• 量子物理

    第一章 光的特性

    1.2 几何光学与费马原理

    1.2.1. 几何光学的基本定律

    1. 光的直线传播定律
    2. 光的独立传播定律
    3. 光的反射和折射定律
    (1) 反射定律

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    (2) 折射定律

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    折射率的定义:

    n1=cv1,n2=cv2.

    折射率 n 大的介质称为光密介质,小的称为光疏介质.

    重要例子:全反射原理,当光从光密介质射到光疏介质表面时,可能会出现全反射现象.

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    1.2.2 费马原理

    光程:光在均匀介质中通过的几何路径 s 与所经过的介质折射率 n 的乘积,

    l=ns.

    光在介质中走过的光程等于以相同的时间在真空中走过的距离,即

    t=sv=sc/n=lc.

    费马原理的表述:

    意义:描述光线传播行为的普遍规律.

    例子:直线传播定律,

    1.2.3 光学成像

    1. 薄透镜近似

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    薄透镜成像的物像关系:

    ns+ns=nLnr1+nnLr2,

    其中 r1,r2 分别为两个球面的半径.

    2. 薄透镜的焦点与焦平面

    s=,得物方焦距

    f=nnLnr1+nnLr2=nΦ.

    s=,得像方焦距

    f=nnLnr1+nnLr2=nΦ.

    空气中的薄透镜:n=n=1,有磨镜者公式

    f=f=1(nL1)(1r11r2).
    3. 高斯物像公式
    fs+fs=1,ff=nn.

    1.3 光是电磁波

    单色光波及其描述

    单色光波的四个条件:

    1. 空间格点的电磁场以同一频率做简谐振荡;

    2. 各点的振幅不随着时间变化;

    3. 初相位是空间分布,与时间无关;

    4. 波列在空间上无限延伸,在时间上无限长.

    在均匀介质中,沿 z 轴正向传播,以速度 v 传播的平面简谐电磁波为

    E=E0cos[ω(tzv)+φ0],B=B0cos[ω(tzv)+φ0].

    波面(等相面):波场中相位相同的点的集合.

    平面单色波:波面是平面的单色波.

    沿着任意方向传播:

    E=E0cos(ωtkr),

    特别,若沿着 +z 方向传播,则

    E=E0cos(ωtkz).

    其中,

    k=2πλκ

    称为波矢,其方向指向波的传播方向.

    简谐波的复数表示式

    E(z,t)=E0ei(ωtkz)=E0eikzeiωt,

    包含时间变量和空间变量的两部分完全分离开.

    E~=E0eikz,E~=E0(p)eiϕ(p)

    称为复振幅. 其模量 A 代表振幅在空间的分布,其辐角代表相位在空间的分布.

    1.4 光的干涉

    发生条件

    杨氏双缝干涉

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    相邻两条明(暗)条纹的间距

    Δx=Ddλ,

    其中 D 为双缝到屏间距,d 为双缝间距. 条纹间距相等,与级数无关.

    薄膜干涉

    等厚干涉

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    垂直入射,厚度相等的地方,是同一级亮条纹,故称等厚干涉.

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    相邻条纹的厚度差

    2n2Δh=λ,

    条纹间距

    Δl=Δhsinα=λ2n2sinα,

    即干涉条纹是一系列等间距的平行直条纹.

    牛顿环

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    高度

    hm=RR2rm2=rm22R.

    Rrm,即 rmR0. 借助 (1+x)α1αx(x0) 即得.


    图样特点:

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    应用:测量透镜的曲率半径.

    测出任意两级暗环的半径(或直径),数出它们的级数差 N,则透镜的曲率半径

    R=rm+N2rm2Nλ=Dm+N2Dm24Nλ.

    R 已知,可以测量照射光的波长

    λ=Dm+N2Dm24NR.
    增透膜和增反膜

    利用薄膜干涉提高光学器件的透光率.

    1.5 光的衍射

    特点

    巴比涅原理

    互补屏产生的衍射场复振幅之和等于自由传播时场的复振幅,即

    E~a(P)+E~b(P)=E~0(P).

    两互补屏在后焦面上产生的夫琅禾费衍射强度完全相同(像点除外).

    夫琅禾费圆孔衍射

    艾里斑

    1.6 光的偏振

    分类


    偏振度

    P=ImaxIminImax+Imin.

    偏振光的合成

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    偏振片对不同偏振态的光强响应

    线偏振光:马吕斯定律,

    I=I0cos2α.

    光的散射

    应用:

    1.7 黑体辐射

    Stefan-Boltzmann 定律

    辐射的总能量(曲线下的面积)与 T4 成正比,

    Φ(T)=0+E(ν,T) dν=σT4,

    其中 σ 是 Stefan-Boltzmann 常数.

    Wien 位移定律

    曲线的极大值满足

    Tλm=b,

    其中 b=2.8978×103 mK.

    用于测量温度,

    T=bλm.

    Rayleigh-Jeans 定律

    电磁学和统计物理严格求解得

    E(λ,T)=2πcλ4kT.

    普朗克能量子假说

    空腔中的驻波是一系列的谐振子,只能取一些分立的能量,

    ε=0,ε0,2ε0,,

    其中 ε0=hνh=6.63×1034 Js.

    黑体的辐射本领为

    E(ν,T)=2πhc2ν3ehνkT1.

    1.8 光电效应

    光电效应的解释

    光子的能量

    ε=hν;

    光电效应方程

    hν=12mv2+A,

    A 为电子从金属表面逸出所需的逸出功.

    光的波粒二象性

    光同时具有粒子性和波动性.

    de Broglie 的物质波

    第二章 波尔原子模型

    2.3 波尔氢原子理论

    2.3.2 波尔氢原子模型

    1. 波尔假设
    2. 波尔模型
    (1) (类)氢原子的大小
    a0=4πε02mee2=0.53×1010 m,

    则量子化的轨道半径为

    rn=a0n2Z,

    相应的轨道速率为

    vn=Zαcn,

    其中精细结构常数

    α=e24πε0c1137.

    Z=1 时,氢原子的

    (2) (类)氢原子的定态能量——量子化的波尔能级
    En=hcRZ2n2,

    其中 R 为里德伯常量. 当 Z=1,n=1 时就是氢原子的基态

    E1=hcR13.6 eV.

    n2 的状态称为原子的激发态,

    En=hcRn213.6n2 eV.
    (3) (类)氢原子的光谱

    光谱公式

    ν~=RZ2(1m21n2),ν~=νc=1λ.

    Z=1 时即为里德伯方程

    ν~=R(1m21n2),

    其中里德伯常量

    R=2π2mee4(4πε0)2h3c=1.09737315×107 m1.

    2.3.3 波尔原子模型的问题

    第三章 波函数与测量

    3.2 波函数的物理意义

    3.2.1 定义

    ψ(x,t)=ψ0ei(kxωt)=ψ0ei(pxEt)/,

    其中 x=xex+yey+zez 为位矢,k=kxex+kyey+kzez 为波矢,p=pxex+pyey+pzez 为动量.

    波的强度或振幅反映的是粒子在时刻 t、空间点 P 处出现或被发现的几率或几率幅.


    3.2.2 对波函数的要求

    3.2.3 波函数的归一化条件

    V|ψ(x,t)|2 d3x=A,V|ψ(x,t)A|2 d3x=1.

    其中 1/A 称为归一化因子.

    3.2.4 态与态叠加原理

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    3.3 不确定关系

    3.3.1 海森堡不确定性原理(测不准原理)

    若两个力学量 pq 不对易,即 pqqp0,则 pq 不能同时具有可确定的值,不确定程度

    ΔpΔq2.

    3.3.2 物理含义

    3.4 薛定谔方程

    自由粒子的薛定谔方程

    iψ(x,t)t=22m2ψ(x,t);

    对于处在势场 V(x,t) 中的粒子,

    iψ(x,t)t=[22m2+V(x,t)]ψ(x,t);

    对于定态势能场 V(x,t)=V(x),有定态薛定谔方程(Hamilton 方程),

    [22m2+V(x)]ψ(x)=Eψ(x),

    其解为

    ψ(x,t)=ψ(x)eiEt/.

    3.5 力学量的算符表示

    平均值

    x=x=x|ψ(x)|2 dx,V=V=V(x)|ψ(x)|2 dx,px=p=ψp^xψ dx=ψ(x)(ix)ψ(x) dx.

    此外,涨落

    Δx=x2x2.

    算符

    p^=i,H^=22m2+V(x,t),L^=r^×(i).

    本征函数与本征值

    这里,EH^ 的本征值,ψ(x)H^ 的本征函数,H^ψ(x)=Eψ(x) 是能量 E 的本征方程.

    3.6 一维定态问题

    1. 列出一维定态薛定谔方程

      [22md2dx2+V(x)]ψ(x)=Eψ(x);
    2. 根据波函数标准条件求出本征值 Ei 和本征函数 ψi

      • 边界条件

      • 波函数连续

      • 波函数一阶微商连续

      • (非必须)归一化条件

    3. 写出定态波函数即得到本征值 En 的定态波函数

      ψn(x,t)=ψn(x)exp{iEnt/};
    4. 通过归一化确定归一化系数 Cn

      +|Cnψn(x)|2 dx=1.

     

    第四章 氢原子

    4.1 氢原子定态函数

    单原子电子的波函数

    由库仑势

    V(r)=Ze24πε0r

    得 Hamilton 算符

    H^=22m2+V(r)=22m2Ze24πε0r,

    从而得到定态薛定谔方程