与Green公式有关的题

题目描述

设 $D$ 是 $xy$ 平面上有线条逐段光滑曲线围成的区域, $f(x,y)$ 在 $\overline{D}$ 上有二阶连续偏导数且满足方程

其中 $a,b,c$ 为常数且 $c\geq a^2+b^2$
求证: $f|_{\partial D}=0\Rightarrow f|_{D}=0$

解答方法

设 $\boldsymbol{n}$ 为单位外法向量

令 $g=e^{ax+by}f$


题目描述

设 $D$ 是 $xy$ 平面上有线条逐段光滑曲线围成的区域, $f(x,y)$ 在 $\overline{D}$ 上有二阶连续偏导数且满足方程

求证: $f|_{L}=0\Rightarrow f|_{D}=0$

解答方法

设 $P=-e^x\frac{\partial f}{\partial y}f,Q=e^y\frac{\partial f}{\partial x}f$


题目描述

设 $f(x,y)\in C^2R^2,\nabla f\not=\boldsymbol{0},C:\{(x,y),f(x,y)=0\}$ 为简单闭曲线, $D:\{(x,y),f(x,y)>0\}$ 为 $C$ 的内部,若 $C$ 的长度为 $L$ 求

解答方法

由于 $f$ 在 $C$ 内为正,外部非负,故在 $C$ 上 $grad f$ 为指向内部的法向量 $\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ 为单位内法向量 (考虑 $(x(s),y(s))$ 其中 $s$ 为正向参数), $\frac{dy}{ds}i-\frac{dx}{ds}j$ 为单位外法向量 故 $\frac{\nabla f}{|\nabla f|}\cdot(\frac{dy}{ds}i-\frac{dx}{ds}j)=-1$