下的分量具有某种关系。然而，基于对周遭世界客观实在的信念，物理量及物理规律应当独立于人为设定的参考系而存在。也就是说，这是物理对象的内禀性质，不以人的意志为转移。

  所以，一个量能被称为物理量，理应具有某种特殊的性质，即这个量在不同坐标系中的分量之间的关系应当是确定的——仅与联系两个坐标系的正交变换有关，而与两个参考系无关。

  坐标系的本质是欧氏空间中的一组标准正交基。正如在不依赖这组基时，我们依然可以谈论某个线性变换 A\mathscr{A} 的特征值与特征向量一般，不选取坐标系我们依然可以谈论某个物理量的某些本质性质，只不过不太适应这种抽象表述而已。

  将“坐标系”的概念推而广之，就是 representation，“表象”。无论是在线性空间中选择某组基，还是以你所站立的点为原点、经纬线分别作为 X、Y 轴建立直角坐标系，都是选择了一种观察、看待某个对象（线性变换 A\mathscr{A}、苹果落地）的方式，它是人为选择的，决定了对象在我们面前的呈现形式，也就是“表象”二字的字面含义。

  而这种 representation invariance 的观点也是量子力学的基石。一个例子是如下形式的薛定谔方程

iℏ∂ψ∂t=−ℏ22m∂2ψ∂x2+V(x)ψ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2}+ V(x)\psi

即是以态矢表示的薛定谔方程

iℏddt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩ i \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle

在坐标表象下的呈现形式而已。为了确认这一点，我们只需在方程左右同时左乘 ⟨x∣\langle x | 即可。

  另一个和表象的含义相似的词汇为 “绘景”。不同绘景的区别实际上也是我们看待量子系统演化的不同方式。薛定谔绘景、海森堡绘景以及相互作用绘景的核心区别，就在于怎样在态矢与算符之间分配这个传播子 U\mathcal{U}。

经典力学中的矢量与张量

正交变换与矢量

  数学上讲，一个正交变换作用于一个向量后将其映射为另一个向量，注意，这里“正交变换”、“向量”是抽象的，不存在“数”。现在我们用物理学家更为熟悉的语言来重新叙述一下这件事，即选择一套标准正交基（建立直角坐标系），将抽象的线性空间同构为数组空间（用一些分量来描绘），并使用习惯的符号（数学家喜欢使用矩阵，而物理学家更习惯求和约定）：

xi′=λijxj x_i' = \lambda_{ij} x_j

其中 λij\lambda_{ij} 是正交变换在这组标准正交基下矩阵的 ijij 元，其中使用求和约定。这是一个坐标变换，两组坐标都描述的是同一个向量，这个式子刻画了这两组坐标之间的关系：一重线性映射。

  同样，物理量在不同坐标系下也可能有所不同。但为了保证空间对称的物理定律仍然成立，它的分量必须做一些改动。不过，新的分量也可以看成是由旧的分量变换而来，但不能先验地说新旧分量之间有什么必然关系。

  现在我们规定：只有一个分量，并在任何坐标系中的值都相同的物理量称为 标量。

  如果一个物理量 A\bm{A} 有三个分量，并且它们在正交变换下其分量如同点的坐标一样变换：

Ai′=λijAj A_i' = \lambda_{ij} A_j

则称为 “矢量”。

  注意，向量和矢量在这里的定义并不相同。向量更多指数学上的服从加法和数乘的那个对象。

Hamilton 算符是一个矢量

  定义 Hamilton 算符如下：

∇=∂∂x1e1+∂∂x2e2+∂∂x3e3\nabla = \frac{\partial }{\partial x_1}\boldsymbol e_1 + \frac{\partial }{\partial x_2}\boldsymbol e_{2} + \frac{\partial }{\partial x_3}\boldsymbol e_3

并称为 Hamilton ~\mathrm{Hamilton}~算子或 Nabla ~\mathrm{Nabla}~算子。算子 ∇ ~\nabla~兼有微商和矢量两种运算属性，这是因为

∂∂xi′=∂∂xj⋅∂xj∂xi′=TjiT∂∂xj=Tij∂∂xj \frac{\partial}{\partial x_i^{\prime}}=\frac{\partial}{\partial x_j} \cdot \frac{\partial x_j}{\partial x_i^{\prime}}=T_{j i}^{\mathrm{T}} \frac{\partial}{\partial x_j}=T_{i j} \frac{\partial}{\partial x_j}

随坐标的正交变换而作相同系数的正交变换，具有相同的转动性质，所以既是微分算子，又是矢量。

 ∇ ~\nabla~与函数 φ(x,y,z) ~\varphi(x,y,z)~的“数乘”给出函数的梯度

∇φ=grad φ=∂φ∂x1e1+∂φ∂x2e2+∂φ∂x3e3\nabla\varphi = \boldsymbol{\mathrm{grad}}~\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x_1}\boldsymbol e_1 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_2}\boldsymbol e_2 + \frac{\partial \varphi}{\partial x_3}\boldsymbol e_3

可以看出，数量场的梯度是一个向量场。

 ∇ ~\nabla~与向量场的"点乘"给出向量场的散度

div v=∇⋅v=∂P∂x1+∂Q∂x2+∂R∂x3\mathrm{div}~\boldsymbol v = \nabla\cdot\boldsymbol v = \frac{\partial P}{\partial x_1} + \frac{\partial Q}{\partial x_2} + \frac{\partial R}{\partial x_3}

可以看出，向量场的散度是一个数量场。

 ∇ ~\nabla~与向量场的“叉乘”给出向量场的旋度

rot v=∇×v=(∂R∂y−∂Q∂z)e1+(∂P∂z−∂R∂x)e2+(∂Q∂x−∂P∂y)e3\boldsymbol{\mathrm{rot}}~\boldsymbol v = \nabla\times\boldsymbol v = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \boldsymbol e_ 1+ \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \boldsymbol e_2 + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \boldsymbol e_3

可以看出，向量场的旋度是一个向量场。

特别的，向量场的旋度可以写为行列式形式

rot v=∇×v=∣e1e2e3∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣\boldsymbol{\mathrm{rot}}~\boldsymbol v = \nabla\times\boldsymbol v = \begin{vmatrix} \boldsymbol e_1 & \boldsymbol e_2 & \boldsymbol e_3 \\[6pt] \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\[6pt] P & Q & R \end{vmatrix}

可以验证以下结果

rot grad φ=∇×∇φ=0div rot a=∇⋅(∇×a)=0\begin{aligned} \boldsymbol{\mathrm{rot~grad}}~\varphi &= \nabla\times\nabla\varphi = \boldsymbol 0 \\ \mathrm{div}~\boldsymbol{\mathrm{rot}}~\boldsymbol a &= \nabla\cdot(\nabla\times \boldsymbol a) = 0 \end{aligned}

  上式表明，梯度的旋度为零向量，旋度的散度为零。

  我们知道，梯度，旋度和散度有着几何或是物理意义。梯度的方向是数量场增加最快的方向，大小则是该方向的斜率大小。散度描述了向量场的“源”或“漏”，向量从此处发散或汇聚到此处，散度的大小即是某种通量。旋度则描述了向量场的旋转情况，旋度的大小是涡量的最大值，方向则是旋转轴的指向。

  由此，我们可以比较直观的理解梯度的旋度和旋度的散度问题。若梯度的旋度不为零，则意味着梯度场中存在涡量。梯度的方向是增加最快的方向，若在场中沿各个向量可以连接出闭合曲线，那么意味着原数量场的最大值即是其最小值，这在数量场不是常量时是不可能的。

  而旋度的散度为零，则表明向量场各点处涡量（环量除以面积取极限）的旋转轴不会汇聚到或发散自一点。倘若转轴汇聚到或发散自一点，那么涡量会相互抵消，就不存在这些转轴了。

  引入爱因斯坦求和约定，Hamilton\text{Hamilton} 算符可以简洁的写作如下形式：

∇=∂iei \nabla = \partial_i \bm{e}_i

标量场的梯度：

∇φ=∂iφ ei \nabla \varphi = \partial_i \varphi\,\bm{e}_i

向量场的散度：

∇⋅φ=∂iei⋅φjej=∂iφjδij=∂iφi \nabla \cdot \bm{\varphi} = \partial_i \bm{e}_i \cdot \varphi_j \bm{e}_j = \partial_i\varphi_j \delta_{ij} = \partial_i\varphi_i

向量场的旋度：

∇×φ=ϵijk∂jφk ei \nabla \times \bm{\varphi} = \epsilon_{ijk}\partial_j \varphi_k \,\bm{e}_i

  可以看到，如果使用求和符号，就可以不用时刻检查作用对象究竟是向量场还是标量场，只需把标量场写作 φjej\varphi_j \bm{e}_j 然后遵守求和约定进行数学运算即可，大大降低了数学推导的繁琐程度。

这是数学史上的一大发现，若不信的话，可以试着返回那不使用这方法的古板日子。

  ——阿尔伯特·爱因斯坦

求和约定以其表示的简洁而著称，但是初学者使用起来非常容易眼花。此处黑体也表示向量或者向量场，请读者一定要拿出草稿纸写一写，认真比较它们的异同。

对 ∇⋅(∇×φ)=0\nabla\cdot (\nabla\times \bm{\varphi}) = 0 的一个简洁的证明如下：

∇⋅(∇×φ)=∂iei⋅ϵlmn∂mφn el=ϵlmn∂i∂mδilφn=ϵlmn∂l∂mφn \begin{aligned} \nabla\cdot (\nabla\times \bm{\varphi}) &= \partial_i \bm{e}_i \cdot \epsilon_{lmn}\partial_m \varphi_n \,\bm{e}_l\\ &= \epsilon_{lmn} \partial_i\partial_m \delta_{il} \varphi_n \\ &= \epsilon_{lmn} \partial_l\partial_m \varphi_n \end{aligned}

由于 ∂l∂m\partial_l\partial_m 关于 m,nm,n 对称，ϵlmn\epsilon_{lmn} 关于 m,nm,n 反对称，这相当于奇函数在对称区间积分，所以求和为 00。

又如，证明 ∇(A⋅B)=(B⋅∇)A+B×(∇×A)+(A⋅∇)B+A×(∇×B)\nabla(\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B})=(\boldsymbol{B} \cdot \nabla) \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \times(\nabla \times \boldsymbol{A})+(\boldsymbol{A} \cdot \nabla) \boldsymbol{B}+\boldsymbol{A} \times(\nabla \times \boldsymbol{B}) 可以这样证：

等式右边前两项的 ii 分量为

=Bj∂jAi+εijkBj(∇×A)k=Bj∂jAi+εijkBjεklm∂lAm=Bj∂jAi+(δilδjm−δimδjl)Bj∂lAm=Bj∂jAi+Bj∂iAj−Bj∂jAi=Bj∂iAj, \begin{aligned} &=B_j \partial_j A_i+\varepsilon_{i j k} B_j(\nabla \times A)_k \\ &=B_j \partial_j A_i+\varepsilon_{i j k} B_j \varepsilon_{k l m} \partial_l A_m \\ &=B_j \partial_j A_i+\left(\delta_{i l} \delta_{j m}-\delta_{i m} \delta_{j l}\right) B_j \partial_l A_m \\ &=B_j \partial_j A_i+B_j \partial_i A_j-B_j \partial_j A_i=B_j \partial_i A_j, \end{aligned}

同理可得左边 ii 分量。这里只是将分量拿出来了而已。至于不取出分量的情况有无本质困难，读者大可一试（取出分量这么复杂，为什么不用简洁统一的对基矢量求和来表示原来的矢量呢）。

再如，一个电偶极子处于原点，已知电势 UU，求电场：

U=14πε0p⋅rr3E=−∇U=−14πε0∇(p⋅rr3)=−14πε0∇(p⋅r)r3−p⋅r4πε0∇(1r3)=−14πε0∂i(pjrj)eir3+3p⋅r4πε0r4∇r=−14πε0pjδijeir3+3p⋅r4πε0r4rr=−14πε0pr3+3(p⋅r)r4πε0r5 \begin{aligned} U &=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}}{r^3} \\ \boldsymbol{E} &=-\nabla U=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \nabla\left(\frac{\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}}{r^3}\right) \\ &=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\nabla(\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r})}{r^3}-\frac{\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}}{4 \pi \varepsilon_0} \nabla\left(\frac{1}{r^3}\right) \\ &=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\partial_i\left(p_j r_j\right) \boldsymbol{e}_i}{r^3}+\frac{3 \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}}{4 \pi \varepsilon_0 r^4} \nabla r \\ &=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p_j \delta_{i j} \boldsymbol{e}_i}{r^3}+\frac{3 \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}}{4 \pi \varepsilon_0 r^4} \frac{\boldsymbol{r}}{r}\\ &=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\boldsymbol{p}}{r^3}+\frac{3(\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}) \boldsymbol{r}}{4 \pi \varepsilon_0 r^5} \end{aligned}

其中 ∂i(pjrj)ei=pjδijei\partial_i\left(p_j r_j\right) \boldsymbol{e}_i = p_j \delta_{i j} \boldsymbol{e}_i 是因为偶极子是放好的、不动的，所以 p\boldsymbol{p} 是常量。

张量

  当一个物理量有 99 个分量，并且不同坐标系下的分量由一个二重线性映射联系：

Tij′=λikλjlTkl T'_{ij} = \lambda_{ik}\lambda_{jl}T_{kl}

则称为 张量。它的分量在一组标准正交基（表象）下可以写为矩阵的形式，并且容易看出，在两个坐标系下的矩阵表示的关系为正交相似。

并矢

  对于任意两个给定的矢量 A⃗,B⃗\vec{A}, \vec{B} ，按照下面的形式可以构造出一个张量 A⃗B⃗\vec{A}\vec{B}：

(A⃗B⃗)ij=AiBj (\vec{A}\vec{B})_{ij} = A_iB_j

它可以写为一个列矢量左乘一个行矢量。而如果将坐标系的三个基矢量分别做并运算，即是所有二阶张量所组成的线性空间的九个基：

x^1x^1=[100000000],x^1x^2=[010000000],x^2x^1=[000100000] \hat{x}_1\hat{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} , \hat{x}_1\hat{x}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} , \hat{x}_2\hat{x}_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

所以，一个张量也可以表示为

T=Tijx^ix^j \mathcal{T} = T_{ij}\hat{x}_i\hat{x}_j

与矢量的表示一模一样。

张量与矢量的点乘

  张量与矢量的点乘可以通过定义并矢与矢量的点乘得到。它服从就近原则：

T⋅A⃗=(Tijx^ix^j)⋅(Akx^k)=(TikAk)x^iA⃗⋅T=(Akx^k)⋅(Tijx^ix^j)=(AkTkj)x^j\begin{aligned} \mathcal{T} \cdot \vec{A} = (T_{ij}\hat{x}_i\hat{x}_j) \cdot (A_k \hat{x}_k) = (T_{ik}A_k)\hat{x}_i\\ \vec{A} \cdot \mathcal{T} =(A_k \hat{x}_k) \cdot (T_{ij}\hat{x}_i\hat{x}_j) = (A_kT_{kj})\hat{x}_j \end{aligned}

  可以看出，从左边从右边点乘的结果不一样，点乘一次是矢量，左右都点乘就是一个数了。

  进一步地，如果将此时左右点乘的矢量取为欧氏空间中的一组基：

Tij=x^i⋅T⋅x^j T_{ij} = \hat{x}_i \cdot \mathcal{T} \cdot \hat{x}_j

则称这个数 TijT_{ij} 为张量 T\mathcal{T} 在这个表象下的 矩阵元。

作为线性映射的张量

  [2]中的例1.3证明了线性映射是一个张量，因为它可用9个分量完全表示，并在正交变换下的变换服从张量的定义。反之对于任意一个张量，我们也可以够在一个线性映射，例如单位张量即可定义为

I:A⃗↦A⃗ \mathcal{I} :\vec{A} \mapsto \vec{A}

由于线性映射本身也是与坐标系无关的，所以如果按照这样定义张量，则更加强调张量在坐标变换下的不变性，也即是 representation invariance。

狄拉克表象理论

  本文最开始已经说明，representation invariance 的信念迫使我们给出了物理量的定义，但无论是标量、矢量还是张量，都是存在于欧氏空间中的，因为经典力学是欧几里得空间中的力学。然而，量子力学是希尔伯特空间中的力学。

  总体而言，所谓“一个量子态以一个态矢来表示”实际上是在说：它是 Hilbert 空间中的一个矢量，而“一个可观测量对应一个算符”实际上是在说：它是 Hilbert 空间中的一个张量。同时取代正交变换地位的，称为 酉变换。

  本节内容主要参考[4]的第一章，为了体现与经典力学与线性代数的相似之处，省略了许多与本文主题不相关的部分。

酉变换

  两组正交基 ∣an⟩|a_n\rangle 和 ∣bn⟩|b_n\rangle 之间的酉变换可以写作

U=∣bn⟩⟨an∣ U = |b_n \rangle \langle a_n|

它满足下面这个关系：

U∣ai⟩=∣bn⟩⟨an∣ai⟩=δin∣bn⟩=∣bi⟩ U |a_i\rangle = |b_n \rangle \langle a_n|a_i\rangle = \delta_{in}|b_n\rangle = |b_i\rangle

所以一个态矢在 ∣bn⟩|b_n\rangle 上的投影 Bi=⟨bi∣ψ⟩B_i = \langle b_i | \psi \rangle 可以被写作 Aj=⟨aj∣ψ⟩A_j = \langle a_j | \psi \rangle 的线性组合，通过下面的方式：

Bi=⟨bi∣ψ⟩=⟨ai∣U∣ψ⟩=⟨ai∣U∣aj⟩⟨aj∣ψ⟩=Uij⟨aj∣ψ⟩=UijAj \begin{aligned} B_i &= \langle b_i | \psi \rangle \\ &= \langle a_i | U | \psi \rangle\\ &= \langle a_i |U|a_j\rangle\langle a_j| \psi \rangle \\ &= U_{ij}\langle a_j| \psi \rangle \\ &= U_{ij}A_j \end{aligned}

  很像正交变换吧？

基的并矢构成张量基

  设 ∣β⟩=T∣α⟩| \beta \rangle = \bm{T} | \alpha \rangle，则插入单位张量有

⟨xi∣β⟩=⟨xi∣T∣α⟩=⟨xi∣T∣xj⟩⟨xj∣α⟩=Tijaj \langle x_i | \beta \rangle = \langle x_i | \bm{T} |\alpha \rangle = \langle x_i | \bm{T} |x_j\rangle \langle x_j |\alpha \rangle = T_{ij}a_j

  可见，在 xx 表象下分量的变换规律满足线性变换的形式。所以为了取出一个算符在某个表象下的 ijij 元，只需左边作用左矢 ⟨xi∣\langle x_i| ，右边作用右矢 ∣xj⟩|x_j\rangle 。

  通过这种“插入单位算符”的手法，一个算符就可以表示为

A^=∣ai⟩⟨ai∣A^∣aj⟩⟨aj∣=∣ai⟩Aij⟨aj∣ \begin{aligned} \hat{A} &= |a_{i} \rangle\langle a_{i} | \hat{A} |a_{j} \rangle\langle a_{j} |\\ &= |a_{i} \rangle A_{ij} \langle a_{j} | \end{aligned}

  所以，量子态是一个矢量，而量子算符是一个张量。那么不同的张量相乘要想对易，那是比较困难的——需要有完全相同的本征子空间。

对易

矩阵的乘法交换性

  显然，张量空间同构于矩阵空间，从而我们可以通过研究矩阵的对易关系来研究张量，也就是算符的对易关系。

  线性代数告诉我们：两个方阵 A,BA,B 对易，当且仅当存在可逆矩阵 PP ，使得 P−1APP^{-1} A P 和 P−1BPP^{-1} B P 都是对角阵，也就是能够同时相似对角化，这也表明 A,BA,B 具有完全相同的特征子空间——这一证明从不变子空间出发，再取这些共同不变子空间的基即可。

  厄米算符具有完全类似的性质，所以两个可观测量对易，当且仅当它们所有本征态都相同。

对易与测量

  对 nn 个处于态 ∣ψ⟩|\psi\rangle 的量子系统进行物理量 AA 的测量，有如下假设：

  1. 这些测量结果 {a1,a2,…,an}\{a_1,a_2,\dots, a_n\} 是 A^\hat A 本征值集合的子集，而本征值集合由 A^\hat A 和量子系统本身的空间限制决定，与状态 ∣ψ⟩|\psi\rangle 无关；

  2. 测量值是服从分布 P(A=ai)=∣⟨ai∣ψ⟩∣2\mathbb{P}(A = a_i) = |\langle a_i|\psi\rangle|^2 的随机变量；

  3. 得到 A=aiA = a_i 的同时，量子态 ∣ψ⟩|\psi\rangle 坍缩至 aia_i 对应的本征矢 ∣ai⟩|a_i\rangle，即将投影算符 ∣ai⟩⟨ai∣|a_i\rangle \langle a_i| 作用于 ∣ψ⟩|\psi\rangle。

  这时我们发现，如果将测量本身也视为一个算符 MM，那么它和其他算符的区别在于，它不是确定的，而是服从分布 P(M=∣ai⟩⟨ai∣)=∣⟨ai∣ψ⟩∣2\mathbb{P}(M = |a_i\rangle \langle a_i |) = |\langle a_i|\psi\rangle|^2 的随机张量。这是由J·施温格发展的量子力学的一种公式形式，但现在不常采用。

对两个对易的物理量做相继观测，将给出相同的本征值，即相继得到A，B，A，B，A，B，A，B；如果态处于两个不对易算符的共同本征态上，那么测量结果和对易物理量的结果仍然相同：相继得到A，B，A，B，A，B，A，B。

  然而，两个不对易算符可以拆为对易部分和不对易部分：

A=[diag1, 00  ,A1]    B=[diag2, 00  ,B1] A = \begin{bmatrix} diag_1,~\bold{0} \\ \bold{0}\,\,, A_1 \end{bmatrix}\;\; B = \begin{bmatrix} diag_2,~ \bold{0} \\ \bold{0}\,\,, B_1 \end{bmatrix}

其中对角部分对应共同本征态，不对易部分则不存在共同本征态。

  这样一来，对于循环测量这件事，如果初始状态处于对角阵对应的一个，那么它将会停留在这个本征态上。如果初始状态处于不对易部分，那么连续测量的结果将被限制在这个不变子空间中，但结果则是一个马尔可夫过程。

谱分解

  实对称正定方阵总可以正交相似对角化，这一现象的抽象推广，即是算子的谱分解。正如其字面含义所指出的那般，既然一个算子的特征值与特征向量包含了这个算子的所有信息，那么我们就可以尝试将它按照自己的特征来实现某种分离。

  用我们熟悉的语言表达，对一个厄米算符 A^\hat{A} 做谱分解，是指将它写为

A^=∑iλi∣λi⟩⟨λi∣ \hat{A} = \sum_i \lambda_i|\lambda_i \rangle\langle \lambda_i |

的并矢形式。根据厄米性的推论，厄米算符总是可以做这样的分解。从另一个角度出发，我们同样可以得到这个结果，即在算符 A^\hat{A} 的本征向量集合的表象下，写出 A^\hat{A} 的矩阵元。

  这里的 λi,λj  (i≠j)\lambda_i,\lambda_j\;(i \neq j) 可以相同，也可以不同，对应有简并与无简并情况。所以我们可以将简并的子空间合成一下：

P^k=∑j=1gk∣akj⟩⟨akj∣A^=∑kλkP^k \begin{aligned} \hat{P}_k &= \sum_{j = 1}^{g_k} |a_{kj} \rangle\langle a_{kj} |\\ \hat{A} &= \sum_k \lambda_k \hat{P}_k \end{aligned}

其中 kk 是子空间的标号，而 gkg_k 是它的简并度。这里定义的 P^k\hat{P}_k 称为 投影算符，它满足

P^k2=P^k \hat{P}_k^2 = \hat{P}_k

它将会在量子力学变分法以及 von Neumann 的量子统计力学的描述中发扬光大。

参考资料

[1].Axeho, 关于向量场的微积分, 2020

[2].潘海俊, 理论力学导论, 中国科学技术大学出版社, 2022

[3].梁昆淼, 力学（下册）：理论力学, 高等教育出版社, 2009

[4].樱井纯, 现代量子力学 第二版 中译本修订版, 世界图书出版公司, 2021

[5].Robert Alicki and Ronnie Kosloff, Introduction to Quantum Thermodynamics: History and Prospects, Springer, Cham, 2018