允许晚交不超过一周，无法在超过一周以内上交作业的同学请及时与助教联系请假。 作业参考答案
次数 |
内容 |
上交日期 |
6 |
[第七章] 7 8 10 |
无 |
5 |
[第六章] 12 13 15
[第七章] 1 2 3 4 6 |
2019.6.10 |
4 |
[第六章] 5 6 7 8 9 10 11
[附] 1. 设\(H\)是Hilbert空间，\(K:H\to H\)紧，则\(\operatorname{dim}N(I-K)=\operatorname{dim}N(I-K^*)\).
2. 证明Hopf引理：设\(u\in C^2(U)\cap C^1(\overline{U})\)，且在\(U\)上\(c\equiv0\)，\(Lu\leqslant0\). 除此之外，还存在\(x^0\in\partial U\)，使得\(\forall x\in U\)，\(u(x^0)>u(x)\)，且存在开球\(B\subset U\)，使得\(x^0\in\partial U\)，则
(1)\(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial\nu}(x^0)>0\)，其中\(\nu\)为\(B\)在\(x^0\)处的外法向导数；
(2)若在\(U\)上\(c\geqslant0\)，\(u(x^0)\geqslant0\)，则(1)依旧成立. |
2019.5.27 |
3 |
[第五章] 12 13 15 20 21
[第六章] 1 2 3 4
[附] 1. 设\(1\leqslant p<\infty\)，\(u\in W_0^{1,p}(V_0)\)，\(V_0\Subset\mathbb{R}^n\)，\(V=\{x:\operatorname{dist}(x,V_0)<1\}\). 求证：对任意\(0<\varepsilon<1\)，\(\displaystyle\int_V\left|u^\varepsilon(x)-u(x)\right|\mathrm{d}x\leqslant\varepsilon\int_V|\mathrm{D}u|\mathrm{d}x.\)
2. 设\(U=B_1(0)\cap\{x_n>0\}\)，\(V=B_{\frac 1 2}(0)\cap\{x_n>0\}\)，\(u\in W^{1,p}(U)\). 求证：\(\forall 0<|h|<<1\)，\(\displaystyle\int_V|\mathrm{D}_i^hu|^p\mathrm{d}x\leqslant\int_U|\mathrm{D}_iu|^p\mathrm{d}x\ (i=1,\cdots,n-1).\) |
2019.4.29 |
2 |
[第五章] 4 7 8 14 17 18 19
[5.8.3] 定理5的证明 |
2019.4.8 |
1 |
[第五章] 1 2 3 5 6 9 10 11
[附] 1. 证明：\(C_0^\infty(\mathbb{R}^n)\)在\(W^{k,p}(\mathbb{R}^n)\)中稠密. |
2019.3.25
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