Stochastic Process
HW10
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证明 Brown 运动的平移不变性:若 为 Brown 运动,则 ( 为常数)也是 Brown 运动.
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设 ,则根据 Brown 运动的定义,对 以及常数 ,增量
且增量 与 相互独立. 记 ,则
;
对每个 ,.
对 ,
因为 是 Brown 运动,所以由定义得
即
也就是说 的增量服从正态分布;
因为 是 Brown 运动,所以由定义得,对任意的 ,
是相互独立的. 考虑 的增量
且 . 所以,由
相互独立即可得到
相互独立. 也就是说 的增量是独立的.
综上所述, ,也就是 ( 为常数)是 Brown 运动.
2
证明 Brown 运动的尺度不变性:若 为 Brown 运动,则
也是 Brown 运动.
设 ,则
记 ,则
因为 为 Brown 运动,所以 ,从而
对每个 ,. 对 ,
所以
即 的增量服从正态分布;
对任意的 ,
相互独立. 考虑 的增量
且
所以由
相互独立即可得到
相互独立. 也就是说, 的增量是独立的.
综上所述,,也就是
是 Brown 运动.