Stochastic Process
HW4
如有错误,烦请指正.
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![image-20230930230848530](./HW4.assets/image-20230930230848530.png)
![image-20230930231128902](./HW4.assets/image-20230930231128902.png)
根据非齐次 Poisson 过程的定义,错误.
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![image-20230930231208776](./HW4.assets/image-20230930231208776.png)
由题得
此为严平稳过程.
![image-20230930231552538](./HW4.assets/image-20230930231552538.png)
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![image-20230930231619011](./HW4.assets/image-20230930231619011.png)
的矩母函数为 ,则
所以
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![image-20230930232040816](./HW4.assets/image-20230930232040816.png)
考虑 个 上均匀分布的独立随机变量 ,则
记 ,则
根据定理 4,
![image-20230930232341126](./HW4.assets/image-20230930232341126.png)
已知在 内事件发生 次,则第 次到达时间 与顺序统计量 有着相同分布,即
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![image-20230930234042282](./HW4.assets/image-20230930234042282.png)
以下视“每盏灯烧坏的概率”为强度(速率).
记 为两盏灯都可照明时某一盏灯烧坏的过程, 为只有一盏灯时它烧坏的过程,则它们分别为强度为 和 的 Poisson 过程.
记 为 的第一个事件(即两盏灯都可照明时某一盏灯烧坏)的到达时间, 为 的第一个事件(即只有一盏灯时它烧坏)的到达时间,则 ,,,.
记 为两盏灯都可照明到两盏灯都烧坏的时间间隔,则 ,从而 .
所以,
即从长远看办公室仅有一盏灯工作的时间所占的比例是 ;
当两盏灯都烧坏时将更换它们,相当于回到 时刻,所以两次替换之间的时间间隔的期望值实际上就是 ,即 70 天.