用线性空间的维度关系求解秩

题目描述

设 $A,B$ 是 $n\times n$ 方阵, $AB=BA=O,rankA=rankA^2$
求证: $rank(A+B)=rank(A)+rank(B)$

解答方法

考察 $(A+B)X=O$ 的解空间

考虑 $BX=O$ 但 $AX\not=O$ 的部分
设 $rankA=rankA^2=r,A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 又不妨设 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_r$ 是 $A$ 的一个极大无关线性组则

由于 $BA=O$ 所以 $Ba_i=O$
此时,若 $Aa_i=O$ 则有

$rankA^2<r$ 矛盾,所以 $Aa_i\not=0$

另一方面 $rank(A+B)\leq rank(A+B,B)=rank(A,B)\leq rankA+rankB$