量子物理

第一章光的特性

1.2 几何光学与费马原理

1.2.1. 几何光学的基本定律

1. 光的直线传播定律

2. 光的独立传播定律

3. 光的反射和折射定律

(1) 反射定律

反射光在入射面内；
反射角等于入射角，
$i^{'} = i .$

(2) 折射定律

折射率的定义：
$n_{1} = \frac{c}{v_{1}}, n_{2} = \frac{c}{v_{2}} .$
$n$ 大的介质称为光密介质，小的称为光疏介质.

折射光在入射面内；
入射角的正弦与折射角的正弦之比，对于给定介质及光波长，是一个常数，
有斯涅尔（Snell）定律
$n_{1} \sin i_{1} = n_{2} \sin n_{2} .$

重要例子：全反射原理，当光从光密介质射到光疏介质表面时，可能会出现全反射现象.

1.2.2 费马原理

$s$ $n$ 的乘积，

l = n s .

光在介质中走过的光程等于以相同的时间在真空中走过的距离，即

t = \frac{s}{v} = \frac{s}{c / n} = \frac{l}{c} .

费马原理的表述：

空间两点间的实际光线路径是光程为平稳值的路径. 这里，”平稳“指的是当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时，相应光程的一阶改变量为零，即
$δ [L] = δ [\int_{A}^{B} n d s] = 0, δ t = δ [\frac{1}{c} \int_{A}^{B} n d s] = 0.$
空间中两点的实际光线路径，与其他相邻的可能路径相比较，其光程（或传播时间）取极值.
因此，费马原理也称为光程极值原理或时间极值原理. 多数情况下，指最小值，故该原理又曾称为最小时间（或光程）原理.

意义：描述光线传播行为的普遍规律.

例子：直线传播定律，

反射定律
折射定律

1.2.3 光学成像

1. 薄透镜近似

薄透镜成像的物像关系：

\frac{n}{s} + \frac{n^{'}}{s^{'}} = \frac{n_{L} - n}{r_{1}} + \frac{n^{'} - n_{L}}{r_{2}},

$r_1,r_2$ 分别为两个球面的半径.

2. 薄透镜的焦点与焦平面

$s'=\infty$ ，得物方焦距

f = \frac{n}{\frac{n_{L} - n}{r_{1}} + \frac{n^{'} - n_{L}}{r_{2}}} = \frac{n}{Φ} .

$s=\infty$ ，得像方焦距

f^{'} = \frac{n^{'}}{\frac{n_{L} - n}{r_{1}} + \frac{n^{'} - n_{L}}{r_{2}}} = \frac{n^{'}}{Φ} .

$n=n'=1$ ，有磨镜者公式

f = f^{'} = \frac{1}{(n_{L} - 1) (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})} .

3. 高斯物像公式

\begin{matrix} \frac{f^{'}}{s^{'}} + \frac{f}{s} = 1, \\ \frac{f}{f^{'}} = \frac{n}{n^{'}} . \end{matrix}

1.3 光是电磁波

单色光波及其描述

单色光波的四个条件：

空间格点的电磁场以同一频率做简谐振荡；
各点的振幅不随着时间变化；
初相位是空间分布，与时间无关；
波列在空间上无限延伸，在时间上无限长.

$z$ $v$ 传播的平面简谐电磁波为

\begin{matrix} \vec{E} = {\vec{E}}_{0} \cos [ω (t - \frac{z}{v}) + φ_{0}], \\ \vec{B} = {\vec{B}}_{0} \cos [ω (t - \frac{z}{v}) + φ_{0}] . \end{matrix}

波面（等相面）：波场中相位相同的点的集合.

平面单色波：波面是平面的单色波.

沿着任意方向传播：

E = E_{0} \cos (ω t - \vec{k} \cdot \vec{r}),

$+z$ 方向传播，则

E = E_{0} \cos (ω t - k z) .

其中，

\vec{k} = \frac{2 π}{λ} \vec{κ}

称为波矢，其方向指向波的传播方向.

简谐波的复数表示式

E (z, t) = E_{0} e^{- i (ω t - k z)} = E_{0} e^{i k z} e^{- i ω t},

包含时间变量和空间变量的两部分完全分离开.

\tilde{E} = E_{0} e^{i k z}, \tilde{E} = E_{0} (p) e^{i ϕ (p)}

$A$ 代表振幅在空间的分布，其辐角代表相位在空间的分布.

平面波的复振幅
$\tilde{E} = E_{0} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} .$
球面波的复振幅
$\tilde{E} = \frac{A}{r} e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} .$

1.4 光的干涉

发生条件

必要条件：
- 频率相同（适用于所有波动）；
- 振动方向一致或有平行的振动分量（仅适用于矢量波）；
- 相位差在观察时间内稳定分布（尤为重要）；
充分条件：参与相干的光振幅大致差不多.

杨氏双缝干涉

相邻两条明（暗）条纹的间距

Δ x = \frac{D}{d} λ,

$D$ $d$ 为双缝间距. 条纹间距相等，与级数无关.

薄膜干涉

等厚干涉

垂直入射，厚度相等的地方，是同一级亮条纹，故称等厚干涉.

相邻条纹的厚度差

2 n_{2} Δ h = λ,

条纹间距

Δ l = \frac{Δ h}{\sin α} = \frac{λ}{2 n_{2} \sin α},

即干涉条纹是一系列等间距的平行直条纹.

牛顿环

高度

h_{m} = R - \sqrt{R^{2} - r_{m}^{2}} = \frac{r_{m}^{2}}{2 R} .

$R\gg r_m$ $\dfrac{r_m}{R}\to0$ $(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x\quad(x\to 0)$ 即得.

亮条纹的位置：
$h_{m} = (m + \frac{1}{2}) \frac{λ}{2};$
暗条纹的位置：
$h_{m}^{'} = \frac{m λ}{2};$
明环半径：
$r_{m} = \sqrt{(m + \frac{1}{2}) R λ};$
暗环半径：
$r_{m}^{'} = \sqrt{m R λ} .$

图样特点：

干涉图样圆环半径越大，相应的干涉级越高；
间距不等，随着圆环半径增大，条纹变密；
从反射光中观测，牛顿环的中心点是暗点；从透射光中观测，牛顿环的中心点是亮点.

应用：测量透镜的曲率半径.

$N$ ，则透镜的曲率半径

R = \frac{r_{m + N}^{2} - r_{m}^{2}}{N λ} = \frac{D_{m + N}^{2} - D_{m}^{2}}{4 N λ} .

$R$ 已知，可以测量照射光的波长

λ = \frac{D_{m + N}^{2} - D_{m}^{2}}{4 N R} .

增透膜和增反膜

利用薄膜干涉提高光学器件的透光率.

1.5 光的衍射

特点

衍射效应与某种复杂的干涉效应有关系；
限制与扩展；
$\rho$ $\lambda$ 之比关系十分密切：
- $\rho\sim10^3\lambda$ 以上，衍射效应不明显；
- $\rho\sim 10^3\lambda-10\lambda$ ，衍射效应明显；
- $\rho\leqslant\lambda$ ，向散射过渡.

巴比涅原理

互补屏产生的衍射场复振幅之和等于自由传播时场的复振幅，即

{\tilde{E}}_{a} (P) + {\tilde{E}}_{b} (P) = {\tilde{E}}_{0} (P) .

两互补屏在后焦面上产生的夫琅禾费衍射强度完全相同（像点除外）.

夫琅禾费圆孔衍射

艾里斑

半角宽度（角分辨极限）
$Δ θ = 1.22 \frac{λ}{D},$
$D=2a$ 是圆孔直径.
半径（线分辨极限）
$Δ l = f Δ θ = 1.22 \frac{λ f}{D} .$

1.6 光的偏振

分类

线偏振光
圆偏振光
椭圆偏振光
自然光
部分偏振光

偏振度

P = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} .

$P=1$ ：线偏振光；
$0<P<1$ ：部分偏振光或椭圆偏振光；
$P=0$ ：自然光或圆偏振光

偏振光的合成

偏振片对不同偏振态的光强响应

线偏振光：马吕斯定律，

I = I_{0} \cos^{2} α .

光的散射

应用：

自然光经散射，一般将变为部分偏振光，雨后初晴出现的虹和霓也是部分偏振光；
直视太阳，进入眼睛的主要是被大气散射之后透射过来的光；
巡视天空，进入眼睛的是阳光经大气散射之后的光；
蓝天，瑞利散射；
白云，米·德拜散射.

1.7 黑体辐射

Stefan-Boltzmann 定律

$T^4$ 成正比，

Φ (T) = \int_{0}^{+ \infty} E (ν, T) d ν = σ T^{4},

$\sigma$ 是 Stefan-Boltzmann 常数.

Wien 位移定律

曲线的极大值满足

T λ_{m} = b,

$b=2.8978\times10^{-3}\ \mathrm{mK}$ .

用于测量温度，

T = \frac{b}{λ_{m}} .

Rayleigh-Jeans 定律

电磁学和统计物理严格求解得

E (λ, T) = \frac{2 π c}{λ^{4}} k T .

普朗克能量子假说

空腔中的驻波是一系列的谐振子，只能取一些分立的能量，

ε = 0, ε_{0}, 2 ε_{0}, \dots,

$\varepsilon_0=h\nu$ $h=6.63\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$ .

黑体的辐射本领为

E (ν, T) = \frac{2 π h}{c^{2}} \frac{ν^{3}}{e^{\frac{h ν}{k T}} - 1} .

1.8 光电效应

光电效应的解释

光子的能量

ε = h ν;

光电效应方程

h ν = \frac{1}{2} m v^{2} + A,

$A$ 为电子从金属表面逸出所需的逸出功.

光的波粒二象性

光子能量：
$ε = h ν;$
光子质量
$m = \frac{h ν}{c^{2}};$
光子动量
$p = \frac{E}{c} = \frac{h ν}{c} = \frac{h}{λ};$
粒子性：一个光子是一个不可分割的主体；
波动性：具有波的特征，
$λ = \frac{h}{p} .$

光同时具有粒子性和波动性.

de Broglie 的物质波

所有的波都具有粒子性；
所有的粒子都具有波动性；
$\lambda=h/p$ ；
$p=mv/\sqrt{1-v^2/c^2}$ ；
不能将物质的运动和波的传播分开.

第二章波尔原子模型

2.3 波尔氢原子理论

2.3.2 波尔氢原子模型

1. 波尔假设

$E_n$ ，即使电子在这些轨道上做加速运动，也不向外辐射能量. 其中，
$E_{n} = - \frac{1}{2} \frac{Z e^{2}}{4 π ε_{0} r_{n}};$
角动量量子化假设：电子处于上述定态时，角动量是量子化的，
$L = m_{e} r v = n ℏ, ℏ = h / 2 π;$
频率条件：当电子吸收或放出能量时，它会在不同轨道间发生跃迁，跃迁前后的能量差满足
$ν = | E_{n} - E_{m} | / h .$

2. 波尔模型

(1) （类）氢原子的大小

a_{0} = \frac{4 π ε_{0} ℏ^{2}}{m_{e} e^{2}} = 0.53 \times 10^{- 10} m,

则量子化的轨道半径为

r_{n} = a_{0} \cdot \frac{n^{2}}{Z},

相应的轨道速率为

v_{n} = \frac{Z α c}{n},

其中精细结构常数

α = \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} ℏ c} \approx \frac{1}{137} .

$Z=1$ 时，氢原子的

$r_n=n^2a_0$ $r_1=a_0$ ，
$v_n=\alpha c/n$ $v_1=e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar)=\alpha c$ .

(2) （类）氢原子的定态能量——量子化的波尔能级

E_{n} = - h c R \frac{Z^{2}}{n^{2}},

$R$ $Z=1,n=1$ 时就是氢原子的基态

E_{1} = - h c R \approx - 13.6 eV .

$n\geqslant2$ 的状态称为原子的激发态，

E_{n} = - \frac{h c R}{n^{2}} \approx - \frac{13.6}{n^{2}} eV .

(3) （类）氢原子的光谱

光谱公式

\tilde{ν} = R Z^{2} (\frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}}), \tilde{ν} = \frac{ν}{c} = \frac{1}{λ} .

$Z=1$ 时即为里德伯方程

\tilde{ν} = R (\frac{1}{m^{2}} - \frac{1}{n^{2}}),

其中里德伯常量

R = \frac{2 π^{2} m_{e} e^{4}}{(4 π ε_{0})^{2} h^{3} c} = 1.09737315 \times 10^{7} m^{- 1} .

2.3.3 波尔原子模型的问题

经典和量子并存；
预言了发射和吸收光子的频率，但是光谱线的强度、极化、选择定则不能解释；
无法解释更复杂的光谱现象.

第三章波函数与测量

3.2 波函数的物理意义

3.2.1 定义

ψ (x, t) = ψ_{0} e^{i (k \cdot x - ω t)} = ψ_{0} e^{i (p \cdot x - E t) / ℏ},

$\boldsymbol x=x\boldsymbol e_x+y\boldsymbol e_y+z\boldsymbol e_z$ $\boldsymbol k=k_x\boldsymbol e_x+k_y\boldsymbol e_y+k_z\boldsymbol e_z$ $\boldsymbol p=p_x\boldsymbol e_x+p_y\boldsymbol e_y+p_z\boldsymbol e_z$ 为动量.

$t$ $P$ 处出现或被发现的几率或几率幅.

3.2.2 对波函数的要求

单值
有限
连续
粒子不能湮灭，即总能在空间某处发现该粒子，
$\int_{V} {| ψ (x, t) |}^{2} d^{3} x = 1.$

3.2.3 波函数的归一化条件

\int_{V} {| ψ (x, t) |}^{2} d^{3} x = A, \int_{V} {| \frac{ψ (x, t)}{\sqrt{A}} |}^{2} d^{3} x = 1.

$1/\sqrt A$ 称为归一化因子.

3.2.4 态与态叠加原理

3.3 不确定关系

3.3.1 海森堡不确定性原理（测不准原理）

$p$ $q$ $pq-qp\neq0$ $p$ $q$ 不能同时具有可确定的值，不确定程度

Δ p Δ q ⩾ \frac{ℏ}{2} .

3.3.2 物理含义

物质不可能同时具有确定的空间位置和动量；
能级的自然宽度，
束缚粒子的平均最小动能，

3.4 薛定谔方程

必须满足德布罗意关系式
$E = h ν = ℏ ω, p = \frac{h}{λ} = ℏ k;$
条件：没有粒子的产生和湮灭现象，速度足够小；
$m$ $V(\boldsymbol r,t)$ $\psi(\boldsymbol r,0)$ $\psi(\boldsymbol r,t)$ ；
$\psi$ $|\psi|^2$ 是实数，代表概率密度.

自由粒子的薛定谔方程

i ℏ \frac{\partial ψ (x, t)}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ (x, t);

$V(\boldsymbol x,t)$ 中的粒子，

i ℏ \frac{\partial ψ (x, t)}{\partial t} = [- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (x, t)] ψ (x, t);

$V(\boldsymbol x,t)=V(\boldsymbol x)$ ，有定态薛定谔方程（Hamilton 方程），

[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (x)] ψ (x) = E ψ (x),

其解为

ψ (x, t) = ψ (x) e^{- i E t / ℏ} .

3.5 力学量的算符表示

平均值

\begin{matrix} \overset{―}{x} = ⟨ x ⟩ = \int x | ψ (x) |^{2} d x, \\ \overset{―}{V} = ⟨ V ⟩ = \int V (x) | ψ (x) |^{2} d x, \\ {\overset{―}{p}}_{x} = ⟨ p ⟩ = \int ψ^{*} {\hat{p}}_{x} ψ d x = \int ψ^{*} (x) (- i ℏ \frac{\partial}{\partial x}) ψ (x) d x . \end{matrix}

此外，涨落

Δ x = \sqrt{⟨ x^{2} ⟩ - {⟨ x ⟩}^{2}} .

算符

\begin{matrix} \hat{p} = - i ℏ \nabla, \\ \hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (x, t), \\ \hat{L} = \hat{r} \times (- i ℏ \nabla) . \end{matrix}

本征函数与本征值

Hamilton 量
$E = \frac{p^{2}}{2 m} + V (x, t);$
Hamilton 算符
$\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (x, t);$
Hamilton 方程
$[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (x)] ψ (x) = E ψ (x),$
亦即
$\hat{H} ψ (x) = E ψ (x) .$

$E$ $\hat H$ $\psi(\boldsymbol x)$ $\hat H$ $\hat H\psi(\boldsymbol x)=E\psi(\boldsymbol x)$ $E$ 的本征方程.

3.6 一维定态问题

列出一维定态薛定谔方程
$[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + V (x)] ψ (x) = E ψ (x);$
$E_i$ $\psi_i$ ；
- 边界条件
- 波函数连续
- 波函数一阶微商连续
- （非必须）归一化条件
$E_n$ 的定态波函数
$ψ_{n} (x, t) = ψ_{n} (x) \exp {- i E_{n} t / ℏ};$
$C_n$ ，
$\int_{- \infty}^{+ \infty} {| C_{n} ψ_{n} (x) |}^{2} d x = 1.$

第四章氢原子

4.1 氢原子定态函数

单原子电子的波函数

由库仑势

V (r) = - \frac{Z e^{2}}{4 π ε_{0} r}

得 Hamilton 算符

\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (r) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} - \frac{Z e^{2}}{4 π ε_{0} r},

从而得到定态薛定谔方程

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