算数平均与几何平均

题目内容

已知 $a,b\in \mathbb{Z}^+$ 定义集合 $H(a,b)$ 如下:

  1. $\frac ab,\frac ba\in H$
  2. $\forall p,q\in H,\frac{p+q}{2}\in H,\frac{2}{\frac 1p+\frac 1q}\in H$

设函数 $f:\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+\to \{0,1\}$ 若 $1\in H(a,b)$ 则 $f(a,b)=1$ 否则 $f(a,b)=0$
请给出关于 $f(a,b)$ 有用的表达式

考虑既约分数 $\frac{a}{b},\frac{c}{d}$ 若存在某个奇质因数 $p$ 满足 $p|a+b\land p|c+d$ 则对于二者的算数平均与调和平均,分别有:

显然 $p\not |2bd$ 且 $p\not | 2ac$ 否则必然有 $p|b\lor p|d$ 且 $p|a\lor p|c$ 则导致原分数不为既约分数
这样以来由于 $p|(d(a+b)+b(c+d))$ 且 $p|(c(a+b)+a(c+d))$ 而将 $\frac{ad+bc}{2bd},\frac{2ac}{ad+bc}$ 既约化后又不会消去 $p$ 因子,因此 $\frac{ad+bc}{2bd},\frac{2ac}{ad+bc}$ 暨约后的分数(设为 $\frac st,\frac mn$) 依旧满足 $p|s+t$ 且 $p|m+n$
故若 $1\in H(a,b)$ 则 $1=\frac 11$,即约后的 $\frac{a+b}{gcd(a,b)}$ 的任意奇因子需满足 $p|1+1$ 因此 $p$ 只能为 $2$
即 $\frac{a+b}{gcd(a,b)}=2^n$
设 $a’=\frac{a}{gcd(a,b)}=2^{n-1}-m,b’=\frac{b}{gcd(a,b)}=2^{n-1}+m$
则 $\frac{\frac{a’}{b’}+\frac{b’}{a’}}{2}=\frac{2^{2(n-1)}+m^2}{2^{2(n-1)}-m^2}\in H(a,b)$
又有 $\frac{1}{2^n}((2^{n-1}-m)\frac{2^{2(n-1)}+m^2}{2^{2(n-1)}-m^2}+m\frac{2^{n-1}-m}{2^{n-1}+m})=1$
注意到这里是利用 $\frac{2^{2(n-1)}+m^2}{2^{2(n-1)}-m^2}$ 和 $\frac{2^{n-1}-m}{2^{n-1}+m}$ 进行了 $n-1$ 次算数平均的计算,若 $m$ 的二进制表达中的第 $k$ 位是 $1$ ,则在第 $n-1-k$ 次算数平均时使用 $\frac{2^{n-1}-m}{2^{n-1}+m}$ ,否则使用 $\frac{2^{2(n-1)}+m^2}{2^{2(n-1)}-m^2}$
因此对于一切满足 $\frac{a+b}{gcd(a,b)}=2^n$ 的 $a,b$ 我们都可以用 $n$ 次操作完成 $1$ 的构造
对应 $f(a,b)$ 的表达式是 $f=\begin{cases}1,&\log_2(\frac{a+b}{gcd(a,b)})\in Z\\0,&else\end{cases}$