Theoretical Mechanics

Quantum Analogy

基的并矢构成张量基。

设 ∣β⟩=T∣α⟩| \beta \rangle = \bm{T} | \alpha \rangle，则插入单位张量有

⟨xi∣β⟩=⟨xi∣T∣α⟩=⟨xi∣T∣xj⟩⟨xj∣α⟩=Tijaj \langle x_i | \beta \rangle = \langle x_i | \bm{T} |\alpha \rangle = \langle x_i | \bm{T} |x_j\rangle \langle x_j |\alpha \rangle = T_{ij}a_j

可见，在 xx 表象下分量的变换规律满足线性变换的形式。所以为了取出一个算符在某个表象下的 ijij 元，只需左边作用左矢 ⟨xi∣\langle x_i| ，右边作用右矢 ∣xj⟩|x_j\rangle 。

就像求内积在一组基下的度量矩阵一样。