Curvature

定义

  曲率是光滑曲线弯曲程度的度量，它具有表象不变性（representation invariance）——其值不随选取的坐标系的变化而变化，是一个几何性质。

  一种常用方法是在这点附近取曲线的一小段，然后做一个尽量与它吻合的圆，当这小段的长度趋近于 $0$ 时，这个圆可以唯一确定．我们把这个圆叫做密切圆（osculating circle），把密切圆的半径叫做曲线在该点的曲率半径（radius of curvature） 常记为 $\rho$，曲率半径的倒数 $1/\rho$ 叫做曲率（curvature）。

一条曲线的曲率定义为

$$\rho = \lim_{\Delta l \rightarrow 0}\frac{\Delta l}{\Delta \theta}$$

直角坐标系

$$\dot{y} = \frac{dy}{dx} = \tan \theta$$

对它微分则有

$$\ddot{y}dx = \frac{1}{\cos ^2\theta}d\theta$$

曲线长度的微分为

$$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+\dot{y}^2}}$$

根据定义可知

$$\rho = \frac{(1+\dot{y}^2)^{3/2}}{\ddot{y}}$$

极坐标系

$$\rho = \frac{(r^2+\dot{r}^2)^{3/2}}{r^2+2\dot{r}^2 - r\ddot{r}}$$