Stochastic Process

HW10

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1

证明 Brown 运动的平移不变性：若 $\{W_t,t⩾0\}$$\set{W_t,t\geqslant 0}$ 为 Brown 运动，则 $\{W_{t+a}-W_a,t⩾0\}$$\set{W_{t+a}-W_a,t\geqslant 0}$ （$a$$a$ 为常数）也是 Brown 运动.

设 $W_t\sim N(0,c^{2}t),t>0$$W_t\sim N(0,c^2t),t>0$，则根据 Brown 运动的定义，对 $t⩾0$$t\geqslant0$ 以及常数 $a$$a$，增量

且增量 $W_{t+a}-W_a$$W_{t+a}-W_a$ 与 $W_a$$W_a$ 相互独立. 记 $U_t=W_{t+a}-W_a,t⩾0$$U_t=W_{t+a}-W_a,t\geqslant 0$，则

• $U_0=W_a-W_a=0$$U_0=W_a-W_a=0$；

• 对每个 $t>0$$t>0$，$U_t=W_{t+a}-W_a\sim N(0,c^{2}t)$$U_t=W_{t+a}-W_a\sim N(0,c^2t)$.

  对 $t>s$$t>s$，

  $$U_t-U_s=(W_{t+a}-W_a)-(W_{s+a}-W_a)=W_{t+a}-W_{s+a}.$$

  因为 $\{W_t,t⩾0\}$$\set{W_t,t\geqslant 0}$ 是 Brown 运动，所以由定义得

  $$W_{t+a}-W_{s+a}\sim N(0,c^2(t-s)),$$

  即

  $$U_t-U_s\sim N(0,c^2(t-s)),$$

  也就是说 $\{U_t,t⩾0\}$$\set{U_t,t\geqslant 0}$ 的增量服从正态分布；

• 因为 $\{W_t,t⩾0\}$$\set{W_t,t\geqslant 0}$ 是 Brown 运动，所以由定义得，对任意的 $0<a⩽t_1<t_2<\cdots <t_n$$0<a\leqslant t_1<t_2<\cdots<t_n$，

  $$W_{t_n}-W_{t_{n-1}},W_{t_{n-1}}-W_{t_{n-2}},\cdots ,W_{t_2}-W_{t_1},W_{t_1}-W_a,W_a$$

  是相互独立的. 考虑 $\{U_t,t⩾0\}$$\set{U_t,t\geqslant 0}$ 的增量

  $$\begin{array}{c}{U}_{t_i}-U_{t_{i-1}}=(W_{t_i}-W_a)-(W_{t_{i-1}}-W_a)=W_{t_i}-W_{t_{i-1}},i=2,3,\cdots .n,\end{array}$$

  且 $U_{t_1}=W_{t_1}-W_a$$U_{t_1}=W_{t_1}-W_a$. 所以，由

  $$W_{t_n}-W_{t_{n-1}},W_{t_{n-1}}-W_{t_{n-2}},\cdots ,W_{t_2}-W_{t_1},W_{t_1}-W_a$$

  相互独立即可得到

  $$U_{t_n}-U_{t_{n-1}},U_{t_{n-1}}-U_{t_{n-2}},\cdots ,U_{t_2}-U_{t_1},U_{t_1}$$

  相互独立. 也就是说 $\{U_t,t⩾0\}$$\set{U_t,t\geqslant 0}$ 的增量是独立的.

综上所述， $\{U_t,t⩾0\}$$\set{U_t,t\geqslant 0}$，也就是 $\{W_{t+a}-W_a,t⩾0\}$$\set{W_{t+a}-W_a,t\geqslant 0}$（$a$$a$ 为常数）是 Brown 运动.

2

证明 Brown 运动的尺度不变性：若 $\{W_t,t⩾0\}$$\set{W_t,t\geqslant 0}$ 为 Brown 运动，则

也是 Brown 运动.

设 $W_t\sim N(0,a^{2}t),t>0$$W_t\sim N(0,a^2t),t>0$，则

记 $W_{ct}/\sqrt{c}=U_t,t⩾0$$W_{ct}/\sqrt c=U_t,t\geqslant 0$，则

• 因为 $\{W_t,t⩾0\}$$\set{W_t,t\geqslant 0}$ 为 Brown 运动，所以 $W_0=0$$W_0=0$，从而

  $$U_0=\frac{W_0}{\sqrt{c}}=0;$$

• 对每个 $t>0$$t>0$，$U_t=W_{ct}/\sqrt{c}\sim N(0,a^{2}t)$$U_t=W_{ct}/\sqrt c\sim N(0,a^2t)$. 对 $t>s$$t>s$，

  $$W_{ct}-W_{cs}\sim N(0,a^2(ct-cs))=N(0,a^{2}c(t-s)),$$

  所以

  $$U_t-U_s=\frac{W_{ct}-W_{cs}}{\sqrt{c}}\sim N(0,a^2(t-s)),$$

  即 $\{U_t,t⩾0\}$$\set{U_t,t\geqslant 0}$ 的增量服从正态分布；

• 对任意的 $0<t_1<t_2<\cdots <t_n$$0<t_1<t_2<\cdots<t_n$，

  $$W_{c{t}_n}-W_{c{t}_{n-1}},W_{c{t}_{n-1}}-W_{c{t}_{n-2}},\cdots ,W_{c{t}_2}-W_{c{t}_1},W_{c{t}_1}$$

  相互独立. 考虑 $\{U_t,t⩾0\}$$\set{U_t,t\geqslant 0}$ 的增量

  $$U_{t_i}-U_{t_{i-1}}=\frac{W_{c{t}_i}-W_{c{t}_{i-1}}}{\sqrt{c}},i=2,3,\cdots ,n,$$

  且

  $$U_{t_1}=\frac{W_{c{t}_1}}{\sqrt{c}},$$

  所以由

  $$W_{c{t}_n}-W_{c{t}_{n-1}},W_{c{t}_{n-1}}-W_{c{t}_{n-2}},\cdots ,W_{c{t}_2}-W_{c{t}_1},W_{c{t}_1}$$

  相互独立即可得到

  $$U_{t_n}-U_{t_{n-1}},U_{t_{n-1}}-U_{t_{n-2}},\cdots ,U_{t_2}-U_{t_1},U_{t_1}$$

  相互独立. 也就是说，$\{U_t,t⩾0\}$$\set{U_t,t\geqslant 0}$ 的增量是独立的.

综上所述，$\{U_t,t⩾0\}$$\set{U_t,t\geqslant 0}$，也就是

是 Brown 运动.