简介

“知识手册”旨在收集关于NMR的各方面的基础的理论知识、实验方法、技术细节等等；为了让新来的同学更快地入门NMR，也为了让大家更方便快捷地查阅到相关知识点。手册的编写要遵循如下几个原则：

基于中文、语言平实；

追根溯源、夯实基础；

……待补……

该手册的攥写既不缺时间也不缺人手，可以慢工细活，保证质量。只要能够集思广益，每人不定期地贡献一点内容即可。

NMR简介

NMR……

量子层析技术

贡献人：xxx

Quantum tomography

基本原理

实验方法

关于“熵”

请输入标题

熵的原始内涵

熵的原始定义是系统的微观状态数，不论是玻尔兹曼熵，香农熵还是冯诺依曼熵都离不开这个本来的内涵。什么是微观状态数？我们拿硬币来举个例子，说明什么是“微观状态”，什么又是“宏观状态” 。假如我们有四个硬币，定义正面朝上为0，背面朝上为1，我们不区分硬币之间的区别（即认为是全同的硬币）。考虑一个0，剩余三个都是1的情况，这就是一种“宏观状态”，这种宏观状态对应四种可能性 \begin{equation*} \left(0111, 1011, 1101, 1110\right) \end{equation*} 这四种可能的状态就是“一个0，三个1”的宏观状态对应的微观状态，则此宏观状态对应的微观状态数就是4个。进一步我们可以发现，微观状态数最多的宏观状态是“两个0，两个1”，对应的微观状态数是$C_{4}^{2}=6$个。这也是为什么随机抛四枚硬币最有可能出现的情况就是“两个0，两个1”，因为它对应的微观状态数最多。这也浅显地说明了孤立系统总是往熵增大的状态发展的缘由——因为熵最大的态就是对应着微观状态数最多的态。另一方面，熵也用来度量不确定度，如果一个宏观状态数对应的微观状态数越多，那么这个宏观状态的不确定度就越大。

广延性

为什么熵的定义要对微观状态数取对数。这是为了保证不同的两个系统混合之后的熵可以简单地表示为两个子系统的熵的相加（即保证了熵是广延量）。拿两个双值系统$A$和$B$来举例子，$A$系统有两种宏观状态$A_{0}$和$A_{1}$，$B$系统也有两种宏观状态$B_{0}$和$B_{1}$。各自的宏观状态对应的微观状态数分别为$N\left(A_{0}\right) $、$N\left( A_{1}\right) $和$N\left(B_{0}\right) $、$N\left( B_{1}\right) $。则分开看待两个系统，各自的微观状态数分别为 \begin{equation*} \begin{aligned} \Omega _{A}=&N\left( A_{0}\right) +N\left( A_{1}\right) \\ \Omega _{B}=&N\left( B_{0}\right) +N\left( B_{1}\right) \end{aligned} \end{equation*} 当把两系统合并之后的新系统$C=\left( A,B\right) $，有四个宏观状态$\left( A_{0},B_{0}\right) $、$\left( A_{0},B_{1}\right) $、$\left( A_{1},B_{0}\right) $、$\left( A_{1},B_{1}\right) $。各自对应的微观状态数分别为 \begin{equation*} \begin{aligned} N\left( A_{0},B_{0}\right)=&N\left( A_{0}\right) N\left( B_{0}\right) \\ N\left( A_{0},B_{1}\right)=&N\left( A_{0}\right) N\left( B_{1}\right) \\ N\left( A_{1},B_{0}\right)=&N\left( A_{1}\right) N\left( B_{0}\right) \\ N\left( A_{1},B_{1}\right)=&N\left( A_{1}\right) N\left( B_{1}\right) \end{aligned} \end{equation*} 新系统的微观状态数为 \begin{equation*} \begin{aligned} \Omega _{AB}=&\sum_{i,j=0,1}N\left( A_{i}\right) N\left( B_{j}\right) \\ =&\left[ N\left( A_{0}\right) +N\left( A_{1}\right) \right] \left[ N\left( B_{0}\right) +N\left( B_{1}\right) \right] \\ =&\Omega _{A}\Omega _{B} \end{aligned} \end{equation*} 即说明总系统的微观状态数等于各子系统微观状态数的乘积，取对数后 \begin{equation*} \log \Omega _{AB}=\log \Omega _{A}+\log \Omega _{B} \end{equation*} 我们把取对数之后的物理量定义为熵，这样一来熵就有了广延性。

香农熵和传统熵

香农熵（信息熵）理论中定义了信息量的概念，观测随机变量$A$得到结果$a_{1}$，此过程中得到的信息量为 \begin{equation*} I\left( a_{1}\right) =-\log P\left( a_{1}\right) \end{equation*} 假如随机变量$A$有$n$种可能的结果$a_{1},a_{2}...a_{n}$，则观测随机变量$A$得到的信息量的期望值是 \begin{equation*} E\left( A\right) =-\sum_{i=1}^{n}P\left( a_{i}\right) \log P\left( a_{i}\right) \end{equation*} 这就是香农熵的定义。信息熵和传统的联系可以结合如下例子来理解。假如某人随机取一个$1-100$的自然数让我们猜，我们面对的就是一个不确定度为$\log 100$的随机系统；后来对方告诉我们这个数是奇数，则系统的不确定度降低至$\log 50$。系统的不确定度降低的原因在于对方给与了相关信息，把对方提供的信息量定义为前后系统不确定度的差 \begin{equation*} I=\log 100-\log 50=\log 2 \end{equation*} 再进一步，对方将$1-N$的自然数分成了$n$组，分组规则也告诉了我们，第$i$组有$N_{i}$个数，则有$N=\sum_{i=1}^{n}N_{i}$。当对方不告诉我们手上的数字在哪个分组的时候，则我们面对的系统的混合度是$\log N$；后来对方告诉了我们被猜数字属于第$i$组，这样就知道要在第$i$组的$N_{i}$个数中去猜测，不确定度变为$\log N_{i}$。 “被猜数字属于第$i$组”这样一句话带来的信息量就是两次不确定度的差： \begin{equation*} I_{i}=\log N-\log N_{i} \end{equation*} 考虑到对方选取数字的随机性，他给我们提供的“被猜数字属于哪一组” 的信息也是随机的，即“被猜数字属于第$i$组”的可能性是$P_{i}=\frac{N_{i}}{N}$。于是我们从他那里得到的的信息量的期望值就可以表示为 \begin{equation*} \begin{aligned} E\left( I\right)=&\sum_{i=1}^{n}P_{i}I_{i} \\ =&\sum_{i=1}^{n}P_{i}\left( \log N-\log N_{i}\right) \\ =&\sum_{i=1}^{n}P_{i}\log \frac{N}{N_{i}} \\ =&-\sum_{i=1}^{n}P_{i}\log P_{i} \end{aligned} \end{equation*} 这就是香农熵的表示。同理从测量的角度来看，香农熵就可以理解成我们对一个随即系统测量得到的信息量的期望值。推广到量子力学中可以用密度矩阵$\rho $来代替概率分布$p_{i}$，相应的信息量的期望值可以写为 \begin{equation*} -\Tr\left( \rho \ln \rho \right) \end{equation*} 这也就是著名的von Neumann熵。

线性熵

线性熵(linear entropy)定义为 \begin{equation*} S_{L}=1-\Tr\left( \rho ^{2}\right) \end{equation*} 其中$\rho $表示量子态的密度矩阵。线性熵有如下的性质：$0\leq S_{L}\leq \left( 1-1/d\right) $，$S_{L}$取最小值的时候表示纯态，取最大值的时候表示最大混合态。其中$d$表示密度矩阵的维数。 von Neumann熵的表达式为 \begin{equation*} S=-\Tr\left(\rho\ln\rho\right) =-\left\langle\ln\rho\right\rangle \end{equation*} 对数函数$\ln \rho $可以展开为 \begin{equation*} \ln \rho =\left(\rho-1\right) -\frac{\left(\rho-1\right) ^{2}}{2}+\frac{\left( \rho-1\right) ^{3}}{3}-\cdots \end{equation*} 或者写成 \begin{equation*} -\ln\rho =\left(1-\rho \right) +\frac{\left(1-\rho \right) ^{2}}{2}+\frac{\left( 1-\rho \right)^{3}}{3}+\cdots \end{equation*} 关于矩阵级数$A_{k}$的收敛于$A$条件是，$A_{k}-A$的范数收敛于$0$ \begin{equation*} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert A_{k}-A\right\Vert=0 \end{equation*} 不考虑简并的情形，这里的$1-\rho$总可以相似对角化成$\mathrm{diag}\left\{1-p_{i}\right\} $，因为$\left\vert 1-p_{i}\right\vert < 1$，所以上面的级数是收敛的。于是研究von Neumann熵的时候可以取其一阶近似的表示 \begin{equation*} \begin{aligned} S=&-Tr\left( \rho \ln \rho \right) \\ \approx &Tr\rho \left( 1-\rho \right) \\=&1-Tr\rho ^{2} \end{aligned} \end{equation*} 也就是所谓的线性熵。 \subsection{衡量不确定度是否必须要取对数？} 这个问题是这篇调研探讨的核心，取对数在不确定度甚至信息量的衡量上是否是必要的？前面说到取对数是为了保证熵是一个广延量，如果我们不在乎系统是否满足广延性，我们的模型中也不涉及到子系统（即从头到尾一直研究整体系统）。我们在探讨不确定度和信息量的时候，是否可以放弃取对数？回到之前关于信息量的定义上，之前把不确定度定义为$\log N_{i}$，把信息量定义为获取信息前后系统的不确定度之差$\log N-\log N_{i}$。若是放弃对数，则不确定度直接表示成$N_{i}$，则信息量定义为 \begin{equation*} I_{i}=N-N_{i} \end{equation*} 接着有信息量的期望值为 \begin{equation*} \begin{aligned} E\left(I\right)=&\sum_{i=1}^{n}P_{i}I_{i} \\=&\sum_{i=1}^{n}P_{i}\left( N-N_{i}\right) \\=&N\left( 1-\sum_{i=1}^{n}P_{i}^{2}\right) \end{aligned} \end{equation*} $N$是一个跟系统有关的量，系统确定了$N$也就确定了，于是可以隐藏这个因子，取 \begin{equation*} S=\frac{E\left( I\right) }{N}=1-\sum_{i=1}^{n}P_{i}^{2} \end{equation*} 推广到量子力学中用密度矩阵表示就是 \begin{equation*} S=1-Tr\rho ^{2} \end{equation*} 于是我们从另一个出发点得到了线性熵，也就是说线性熵不仅仅可以看作von Neumann熵的线性近似，也可以看作放弃了对数函数的前提下对熵（或不确定度）的合理度量。当然这种度量是有条件的，对于熵形式的度量我们可以把两个独立子系统的信息熵相加后得到整体系统的信息熵，因为如下推导是成立的 \begin{equation*} \begin{aligned} -\sum_{i,j=1}^{n}\left( P_{i}P_{j}\right) \log \left( P_{i}P_{j}\right)=&-\left( \sum_{i,j=1}^{n}P_{i}P_{j}\log P_{i}+\sum_{i,j=1}^{n}P_{i}P_{j}\log P_{j}\right) \\=&-\sum_{i=1}^{n}P_{i}\log P_{i}-\sum_{j=1}^{n}P_{j}\log P_{j} \end{aligned} \end{equation*} 然而这种可加性对于线性熵显然就不成立了，我们只能用$1-\sum_{i,j=1}^{n}\left( P_{i}P_{j}\right) ^{2}$来表示整体的信息熵。后续内容待定…… \section{混合态的纯化} 参考Wikipedia词条：Purification of quantum state。任何一个有限维希尔伯特空间混合态都可以看成是某个纯态的reduced state（约化态，即纯态密度矩阵的部分迹）。具体表述：令$ \rho $为$ n $维（有限维）希尔伯特空间$ H_{A} $上的密度矩阵；则可以构建另一个希尔伯特空间$ H_{B} $，在数学上该空间可以不必有任何物理意义，但是纯化是一个物理的过程，则$ H_{B} $常常对应于一个有具体意义的物理空间，比如说环境。则存在纯态$ \ket{\psi}\in H_{A}\otimes H_{B} $，且有 \begin{equation*} \rho=\Tr_{B}\ketbra{\psi}{\psi} \end{equation*} 我们说$ \psi $是密度矩阵$ \rho $的纯化。【证明】密度矩阵是半正定的（positive semidefinite）所以$ \rho $可以在某个基底$ \left\{\ket{i}\right\} $下对角化为 \begin{equation*} \rho=\sum_{i=1}^{n}p_{i}\ketbra{i}{i} \end{equation*} 令$ H_{B} $为另一个$ n $维的希尔伯特空间，其中有一组标准正交的基$ \left\{\ket{i^{\prime}}\right\} $，定义$ \ket{\psi}\in H_{A}\otimes H_{B} $为如下形式(Schmidt decomposition) \begin{equation*} \ket{\psi}=\sum_{i}\sqrt{p_{i}}\ket{i}\otimes\ket{i^{\prime}} \end{equation*} 于是直接有 \begin{equation*} \begin{aligned} \Tr_{B}\left(\ketbra{\psi}{\psi}\right)&=\Tr_{B}\left[\left(\sum_{i}\sqrt{p_{i}}\ket{i}\otimes\ket{i^{\prime}}\right)\left(\sum_{j}\sqrt{p_{j}}\bra{j}\otimes\bra{j^{\prime}}\right)\right]\\ &=\Tr_{B}\left(\sum_{i,j}\sqrt{p_{i}p_{j}}\ketbra{i}{j}\otimes\ketbra{i^{\prime}}{j^{\prime}}\right)\\ &=\sum_{i,j}\delta_{ij}\sqrt{p_{i}p_{j}}\ketbra{i}{j}\\ &=\rho \end{aligned} \end{equation*}

一个例子

Jordan-Wigner transformation

贡献人：wz

首先做如下的自旋态$ \mapsto $ 费米子Fock态的对应 \begin{equation*} \ket{\downarrow }\mapsto\ket{0},\qquad \ket{\uparrow }\mapsto\ket{1}=b^{\dagger}\ket{0} \end{equation*} 这很别扭，因为我们一般的``quantum-information standard"表示自旋qubit \begin{equation*} \ket{\uparrow }=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}=\ket{0},\qquad\ket{\downarrow }=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}=\ket{1} \end{equation*} 不过我们先不管这个，此后凡是出现$ \ket{i} $都是Fock态。先来看看费米子情形，在占有数表象下，费米子的Fock态 \begin{equation*} \ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{l}\cdots},\qquad n_{i}\in\left\{0,1\right\} \end{equation*} 意味着不可能存在两个全同费米子处于同一个态上面。费米子的产生湮灭算符需要满足the canonical commutation relations (CCRs) for Fermions \begin{equation*} \left\{b_{j},b_{k}^{\dagger}\right\}=\delta_{jk}\mathbb{I},\qquad \left\{b_{j},b_{k}\right\}=0,\qquad \left\{b_{j}^{\dagger},b_{k}^{\dagger}\right\}=0 \end{equation*} 这意味着不同粒子（下标）对应的升降算符交换后会出现一个负号。产生算符作用在真空态$ \ket{\Omega}\equiv\ket{00\cdots 0} $上面能够得到任何一个Fock态中的矢量 \begin{equation*} \ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}}=\left(b^{\dagger}_{1}\right)^{n_{1}}\left(b^{\dagger}_{2}\right)^{n_{2}}\cdots\left(b^{\dagger}_{k}\right)^{n_{k}}\ket{00\cdots 0} \end{equation*} 显然单个产生算符作用在真空态上就是把对应下标处的0变成1 \begin{equation*} b^{\dagger}_{j}\ket{00\cdots 0}=\ket{00\cdots 1_{j}\cdots 0} \end{equation*} 再来看这个Jordan-Wigner transformation，按照上面的讨论 \begin{equation*} b_{1}\mapsto\frac{\sigma_{1}^{x}-\ii\sigma_{1}^{y}}{2}\equiv\sigma^{-}_{1},\qquad b_{1}^{\dagger}\mapsto\frac{\sigma_{1}^{x}+\ii\sigma_{1}^{y}}{2}\equiv\sigma^{+}_{1} \end{equation*} 这是对第一个费米子的产生湮灭算符 \begin{equation*} b_{1}^{\dagger}\ket{00\cdots 0}=\ket{10\cdots 0} \end{equation*} 第二个就不是简单地把下标换掉了，考虑到一个简单的例子 \begin{equation*} b_{2}^{\dagger}\ket{10\cdots 0}=b_{2}^{\dagger}b_{1}^{\dagger}\ket{00\cdots 0}=-b_{1}^{\dagger}b_{2}^{\dagger}\ket{00\cdots 0}=-\ket{110\cdots 0} \end{equation*} 也就是说$ b_{j} $作用在$ \ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}} $上如下 \begin{equation*} b_{j}^{\dagger}\ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}}=b_{j}^{\dagger}\left(b^{\dagger}_{1}\right)^{n_{1}}\left(b^{\dagger}_{2}\right)^{n_{2}}\cdots\left(b^{\dagger}_{k}\right)^{n_{k}}\ket{00\cdots 0} \end{equation*} $ b_{j}^{\dagger} $的位置只有跟下标一致的时候才能作用到对应的态上面，于是$ b_{j}^{\dagger} $要经过前面一系列“拦路劫富（负）”的$ \left(b_{1}^{\dagger}\right)^{n_{1}}\cdots \left(b_{j-1}^{\dagger}\right)^{n_{j-1}} $，每经过一个就意味着交换一次出来一个负号。于是有一般的产生关系 \begin{equation*} b^{\dagger}_{j}\ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}}=\left(-1\right)^{S\left(j\right)}\ket{n_{1}\cdots\left(n_{j}+1\right)\cdots n_{k}} \end{equation*} 其中$ S\left(j\right)=\sum_{i=1}^{j-1}n_{i} $，当然这里要求$ n_{j}=0 $，否则就会出现$ \left(b^{\dagger}_{j}\right)^{2} $项，该项为零。同样的，湮灭关系 \begin{equation*} b_{j}\ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}}=\left(-1\right)^{S\left(j\right)}\ket{n_{1}\cdots\left(n_{j}-1\right)\cdots n_{k}} \end{equation*} 同样$ S\left(j\right)=\sum_{i=1}^{j-1}n_{i} $，且要求$ n_{j}=1 $。那一般的Jordan-Wigner transformation就可以写为 \begin{equation*} b_{j}=\left[\otimes_{i=1}^{j-1}\left(-\sigma_{i}^{z}\right)\right]\otimes\frac{\sigma_{j}^{x}-\ii\sigma_{j}^{y}}{2},\qquad b_{j}^{\dagger}=\left[\otimes_{i=1}^{j-1}\left(-\sigma_{i}^{z}\right)\right]\otimes\frac{\sigma_{j}^{x}+\ii\sigma_{j}^{y}}{2} \end{equation*} 这里之所以是$ -\sigma_{i}^{z} $就是因为一开始的那个别扭的对应关系导致 \begin{equation} \sigma_{i}^{z}\ket{0}=-\ket{0},\quad \sigma_{i}^{z}\ket{1}=\ket{1}\tag{1}\label{1} \end{equation} 而我们需要的是一个经过一个占有费米子出现一个负号。它的反变换为 \begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{j}^{z}&=2b_{j}^{\dagger}b_{j}-1\\ \sigma_{j}^{+}&=\left[\otimes_{i=1}^{j-1}\left(1-2b_{j}^{\dagger}b_{j}\right)\right]b_{j}^{\dagger}\\ \sigma_{j}^{-}&=\left[\otimes_{i=1}^{j-1}\left(1-2b_{j}^{\dagger}b_{j}\right)\right]b_{j} \end{aligned} \end{equation} 以上就是Jordan-Wigner变换的主要内容。\ref{1}

Holstein-Primakoff transformation

自旋体系下选择$ S^{2} $和$ S_{z} $作为一组完备的力学量，则对应本征态$ \ket{s,m} $，$ s,m $分别标记两个力学量的量子数，则有 \begin{equation*} \begin{aligned} S^{2}\ket{s,m}&=\hbar^{2}s\left(s+1\right)\ket{s,m}\\ S_{z}\ket{s,m}&=\hbar m\ket{s,m} \end{aligned} \end{equation*} 其中$ m $的取值为$ -s,-s+1,\cdots,s-1,s $。考虑一个自旋$ s $的N-粒子态，处于最大投影态（maximal projection）$ \ket{s,m=+s} $上，在$ z $方向的外磁场中有着最小的能量，将这个态对应到一组玻色子的基态$ \ket{0}_{B} $。而低投影态$ \ket{s,s-n} $则看作是玻色子的激发态，即有如下的对应关系 \begin{equation*} \ket{s,s-n}\mapsto \frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^{\dagger}\right)^{n}\ket{0}_{B}=\ket{n}_{B} \end{equation*} 这里的$ n $也叫做“自旋偏离量子数”（李正中《固体理论》），对应到玻色体系上意味着每增加一个玻色子对应着自旋投影减少一个$ \hbar $。自旋升降算符 \begin{equation*} S_{+}=S_{x}+\ii S_{y},\qquad S_{-}=S_{x}-\ii S_{y} \end{equation*} 满足对易关系 \begin{equation*} \left[S_{+},S_{-}\right]=2\hbar S_{z} \end{equation*} 自旋升降算符作用在$ \ket{s,m} $上有如下关系 \begin{equation*} \begin{aligned} S_{+}\ket{s,m}&=\sqrt{\left(s-m\right)\left(s+m+1\right)}\hbar\ket{s,m+1}\\ S_{-}\ket{s,m}&=\sqrt{\left(s+m\right)\left(s-m+1\right)}\hbar\ket{s,m-1} \end{aligned} \end{equation*} 相当于作用在$ \ket{s,s-n} $上如下的关系 \begin{equation*} \begin{aligned} S_{+}\ket{s,s-n}&=\sqrt{2s-\left(n-1\right)}\sqrt{n}\hbar\ket{s,s-\left(n-1\right)}\\ S_{-}\ket{s,s-n}&=\sqrt{2s-n}\sqrt{n+1}\hbar\ket{s,s-\left(n+1\right)} \end{aligned} \end{equation*} 对比产生湮灭算符作用在玻色子本征态上 \begin{equation*} \begin{aligned} a\ket{n}&=\sqrt{n}\ket{n-1}\\ a^{\dagger}\ket{n}&=\sqrt{n+1}\ket{n+1} \end{aligned} \end{equation*} 以及粒子数算符 \begin{equation*} \hat{N}\ket{n}=a^{\dagger}a\ket{n}=n\ket{n} \end{equation*} 根据上面这些关系得出自旋升降算符跟产生湮灭算符的对应关系 \begin{equation*} \begin{aligned} S_{+}&=\left(\sqrt{2s-a^{\dagger}a}\right)a\\ S_{-}&=a^{\dagger}\left(\sqrt{2s-a^{\dagger}a}\right)\\ S_{z}&=\left(s-a^{\dagger}a\right) \end{aligned} \end{equation*} 可以发现根号下非负的要求限制了玻色子的个数$ n\leq 2s $。

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	简介 “知识手册”旨在收集关于NMR的各方面的基础的理论知识、实验方法、技术细节等等；为了让新来的同学更快地入门NMR，也为了让大家更方便快捷地查阅到相关知识点。手册的编写要遵循如下几个原则：基于中文、语言平实；追根溯源、夯实基础； ……待补…… 该手册的攥写既不缺时间也不缺人手，可以慢工细活，保证质量。只要能够集思广益，每人不定期地贡献一点内容即可。 NMR简介 NMR…… 量子层析技术贡献人：xxx Quantum tomography 基本原理实验方法关于“熵” 请输入标题熵的原始内涵熵的原始定义是系统的微观状态数，不论是玻尔兹曼熵，香农熵还是冯诺依曼熵都离不开这个本来的内涵。什么是微观状态数？我们拿硬币来举个例子，说明什么是“微观状态”，什么又是“宏观状态” 。假如我们有四个硬币，定义正面朝上为0，背面朝上为1，我们不区分硬币之间的区别（即认为是全同的硬币）。考虑一个0，剩余三个都是1的情况，这就是一种“宏观状态”，这种宏观状态对应四种可能性 \begin{equation} \left(0111, 1011, 1101, 1110\right) \end{equation} 这四种可能的状态就是“一个0，三个1”的宏观状态对应的微观状态，则此宏观状态对应的微观状态数就是4个。进一步我们可以发现，微观状态数最多的宏观状态是“两个0，两个1”，对应的微观状态数是$C_{4}^{2}=6$个。这也是为什么随机抛四枚硬币最有可能出现的情况就是“两个0，两个1”，因为它对应的微观状态数最多。这也浅显地说明了孤立系统总是往熵增大的状态发展的缘由——因为熵最大的态就是对应着微观状态数最多的态。另一方面，熵也用来度量不确定度，如果一个宏观状态数对应的微观状态数越多，那么这个宏观状态的不确定度就越大。广延性为什么熵的定义要对微观状态数取对数。这是为了保证不同的两个系统混合之后的熵可以简单地表示为两个子系统的熵的相加（即保证了熵是广延量）。拿两个双值系统$A$和$B$来举例子，$A$系统有两种宏观状态$A_{0}$和$A_{1}$，$B$系统也有两种宏观状态$B_{0}$和$B_{1}$。各自的宏观状态对应的微观状态数分别为$N\left(A_{0}\right) $、$N\left( A_{1}\right) $和$N\left(B_{0}\right) $、$N\left( B_{1}\right) $。则分开看待两个系统，各自的微观状态数分别为 \begin{equation} \begin{aligned} \Omega _{A}=&N\left( A_{0}\right) +N\left( A_{1}\right) \\ \Omega _{B}=&N\left( B_{0}\right) +N\left( B_{1}\right) \end{aligned} \end{equation} 当把两系统合并之后的新系统$C=\left( A,B\right) $，有四个宏观状态$\left( A_{0},B_{0}\right) $、$\left( A_{0},B_{1}\right) $、$\left( A_{1},B_{0}\right) $、$\left( A_{1},B_{1}\right) $。各自对应的微观状态数分别为 \begin{equation} \begin{aligned} N\left( A_{0},B_{0}\right)=&N\left( A_{0}\right) N\left( B_{0}\right) \\ N\left( A_{0},B_{1}\right)=&N\left( A_{0}\right) N\left( B_{1}\right) \\ N\left( A_{1},B_{0}\right)=&N\left( A_{1}\right) N\left( B_{0}\right) \\ N\left( A_{1},B_{1}\right)=&N\left( A_{1}\right) N\left( B_{1}\right) \end{aligned} \end{equation} 新系统的微观状态数为 \begin{equation} \begin{aligned} \Omega _{AB}=&\sum_{i,j=0,1}N\left( A_{i}\right) N\left( B_{j}\right) \\ =&\left[ N\left( A_{0}\right) +N\left( A_{1}\right) \right] \left[ N\left( B_{0}\right) +N\left( B_{1}\right) \right] \\ =&\Omega _{A}\Omega _{B} \end{aligned} \end{equation} 即说明总系统的微观状态数等于各子系统微观状态数的乘积，取对数后 \begin{equation} \log \Omega _{AB}=\log \Omega _{A}+\log \Omega _{B} \end{equation} 我们把取对数之后的物理量定义为熵，这样一来熵就有了广延性。香农熵和传统熵香农熵（信息熵）理论中定义了信息量的概念，观测随机变量$A$得到结果$a_{1}$，此过程中得到的信息量为 \begin{equation} I\left( a_{1}\right) =-\log P\left( a_{1}\right) \end{equation} 假如随机变量$A$有$n$种可能的结果$a_{1},a_{2}...a_{n}$，则观测随机变量$A$得到的信息量的期望值是 \begin{equation} E\left( A\right) =-\sum_{i=1}^{n}P\left( a_{i}\right) \log P\left( a_{i}\right) \end{equation} 这就是香农熵的定义。信息熵和传统的联系可以结合如下例子来理解。假如某人随机取一个$1-100$的自然数让我们猜，我们面对的就是一个不确定度为$\log 100$的随机系统；后来对方告诉我们这个数是奇数，则系统的不确定度降低至$\log 50$。系统的不确定度降低的原因在于对方给与了相关信息，把对方提供的信息量定义为前后系统不确定度的差 \begin{equation} I=\log 100-\log 50=\log 2 \end{equation} 再进一步，对方将$1-N$的自然数分成了$n$组，分组规则也告诉了我们，第$i$组有$N_{i}$个数，则有$N=\sum_{i=1}^{n}N_{i}$。当对方不告诉我们手上的数字在哪个分组的时候，则我们面对的系统的混合度是$\log N$；后来对方告诉了我们被猜数字属于第$i$组，这样就知道要在第$i$组的$N_{i}$个数中去猜测，不确定度变为$\log N_{i}$。 “被猜数字属于第$i$组”这样一句话带来的信息量就是两次不确定度的差： \begin{equation} I_{i}=\log N-\log N_{i} \end{equation} 考虑到对方选取数字的随机性，他给我们提供的“被猜数字属于哪一组” 的信息也是随机的，即“被猜数字属于第$i$组”的可能性是$P_{i}=\frac{N_{i}}{N}$。于是我们从他那里得到的的信息量的期望值就可以表示为 \begin{equation} \begin{aligned} E\left( I\right)=&\sum_{i=1}^{n}P_{i}I_{i} \\ =&\sum_{i=1}^{n}P_{i}\left( \log N-\log N_{i}\right) \\ =&\sum_{i=1}^{n}P_{i}\log \frac{N}{N_{i}} \\ =&-\sum_{i=1}^{n}P_{i}\log P_{i} \end{aligned} \end{equation} 这就是香农熵的表示。同理从测量的角度来看，香农熵就可以理解成我们对一个随即系统测量得到的信息量的期望值。推广到量子力学中可以用密度矩阵$\rho $来代替概率分布$p_{i}$，相应的信息量的期望值可以写为 \begin{equation} -\Tr\left( \rho \ln \rho \right) \end{equation} 这也就是著名的von Neumann熵。线性熵线性熵(linear entropy)定义为 \begin{equation} S_{L}=1-\Tr\left( \rho ^{2}\right) \end{equation} 其中$\rho $表示量子态的密度矩阵。线性熵有如下的性质：$0\leq S_{L}\leq \left( 1-1/d\right) $，$S_{L}$取最小值的时候表示纯态，取最大值的时候表示最大混合态。其中$d$表示密度矩阵的维数。 von Neumann熵的表达式为 \begin{equation} S=-\Tr\left(\rho\ln\rho\right) =-\left\langle\ln\rho\right\rangle \end{equation} 对数函数$\ln \rho $可以展开为 \begin{equation} \ln \rho =\left(\rho-1\right) -\frac{\left(\rho-1\right) ^{2}}{2}+\frac{\left( \rho-1\right) ^{3}}{3}-\cdots \end{equation} 或者写成 \begin{equation} -\ln\rho =\left(1-\rho \right) +\frac{\left(1-\rho \right) ^{2}}{2}+\frac{\left( 1-\rho \right)^{3}}{3}+\cdots \end{equation} 关于矩阵级数$A_{k}$的收敛于$A$条件是，$A_{k}-A$的范数收敛于$0$ \begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty }\left\Vert A_{k}-A\right\Vert=0 \end{equation} 不考虑简并的情形，这里的$1-\rho$总可以相似对角化成$\mathrm{diag}\left\{1-p_{i}\right\} $，因为$\left\vert 1-p_{i}\right\vert < 1$，所以上面的级数是收敛的。于是研究von Neumann熵的时候可以取其一阶近似的表示 \begin{equation} \begin{aligned} S=&-Tr\left( \rho \ln \rho \right) \\ \approx &Tr\rho \left( 1-\rho \right) \\=&1-Tr\rho ^{2} \end{aligned} \end{equation} 也就是所谓的线性熵。 \subsection{衡量不确定度是否必须要取对数？} 这个问题是这篇调研探讨的核心，取对数在不确定度甚至信息量的衡量上是否是必要的？前面说到取对数是为了保证熵是一个广延量，如果我们不在乎系统是否满足广延性，我们的模型中也不涉及到子系统（即从头到尾一直研究整体系统）。我们在探讨不确定度和信息量的时候，是否可以放弃取对数？回到之前关于信息量的定义上，之前把不确定度定义为$\log N_{i}$，把信息量定义为获取信息前后系统的不确定度之差$\log N-\log N_{i}$。若是放弃对数，则不确定度直接表示成$N_{i}$，则信息量定义为 \begin{equation} I_{i}=N-N_{i} \end{equation} 接着有信息量的期望值为 \begin{equation} \begin{aligned} E\left(I\right)=&\sum_{i=1}^{n}P_{i}I_{i} \\=&\sum_{i=1}^{n}P_{i}\left( N-N_{i}\right) \\=&N\left( 1-\sum_{i=1}^{n}P_{i}^{2}\right) \end{aligned} \end{equation} $N$是一个跟系统有关的量，系统确定了$N$也就确定了，于是可以隐藏这个因子，取 \begin{equation} S=\frac{E\left( I\right) }{N}=1-\sum_{i=1}^{n}P_{i}^{2} \end{equation} 推广到量子力学中用密度矩阵表示就是 \begin{equation} S=1-Tr\rho ^{2} \end{equation} 于是我们从另一个出发点得到了线性熵，也就是说线性熵不仅仅可以看作von Neumann熵的线性近似，也可以看作放弃了对数函数的前提下对熵（或不确定度）的合理度量。当然这种度量是有条件的，对于熵形式的度量我们可以把两个独立子系统的信息熵相加后得到整体系统的信息熵，因为如下推导是成立的 \begin{equation} \begin{aligned} -\sum_{i,j=1}^{n}\left( P_{i}P_{j}\right) \log \left( P_{i}P_{j}\right)=&-\left( \sum_{i,j=1}^{n}P_{i}P_{j}\log P_{i}+\sum_{i,j=1}^{n}P_{i}P_{j}\log P_{j}\right) \\=&-\sum_{i=1}^{n}P_{i}\log P_{i}-\sum_{j=1}^{n}P_{j}\log P_{j} \end{aligned} \end{equation} 然而这种可加性对于线性熵显然就不成立了，我们只能用$1-\sum_{i,j=1}^{n}\left( P_{i}P_{j}\right) ^{2}$来表示整体的信息熵。后续内容待定…… \section{混合态的纯化} 参考Wikipedia词条：Purification of quantum state。任何一个有限维希尔伯特空间混合态都可以看成是某个纯态的reduced state（约化态，即纯态密度矩阵的部分迹）。具体表述：令$ \rho $为$ n $维（有限维）希尔伯特空间$ H_{A} $上的密度矩阵；则可以构建另一个希尔伯特空间$ H_{B} $，在数学上该空间可以不必有任何物理意义，但是纯化是一个物理的过程，则$ H_{B} $常常对应于一个有具体意义的物理空间，比如说环境。则存在纯态$ \ket{\psi}\in H_{A}\otimes H_{B} $，且有 \begin{equation} \rho=\Tr_{B}\ketbra{\psi}{\psi} \end{equation} 我们说$ \psi $是密度矩阵$ \rho $的纯化。【证明】密度矩阵是半正定的（positive semidefinite）所以$ \rho $可以在某个基底$ \left\{\ket{i}\right\} $下对角化为 \begin{equation} \rho=\sum_{i=1}^{n}p_{i}\ketbra{i}{i} \end{equation} 令$ H_{B} $为另一个$ n $维的希尔伯特空间，其中有一组标准正交的基$ \left\{\ket{i^{\prime}}\right\} $，定义$ \ket{\psi}\in H_{A}\otimes H_{B} $为如下形式(Schmidt decomposition) \begin{equation} \ket{\psi}=\sum_{i}\sqrt{p_{i}}\ket{i}\otimes\ket{i^{\prime}} \end{equation} 于是直接有 \begin{equation} \begin{aligned} \Tr_{B}\left(\ketbra{\psi}{\psi}\right)&=\Tr_{B}\left[\left(\sum_{i}\sqrt{p_{i}}\ket{i}\otimes\ket{i^{\prime}}\right)\left(\sum_{j}\sqrt{p_{j}}\bra{j}\otimes\bra{j^{\prime}}\right)\right]\\ &=\Tr_{B}\left(\sum_{i,j}\sqrt{p_{i}p_{j}}\ketbra{i}{j}\otimes\ketbra{i^{\prime}}{j^{\prime}}\right)\\ &=\sum_{i,j}\delta_{ij}\sqrt{p_{i}p_{j}}\ketbra{i}{j}\\ &=\rho \end{aligned} \end{equation} 一个例子 Jordan-Wigner transformation 贡献人：wz 首先做如下的自旋态$ \mapsto $ 费米子Fock态的对应 \begin{equation} \ket{\downarrow }\mapsto\ket{0},\qquad \ket{\uparrow }\mapsto\ket{1}=b^{\dagger}\ket{0} \end{equation} 这很别扭，因为我们一般的``quantum-information standard"表示自旋qubit \begin{equation} \ket{\uparrow }=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}=\ket{0},\qquad\ket{\downarrow }=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}=\ket{1} \end{equation} 不过我们先不管这个，此后凡是出现$ \ket{i} $都是Fock态。先来看看费米子情形，在占有数表象下，费米子的Fock态 \begin{equation} \ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{l}\cdots},\qquad n_{i}\in\left\{0,1\right\} \end{equation} 意味着不可能存在两个全同费米子处于同一个态上面。费米子的产生湮灭算符需要满足the canonical commutation relations (CCRs) for Fermions \begin{equation} \left\{b_{j},b_{k}^{\dagger}\right\}=\delta_{jk}\mathbb{I},\qquad \left\{b_{j},b_{k}\right\}=0,\qquad \left\{b_{j}^{\dagger},b_{k}^{\dagger}\right\}=0 \end{equation} 这意味着不同粒子（下标）对应的升降算符交换后会出现一个负号。产生算符作用在真空态$ \ket{\Omega}\equiv\ket{00\cdots 0} $上面能够得到任何一个Fock态中的矢量 \begin{equation} \ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}}=\left(b^{\dagger}_{1}\right)^{n_{1}}\left(b^{\dagger}_{2}\right)^{n_{2}}\cdots\left(b^{\dagger}_{k}\right)^{n_{k}}\ket{00\cdots 0} \end{equation} 显然单个产生算符作用在真空态上就是把对应下标处的0变成1 \begin{equation} b^{\dagger}_{j}\ket{00\cdots 0}=\ket{00\cdots 1_{j}\cdots 0} \end{equation} 再来看这个Jordan-Wigner transformation，按照上面的讨论 \begin{equation} b_{1}\mapsto\frac{\sigma_{1}^{x}-\ii\sigma_{1}^{y}}{2}\equiv\sigma^{-}_{1},\qquad b_{1}^{\dagger}\mapsto\frac{\sigma_{1}^{x}+\ii\sigma_{1}^{y}}{2}\equiv\sigma^{+}_{1} \end{equation} 这是对第一个费米子的产生湮灭算符 \begin{equation} b_{1}^{\dagger}\ket{00\cdots 0}=\ket{10\cdots 0} \end{equation} 第二个就不是简单地把下标换掉了，考虑到一个简单的例子 \begin{equation} b_{2}^{\dagger}\ket{10\cdots 0}=b_{2}^{\dagger}b_{1}^{\dagger}\ket{00\cdots 0}=-b_{1}^{\dagger}b_{2}^{\dagger}\ket{00\cdots 0}=-\ket{110\cdots 0} \end{equation} 也就是说$ b_{j} $作用在$ \ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}} $上如下 \begin{equation} b_{j}^{\dagger}\ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}}=b_{j}^{\dagger}\left(b^{\dagger}_{1}\right)^{n_{1}}\left(b^{\dagger}_{2}\right)^{n_{2}}\cdots\left(b^{\dagger}_{k}\right)^{n_{k}}\ket{00\cdots 0} \end{equation} $ b_{j}^{\dagger} $的位置只有跟下标一致的时候才能作用到对应的态上面，于是$ b_{j}^{\dagger} $要经过前面一系列“拦路劫富（负）”的$ \left(b_{1}^{\dagger}\right)^{n_{1}}\cdots \left(b_{j-1}^{\dagger}\right)^{n_{j-1}} $，每经过一个就意味着交换一次出来一个负号。于是有一般的产生关系 \begin{equation} b^{\dagger}_{j}\ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}}=\left(-1\right)^{S\left(j\right)}\ket{n_{1}\cdots\left(n_{j}+1\right)\cdots n_{k}} \end{equation} 其中$ S\left(j\right)=\sum_{i=1}^{j-1}n_{i} $，当然这里要求$ n_{j}=0 $，否则就会出现$ \left(b^{\dagger}_{j}\right)^{2} $项，该项为零。同样的，湮灭关系 \begin{equation} b_{j}\ket{n_{1}n_{2}\cdots n_{k}}=\left(-1\right)^{S\left(j\right)}\ket{n_{1}\cdots\left(n_{j}-1\right)\cdots n_{k}} \end{equation} 同样$ S\left(j\right)=\sum_{i=1}^{j-1}n_{i} $，且要求$ n_{j}=1 $。那一般的Jordan-Wigner transformation就可以写为 \begin{equation} b_{j}=\left[\otimes_{i=1}^{j-1}\left(-\sigma_{i}^{z}\right)\right]\otimes\frac{\sigma_{j}^{x}-\ii\sigma_{j}^{y}}{2},\qquad b_{j}^{\dagger}=\left[\otimes_{i=1}^{j-1}\left(-\sigma_{i}^{z}\right)\right]\otimes\frac{\sigma_{j}^{x}+\ii\sigma_{j}^{y}}{2} \end{equation} 这里之所以是$ -\sigma_{i}^{z} $就是因为一开始的那个别扭的对应关系导致 \begin{equation} \sigma_{i}^{z}\ket{0}=-\ket{0},\quad \sigma_{i}^{z}\ket{1}=\ket{1}\tag{1}\label{1} \end{equation} 而我们需要的是一个经过一个占有费米子出现一个负号。它的反变换为 \begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{j}^{z}&=2b_{j}^{\dagger}b_{j}-1\\ \sigma_{j}^{+}&=\left[\otimes_{i=1}^{j-1}\left(1-2b_{j}^{\dagger}b_{j}\right)\right]b_{j}^{\dagger}\\ \sigma_{j}^{-}&=\left[\otimes_{i=1}^{j-1}\left(1-2b_{j}^{\dagger}b_{j}\right)\right]b_{j} \end{aligned} \end{equation} 以上就是Jordan-Wigner变换的主要内容。\ref{1} Holstein-Primakoff transformation 自旋体系下选择$ S^{2} $和$ S_{z} $作为一组完备的力学量，则对应本征态$ \ket{s,m} $，$ s,m $分别标记两个力学量的量子数，则有 \begin{equation} \begin{aligned} S^{2}\ket{s,m}&=\hbar^{2}s\left(s+1\right)\ket{s,m}\\ S_{z}\ket{s,m}&=\hbar m\ket{s,m} \end{aligned} \end{equation} 其中$ m $的取值为$ -s,-s+1,\cdots,s-1,s $。考虑一个自旋$ s $的N-粒子态，处于最大投影态（maximal projection）$ \ket{s,m=+s} $上，在$ z $方向的外磁场中有着最小的能量，将这个态对应到一组玻色子的基态$ \ket{0}_{B} $。而低投影态$ \ket{s,s-n} $则看作是玻色子的激发态，即有如下的对应关系 \begin{equation} \ket{s,s-n}\mapsto \frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^{\dagger}\right)^{n}\ket{0}_{B}=\ket{n}_{B} \end{equation} 这里的$ n $也叫做“自旋偏离量子数”（李正中《固体理论》），对应到玻色体系上意味着每增加一个玻色子对应着自旋投影减少一个$ \hbar $。自旋升降算符 \begin{equation} S_{+}=S_{x}+\ii S_{y},\qquad S_{-}=S_{x}-\ii S_{y} \end{equation} 满足对易关系 \begin{equation} \left[S_{+},S_{-}\right]=2\hbar S_{z} \end{equation} 自旋升降算符作用在$ \ket{s,m} $上有如下关系 \begin{equation} \begin{aligned} S_{+}\ket{s,m}&=\sqrt{\left(s-m\right)\left(s+m+1\right)}\hbar\ket{s,m+1}\\ S_{-}\ket{s,m}&=\sqrt{\left(s+m\right)\left(s-m+1\right)}\hbar\ket{s,m-1} \end{aligned} \end{equation} 相当于作用在$ \ket{s,s-n} $上如下的关系 \begin{equation} \begin{aligned} S_{+}\ket{s,s-n}&=\sqrt{2s-\left(n-1\right)}\sqrt{n}\hbar\ket{s,s-\left(n-1\right)}\\ S_{-}\ket{s,s-n}&=\sqrt{2s-n}\sqrt{n+1}\hbar\ket{s,s-\left(n+1\right)} \end{aligned} \end{equation} 对比产生湮灭算符作用在玻色子本征态上 \begin{equation} \begin{aligned} a\ket{n}&=\sqrt{n}\ket{n-1}\\ a^{\dagger}\ket{n}&=\sqrt{n+1}\ket{n+1} \end{aligned} \end{equation} 以及粒子数算符 \begin{equation} \hat{N}\ket{n}=a^{\dagger}a\ket{n}=n\ket{n} \end{equation} 根据上面这些关系得出自旋升降算符跟产生湮灭算符的对应关系 \begin{equation} \begin{aligned} S_{+}&=\left(\sqrt{2s-a^{\dagger}a}\right)a\\ S_{-}&=a^{\dagger}\left(\sqrt{2s-a^{\dagger}a}\right)\\ S_{z}&=\left(s-a^{\dagger}a\right) \end{aligned} \end{equation} 可以发现根号下非负的要求限制了玻色子的个数$ n\leq 2s $。 111 222 11111 12121 21212 sdsadsd 111 222 11111 12121 21212 sdsadsd 111 222 11111 12121 21212 sdsadsd 111 222 11111 12121 21212 sdsadsd 维基百科免费电子书数学手册 Stack Exchange