概率论与数理统计

回顾

反函数的导数：

设函数 $y=f(x)$$y=f(x)$ 在区间 $I_x$$I_x$ 上严格单调、可导，$f^{\prime }(x)\ne 0$$f'(x)\neq0$，则它的反函数 $x=f^{-1}(y)$$x=f^{-1}(y)$ 在对应的区间 $I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}$$I_y=\{y|y=f(x),x\in I_x\}$ 上也严格单调、可导，并且

$${{(f^{-1}(y))}^{\prime }|}_{y=f(x)}=\frac{1}{f^{\prime }(x)},$$

亦即

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}}.$$

变限积分函数的可微性

• 逐点可导：若函数 $f(x)$$f(x)$ 在 $[a,b]$$[a,b]$ 上可积，在点 $x_0\in (a,b)$$x_0\in(a,b)$ 处连续，则函数

  $$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

  在点 $x_0$$x_0$ 处可导，且 $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$$F'(x_0)=f(x_0)$. 若 $f(x)$$f(x)$ 在 $x=a$$x=a$ 点右连续，则 $F_{+}^{\prime }(a)=f(a)$$F'_+(a)=f(a)$；若 $f(x)$$f(x)$ 在 $x=b$$x=b$ 点左连续，则 $F_{-}^{\prime }(b)=f(b)$$F'_-(b)=f(b)$.

• 复合函数求导：设函数 $f(x)$$f(x)$ 在区间 $[a,b]$$[a,b]$ 上连续，$u(x),v(x)$$u(x),v(x)$ 在 $(\alpha ,\beta )$$(\alpha,\beta)$ 内可微，且当 $x\in (\alpha ,\beta )$$x\in(\alpha,\beta)$ 时，$u(x),v(x)\in [a,b]$$u(x),v(x)\in[a,b]$，则函数

  $$\psi (x)={\int }_{v(x)}^{u(x)}f(t)\mathrm{d}t$$

  在 $(\alpha ,\beta )$$(\alpha,\beta)$ 内可微，且

  $${\psi }^{\prime }(x)=f(u(x))u^{\prime }(x)-f(v(x))v^{\prime }(x).$$

含参变量常义积分

设二元函数 $f(x,u)$$f(x,u)$ 在有界闭区域 $D:a⩽x⩽b,\alpha ⩽u⩽\beta$$D:a\leqslant x\leqslant b,\alpha\leqslant u\leqslant\beta$ 上连续，称积分

$$\phi (u)={\int }_a^{b}f(x,u)\mathrm{d}x$$

为含参变量常义积分，其中 $u$$u$ 称为参变量.

若积分限也依赖于参变量，有变限含参常义积分

$$\psi (u)={\int }_{a(u)}^{b(u)}f(x,u)\mathrm{d}x.$$

含参变量常义积分的可微性

• 如果函数 $f(x,u)$$f(x,u)$ 在区域 $D$$D$ 上连续，且在 $D$$D$ 上对参变量 $u$$u$ 有连续的偏导数，则函数 $\phi (u)$$\varphi(u)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$$[\alpha,\beta]$ 上可导，并且

  $${\phi }^{\prime }(u)={\int }_a^b\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\mathrm{d}x,$$

  即可以交换求导运算与积分运算的顺序，或称在积分号下求导；

• 如果函数 $f(x,u)$$f(x,u)$ 在区域 $D$$D$ 上连续，且在 $D$$D$ 上对变量 $u$$u$ 有连续的偏导数，函数 $a(u)$$a(u)$ 和 $b(u)$$b(u)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$$[\alpha,\beta]$ 上都可导，并且 $a⩽a(u),b(u)⩽b$$a\leqslant a(u),b(u)\leqslant b$，则函数 $\psi (u)$$\psi(u)$ 在 $[\alpha ,\beta ]$$[\alpha,\beta]$ 上可导，并且

  $${\psi }^{\prime }(u)={\int }_{a(u)}^{b(u)}\frac{\partial f(x,u)}{\partial u}\mathrm{d}x+f(b(u),u)b^{\prime }(u)-f(a(u),u)a^{\prime }(u).$$

第一章 事件及其概率

1.1 概率论简史

一些基本概念：

• 概率（probability），又称或然率、几率，是表示某个事件出现的可能性大小的一种数量指标，介于 $0$$0$ 和 $1$$1$ 之间.

• 赌博问题中的赢率（odds）.

1.2 随机试验和随机事件

基本概念

定义1.1 随机试验

定义1.2 样本空间与事件

• 随机事件（简称 事件），用英文大写字母 $A,B,\cdots$$A,\ B,\ \cdots$ 表示；

• 样本空间（sample space）：随机试验中所有基本事件构成的集合，用 $\Omega$$\varOmega$ 或 $S$$S$ 表示；

• 样本点：样本空间的元素，即基本事件，用 $\omega$$\omega$ 表示.

一个随机试验的样本空间 $\Omega$$\varOmega$ 是由该试验所有可能结果所组成的集合.

根据样本空间 $\Omega$$\varOmega$ 的大小，可以将其分为三类：

• 有限样本空间（仅含有有限个样本点）；

• 可数无穷样本空间（含有无穷且可数个样本点）；

• 不可数样本空间（含有无穷且不可数个样本点）.

事件的运算

对事件 $A$$A$，如果随机试验的结果恰好出现在 $A$$A$ 中，那么我们就称事件 $A$$A$ 在此次随机试验下发生，简称事件 $A$$A$ 发生.

定义1.3 必然事件和不可能事件

习惯上，将必然事件发生的概率设置为 $1$$1$，将不可能事件发生的概率设置为 $0$$0$.

但发生概率为 $1$$1$ 的事件未必是必然事件，发生概率为 $0$$0$ 的时间未必是不可能事件.

定义事件运算中的几个基本概念.

定义1.4 事件的和

事件 $A$$A$ 和事件 $B$$B$ 中至少有一个发生，称为 $A$$A$ 与 $B$$B$ 的和，记为 $A\cup B$$A\cup B$.

下面的维恩图（Venn diagram）中阴影部分表示了 $A\cup B$$A \cup B$.

定义1.5 事件的差

事件 $A$$A$ 发生而事件 $B$$B$ 不发生，称为 $A$$A$ 与 $B$$B$ 的差，记为 $A-B$$A-B$ 或 $A\bar{B}$$A\overline{B}$.

定义1.6 事件的积

事件 $A$$A$ 和事件 $B$$B$ 同时发生，称为 $A$$A$ 与 $B$$B$ 的积，记为 $A\cap B$$A\cap B$，$A\cdot B$$A\cdot B$ 或 $AB$$AB$.

定义1.7 不相容事件

事件 $A$$A$ 和事件 $B$$B$ 不能同时发生（即 $A\cap B=\varnothing$$A\cap B=\varnothing$），称为事件 $A$$A$ 和事件 $B$$B$ 不相容（incompatible）或互斥（mutually exclusive）.

特别，当事件两两不相容时，可以把“并”运算符号改写为通常的加号.

$$A\cup B=A+B,\bigcup _{k=1}^n{A}_k=\sum _{k=1}^n{A}_k$$

定义1.8 对立事件

$\{\text{事}\text{件}A\text{不}\text{发}\text{生}\}$$\{事件\ A\ 不发生\}$ 这一事件称为 $A$$A$ 的对立事件（或余事件），记为 $\bar{A}$$\overline{A}$ 或 $A^c$$A^c$.

事件运算的公式

• $A\cup A=A$$A\cup A=A$, $A\cap A=A$$A\cap A=A$；

• $A\cup BC=(A\cup B)(A\cup C)$$A\cup BC=(A\cup B)(A\cup C)$；

• $A\cap (B\cup C)=AB\cup AC$$A\cap(B\cup C)=AB\cup AC$；

• $(A\cup B)(C\cup D)=AC\cup BC\cup AD\cup BD$$(A\cup B)(C\cup D)=AC\cup BC\ \cup AD\ \cup BD$；

• 德摩根（A. De Morgan）对偶法则

  • ${\displaystyle {\left(\bigcup _{k=1}^n{A}_k\right)}^c=\bigcap _{k=1}^n{A}_k^c}$$\displaystyle{\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)^c=\bigcap_{k=1}^nA_k^c}$；

  • ${\displaystyle {\left(\bigcap _{k=1}^n{A}_k\right)}^c=\bigcup _{k=1}^n{A}_k^c}$$\displaystyle{\left(\bigcap_{k=1}^nA_k\right)^c=\bigcup_{k=1}^nA_k^c}$.

证明两个事件 $A$$A$，$B$$B$ 相同：$\mathrm{\forall }\omega \in A⟹\omega \in B$$\forall\omega\in A\implies\omega\in B$；$\mathrm{\forall }\omega \in B⟹\omega \in A$$\forall\omega\in B\implies \omega\in A$.

1.3 概率的定义和性质

定义1.9 概率的直观定义

概率是事件的函数，也可以视为是集合的函数. 设 $A$$A$ 为一个事件，用 $P(A)$$P(A)$ 表示事件 $A$$A$ 发生的概率，则由概率定义，

• $0⩽P(A)⩽1$$0\leqslant P(A)\leqslant1$；、

• $P(\Omega )=1$$P(\varOmega)=1$；

• $P(\varnothing )=0$$P(\varnothing)=0$.

1.3.1 古典概型

在有限性和等可能性下定义概率的模型称为古典概型.

一般涉及排列、组合的知识，以及事件的运算. 常用的排列、组合知识归纳如下.

1. 计数原理

加法原理

乘法原理

结论：

• 从 $n$$n$ 个不同的元素中，有放回地取出 $r$$r$ 个元素组成的可重复排列的不同方式有 $n^r$$n^r$ 种；

• 从 $n$$n$ 个不同的元素中，不放回地取出 $r$$r$ 个元素组成的不重复排列的不同方式有

  $${\mathrm{A}}_n^r=n(n-1)\cdots (n-r+1)={\mathrm{P}}_n^r$$

  种，称为选排列. 特别，当 $r=n$$r=n$ 时，称为全排列；

• 从 $n$$n$ 个不同的元素中，不放回地取 $r$$r$ 个元素组成的组合，不同方式个数为

  $${\mathrm{C}}_n^r=\frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})$$

• 从 $n$$n$ 个不同的元素中，有放回地取 $r$$r$ 个元素组成的组合（不考虑顺序），不同方式个数为

  $${\mathrm{C}}_{n+r-1}^r=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r})$$

  这个数称为重复组合数 ${\mathrm{H}}_n^r$$\mathrm{H}_n^r$.

2. 盒子模型

结论：

• 球可辨，每个盒子中不限球的个数. 此为重复排列，不同的放法个数为 $n^r$$n^r$；

• 球可辨，每个盒子中至多放一个球，此为选排列，不同的放法个数为

  $${\mathrm{A}}_n^r=n(n-1)\cdots (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

• 球不可辨，每个盒中不限球的个数. 隔板法（$(n-1)$$(n-1)$ 个隔板，$r$$r$ 个球，共 $(n+r-1)$$(n+r-1)$ 个位置中放 $r$$r$ 个球，其余 $(n-1)$$(n-1)$ 个位置中放隔板），则不同的排法个数为

  $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r})={\mathrm{C}}_{n+r-1}^r={\mathrm{H}}_n^r=\frac{(n+r-1)!}{(n-1)!r!}$$

• 球不可辨，每个盒子中至多放一个球. 此为一般的组合，不同的放法个数为

  $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})={\mathrm{C}}_n^r$$

3. 多组组合

4. 不尽相异元素的排列

1.3.2 概率的统计定义

几何概型：对古典概型去掉有限性、保留基本事件的等可能性.

几何概型相当于把样本空间视为一块质量为 $1$$1$ 的均匀木块，事件 $A$$A$ 视为木块中的某部分，则 $P(A)$$P(A)$ 就是该部分的质量.

（去掉等可能性，保留有限性，从另一个角度定义概率）

定义1.10 概率的统计定义

意义：

• 提供了一种估计概率的方法（如：得出 $\pi$$\pi$ 的近似值，破译密码）；

• 提供了理论是否正确的标准（如：验证硬币均匀性）.

1.3.3 主观概率的定义

人们常常用一个数字去估计某些概率的大小，而心目中并不把它与频率相连，这种概率称为主观概率.

定义1.11 主观概率定义

作用：

• 管理科学（经济投资决策）；

• 数据分析，尤其是人工智能的算法（贝叶斯（T. Bayes）学派，与传统的统计学派即频率学派区别）

研究主观概率，以这种观点来处理统计问题，有着非常重要的现实意义.

1.3.4 概率的公理化定义

定义1.12 概率的公理化定义

由概率的公理化定义得到概率的一些性质. 以下讨论的事件均为同一样本空间 $\Omega$$\varOmega$ 中的可测事件.

• $P(\varnothing )=0;$$P(\varnothing)=0;$

• （有限可加性）若 $A_k,k=1,2,\cdots ,n$$A_k,k=1,2,\cdots,n$ 两两不相容，则

  $$P(\sum _{k=1}^n{A}_k)=\sum _{k=1}^{n}P(A_k);$$

• （可减性）若 $A\subset B$$A\subset B$，则 $P(B-A)=P(B)-P(A)$$P(B-A)=P(B)-P(A)$;

• （单调性）若 $A\subset B$$A\subset B$，则 $P(A)⩽P(B)$$P(A)\leqslant P(B)$;

• $P(\bar{A})=1-P(A)$$P(\overline A)=1-P(A)$;

• （加法原理/容斥原理（inclusion-exclusion principle））对任意的事件 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$$A_1,A_2,\cdots,A_n$，有

  

  例：

  $$\begin{array}{rl}P(A\cup B\cup C)& =P(A)+P(B)+P(C)\\ & -P(AB)-P(AC)-P(BC)\\ & +P(ABC)\end{array}$$

• （次可加性）对任意的事件列 $A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots$$A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots$，有

  $$P\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)⩽\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_n);$$

• *（下连续性） 若事件列满足 $A_n\subset A_{n+1},n=1,2,\cdots$$A_n\subset A_{n+1},n=1,2,\cdots$，则

  $$P\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(A_n);$$

• *（上连续性） 若事件列满足 $A_n\supset A_{n+1},n=1,2,\cdots$$A_n\supset A_{n+1},n=1,2,\cdots$，则

  $$P\left(\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(A_n);$$

1.4 条件概率

1.4.1 条件概率的定义

条件概率，指在试验中在附加一定条件下，感兴趣事件发生的概率，其形式总可归结为“事件 $B$$B$ 发生的条件下事件 $A$$A$ 发生”. 附加的条件一般就是某种信息.

定义1.13 条件概率

某部分的概率就是该部分面积与总面积的比值，图中总面积（$\Omega$$\varOmega$ 的面积）为一个单位. 现在知道 $B$$B$ 发生了，只考虑 $B$$B$ 而不考虑 $\bar{B}$$\overline B$，则 $P(A|B)$$P(A|B)$ 就是 $A$$A$ 在 $B$$B$ 中的面积 $P(AB)$$P(AB)$ 与 $B$$B$ 的面积 $P(B)$$P(B)$ 的比值，即

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}.$$

定理1.1 乘法公式

• $P(AB)=P(A)P(B|A)$$P(AB)=P(A)P(B|A)$；

• 若 $P(A_1{A}_2\cdots A_{n-1})>0$$P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0$，则

  $$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1{A}_2\cdots A_{n-1})$$

  （不依赖脚标顺序）.

1.4.2 全概率公式

定义1.14 完备事件群

设 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$$B_1,B_2,\cdots,B_n$ 是样本空间 $\Omega$$\varOmega$ 中的一组概率大于 $0$$0$ 的事件，满足

• $B_i{B}_j\ne \varnothing ,i\ne j$$B_iB_j\neq\varnothing,i\neq j$，

• ${\displaystyle \sum _{i=1}^n{B}_i=\Omega }$$\displaystyle{\sum_{i=1}^nB_i=\varOmega}$，

则称 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$$B_1,B_2,\cdots,B_n$ 是样本空间 $\Omega$$\varOmega$ 的一个完备事件群（划分（partition））.

定理1.2 全概率公式（law of total probability）

设 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$$B_1,B_2,\cdots,B_n$ 是样本空间 $\Omega$$\varOmega$ 的一个划分，$A$$A$ 为 $\Omega$$\varOmega$ 中任一事件，则

$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i).$$

1.4.3 贝叶斯公式

定理1.3 贝叶斯公式

设 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$$B_1,B_2,\cdots,B_n$ 是样本空间 $\Omega$$\varOmega$ 的一个划分，$A$$A$ 为 $\Omega$$\varOmega$ 中任一事件，$P(A)>0$$P(A)>0$，则

$$P(B_i|A)=\frac{P(B_{i}A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)}}.$$

特别，以 $B$$B$ 和 $\bar{B}$$\overline B$ 构成划分，则

$$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}.$$

如果把条件视为“原因”，事件 $A$$A$ 视为“结果”，那么贝叶斯公式反映了因果关系互换之间的概率关系（逆概率（inverse probability））.

1.5 独立性

相互独立

定义1.15 两个事件相互独立

如果事件 $A$$A$ 和事件 $B$$B$ 的发生互不影响，那么两事件是独立的.

推论1.1

两个事件 $A$$A$，$B$$B$ 相互独立，实质是一个事件发生的概率与另外一个事件是否发生没有关系，但这并不意味着事件 $A$$A$，$B$$B$ 本身完全无关.

定理1.4

设 $A$$A$ 和 $B$$B$ 是样本空间 $\Omega$$\varOmega$ 中的两个事件，则下述四个陈述相互等价：

1. $A$$A$ 与 $B$$B$ 独立；

2. $A$$A$ 与 $\bar{B}$$\overline B$ 相互独立；

3. $\bar{A}$$\overline A$ 与 $B$$B$ 相互独立；

4. $\bar{A}$$\overline A$ 与 $\bar{B}$$\overline B$ 相互独立.

定义1.16 $n$$n$ 个事件相互独立

$n$$n$ 个事件的相互独立蕴涵了其中任意一部分事件相互独立；

即使其中任意 $(n-1)$$\left(n-1\right)$ 个事件都相互独立，也不能保证 $n$$n$ 个事件在整体上相互独立.

定义1.17 等价定义

小概率原理：即使事件 $A$$A$ 是小概率事件，即事件 $A$$A$ 在一次试验中不易发生，但是随着实验次数 $n$$n$ 的增加，事件 $A$$A$ 发生的概率接近于 $1$$1$.

两两独立

定义1.18 $n$$n$ 个事件两两独立

相互独立的事件列一定是两两独立的，反之则未必.

定义1.19 独立事件列

第二章 随机变量及其分布

2.1 随机变量的概念

取一个样本空间到直线 $\mathbb{R}$$\R$ 之间的映射 $X$$X$，该映射把基本事件对应于直线上的一个点，这个映射就称为随机变量（random variable, r.v.）.

• 直观上，随机变量是取值随实验结果而定且有一定概率分布的变量；

• 数学角度上的严格定义（定义2.1 随机变量）：

通常我们用大写的英文字母 $X,Y,Z,W$$X,Y,Z,W$ 等表示随机变量，而用小写的字母 $x,y,a,b$$x,y,a,b$ 等表示实数.

随机变量取哪些值以及取这些值的概率，称为随机变量的分布（distribution）.

2.2 离散型随机变量的分布

离散型随机变量，就是取值为离散值的随机变量.

定义2.2 离散型随机变量和分布律

如果随机变量 $X$$X$ 只取有限多个或可数多个值，那么称 $X$$X$ 为离散型随机变量.

设 $X$$X$ 取的一切可能值为 $x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$$x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots$，则

$$\begin{array}{}\text{(1)}& P(X=x_k)=p_k,k=1,2,\cdots ,n,\cdots ,\end{array}$$

其中

• $$p_k⩾0,k=1,2,\cdots ,n,\cdots ;$$
• $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_k=1.$$

$(1)$$(1)$ 式称为离散型随机变量 $X$$X$ 的分布律或概率质量函数（probability mass function, pmf）.

2.2.1 0-1 分布

定义2.3 $0-1$$0-1$ 分布

$X$$X$ 服从 $0-1$$0-1$ 分布/伯努利（Bernoulli）分布/两点分布. 其分布函数也可以写为

$$P(X=x)=p^x(1-p{)}^{1-x},x=0\text{或}1.$$

一般在试验中仅考虑事件 $A$$A$ 是否发生时，引入示性函数

$$\begin{array}{c}{I}_A=\{\begin{array}{l}1,A\text{发}\text{生},\\ \\ 0,A\text{不}\text{发}\text{生}.\end{array}\end{array}$$

则 $I_A$$I_A$ 为 $0-1$$0-1$ 分布的随机变量.

2.2.2 离散均匀分布

定义2.4 离散均匀分布

古典概型就是离散均匀分布.

分布

$$P(X=m)=\frac{|A|}{{\mathrm{C}}_N^n}=\frac{{\mathrm{C}}_M^m\cdot {\mathrm{C}}_{N-M}^{n-m}}{{\mathrm{C}}_N^n},m=0,1,\cdots ,n$$

称为参数为 $(N,M,n)$$(N,M,n)$ 的超几何分布(hypergeometric distribution).

$X$$X$ 服从参数为 $(N,M,n)$$(N,M,n)$ 的超几何分布记为 $X\sim H(N,M,n)$$X\sim H(N,M,n)$.

2.2.3 二项分布

设 $A$$A$ 为随机试验中的一个事件，其发生的概率为 $p,0<p<1$$p,\ 0<p<1$，则每次试验结果要么是 $A$$A$ 发生，要么是 $\bar{A}$$\overline A$ 发生（这种只有两种可能结果的试验称为伯努利试验，事件 $A$$A$ 发生常常称为是“成功”）.

如果把该试验在相同条件下独立重复 $n$$n$ 次，记在 $n$$n$ 次独立试验中事件 $A$$A$ 出现的次数（即成功的次数）为 $X$$X$，这是一个离散型随机变量，$\{X=k\}$$\{X=k\}$ 表示事件 $A$$A$ 恰好发生 $k$$k$ 次，其中 $k=0,1,\cdots ,n$$k=0,1,\cdots,n$.

定义2.5 二项分布

若 $X$$X$ 的分布律为

$$P(X=k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n,$$

那么称 $X$$X$ 服从二项分布（binomial distribution），记为 $X\sim B(n,p)$$X\sim B(n,p)$，而 $P(X=k)$$P(X=k)$ 常记为 $b(n,p,k)$$b(n,p,k)$.

随机变量服从二项分布的条件：

• 各次试验的条件稳定（保证事件 $A$$A$ 发生的概率 $p$$p$ 在各次试验中保持不变）；

• 各次试验之间相互独立.

2.2.4 负二项分布

如果将伯努利试验一直独立地重复下去，以 $X_r$$X_r$ 表示第 $r$$r$ 次试验成功发生时的试验次数，$p=1-q$$p=1-q$ 为成功的概率，那么 $X_r$$X_r$ 的分布律为

且

定义2.6 负二项分布

设随机变量 $X_r$$X_r$ 取正整数值，其分布律为