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参考书
考核
- 考试：40%，闭卷 ，期中+期末
- 平时作业：40%
- 课题报告：20%
考试时间：待定
作业要求和提交方式：每两周提交一次作业，发送到助教邮箱，请备注姓名和学号。
课程报告要求和提交方式：格式规范(公式、图片、表格和参考文献)，推导详细(要对比理论、实验和数值模拟的结果)，要有自己的理解(和课本上的知识对应，并且有简单的物理图像)，按时提交(待定)
- A simple electronic circuit demonstrating Hopf bifurcation for an advanced undergraduate laboratory
- Fundamentals of synchronization in chaotic systems, concepts, and applications
- Graphical analysis of an oscillator with constant magnitude sliding friction
- Exploration of the Q factor for a parallel RLC circui
- Simple chaotic systems and circuits
- Stability and Hopf bifurcations in an inverted pendulum
- Charging a supercapacitor through a lamp: A power-law RC decay
- The size of the Sun
- 一种非线性宽频压电能量收集系统的动力学特性分析
- 光电流驱动下非线性神经元电路的放电模式控制
- 关于电阻分路约瑟夫森结的解析解
- 几类非线性电路系统动力学行为研究
- 非线性环形光学腔中分岔混沌的新行为
- 三阶拉格朗日方程两个形式的研究
- 修正牛顿动力学中的平面圆形限制性三体问题
- 关于非完整动力学的几个基本问题
- 关于非标准哈密顿方程的理论研究
- 分数幂非线性振子的解析逼近解
- 刚体动力学的拟变分原理及其应用
- 弱非线性振动方程中的几种非线性特性研究
- 落猫现象的动力学研究
8.31 周三
- 前置课程
(1) 微积分
(2) 牛顿力学，普通物理(力，热，声，光，电，磁)
理论力学是四大力学之一，是其他进阶课程的基础！
(1) 难点：抽象(广义坐标，相空间)，计算求解复杂(可以依照物理图像简化运算)。
(2) 两大基本原理：作用量最小，能量守恒。
(3) 这门课以Landau的书作为基础，包括内容：散射问题，两体问题，振动问题，LC电路，电磁场问题，相对论，流体力学，拉格朗日力学和哈密顿力学(分析力学)，守恒定律，刚体转动。
(4) 需要掌握Mathmatica编程，熟练使用一些基本的函数，包括：Solve, DSolve, NDSolve, Integrate, Simplyfy, Limit等。
9.2 周五
- 广义坐标
(1) 一些没有量纲的坐标参量，没有统一直观Newton方程\((F=m\ddot{\theta}?)\)的形式，但有统一的Lagrange方程的形式。
(2) 可以利用对称性简化运动方程。
9.7 周三
- 守恒定律
- 几类守恒性
若拉格朗日量具有形式 \(L(q_1,q_2,\dot q_1,\dot q_2,\dot q_3,\dot q_4)\) 则 \(\frac{\partial L}{\partial q_3}=0,\ \ \ \ \frac{\partial L}{\partial \dot q_3}=C_3\) \(\frac{\partial L}{\partial q_4}=0,\ \ \ \ \frac{\partial L}{\partial \dot q_4}=C_4\) 对应拉格朗日方程为 \(\frac{d C_3}{dt}=0,\ \ \ \ \frac{d C_4}{dt}=0\) 表明\(C_3\)和\(C_4\)为系统的守恒量。
这种不进入Lagrange的坐标称为循环坐标，它对应的广义动量是守恒量。(参考Arnold书的P48)
以太阳-地球系统为例，可以给出各种守恒量的具体形式， \(L=\frac{1}{2}m(\dot r^2+r^2\dot \theta^2)-U(r)\)
(1) 能量守恒，对应时间平移不变性： \( L(t)=L(t+c)\)
(2)动量守恒，对应空间平移不变性： \( L(q,\dot q)=L(q+c,\dot q)\)
(3)角动量守恒，对应转动不变性： \( L(\phi,\dot \phi)=L(\phi+c,\dot \phi)\)
9.9 周五
- 拉格朗日方程
(1) 从达朗贝尔原理出发
对任意\(\delta r\)都有 \[\sum_i(\vec{F}_i-m\ddot{\vec{r}}_i)\cdot \delta \vec{r_i}=0\] 自学《力学与理论力学》下册1.2.2
(2) 从牛顿方程出发
对广义坐标\(q_{\alpha} = q_{\alpha}(x)\)，\(x={x_i}\)表示直角坐标系， \[\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=\sum_{\alpha}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}\frac{\partial q_{\alpha}}{\partial \dot{x}_i} +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha }}\frac{\partial \dot{q}_{\alpha}}{\partial \dot{x}_i}\right] =\sum_{\alpha}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\frac{\partial \dot{q}_{\alpha }}{\partial \dot{x}_i} =\sum_{\alpha}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\frac{\partial q_{\alpha }}{\partial x_i}\] 则 \[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=\frac{d}{dt}\left[\sum_{\alpha }\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\frac{\partial q_{\alpha}}{\partial x_i}\right] =\sum_{\alpha}\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha }}\right)\frac{\partial q_{\alpha}}{\partial x_i} +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\frac{\partial \dot{q}_{\alpha}}{\partial x_i}\right]\] \[\frac{\partial L}{\partial x} =\sum_{\alpha}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}\frac{\partial q_{\alpha}}{\partial x_i} +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\frac{\partial\dot{q}_{\alpha}}{\partial x_i}\right]\] 由此可以推导Lagrange方程在坐标变换下是不变的， \[\sum_{\alpha}\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha }}\right)\frac{\partial q_{\alpha}}{\partial x_i} +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\frac{\partial \dot{q}_{\alpha}}{\partial x_i}\right] =\sum_{\alpha}\left[\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}\frac{\partial q_{\alpha}}{\partial x_i} +\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\alpha}}\frac{\partial\dot{q}_{\alpha}}{\partial x_i}\right]\] \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha }}\right)\frac{\partial q_{\alpha}}{\partial x_i} -\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}\frac{\partial q_{\alpha}}{\partial x_i}=0\] 对任意的\(i\)都成立， \[\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha }}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}\right]\delta q_{\alpha}=0\] \[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha }}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha}}=0\] 可见从Newton运动方程出发，也可以得到广义坐标的Lagrange方程。
9.14 周三
- 运动积分
某中心力场中的运动，Lagrange为 \[L=\frac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-\frac{a}{r^{\alpha}}\]
(1)\(\alpha=1\)，可以严格求解运动方程 \[\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}})=\frac{\partial L}{\partial r}\] \[m\ddot{r}=mr\dot{\theta}^2-\frac{a}{r^2}\] 利用系统的守恒性，角动量\(M=mr^2\dot{\theta}\)， \[m\ddot{r}=\frac{M}{mr^3}-\frac{a}{r^2}\] 再利用能量守恒，能量\(E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-a/r\)， \[\frac{1}{2}m\dot{r}^2=E-\frac{M}{2mr^2}+\frac{a}{r}\] \[\dot{r}=\sqrt{\frac{2}{m}\left[E-\frac{M}{2mr^2}+\frac{a}{r}\right]}\] \[t=\int\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left[E-\frac{M}{2mr^2}+\frac{a}{r}\right]}}\] 因为轨道闭合，时间不好确定积分界限，换用角度\(d\theta=M/(mr^2)dt\)， \[\frac{dr}{d\theta}=\frac{mr^2}{M}\sqrt{\frac{2}{m}\left[E-\frac{M}{2mr^2}+\frac{a}{r}\right]}\] 这对应一个椭圆积分， \[\int\frac{dr}{\sqrt{1+\frac{a}{r}+\frac{b}{r^2}}}=\sqrt{b+r(a+r)}-\frac{a}{2}\ln\left(a+2r+2\sqrt{b+r(a+r)}\right)\] 得到轨迹方程为 \[r\sim\frac{1}{a+b\cos\theta}\]
(2)讨论其他势能形式，比如\(U(r)=-a/r^{\alpha}\)， \[m\ddot{r}=\frac{M}{mr^2}-\frac{\partial U}{\partial r}=\frac{M}{mr^3}-\frac{a\alpha}{r^{\alpha-1}}\]
9.16 周五
- 椭圆积分
椭圆积分最早出现于计算椭圆的弧长，现代数学将其定义为如下形式的任何函数\(f\)的积分 \[f(x)=\int_0^xR[t,\sqrt{P(t)}]dt\] 其中\(R\)是其两个参数的有理函数，\(P\)是一个无重根的3或者4阶多项式，c是一个常数。
\(\beta\)函数，又称为B函数或第一类Euler积分，由下式定义 \[B(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\]
其中\(R(x)\)，\(R(y)>0\)
(1) Elliptic integral, Euler \(\beta\) function
9.21 周三
- Laplace-Runge-Lenz vector
在有心力系统中，角动量守恒可以简化运动方程(替代掉\(\dot{\theta}\)项)，特别的在万有引力的体系中，还存在一个守恒矢量，Laplace-Runge-Lenz矢量 \[\vec{A}=\vec{M}\times \vec{p}-\frac{GMm\vec{r}}{|r|}\]
通过对\(\vec{A}\)求时间的导数可以证明它是一个守恒矢量， \[\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{d\vec{M}}{dt}\times\vec{p}+\vec{M}\times\frac{d\vec{p}}{dt}+\frac{d}{dt}\left[\frac{GMm\vec{r}}{|r|}\right]\] 角动量\(\vec{M}\)是守恒量，运动方程可以给出动量的变化量\(d\vec{p}/dt\)等于万有引力\(\frac{GMm}{|r|^3}\vec{r}\)，
利用矢量乘积公式 \[\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}\]
则 \[\frac{d\vec{p}}{dt}\times\vec{M}=-\frac{GMm}{|r|^2}\frac{\vec{r}}{|r|}\times(\vec{r}\times{\frac{d\vec{r}}{dt}})=-\frac{d}{dt}(GMm\frac{\vec{r}}{|r|})\]
则 \[\frac{d\vec{A}}{dt}=-\frac{d}{dt}(GMm\frac{\vec{r}}{|r|})+\frac{d}{dt}(GMm\frac{\vec{r}}{|r|})=0\]
9.23 周五
- 质心坐标
考虑无外界相互作用的质点系，由两个质点组成，质量分别为\(m_1\)和\(m_2\)，空间坐标为\(\vec{r}_1\)和\(\vec{r}_2\)，相对坐标为\(\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2\)，再令\(\vec{R}=\vec{r}_1+\vec{r}_2\)，
(1) \(m_1=m_2\)的情况 \[\vec{v_1}=\dot{\vec{r_1}}=\vec{R}+\frac{\vec{r}}{2}\] \[\vec{v_2}=\dot{\vec{r_2}}=\vec{R}-\frac{\vec{r}}{2}\]
系统的Lagrange为 \[L=T-V=\frac{1}{2}m_1\dot{\vec{r}}_1^2+\frac{1}{2}m_2\dot{\vec{r}}_2^2=\frac{1}{2}(m_1+m_2)\dot{\vec{R}}^2+\frac{1}{8}(m_1+m_2)\dot{\vec{r}}^2+\frac{1}{2}(m_1-m_2)\vec{\dot{R}}\dot{\vec{r}}\] Lagrange中不含\(\vec{R}\)，存在守恒量\(\partial L/\partial\dot{\vec{R}}\)， \[\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{R}}}=(m_1+m_2)\dot{\vec{R}}=\vec{P}\]
(2) 普适的情况 \[\vec{v_1}=\dot{\vec{r_1}}=\vec{R}+x\frac{\vec{r}}{2}\] \[\vec{v_2}=\dot{\vec{r_2}}=\vec{R}-(2-x)\frac{\vec{r}}{2}\]
系统的动能为 \[T=\frac{1}{2}(M)\dot{\vec{R}}^2+\frac{\mu}{2}\dot{\vec{r}}^2\]
其中\(M=m_1+m_2\)，\(\mu=m_1m_2/(m_1+m_2)\)，
值得注意的是 \[\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\]
形式上类似于电阻的并联。
9.25 周三
- 散射问题
散射截面公式： \[\mathrm{d} \sigma=\frac{\rho(\chi)}{\sin \chi}\left|\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \chi}\right| \mathrm{d} \Omega\]
立体角微元为\(\mathrm{d} \Omega=2 \pi \sin \chi \mathrm{d} \chi\)
9.28 周五
- Rutherford散射
库伦势中的散射，\(U=a/r\)，对应的散射截面为 \[\mathrm{d} \sigma=\left(\frac{\alpha}{2 m v_{\infty}^2}\right)^2 \frac{\mathrm{d} \Omega}{\sin ^4\left(\frac{\chi}{2}\right)}\]
又称为Rutherford散射公式。
(1) 从散射截面公式出发，小角散射时，\(\chi\rightarrow 0\)，对应\(\rho\rightarrow 1/\chi\)，则 \[\mathrm{d} \sigma=\frac{\rho(\chi)}{\sin \chi}\left|\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \chi}\right| \mathrm{d} \Omega = \frac{1}{\chi^4}\mathrm{d}\Omega\]
(2) 在x-y坐标下考虑，小角度时y方向的变化几乎为零，\(\chi \approx p_{1 y}^{\prime} /\left(m_1 v_{\infty}\right)\)，利用 \[p_{1 y}^{\prime}=\int_{-\infty}^{\infty} F_y \mathrm{~d} t\] \[F_y=-\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{~d} r} \frac{\partial r}{\partial y}=-\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{~d} r} \frac{y}{r} \] 利用x方向的运动计算时间 \[F_y=-\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{~d} r} \frac{\rho}{r}, \quad \mathrm{~d} t=\frac{\mathrm{d} x}{v_{\infty}}\] \[p_{1 y}^{\prime}=-\frac{\rho}{v_{\infty}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{~d} r} \frac{\mathrm{d} x}{r}\] 利用积分变换\(\mathrm{d} x=r \mathrm{~d} r/\sqrt{r^2-\rho^2}\)，最终得到 \[\chi=-\frac{2 \rho}{m_1 v_{\infty}^2} \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{~d} r} \frac{\mathrm{d} r}{\sqrt{r^2-\rho^2}}\] 具体的结果可以用MMA计算得到。
(1) Rutherford散射实验, Rutherford散射理论, 教材上的数据
(2) 小角散射和实验数据
(1) 用MMA计算小角度散射的积分， \[\chi=-\frac{2 \rho}{m_1 v_{\infty}^2} \int_0^{\infty} \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{~d} r} \frac{\mathrm{d} r}{\sqrt{r^2-\rho^2}}\]
9.30 周日(补周三的课)
- 微振动
(1) 从Lagrange方程可以推导出非线性运动方程，势能复杂的情况，一般不可解。
(2) 生活经验表明，振动都是简单的，比如单摆，这类振动一般都是小振动，或者称为微振动。
(1) 单摆。
(2) 有驱动的振动。
(3) 有阻尼的振动。
(4) 共振现象。
(1) 日常生活，杂技，Kapitza单摆。
(2) 研究分子光谱，振动和转动光谱。
(1) 用MMA模拟\(\ddot{\theta}=-\theta^3\)的动力学行为。
(2) 计算一根刚性杆放在非光滑球面上的振动周期。
(3) 用MMA推导论文，推导PRB. 105. 094421 (2022)， 可以参考PRE. 105. 054204 (2022)。
10.9 周日(补周五课)
- 振动频率依赖于势能
比如，在势能\(U=kx^6\)中的振子，运动方程为 \[m\ddot{x}=-6x^5\]
(1) 存在周期运动的解，\(x=A\cos(\omega t)\)。
(1) 周期与\(A\)和\(k\)有关系。
(1) 弹簧问题中，\(m\ddot{x}=-kx\)，频率与振幅无关。
(2) 求解具有该性质的轨道。例如：在一个重力场中，振动周期与振幅(能量)无关 \[U=mgy=\frac{1}{2}m\dot{s}^2=\frac{1}{2}s^2\] \[y=\frac{ks^2}{2mg}, s=\sqrt{\frac{2mgy}{k}}\]
则 \[x=\int\sqrt{\frac{\partial s}{\partial y}^2-1}dy\] 再利用 \[(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2\] 可以求解轨迹。
(1) \(m\ddot{x}=-kx+f(t)\)
(2) \(m\ddot{x}=-kx+f(t)x\)，可以实现参数共振
(3) \(m\ddot{x}=-kx+\eta\dot{x}\)，阻尼振动
(4) \(m\ddot{x}=-kx+hx^2+gx^3\)，非线性振动
10.12 周三
- 受迫振动
(1) 共振
这部分主要讨论可变外场作用下系统的振动，系统的Lagrange为 \[L=\frac{m \dot{x}^2}{2}-\frac{k x^2}{2}+x F(t)\] 用\(f(t)\)来表示外场随时间的变化，相应的运动方程为 \[m \ddot{x}+k x=F(t)\] 如果外场的变化是周期的，\(F(t)=f \cos (\gamma t+\beta)\)，运动方程具有如下形式的通解 \[x=a \cos (\omega t+\alpha)+\frac{f}{m\left(\omega^2-\gamma^2\right)} \cos (\gamma t+\beta)\]
\(\gamma\rightarrow\omega\)时，第二项随时间线性增大， \[x=a \cos (\omega t+\alpha)+\frac{f}{2 m \omega} t \sin (\omega t+\beta)\]
(2)共振点附近的微振动
在\(\gamma=\omega+\varepsilon\)时，其中\(\varepsilon\)是小量，可以将运动方程写成复数的形式 \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\dot{x}+\mathrm{i} \omega x)-\mathrm{i} \omega(\dot{x}+\mathrm{i} \omega x)=\frac{1}{m} F(t)\] 令\(z=\dot{x}+\mathrm{i} \omega x\) \[\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}-\mathrm{i} \omega z=\frac{1}{m} F(t)\]
齐次解为 \[\frac{d}{dt}z=-i\omega z\] \[z=e^{i\omega t}\]
非齐次解为 \[z=A(t) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}\] \[\dot{A}(t)=\frac{1}{m} F(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}\]
系统的能量为 \[E=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\omega^2 x^2\right)=\frac{m}{2}|z|^2\]
能量正比于幅度的平方，幅度正比于时间。
10.14 周五
- 多自由度
多自由度的振动和单个振子是一样的，\(\omega=\sqrt{k/m}\)。
(1) 振动是否稳定。
比如\(x\cos(\omega t)\)和\(x\cos(i\omega t)=x\cosh(\omega t)\)，前者稳定，后者发散，不稳定。
更加严格来说，对于如下两自由度Lagrange函数来说， \[L=\frac{1}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2\right)-\frac{\omega_0^2}{2}\left(x^2+y^2\right)+\alpha x y\]
势能可以写成矩阵的形式 \[U=\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\omega_0^2 & \alpha \\ \alpha & \frac{1}{2}\omega_0^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\] \[\begin{pmatrix} \omega_n & o \\ o & \omega_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\omega_0^2 & \alpha \\ \alpha & \frac{1}{2}\omega_0^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\]
转变为本征值问题 \[ \begin{pmatrix} \omega_n-\frac{1}{2}\omega_0^2 & \alpha \\ \alpha & \omega_n-\frac{1}{2}\omega_0^2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=0 \]
记 \[A = \begin{pmatrix} \omega_n-\frac{1}{2}\omega_0^2 & \alpha \\ \alpha & \omega_n-\frac{1}{2}\omega_0^2 \end{pmatrix}\]
\(det A=0\)可以决定本征频率和稳定性。
(2) 广义化的多自由度运动
如果广义坐标\(q_i\)偏离平衡位置\(q_{i0}\)很小，记偏移量为\(x_i=q_i-q_{i0}\)，将势能展开到\(x_i\)的二阶，得到二次正定的势能形式 \[U=\frac{1}{2} \sum_{i, k} k_{i k} x_{\imath} x_k\]
根据格林倒易关系，\(K=(k_{ij})\)满足\(k_{i j}=k_{j i}\)。
广义的动能为\(\frac{1}{2} \sum_{i, k} a_{i k}(q) \dot{q}_i \dot{q}_k\)，对应的二次型为\(\frac{1}{2} \sum_{t, k} m_{i k} \dot{x}_i \dot{x}_k\)，于是，多自由度的Lagrange函数为 \[L=\frac{1}{2} \sum_{i, k}\left(m_{t k} \dot{x}_i \dot{x}_k-k_{z k} x_t x_k\right)\]
Lagrange方程给出 \[\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=\sum_k m_{i k} \dot{x}_k\] \[\frac{\partial L}{\partial x_i}=-\sum_k k_{t k} x_k\] \[\sum_k m_{\imath k} \ddot{x}_k+\sum_k k_{\imath k} x_k=0\]
代入特解\(x_k=A_k \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t}\)，得到方程组 \[\sum_k\left(-\omega^2 m_{\imath k}+k_{i k}\right) A_k=0\]
它的特征方程为 \[\left|k_{i k}-\omega^2 m_{l k}\right|=0\]
(3) 简正坐标
利用求解的频率可以得到一组正交的坐标 \[Q_n=\omega_{nj}x_j\]
这组坐标称为简正坐标，对应的频率称为简正频率，对应的振动模式称为简正模式。
简正坐标满足运动方程 \[\ddot{Q}_n+\omega_n^2 Q_n=0\]
运动方程之间是相互独立的。
多自由度的振动和转动，在分子振动中应用广泛(量子力学版本在原子物理中会涉及)，需要矩阵分析等数学基础。
(1) 对于NO，CO，\(\rm{N}_2\)等简单分子，可以用多自由度振动求解它的振动模式和振动频率。
讨论一个对称的线性三原子分子ABA的振动，有两个前提条件，无平移和无转动，对应的数学形式为 \[\sum_im_i\vec{r}_i=const.\] \[\sum_im_i\vec{r}_i\times \vec{v}_i=const.\]
分子运动的Lagrange函数为 \[L=\frac{m_A}{2}\left(\dot{x}_1^2+\dot{x}_3^2\right)+\frac{m_B}{2} \dot{x}_2^2-\frac{k_1}{2}\left[\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_3-x_2\right)^2\right]\]
代入约束\(m_A\left(x_1+x_3\right)+m_B x_2=0\)条件 \[L=\frac{m_A \mu}{4 m_B} \dot{Q}_a^2+\frac{m_A}{4} \dot{Q}_s^2-\frac{k_1 \mu^2}{4 m_B^2} Q_a^2-\frac{k_1}{4} Q_s^2\]
其中\(Q_a=x_1+x_3\)，a表示反对称，\(Q_s=x_1-x_3\)，s表示对称，这里的\(\mu\)为分子的总质量，得到两个本征振动频率为 \[\omega_a=\sqrt{\frac{k_1 \mu}{m_A m_B}}\] \[\omega_{s 1}=\sqrt{\frac{k_1}{m_A}}\]
可以取质量极限，发现振动模式会变成谐振子。
(2) 对于无穷多个自由度的振动，会在固体物理中介绍晶格振动(声子)。
(1) 根据CO分子的振动频率计算分子键长和力常数。
(1) 分子振动光谱数据：CO, NO, \(\rm{CO}_2\)
10.19 周三
- 阻尼振动
如果运动是发生在介质中，介质会产生阻力使运动有减慢的趋势，这种情况，我们称为阻尼运动。
此外，如果速度足够小，可以将摩擦力按速度的幂次展开，因为静止的物体上没有摩擦力作用，所以零次项为零，不为零的第一项与速度陈正比，\(f_{\mathrm{fr}}=-\alpha \dot{x}\)
感受到阻尼的运动方程为\(m \ddot{x}=-k x-\alpha \dot{x}\)
引入记号\(k/m=\omega_0^2, \quad \alpha/m=2 \lambda\)，则有\(\ddot{x}+2 \lambda \dot{x}+\omega_0^2 x=0\)，
通解为\(x=c_2 e^{r_1 t}+c_2 e_2^{r_2 t}, \quad r_{1,2}=-\lambda \pm \sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\)
有阻尼的受迫振动和无阻尼的情况类似，但是阻尼会减弱共振。运动方程为\(\ddot{x}+\alpha \dot{x}+\omega_0^2 x=f(\omega t)\)。
(1) 在\(f(\omega t)=0\)时，情况和单纯的阻尼振动相同。
(2) 在\(f(\omega t)=fe^{-i\omega t} \)，求解实部的运动方程，
\(\tilde{x}(t)=\tilde{x}(0)e^{i\omega t}=\rm{Re}\frac{f}{m(\omega_i^2-\omega^2)}e^{i\omega t}\)
对应一个Lorentz函数，\(\rm{Im}\frac{1}{x-x_0+i\Gamma}=\frac{\Gamma}{(x-x_0)^2+\Gamma^2}\)
振幅为\(\frac{f}{m(\omega_0^2-\omega^2)+i\alpha\omega}=\frac{f}{\alpha^2\omega^2+m(\omega_0^2-\omega^2)}\)
可见，阻尼会减弱共振的幅度，共振幅度也对应着能量。以布朗运动为例，阻尼一般代表运动的粒子与环境之间的能量交换，所以这个结果时可以接受的。
朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性。在解线性微分方程时，朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。
比如对于运动方程\(m\ddot{x}=-kx+\alpha\dot{x}\)来说，它有两个解，对应的朗斯基行列式为\(\begin{pmatrix} x_1& x_2\\ \dot{x}_1 & \dot{x}_2 \end{pmatrix}\)，
满足\(\rm{det}\begin{pmatrix} x_1& x_2\\ \dot{x}_1 & \dot{x}_2 \end{pmatrix}-x_1\dot{x}_2-\dot{x}_1x_2=0\)，
令\(\frac{d\omega}{dt}=-\alpha (x_1\dot{x}_2)-\dot{x}_1x_2=-\alpha\omega\)，
(1) \(\alpha=0\), \(\frac{d\omega}{dt}=0\), \(\omega\)是守恒量，说明两个解是线性无关的。
(2) \(\alpha\neq 0\), \(\omega(t)=\omega(0)e^{-\alpha t}\neq 0\), 但是\(\lim_{t\rightarrow \infty}\omega(t)=0\)。
马丢方程的一般形式为\(\ddot{x}+\omega_0^2(1+h\cos\omega t) x=0\)，它的一大特色就是随着参数\(h\)和\(\omega/\omega_0\)的变化，会出现确定性混沌(chaos)。可以参考网站: https://eqworld.ipmnet.ru/
在\(h\rightarrow 0\)的情况下，可以用摄动法求解马丢方程。
(1) 摄动法(或者叫做，微扰法)，用如下的例子说明：
对于运动方程\(\epsilon x^5 +a x^2=b\), 在\(\epsilon\rightarrow 0 \)时求方程的近似解。
在\(\epsilon=0\)时，方程简化为\(ax^2=b\)，对应的解为\(x_0=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}\),
在\(\epsilon\neq 0\)时，可以将近似解写成\(x=x_0+x_1\epsilon+x_2\epsilon^2+\cdots\), 然后按照\(\epsilon\)的幂次整理成方程组，逐阶求解。
(2) 这种方法对微分方程也是适用的。
(3) h更加普适的情况，以及自由度增加到无穷大的情况，会在固体物理中讨论，或者参考Sin-Gorden方程。
(1) Landau书，P86。(i) 证明(27.12)。(ii) 推导阻尼会缩小稳定区间这一结论。(iii) 证明书上该段的其它结论。
(2) 习题2和习题3，习题3需要求解到3阶。
(3) 用MMA的Coefficient函数，给出(27.9)代入方程之后解的各阶系数。
10.21 周五
- 非线性(非谐性)振动
- 非线性振动中的共振
(1) 为什么讨论非线性振动？因为它可以给出新的物理现象，比如非线性项会改变共振的频率，会出现倍频或者分数频共振。
(2) 这部分最重要的结论，就是低阶的效应会转变为高阶的驱动，会产生受迫振动和参数共振等现象。
(3) 非线性的来源于，可以是某些复杂势能在平衡位置附近的展开形式。
对于一类形如\(L=\frac{\dot{x}^2}{2}-(\frac{\omega_0^2}{2}x^2+\frac{\alpha}{3}x^3+\frac{\beta}{4}x^4)\)的Lagrange函数，
它的运动方程为\(\ddot{x}+\omega_0^2x+\alpha x^2+\beta x^3\), 这种形式一般被称为非线性振动，当然还可以有速度的非线性项，
我们将寻求级数形式的逐阶近似解，\(x=x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}\),其中\(x^{(1)}=a \cos \omega t\), \(\omega=\omega_0+\omega^{(1)}+\omega^{(2)}+\cdots\),
代入\(x^{(1)}=a\cos(\omega_0t)\)，\(x=x^{(1)}+x^{(2)}\), \(\omega=\omega_0+\omega^{(1)}\),
略去二阶以上的小量，得到\(x^{(2)}\)的方程，\(\ddot{x}(2)+\omega_0^2 x^{(2)}=-\alpha a^2 \cos ^2 \omega t+2 \omega_0 \omega^{(1)} a \cos \omega t==-\frac{\alpha a^2}{2}-\frac{\alpha a^2}{2} \cos (2 \omega t)+2 \omega_0 \omega^{(1)} a \cos \omega t\)
为了避免右端出现共振，要求\(\omega^{(1)}=0\), 代入特解\(x^{(2)}=f_0+f_1\cos(2\omega t)\), 得到\(x^{(2)}=-\frac{\alpha a^2}{2 \omega_0^2}+\frac{\alpha a^2}{6 \omega_0^2} \cos (2 \omega t)\),
要计算更高一阶的近似解，只需要将\(x=x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}, \omega=\omega_0+\omega^{(2)}\)代入，
然后重复计算，得到\(x^{(3)}\)的运动方程，\(\ddot{x}^{(3)}+\omega_0^2 x^{(3)}=-2 \alpha x^{(1)} x^{(2)}-\beta x^{(1) 3}+2 \omega_0 \omega^{(2)} x^{(1)}\),
重复使用非共振条件，得到\(\omega^{(2)}=\left(\frac{3 \beta}{8 \omega_0}-\frac{5 \alpha^2}{12 \omega_0^3}\right) a^2\),
最终计算出3阶振动为\(x^{(3)}=\frac{a^3}{16 \omega_0^2}\left(\frac{\alpha^2}{3 \omega_0^2}+\frac{\beta}{2}\right) \cos (3 \omega t)\)
(1) 改变频率在\(\gamma \approx \omega_0\)附近的共振现象。
根据10月12日课堂内容中对共振点附近的振动性质的分析，共振幅度(能量)对共振频率\(\gamma\)和驱动幅度\(f\)的依赖关系为\(b^2\left(\varepsilon^2+\lambda^2\right)=\frac{f^2}{4 m^2 \omega_0^2}\),
根据10月21日课堂内容中对非线性振动的分析，非线性项会改变振动的本征频率，不妨设\(\omega_0+\kappa b^2\)，其中\(k\)表示非线性的影响，比如\(\left(\frac{3 \beta}{8 \omega_0}-\frac{5 \alpha^2}{12 \omega_0^3}\right) b^2\)
那么可以将方程转变为频率差\(\epsilon\)的方程，\(b^2\left[\left(\varepsilon-\kappa b^2\right)^2+\lambda^2\right]=\frac{f^2}{4 m^2 \omega_0^2}\), 或者写成\(\varepsilon=\kappa b^2 \pm \sqrt{\left(\frac{f}{2 m \omega_0 b}\right)^2-\lambda^2}\),
可以求出振动幅度对频率差的依赖关系，\(\frac{\mathrm{d} b}{\mathrm{~d} \varepsilon}=\frac{-\varepsilon b+\kappa b^3}{\varepsilon^2+\lambda^2-4 \kappa \varepsilon b^2+3 \kappa^2 b^4}\), 进一步通过\(\mathrm{d} b / \mathrm{d} \varepsilon=\infty\)来判断稳定与不稳定的边界。
简单来说，就是分母为零的解，\(\varepsilon^2-4 \kappa \varepsilon b^2+3 \kappa^2 b^4+\lambda^2=0\)
(2) 驱动频率为\(\gamma \approx \omega_0/2\)时，激发高阶共振。
如果外界驱动为\(\gamma=\omega_0 / 2+\varepsilon\), 二阶近似的方程中，会出现\(2\gamma=\omega+2\epsilon\)的共振项，但是这个共振的幅度是正比于外力幅度的平方，也就是说能量是四次方发散。
(3) 驱动频率为\(\gamma \approx 2\omega_0\)时，激发高阶共振。
如果外界驱动为\(\gamma=2\omega_0 /+\varepsilon\), 在二阶近似的方程中，\(x^{(1)}x^{(2)}\)的项会带来参变共振。
(4) 总得来说，对于驱动频率为\(\gamma=p\omega_0/q\)，其中\(p\)，\(q\)为整数的驱动，都可以观察到它与非线性项的作用。
(1) 数学和物理：J. Math. Phys. 30, 1447 (1989), Phys. Rev. E 74, 046218 (2006), Phys. Rev. Lett. 90, 174301 (2003)
(2) 工程应用：SD振子的非线性动力学特征研究_曹庆杰， 基于PD控制的电磁轴承-转子系统非线性振动研究_张国荣，
基于模态耦合分析盘式制动器制动尖叫的降噪方案研究_巩飞， 某航空发动机整机系统非线性振动特性分析_林荣洲，
盘式制动器制动尖叫分析与解决_崔东斌， 气轨上的非线性振动_何勤，
受限颗粒体对制动系统非线性振动的影响_鄢晓宇， 谐和激励下强非线性杜芬-范德波振子的响应_黄志龙
10.26 周三
- 内容回顾
(1) 包括以下五个内容:
A, \(m\ddot{x}+m\omega_0^2x\)
B, 驱动\(f\cos(\omega t)\)，包括受迫振动和参变共振
C, 耗散\(\lambda \dot{x}\)
D, 非线性\(\alpha x^2 +\beta x^3\)
E, 多分量
实际碰到的问题，主要困难在于模型的搭建，可以是上述很多问题的组合。可以给出很丰富的动力学行为，具体如何应用可以参考后面给出的文献。
(2) Landau书的微扰法的局限性，可执行性不强，小量和大量的区分不够明确，但是物理图像非常清晰。我们在这里补充多重尺度分析方法。
Landau方法：\(\ddot{x}+\omega_0^2x+\alpha x^2+ \beta x^3=0\), \(x=x^{(1)}+x^{(2)}+x^{(3)}+\cdots\), \(\omega=\omega_0+\omega^{(1)}+\omega^{(2)}+\cdots\)
对于形如\(\ddot{x}+\omega_0^2 x+\epsilon\alpha x^2=0\)的非线性振动方程，可以将解展开为\(\epsilon\)的级数，\(x=x_0+\epsilon x_1+\epsilon^2 x_2+\cdots\),
\(\omega=\omega_0+\epsilon\omega_1+\epsilon^2\omega_2+\cdots\), 再将时间进行无量纲化，得到\(\frac{d^2x}{dt^2}=\omega^2\frac{d^2x}{d{\tau}^2}\),
其中\(\tau=\omega t\), 这里对\(\omega\)的选取要消除发散(类似于Landau方法中的消除共振频率项)，
得到无量纲的运动方程\(\omega^2\frac{d^2x}{d\tau^2}+\omega_0x+\epsilon\alpha x^2=0\),
代入解和频率的各阶表达式，可以依次得到对应阶的运动方程，
\((\omega_0+\epsilon\omega_1+\epsilon^2\omega_2)(\ddot{x}_0+\epsilon\ddot{x}_1+\epsilon^2\ddot{x}_2)+\omega_0^2(x_0+\epsilon x_1+\epsilon^2 x_2)+\epsilon\alpha(x_0+\epsilon x_1+\epsilon^2 x_2)^2\)
Landau方法，用\(\epsilon^k\)，进行大量和小量的分类，多重尺度方法，则是考虑到\(\epsilon\)不是一个小量的情况，将时间和\(\epsilon\)一起考虑进行大量和小量的非类，这种方法非常普适。
多重尺度方法的优点总结如下：
(1) 比Landau书上的微扰法更加简单，更加系统(又可以称为奇异微扰论，重整化群方法也和它有关系);
(2) 可以推广到高阶。Landau书只计算到3阶，高阶的计算复杂度会增加到无法手算的程度;
(3) 更加系统，每一步更加明确，没有丢弃任何一项;
(4) 可以推广到任何的非线性模型;
(5) 可以用MMA求解，使用DSolve函数。
Kapitza单摆在生活中常见于杂技中，比如用长杆转盘子，其实就是在单摆的悬挂点施加一个周期驱动，让系统具有稳定的振动。
对应的运动方程为\(\ddot{\theta}=\frac{\sin(\theta)}{l}(g-a\gamma^2\cos(\gamma t))\), 其中\(\gamma\)为悬挂点施加的周期驱动的频率。
(1) 讨论该运动方程：
A, \(a=0\), 不稳定;
B, \(a\rightarrow 0\), \(\ddot{\theta}=\frac{g}{l}\sin(\theta)=\frac{g}{l}\theta\), 转变为单摆方程;
C, \(\gamma\)很大，\(g-a\gamma^2\cos(\gamma t)<0\);
D, 类似形式的方程有，Mathieu方程\(\frac{d^2y}{dt^2}+(a-b\cos(2t))y=0\),Hill方程\(\frac{d^2y}{dt^2}+f(t)y=0, f(t)=f(t+\pi)\).
(2) 求解运动方程：
做快慢变量分离，\(\theta=\phi+\xi\), \(||\xi||<<|||\phi|\), 运动方程转变为\(\ddot{\phi}+\ddot{\xi}=\frac{\sin(\phi+\xi)}{l}(g-a\gamma^2\cos(\gamma t))\),
展开，然后单独写出快慢部分的运动方程，慢变部分有\(\frac{g}{l}\sin(\phi)\)和\(\frac{a^2\gamma^2}{2l^2}\sin(\phi)\cos(\phi)\cos^2(\gamma t)\),
快变部分包括\(\frac{g}{l}\xi\cos(\phi)\)和\(\frac{(\sin(\phi)a\gamma^2)}{l}\cos(\gamma t)\),
慢变部分的运动方程可以写成\(\ddot{\phi}=\frac{g}{l}(1-\frac{a^2\gamma^2}{2gl})\phi=-\frac{\partial U}{\partial \phi}\),
对应的势能为\(U=\cos(\phi)+\frac{a^2\gamma^2}{4gl}\sin^2\phi\)
(1) 非线性振动参考资料：Anharmonic oscillators, Nonlinear oscillators 1, Nonlinear oscillators 2.
(2) 微扰论参考资料：摄动法, 多重尺度分析
(3) Kapitza单摆
(1) 用多重尺度方法计算运动方程的近似解到6阶, \(\ddot{x}+\omega_0 x+\epsilon (\alpha x^2+\beta x^3)\)
(2) 求解Kaipitza单摆运动方程稳定点和不稳定点转变的条件。分析近似\(2gl=a^2\gamma^2\)的误差。
(3) Landau书上的习题，P97和P98，习题1和2,需要展示求解的详细过程。
10.28 周五
- 上半学期内容复习
(1) 广义坐标
Lagrange力学，拉氏方程对于任何的广义坐标和广义动量都成立，可以定义广义力。
(2) 守恒量
动量守恒、能量守恒和角动量守恒都于Lagrange函数中的循环坐标有关，也对应某种对称性。
(3) 运动积分
守恒量可以简化运动方程，但是拉氏方程是非线性方程，方程是否可解对应是否可积。在积分过程中会出现一系列的椭圆积分，引力形式与椭圆轨道密切相关。
(4) 散射问题
为原子物理中的散射提供基础，散射截面的计算，小角散射对应的直观图像。
(5) 微振动
核心在于求解几类运动方程的周期解，使用的方法包括微扰法和多重尺度分析。其次就是耗散、共振和非线性运动。
(1) 刚体转动
包括转动惯量张量、欧拉角和四元数方法。
(2) Lagrange力学和Hamiltonian力学(代数)
包括最小作用量原理和变分法。
助教笔记
(1) 微振动习题
11.2 周三
- RLC振荡电路
RLC振荡电路在四大力学中都有大量的讨论和应用，是由电阻、电容和电感组成的动态充放电系统，
电阻电压为\(iR\), 电感电压为\(L\frac{di}{dt}\), 电容电压为\(\frac{Q}{C}=\frac{\int i dt}{C}\),
电路中的总电压为\(U(t)=iR+L\frac{di}{dt}+\frac{\int i dt}{C}=\dot{Q}R+L\ddot{Q}+\frac{Q}{C}\), 如果外加的电压为交变的，频率为\(\omega\),
电路方程可以转变为电荷的运动方程，\(L\ddot{Q}+\frac{Q}{C}+\dot{Q}R=V\cos(\omega t)\),\(m\ddot{x}+m\omega_0^2 x+\lambda \dot{x}=f\cos(\omega t)\),
所以，从形式上可以看出，电路与单粒子具有明确的对应关系。
Landau-Lifshitz方程是用来解释磁流体运动的方程，运动方程为\(\frac{d\vec{M}}{dt}=-\gamma \vec{M}\times \vec{H}(r)+\frac{\alpha}{M_s}\vec{M}\times\frac{\vec{M}}{dt}\),
其中的磁场是周期变化的，磁矩是包含多个分量的，就像之前提到的，微振动的应用，是五个基本运动方程的组合，这里就是受迫和多分量的组合。
磁场的形式为\(\vec{H}=\vec{H}_0+\delta \vec{H}\cos(\omega t)\), 磁矩的三个分量为\(\vec{M}=(m_x,m_y,m_z)^{\rm{T}}\),
处理这个问题的方法：
(1) \(\vec{M}=\vec{M}_0+\delta \vec{M}(t)\);
(2) 线性展开;
(3) 用微扰法求解。
这部分主要是为后面的刚体转动做铺垫。
(1) \(\vec{A}\cdot \vec{B}=\vec{B}\cdot\vec{A}\), 标量，投影。
(2) \(\vec{A}\times \vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}\), 平行四边形的面积。
(3) \((\vec{A}\times\vec{B})\cdot{\vec{C}}\), 体积。
矢量计算的核心在于，代数上清楚每项是标量还是矢量，几何上清楚运算代表的平面和线的关系，从而可以给出用作分解的几个基矢，更详细的矢量代数的计算补充在参考材料中。
(1) 矢量运算：Dot product, Cross product
(2) 自由电子激光:Free electron laser, Journal of Applied Physics 42, 1906 (1971), Phys. Rev. Lett. 36, 717 (1976)
11.9 周三
- 主要内容
(1) 平动
(2) 转动：包括陀螺(动量守恒)，机器手等应用。
(1) 参考系frame of reference，(非)惯性系(non)inertial
(2) 实验室坐标space fixed label，转动坐标body fixed label
(1) 三个步骤实现转动，1,绕z轴转动;2,保持节线不变，转动z轴到\(z_1\);3,绕\(z_1\)转动。这种实现转动的方法并不唯一。
(2) 重点：将实验系坐标中的转动转移到转动坐标中。
\(\Omega_1=\dot{\varphi}\sin\theta\sin\psi+\dot{\theta}\cos{\psi}\),\(\Omega_2=\dot{\varphi}\sin{\theta}\cos{\psi}-\dot{\theta}\sin{\psi}\), \(\Omega_3=\dot{\varphi}\cos{\theta}+\dot{\psi}\)
重点：从广义坐标的角度理解它的运动方程。
如果惯性主轴三个方向的分量相等，\(I_1=I_2=I_3=I\), 系统的拉氏量\(L=T=\frac{I}{2}(\dot{\varphi}^2+\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2+2\dot{\varphi}\dot{\psi}\cos{\theta})\),
对应的运动方程为，\(\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=\frac{\partial T}{\partial \varphi})\), 化简得到\(2\ddot{\varphi}+2\ddot{\psi}\cos{\theta}+2\dot{\psi}\sin{\theta}\dot{\theta}=0\)
助教笔记
(1) 画图，推导Enler转动公式。
11.11 周五
- 主要内容
(1) 进动
(2) 章动，转速快的时候(能量足够高)，章动不在明显。
(3) 与两体问题的关联
对物理的理解是否需要数学？很多时候利用直观的图像就可以得到需要的结论。
(1) Euler角/Euler转动
利用转动矩阵对实验室坐标和转动坐标进行转换，广义坐标更加方便。
(2) 两体问题
Lagrange方程，处理椭圆运动(两个广义坐标，\(r\),\(\theta\))，利用守恒量\(M=mr^2\dot{\theta}\)，可以简化运动方程，变为一个变量的问题，从而让问题可解。
(3) 循环坐标(Ignorable coordinate)
不进入Lagrange的坐标称为循环坐标，它对应的广义动量是守恒量。(参考Arnold书的P48)
(4) 对称陀螺和不对称陀螺
对称陀螺的惯性主轴满足\(I_x=I_y+I_z\)
(1) 守恒量
转动的动能为\(T_{\text {rot }}=\frac{I_1}{2}\left(\dot{\varphi}^2 \sin ^2 \theta+\dot{\theta}^2\right)+\frac{I_3}{2}(\dot{\varphi} \cos \theta+\dot{\psi})^2\)
这里的\(\psi\)和\(\phi\)就是循环坐标，所以对应的两个广义动量(角动量)为守恒量。
两个角动量守恒\(P_{\varphi}=\dot{\varphi}(I_1\sin^2\theta+I_3\cos\theta)\), \(P_{\psi}=I_3(\dot{\varphi\cos\theta}+\dot{\psi})\)可以给出两个坐标\(\psi\)和\(\varphi\)关于\(\theta\)的方程，
(2) 运动方程
如果\(\theta=0\),\(\dot{\theta}=0\),得到\(\varphi(t)=P_{\varphi}t/I_3\),该角度为匀速转动。
更加普适的情况，和两体运动的处理完全相同。
以上图的陀螺为例说明，Lagrange函数为\(L=\frac{I_1+\mu l^2}{2}\left(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}^2 \sin ^2 \theta\right)+\frac{I_3}{2}(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \theta)^2-\mu g l \cos \theta\)
利用循环坐标给出两个运动积分，\(p_\psi=\frac{\partial L}{\partial \dot{\psi}}=I_3(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \theta)=\mathrm{const} \equiv M_3\)， \(p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}=\left(I_1^{\prime} \sin ^2 \theta+I_3 \cos ^2 \theta\right) \dot{\varphi}+I_3 \dot{\psi} \cos \theta=\mathrm{const} \equiv M_Z\)
它的能量为\(E=\frac{I_1^{\prime}}{2}\left(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}^2 \sin ^2 \theta\right)+\frac{I_3}{2}(\dot{\psi}+\dot{\varphi} \cos \theta)^2+\mu g l \cos \theta\)也是守恒量，
求解运动方程，得到\(\dot{\varphi}=\frac{M_Z-M_3 \cos \theta}{I_1^{\prime} \sin ^2 \theta}\)和\(\dot{\psi}=\frac{M_3}{I_3}-\cos \theta \frac{M_Z-M_3 \cos \theta}{I_1^{\prime} \sin ^2 \theta}\)
可以写成只含有角度\(\theta\)的能量\(E^{\prime}=\frac{I_1^{\prime}}{2} \dot{\theta}^2+U_{\mathrm{eff}}(\theta)\)，得到有效势能\(U_{\mathrm{eff}}(\theta)=\frac{\left(M_Z-M_3 \cos \theta\right)^2}{2 I_1^{\prime} \sin ^2 \theta}-\mu g l(1-\cos \theta)\)
然后就可以做运动积分得到一个椭圆函数的积分形式\(t=\int \frac{\mathrm{d} \theta}{\sqrt{\frac{2}{I_1^{\prime}}\left[E^{\prime}-U_{\mathrm{eff}}(\theta)\right]}}\)，所以说刚体中陀螺的转动与两体运动完全相同，都是利用角动量守恒。
总结：进动对应闭合的椭圆轨道，章动对应椭圆轨道上的小振动。此外，还可以讨论微振动和非线性振动。
助教笔记
惯量张量表
(1) 计算对称陀螺的运动，但是考虑\(I_1=I_3\)的情况。
(2) Landau书P114的习题3。
11.16 周三
- 主要内容
(1) 非惯性运动，重点在于理解和运用哥氏定理\(\frac{d\vec{A}}{dt}|_S=\frac{d\vec{A}}{dt}|_{S^{\prime}}+\vec{\omega}_0\times\vec{A}\)
(2) Euler转动，在广义动量形式下，运动方程为\(I_1\Omega_1-(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3=0\)，123轮换可以得到另外两个运动方程。具有的优点：形式简洁，有直观的物理理解。
(1) 加速度分解
对于惯性系\(S\)和非惯性系\(S^{\prime}\)，\(S^{\prime}\)关于\(S\)做角速度为\(\omega_0\)的旋转，考量非惯性系\(S^{\prime}\)中的矢量\(\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\),
在非惯性系中的运动方程为\(v^{\prime}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}+\frac{dz}{dt}\vec{k}\),
在惯性系\(S\)中，观测到的运动形式应为\(v=v^{\prime}+x\frac{d\vec{i}}{dt}+y\frac{d\vec{j}}{dt}+z\frac{d\vec{k}}{dt}\),使用哥氏定理计算三个基矢在惯性系中的变化，\(\frac{d\vec{i}}{dt}=\vec{\omega}_0\times\vec{i}\)
如果只有转动，\(\frac{d\vec{r}}{dt}|_{S}=\frac{d\vec{r}}{dt}|_{S^{\prime}}+\vec{\omega}_0\times\vec{r}\), 如果两个参考系之间有平动，还需要在右侧添加相对平动速度\(\vec{v}_0\)
求导数得到牛顿方程\(\vec{a}=\vec{a}^{\prime}+\vec{\beta}\times\vec{r}+2\vec{\omega}_0\times\vec{v}^{\prime}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\), 其中\(\beta=\frac{d\omega}{dt}\)为角加速度，系数2需要特别注意，来源于两次哥氏转换！
可以定义Coriolis加速度\(2\vec{\omega}\times\vec{v}^{\prime}\), 牵连速度\(\vec{\omega}\times\vec{r}\)
(2) 角动量分解
角动量\(\vec{M}=\vec{r}\times m\vec{v}\)与\(\vec{M}^{\prime}=\vec{r}^{\prime}\times m\vec{v}^{\prime}\)也可以用哥氏定理分解。
刚体转动方程\(\vec{K}=\frac{d\vec{M}}{dt}\), 其中K为力矩，M为角动量。
力矩的矢量形式为\(K=K_1\vec{e}_1+K_2\vec{e}_2+K_3\vec{e}_3\),
也可以用哥氏定理写成\(\vec{K}=I_1\dot{\Omega}\vec{e}_1+I_1\Omega_1\dot{\vec{e}}_1+\cdots\)
在\(\vec{e}_1\)方向有贡献的三项为\(I_1\dot{\Omega}_1\vec{e_1}\), \(-I_2\Omega_2\Omega_3\vec{e_2}\times\vec{e_3}\), \(-I_3\Omega_3\Omega_2\vec{e}_3\times\vec{e}_2\)
运动方程为\(I_1\Omega_1-(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3=0\)，同样可以得到其他两个运动方程，发现它们具有轮换对称性。
(1) 如果没有外力, \(K=0\)
\(I_1\dot{\Omega}_1-(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3=0\), \(I_2\dot{\Omega}_2-(I_3-I_1)\Omega_3\Omega_1=0\), \(I_3\dot{\Omega}_3-(I_1-I_2)\Omega_1\Omega_2=0\),
分别乘以\(\Omega_1\), \(\Omega_2\)和\(\Omega_3\)，相加之后，可以验证能量守恒。
(2) 如果考虑一个对称陀螺, \(I_2=I_3\)
得到\(I_1\dot{\Omega}_1=0\), 对应使用广义坐标分析得到的结果，做匀速转动。
助教笔记
非惯性运动
(1) 金书，P152，例1和例2。
(2) 讨论\(I_1\Omega_1-(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3=0\)的意义和优点。
11.19 周五
- 内容回顾
(1) 典型的非惯性系问题，人在地球上，探测器设置在卫星上，利用哥氏定理\(\frac{d\vec{A}}{dt}|_S=\frac{d\vec{A}}{dt}|_{S^{\prime}}+\vec{\omega}_0\times\vec{A}\)，可以正确处理观测数据。
(2) 非惯性系的牛顿方程，\(\vec{F}^{\prime}=m\vec{a}^{\prime}=\vec{F}+\vec{F}_t+\vec{F}_c\)，后面两项分别对应牵连力和科氏力。具体应用包括，傅科摆测量地球自转速度(1860)，Coriolis流量计，地球科学(大气、河流)
符号约定，\(K_0\)表示惯性参考系，\(K^{\prime}\)表示相对\(K_0\)做速度为\(\vec{v}(t)\)平动的非惯性参考系，不考虑时间相对性。\(K\)表示与\(K^{\prime}\)共原点以角速度\(\omega\)转动的非惯性参考系。
(1) 平动非惯性系中的Lagrange函数
考虑\(K_0\)中的运动，Lagrange函数为\(L_0=\frac{1}{2}m\vec{v}_0^2-U(\vec{r}_0)\)，运动方程为\(\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial v_0})=\frac{\partial L}{\partial r}\)，\(m\vec{v}_0=\frac{\partial U}{\partial \vec{r}_0}\)
在\(K^{\prime}\)中观测，具有速度\(\vec{v}^{\prime}\)，满足\(\vec{v}_0=\vec{v}^{\prime}+\vec{v}(t)\)，代入Lagrange函数中，得到\(L^{\prime}=\frac{1}{2}m(\vec{v}^{\prime}+\vec{v}(t))^2-U\)
化简Lagrange函数，利用\(m\vec{v}^{\prime}\cdot\dot{\vec{r}}=\frac{d}{dt}(m\vec{v}\cdot\vec{r})-m\dot{\vec{v}}\cdot\vec{r}\)，在Lagrange函数中引入时间的全微分，从而达到将\(\vec{r}\)置换出来的效果。
定义广义力具有广义势能\(\vec{f}\cdot{\vec{r}}=m\vec{W}\cdot\vec{r}=m\dot{\vec{v}}^{\prime}\cdot\vec{r}\)，发现非惯性系中的Lagrange函数具有有效势能\(U_\rm{eff}=-U-\vec{f}\cdot{\vec{r}}\)
平动的非惯性系中的Lagrage函数为\(L^{\prime}=\frac{1}{2}m\vec{v}^{\prime}+\frac{1}{2}m\vec{v}^2-[U+m\vec{W}\times\vec{r}]\)
从以上的推导中可以得到两个结论，在非惯性系\(K^{\prime}\)中Lagrange原理适用，并且在坐标变化过程中会出现加速项\(\vec{f}\cdot{\vec{r}}\)，第二点在相对论中也有体现。
(2) 转动非惯性系中的Lagrange函数
在\(K\)中观测，具有速度\(\vec{v}^{\prime}+\vec{\omega}\times\vec{r}\)，代入平动非惯性系的Lagrange函数中，得到\(L^{\prime}=\frac{1}{2}m(\vec{v}^{\prime}+\vec{\omega}\times\vec{r})^2+\frac{1}{2}m\vec{v}^2-[U+m\vec{W}\times\vec{r}]\)
广义动量为\(\frac{\partial L}{\partial \vec{v}}=\vec{P}=m\vec{v}+m\vec{\omega}\times\vec{r}\)，在电磁场中，广义动量会包含\(e\vec{B}\times\vec{r}\)的项，可见科氏力与Lorentz力具有某种相似性。
利用全微分\(df(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\)，给出\(dL=\frac{\partial L}{\partial \vec{v}}d\vec{v}+\frac{\partial L}{\partial \vec{r}}=d\vec{r}+\frac{\partial L}{\partial t}dt\)
化简得到\(dL=m\vec{v}\cdot d\vec{v}+m(\vec{\omega\times\vec{r}})\cdot{d\vec{v}}+m\vec{v}\cdot\partial_{\vec{r}}(\vec{\omega\times\vec{r}})\cdot d\vec{r}+m\partial_{\vec{r}}(\vec{\omega}\times\vec{r})^2-\partial_rUdr-m\vec{W}\cdot{d\vec{r}}\)
广义力包括，科氏力\(\frac{\partial m\vec{v}\cdot(\vec{\omega}\cdot\vec{r})}{\partial \vec{r}}=m\vec{v}\times\vec{\omega}=f_{\rm{c}}\)，离心力\(\frac{(\vec{\omega}\times\vec{r})^2}{\partial \vec{r}}=\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=f_{t}\)
简单来写就是\(m\dot{\vec{v}}=\vec{f}_{W}+\vec{F}+\vec{f}_{\rm{c}}+\vec{f}_{t}\)
(3) 总结
A, 在非惯性系中，Lagrange原理也成立。
B, 广义力包括，\(f_{\rm{c}}=m\vec{\omega}\times\vec{v}\), \(f_{t}=m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\), \(f_{W}=m\dot{\vec{v}}^{\prime}\)
C, 广义动量包括，\(\vec{P}=m\vec{v}+m\vec{\omega}\times\vec{r}\)
利用矢量分析，可知离心力\(m\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})\)，具有方向\(\hat{r}\)，是沿着径向分布的力。
离心力也可以写成\(f_{t}=-m\omega^2\vec{r}=m\frac{v^2}{r^2}\vec{r}\)
非惯性运动部分的应用，重点在于，离心力和科氏力的分析，大多数应用只包括其中一项。
(1) Landau书，P131，地球自转导致落体偏东。
(2) 金书，重力加速度和纬度的关系。
11.23 周三
- 补充两种常见的相互作用
(1) Stokes力，低速极限下为\(\vec{f}=-6\pi\eta r\vec{v}\)，高速极限下为\(\vec{f}=\frac{1}{2}\pi\rho r^2 |\vec{v}|\vec{v}\)
(2) Magnus力，\(\vec{f}_m=\frac{8}{3}\pi\rho r^2\vec{v}\times\vec{\omega}\)
在地球自转很小(\(\vec{\omega}\rightarrow 0\))的极限下，运动方程为\(m\dot{\vec{v}}=2m\vec{v}\times\vec{\omega}-\frac{\partial U}{\partial r}\), \(U=-mg\vec{r}\)
由于\(2\vec{v}\times\vec{\omega}<<\vec{g}\), 所以可以将速度展开成快慢变量的形式，\(\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{v}_1\), \(\vec{v}_0>>\vec{v}_1\), 其中\(\dot{\vec{v}}_1=2\vec{v}_0\times\vec{\omega}\)
得到位移\(\vec{r}=\vec{h}+\vec{v}_0t+\frac{t^2}{3}(\vec{g}\times\vec{omega})+t^2(\vec{v}_0\times\vec{\omega})+\frac{1}{2}\vec{g}t^2\)
(1) 如果初始的水平速度为零，\(\vec{v}_0=0\), 位移为\(\vec{r}=\vec{h}+\frac{t^2}{3}(\vec{g}\times\vec{\omega})+\frac{1}{2}\vec{g}t^2\)
在无转动的前提下，面内的运动方程为\(\ddot{x}+\omega^2 x=2\Omega \dot{y}\), \(\ddot{y}=\omega^2 y=-2\Omega \dot{x}\)
定义\(\xi=x+iy\)，得到运动方程\(\ddot{\xi}+\omega^2\xi+2i\Omega\dot{\xi}=0\)，通解为\(\xi=e^{-2i\Omega t\cos{\omega t}}\)，代入方程得到\(-q^2+\omega^2-2\Omega q=0\), \(x+iy=e^{-i\Omega t}(x_0+iy_0)\)
(1) 如果\(\Omega=0\), 则\(x+iy=x_0+iy_0\), \(\ddot{x}_0+\omega^2x_0=0\), \(\ddot{y}_0+\omega^2 y_0=0\)
(2) 普适的情况，\(\xi=re^{i\theta}\), 周期为\(T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)
运动方程为\(m\vec{g}_{\rm{eff}}=-mg\frac{\vec{R}}{|\vec{R}|}+m\omega^2R\sin\theta\hat{r}\)
(1) 可以计算两个重力加速度的夹角
\(\cos\delta=\frac{\vec{g}_{\rm{eff}}\cdot\vec{g}}{|\vec{g}_{\rm{eff}}|\times|\vec{g}|}\)
(2) 给出地球半径，可以得到自转速度
运动方程给出\(g_{\rm}^B-g_{\rm{eff}}^A=\omega^2R\), 其中的AB分别代表赤道和两极的重力加速度。
(1) 代入具体参数(h=100 m, v=10 m/s, 朝向全方向抛出)计算落地轨迹。
(2) 推导金书，5.5节，拉莫(Lamori)进动。
11.30 周三
- 相空间
(1) 映射
Lagrange函数是一个映射，将相空间映射到实数空间。\(L(x,\dot{x},t)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-U(x,t)=T-U\), 其中\((x,\dot{x},t)\in\Gamma\), \(\Gamma\)为相空间，\(T-U\in\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\)代表实数空间。
Lagrange函数，\(L:\Gamma\rightarrow\mathbb{R}\)
(2) 空间
欧氏空间，\(E=\mathbb{R}^3\)，三维的欧几里德空间，也就是经典力学的坐标空间。
闵氏空间，\(\mathbb{R}\times\mathbb{r}\), 闵可夫斯基空间，增加时间维度的3+1维空间。
以单摆为例，\(L(\theta,\dot{\theta})\), \(\theta\in\mathbb{R}\), \(\theta\in\mathbb{S}\), \(\Gamma=\mathbb{S}\times\mathbb{R}\)
双摆的情况略有不同，\(L(\theta_1,\dot{\theta}_1,\theta_2,\dot{\theta}_2)\), \(\Gamma=\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}^2=\mathbb{T}^2\times\mathbb{R}^2\), 注意\(\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1\neq\mathbb{S}^2\), 不是球而是圆环。
切空间(TM, Tangent maniford)和纤维丛的图示在笔记中给出。
(3) 总结
A, \(L:\Gamma\rightarrow\mathbb{R}\), \(L=\mathrm{TM}\rightarrow\mathbb{R}\)
B, \(E(=T+U):\Gamma\rightarrow\mathbb{R}\)
C, 相空间\(\Gamma\)中，\(x\)和\(\dot{x}\)是独立的，Newton运动方程和Lagrange方程给出的是给定能量下作用量最小的轨迹。
(1) \(H=p\dot{q}-L\)
对于广义的Lagrange函数，\(L(q,\dot{q},t)\), 由链式法则给出它的全微分，\(dL=\frac{\partial L}{\partial q}dq+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}dt\)
利用广义动量\(p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\)，给出，\(d(p\dot{q}-L)=\dot{q}dp-\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial t}dt\)，
令\(p\dot{q}-L=H\), 称为哈密顿量(Hamiltonian)
(2) \(H=H(p,q)\)
\(H=p\dot{q}-L=p\frac{p}{m}-\frac{1}{2}m(\frac{p}{m})^2+U=\frac{p^2}{2m}+U\)
对于位势理论(势能只和广义坐标有关)，哈密顿量和能量形式上是一致的。
(3) 勒让德变换(LT, Legendre transformation)
\(H=p\dot{q}-L\)对应的数学操作是勒让德变换，一种求共轭量的方法。
LT问题是，求函数\(p(x)\), 使得对于任何的\(x\)，都可以给出\(g(p)=px-f(x)\)的最大值。极值问题的求解，\(\frac{\partial g}{\partial x}=0\)，解得\(p=f^{\prime}(x)\)
\(g(p)=px-f(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}x-f(x)\), 如果将\(f(x)\)替换成\(L(\dot{q},q)\), \(g(p)\)替换成\(H(p,q)\), 则得到\(H(p,q)=p\dot{q}-L(\dot{q},q)\)，从这可以看出广义速度和广义动量是不同的，广义动量是一个操作。
需要注意的是LT的对象是凸函数，而且LT变换是可逆的，两次变换回到本身。
(1) Arnold书P10,P11，求四个Lagrange量对应的Hamiltonian。
12.2 周五
- 内容回顾
(1) 相空间，切空间(对偶空间)，切丛
(2) Legendre变换，\(H(p,q)=p\dot{q}-L(\dot{q},q)\)
(3) 正则方程，\(\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}\), \(\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q}\)
柱坐标，\(\dot{r}=\frac{P_r}{m}\), \(\dot{\theta}=\frac{P_{\theta}}{mr^2}\)
球坐标，\(P_r=m\dot{r}\), \(P_{\theta}=mr^2\dot{\theta}\), \(P_{\phi}=mr^2\sin^2\theta\dot{\phi}\)
对于Lagrange函数，\(L=\frac{1}{2}m\vec{v}^2+m\vec{v}\cdot(\vec{\Omega}\times\vec{r})+\frac{m}{2}(\vec{\Omega}\times\vec{r})^2-U(\vec{r})\)
广义动量，\(P=\frac{\partial L}{\partial \vec{v}}=m\vec{v}+m(\vec{\Omega}\times\vec{r})\), \(\vec{v}=\frac{\vec{P}}{m}-\vec{\Omega}\times \vec{r}\)
Hamiltonian函数，\(H=p\cdot{\vec{v}}-L=\frac{p^2}{2m}-m(\vec{\Omega}\times\vec{r})\cdot\vec{P}+U(\vec{r})\)
基于循环坐标的物理意义，Ross函数是介于L和H之间的形式，即只对部分坐标分量做勒让德变换，从而简化问题。
对于Ross函数，\(R(q, p, \xi, \dot{\xi})=p \dot{q}-L\)
它的全微分为，\(\mathrm{d} R=-\dot{p} \mathrm{~d} q+\dot{q} \mathrm{~d} p-\frac{\partial L}{\partial \xi} \mathrm{d} \xi-\frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}} \mathrm{d} \dot{\xi}\)
系统的能量为\(E=\dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}+\dot{\xi} \frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}}-L=p \dot{q}+\dot{\xi} \frac{\partial L}{\partial \dot{\xi}}-L=R-\dot{\xi} \frac{\partial R}{\partial \dot{\xi}}\)
(1) 定义
对于函数\(f(t,p,q)\), 利用链式法则展开成全微分，\(\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial q}\frac{dq}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dt}\)
再利用正则方程，代入化简，\(\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q}\)
定义Possion括号，表示一种代数结构(李括号，李代数)，\(\{f,g\}=\sum_i\{\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\}\)
(2) 运算方式
基于定义，显然有\(\{f,g\}=-\{g,f\}\), \(\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\{f,H\}\), \(\{q_i,q_j\}=0\), \(\{P_i,P_j\}=0\), \(\{q_i,P_j\}=\delta_{ij}\)
Possion括号有线性和双线性的结构，\(\{f_1+f_2,g\}=\{f_1,g\}+\{f_2,g\}\), \(\{f_1+f_2,g_1+g_2\}=\sum_{ij}\{f_i,g_j\}\)
还可以验证其他的性质，包括\(\{f_1f_2,g\}=f_1{f_2,g}+{f_1,g}f_2\), \(\frac{d}{dt}\{f,g\}=\{\frac{df}{dt},g\}+{f,\frac{dg}{dt}}\)
(3) Jacobi恒等式
\(\{f,\{g,h\}\}\)+轮换项\(=0\)
(4) 运动方程
如果\(f\)不显含时，则运动方程可以写作\(\frac{df}{dt}=\{f,H\}\), 即\(\frac{dp}{dt}=\{p,H\}\), \(\frac{dq}{dt}=\{q,H\}\), 如果\(f\)是守恒量，\(\{f,H\}=0\), 比如\(f=H^2\)
(5) 运算举例
对于角动量\(\vec{M}=\vec{r}\times\vec{P}\), \(\{M_x,P_x\}=0\), \(\{M_x,P_z\}=-P_y\), \(\{M_x,M_y\}=M_z\)
12.5 周三
- 内容回顾
(1) 变分法，利用达朗贝尔原理(虚功原理)，可以从Newton运动方程得到Lagrange方程。
(2) 利用勒让德变换，得到Lagrange函数的对偶函数Hamiltionian函数，并且利用Possion括号表示出正则方程。
(3) 正则方程是一阶微分方程，Lagrange方程是二阶微分方程。
(1) 作用量
定义作用量\(S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)dt\)
其中的广义坐标在不同的力学系统中含义不同，经典力学中\(q,\dot{q}\), 场论中\(\phi(x),\dot{\phi}(x)\), 电动力学中\(\vec{A}(x),\Lambda\times\vec{A}(x)\)
(2) 变分法
要求Lagrange函数满足，对于任意的\(\delta q\)，\(\delta S=\int \delta L dt\)趋于零。
作用量的变分为\(\delta S=\int\frac{\partial L}{\partial q}\delta qdt+\int\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta\dot{q}dt\)
利用\(\delta \dot{q}dt=d\delta q\), 得到\(\delta S=\int\frac{\partial L}{\partial q}\delta qdt+\int\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}}d\delta q\)
做积分变换\(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\delta q=d(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q)-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})\delta q dt\)
得到作用量的变分为\(\delta S=\int L[\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})]+p\delta q|_{t_1}^{t_2}\)
A，在固定起点和终点的情况下
得到Lagrange方程\(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0\)
B, 在固定起点，不固定终点的情况下
此时\(\delta S=0\)不再满足，但是中间过程不受影响，\(\delta S=p\delta q\)
\(\delta S\)必为\(q\)和\(t\)的函数，即\(\frac{\delta S}{\delta q}=\frac{\partial S}{\partial q}=p\), \(\frac{d S}{d t}=L\)
作用量对广义坐标的导数为广义动量，\(dS=pdq+\frac{\partial S}{\partial t}dt=Ldt\)
利用勒让德变换, \(H=p\dot{q}-L\), \(L=p\dot{q}-h\), 得到\((p\dot{q}-H)dt=pdq+\frac{\partial S}{\partial t}dt\), 化简得到\(H=-\frac{\partial H}{\partial t}\)
得到末尾发生变化的情况下，作用量的全微分为\(dS=p_2dq_2-H_2dt_2\), 2表示末端的时间编号。
C, 如果起点和终点都变化
作用量的全微分为\(dS=(p_2dq_2-H_2d_2)-(p_1dq_1-H_1dt_1)=dS_1-dS_2\), 对于保守系统，有\(S=\int_{t_1}^{t_2}pdq-E(t_2-t_1)\), 第一项与几何相有关，表示相空间体积的变化。
(1) 电动力学中的应用
Lagrange函数为\(L=(\frac{\partial \vec{A}}{\partial t})^2-c^2(\Lambda\times\vec{A})^2\)
对于矢势的变分\(\vec{A}\rightarrow\delta\vec{A}\)
\((\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\frac{\partial \delta\vec{A}}{\partial t})^2-(\frac{\partial \vec{A}}{\partial t})^2\)保留到一次变分项，得到\(\frac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2}\)
\((\Lambda\times\vec{A})(\Lambda\times\delta\vec{A})\sim\Lambda\times(\Lambda\times\vec{A})\)，得到电磁场的运动方程\(\frac{\partial^2\vec{A}}{\partial t^2}=c^2\Lambda\times(\Lambda\times\vec{A})\)
(2) 相对论问题中的应用
Lagrange函数为\(L=-mc^2\sqrt{1-\frac{\dot{\vec{r}}^2}{c^2}}-U(r)\)
(1) 计算悬链线方程。
(2) 自选参数计算电线对两侧柱子的压力。
12.9 周五
- 内容回顾
(1) 最小作用量原理，\(\delta S=0\)，\(S=\int Ldt=\int p\dot{q}dt-\int H dt\)
(2) 简约作用量，\(\int pdq=\int d(pq)-\int qdp=-\int qdp\)，表示相空间的体积积分，具有几何意义。
(1) \(I=\frac{1}{2\pi}\int pdq\)
(2) 在谐振子问题中，可以极大地简化问题，\(I=\frac{E}{\omega}\), \(\frac{\partial E}{\partial I}=\omega\)
(3) 对应的简约作用量，\(\delta S_0=0\)
哈密顿量\(H=H(p,q)=H(q,\frac{\partial }{\partial q})=-\frac{\partial S}{\partial t}\)
推导薛定愕方程，构建合适的波函数，\(\psi=e^{\frac{iS}{\hbar}}\), 代入Jacobi方程，\(H\psi=i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}\)
正则变量，\((Q_{\alpha},P_{\alpha})\)，满足和广义动量、广义坐标相同的泊松括号运算相同，\(\{Q_{\alpha},Q_{\alpha}\}=0\), \(\{P_{\alpha},P_{\beta}\}=\delta_{\alpha,\beta}\)
与广义坐标、广义动量满足相同代数结构的正则变量，最简单的是\(q^{\prime}=p, p^{\prime}=-q\)，对于Hamilton力学，广义动量和广义坐标没有区别(摘自Landau的力学)。
对于保守系统，可以给出广义的运动积分，也就是莫培督作用量原理。
系统的Lagrange函数为，\(L=\frac{1}{2}\sum_{ij}\alpha_{ij}(q)\dot{q}_i\dot{q}_j-U(q)\), 广义动量为\(P_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\sum_j\alpha_{ij}\dot{q}_j\),
系统的能量为\(E=\frac{1}{2}\sum_{ij}\alpha_{ij}\dot{q}_i\dot{q}_j+U(q)\), 变形得到\((dt)^2(E-U)=\frac{1}{2}\sum_{ij}\alpha_{ij}dq_idq_j\), \(dt=\sqrt{\frac{\sum_{ij}\alpha_{ij}dq_idq_j}{E-U}}\)
简约作用量为\(S_0=\sum_i\int P_idq_i=\int \alpha_{ij}\dot{q}_jdq_i=\frac{\int\alpha_{ij}dq_idq_j}{dt}\), 代入\(dt\)的表示，得到\(S_0=\int\sqrt{2(E-U\alpha_{ij})\alpha_{ij}dq_idq_j}\)
讨论，如果是单粒子，\(\alpha_{ij}=m\)，\(S_0=\int\sqrt{2m(E-U)}dl\), 如果外势为零，则\(S_0=\sqrt{2mE}\int dl\), 做直线运动。
Landau书,P148,习题。
12.16 周五
- 内容回顾
(1) Hamilton-Jacobi方程，\(\frac{\partial S}{\partial t}+H=0\)
(2) 正则变换，保持代数结构不变，并且表明在Hamilton力学中，广义坐标和广义动量具有同一性。
(3) 利用正则变换求解Hamilton-Jacobi方程，主要方法包括分离变量法。
(1) Newton运动方程, \(\vec{F}=m\vec{a}\)，求解二阶微分方程。
(2) Lagrange方程, \(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{\partial L}{\partial q}\)，求解二阶偏微分方程。
(3) Hamilton方程, 两个一阶微分方程。
(4) 正则变换，通过变换求解，技巧性强，数学中常用，物理中少见，正则变换求解过程非唯一。
处理问题的经验：任何方法，只是转移困难，而非完全消除困难。
前提：起点和终点固定，不含时。基本原理：利用循环坐标/守恒量分离变量。
作用量变分为\(d S=pdq-Hdt=S(q,t)\),Hamiltonia为\(H=H(q,p,t)\), 所以有\(\frac{\partial S}{\partial q}=p\), \(\frac{\partial S}{\partial t}=-H\), \(\frac{d S}{dt}=L\)
对应的Hamilton-Jacobi方程为\(\frac{\partial S}{\partial t}+H(q,\frac{\partial S}{\partial t},t)=0\)
求解这一类方程的步骤为，利用\(p=\frac{\partial S}{\partial t}\), \(\dot{p}=\frac{\partial }{\partial q}\frac{d S}{d t}=\frac{\partial L}{\partial q}\)将问题转化为求解一类非线性偏微分方程。
举例说明：对于单体谐振子系统，\(H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2q^2\), 对应方程\(\frac{1}{2m}(\frac{\partial S}{\partial q})^2+\frac{1}{2}m\omega^2q^2+\frac{\partial S}{\partial t}\)
对于保守系统，\(\frac{\partial S}{\partial t}=-E\)，\(\frac{\partial S}{\partial q}=\sqrt{2m(E-\frac{1}{2}m\omega^2q^2)}\), \(S=\int\sqrt{2m(E-U)}dq+const.\)
Hamilton-Jacobi方程简化为\(\frac{\partial H}{\partial q}=p\), \(\frac{\partial H}{\partial E}=-t+\int_{q_0}^{q}\frac{2mdq}{\sqrt{2m(E-U)}}=const.\)
(1) Landau书，P157，推导抛物坐标和椭球坐标的情况。
(2) Landau书，P159，习题1和2。
12.28 周三
- 求解H-J方程的实例
(1) 例1，\(H=\frac{p^2}{2m}\)
此时的正则动量为\(p=\frac{\partial S}{\partial q}\), 对应H-J方程为\(\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}(\frac{\partial S}{\partial q})^2=0\), 令\(S(q,t)=w(q)-Et\), 则\(E=\frac{1}{2m}(\frac{\partial w}{\partial q})^2\),
运动方程通过分离变量，简化为\(\frac{dw}{dq}=\sqrt{2mE}\), \(dw=\sqrt{2mE}dq\), \(w=\int\sqrt{2mE}dq+w_0\), \(S(q,t)=\int\sqrt{2mE}dq-Et+w_0\), 包含两个变量和两个积分常数。
推广，对于Hamilton函数\(H=\frac{p^2}{2m}+U(q)\), 作用量\(S=\int \sqrt{2m[E-U(q)]} dq-Et+w_0\)
\(\frac{\partial S}{\partial w_0}=1=const.\), \(\frac{\partial S}{\partial E}=-t+\int\frac{mdq}{\sqrt{2m(E-U)}}=const.\)
利用\frac{p^2}{2m}=E-U, 得到\(\frac{\partial S}{\partial E}=-t+\int\frac{mdq}{p}=-t+\int\frac{mdq}{mdq/dt}=-t+\int dt=const.\)
令\(\frac{\partial S}{\partial E}=t_0=-t+\int \frac{mdq}{\sqrt{2m(E-U)}}\), 即\(int\frac{mdq}{\sqrt{2m(E-U)}}=t+t_0\), 反解出\(q(t)\)，完成H-J方程的求解。
(2) 例2，\(H=\frac{1}{2m}(P_r^2+\frac{P_{\theta}^2}{r^2})+U(r)\), 参考Landau书，参考Landau书，P156
H-J方程为\(\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}[(\frac{\partial S}{\partial r})^2+\frac{1}{r^2}(\frac{\partial S}{\partial \theta})^2]+U(r)\), 令\(S=w_1(r)+w_2(r)-Et\)
\(w_2=J\theta\), \(\frac{\partial w_2}{\partial theta}=P_{\theta}=J\), 对应角动量守恒。
运动方程通过循环坐标化简，得到\(\frac{1}{2m}[(\frac{\partial w_1}{\partial r})^2+\frac{J^2}{r^2}]=E-U\), \(w_1=\int\sqrt{2m(E-U)-\frac{J^2}{2m}}dr\)
作用量为\(S=\int\sqrt{2m(E-U)-\frac{J^2}{r^2}}+J\theta-Et+w_0\), \(\frac{\partial S}{\partial w_0}=1\), \(\frac{\partial S}{\partial E}=t_0=const.\), \(\frac{\partial S}{\partial J}=\theta+\int\frac{dr}{\sqrt{2m(E-U)}-J^2/r^2}-\frac{J^2}{r^2}=const.\)
新的常数可以从角动量守恒证明，代入反解\(q(t)\)，完成求解H-J方程。
(1) \(S=S(q,t|\alpha)\)
(2) \(\frac{\partial S}{\partial \alpha_i}=\beta_i=const.\)
(3) 完成求解。
讨论1：\(\beta_i\)的物理意义，\(\frac{\partial S}{\partial E}=\beta_1=-t+\int dt=t_0\)，代表初始时间。\(\frac{\partial S}{\partial J}=\beta_2=\theta-\int d\theta=\theta_0\)，表示初始相位。
讨论2: 是否一定可以用这套流程求解？可以。总是存在一组正则变换，得到常数\(\beta_i\)
12.30 周五
- 内容回顾
(1) 绝热不变量\(I=\frac{1}{2\pi}\int p dq\)，也称为简约作用量。
(2) 勒让德变换, \(H(q,p)=p\dot{q}-L(q,\dot{q})\), \(L=p\dot{q}-H\)，求对偶量的常用方法。
在含有缓变参数的系统运动过程(绝热过程)中保持不变的这个量称为绝热不变量。
在一个运动周期\(T\)中，参量\(\lambda\)变化很小，系统的能量\(E=E(q,p,\lambda)\)
\(\frac{d E}{dt}=\frac{\partial E}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial E}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial E}{\partial \lambda}(\frac{d\lambda}{dt})\)
\(\frac{dE}{dt}=\frac{\partial E}{\partial \lambda}\frac{d\lambda}{dt}=\frac{\partial H}{\partial \lambda}\frac{d\lambda}{dt}\), 其中\(T\frac{d\lambda}{dt}\ll\lambda\)
在一个周期内做平均，\(\frac{\overline{\mathrm{d} E}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} t} \frac{\overline{\partial H}}{\partial \lambda}\)
显式地写出平均，\(\frac{\overline{\partial H}}{\partial \lambda}=\frac{1}{T} \int_0^T \frac{\partial H}{\partial \lambda} \mathrm{d} t\)
利用\(\mathrm{d} t=\frac{\mathrm{d} q}{\partial H / \partial p}\)，\(T=\int_0^T \mathrm{~d} t=\oint \frac{\mathrm{d} q}{\partial H / \partial p}\)
得到\(\frac{\overline{\mathrm{d} E}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} t} \frac{\oint \frac{\partial H / \partial \lambda}{\partial H / \partial p} \mathrm{~d} q}{\oint \frac{\mathrm{d} q}{\partial H / \partial p}}\)
由于在周期过程中\(\lambda\)对系统能量的影响微弱，可以近似认为\(\frac{\partial H}{\partial \lambda}+\frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial \lambda}=0\)
代入，得到\(\frac{\overline{\mathrm{d} E}}{\mathrm{~d} t}=-\frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} t} \frac{\oint \frac{\partial p}{\partial \lambda} \mathrm{d} q}{\oint \frac{\partial p}{\partial E} \mathrm{~d} q}\)
化简，得到\(\oint\left(\frac{\partial p}{\partial E} \frac{\overline{\mathrm{d} E}}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial p}{\partial \lambda} \frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} t}\right) \mathrm{d} q=0\)
或者写成\(\frac{\overline{\mathrm{d} I}}{\mathrm{~d} t}=0\), \(I\)为沿着\(E\), \(\lambda\)给定的运动积分，即\(I=\frac{1}{2\pi}\int p dq\)
对能量的导数给出运动周期\(2 \pi \frac{\partial I}{\partial E}=\oint \frac{\partial p}{\partial E} \mathrm{~d} q=T\), 即\(\frac{\partial E}{\partial I}=\omega\)
做正则变换，最小作用量原理会生成母函数。
\(\delta S=0=\delta(\int pdq-Hdt)=\delta(\int PdQ-H^{\prime}dt)\), \(\delta[\int pdq-PdQ-(H-H^{\prime})]=0\)
\(pdq-PdQ-(H-H^{\prime})dt=dF\), \(\delta \int dF=0\), \(F=F(t,q,H)\), 称为Hamilton母函数。
\(p=\frac{\partial F}{\partial q}\), \(P=-\frac{\partial F}{\partial Q}\), \(H^{\prime}-H=\frac{\partial F}{\partial t}\)
\(H^{\prime}=H+\frac{\partial F}{\partial t}=0\), \(H=H(q,p,t)\), \(H^{\prime}=H^{\prime}(Q,P,t)\)
可以生成四个母函数，\(F_1(q,Q)\), \(F_2(q,P)\), \(F_3(p,Q)\), \(F_4(p,P)\)
其中\(dF_1=pdq-PdQ-(H-H^{\prime})dt\), 利用\(d(PQ)=0=PdQ+QdP\), 得到\(dF_2=pdq+QdP-(H-H^{\prime})dt=d(F_1+PQ)\), 即\(F_2=F_2(q,P,t)\)
应用，热力学中的Maxwell关系。