一道妙题

题目描述

设 $A=(a_{i,j})_{n \times n},a_{i,j}=gcd(i,j)$ 求 $detA$
取 $n$ 阶方阵 $B=(b_{i,j})$ 其中

易知 $B$ 为对角线全为 $1$ 的下三角方阵,所以 $detB=1$
再设 $C=(c_{i,j})$ 其中 $C_{i,j}=\varphi(i) b_{j,i}$ ($\varphi(n)$ 为自然数n的Euler函数) 则 $C$ 为对角线上为 $\varphi(1),\varphi(2),\cdots,\varphi(n)$ 的上三角方阵,故 $detC=\varphi(1)\varphi(2)\cdots\varphi(n)$
记 $BC=D=(d_{i,j})$ 则

当 $k\nmid i$ 时, $b_{i,k}=0$ 所以

而 $\sum\limits_{k\mid gcd(i,j)}\varphi(k)=gcd(i,j)$
故 $d_{i,j}=a_{i,j}$ 即 $A=BC$
$\therefore detA=detB\cdot detC=\prod\limits_{k=1}^n\varphi(n)$