最速降线问题

题目描述

在一个垂直平面上固定两点 A,B L是连接 A,B 的曲线,设质点在重力作用下无摩擦从A滑动到B

求连接 A,B 两点间的曲线L使得质点运动的时间最短

问题转化

以 A 为原点建立平面直角坐标系, $A(0,0),B(x_0,y_0),x_0,y_0>0$
设 $L:y=y(x),x\in\lbrack 0,x_0\rbrack,(y(0)=0,y(x_0)=y_0)$
$T=\int_0^{x_0}dt$ 为求 $dt$ 这里利用 $v=\frac{ds}{dt}$
由 $\frac{1}{2}mv^2=mgh=mgy\Rightarrow v=\sqrt{2gy},ds=\sqrt{1+y’^2}dx$
$\Rightarrow dt=\frac{ds}{v}=\frac{1}{\sqrt{2gy}}\sqrt{1+y’^2}dx$
$\Rightarrow T=\int_0^{x_0}\frac{\sqrt{1+y’^2}}{\sqrt{2gy}}dx=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_0^{x_0}\sqrt{\frac{1+y’^2}{y}}dx=T(y)$
则问题转化为如何求 $y=y(x)$ 使得 $T(y)$ 最小

变分学引理

设连续函数 $f(x)$ 满足 对任意连续的 $\varphi(x),(\varphi(0)=\varphi(x_0)=0)$ 有 $\int_0^{x_0}\varphi(x)\cdot f(x)dx=0$ 则 $f(x)\equiv 0(x\in\lbrack 0,x_0\rbrack)$
引理的证明十分容易,假设 $f(x)$ 在点 $a$ 处不为 $0$ 不妨设 $f(a)>0$
由连续性可知存在 $\varepsilon>0$ 使得 $f(x)>0,(\forall x\in\lbrack a-\varepsilon,a+\varepsilon \rbrack\cap\lbrack 0,x_0\rbrack)$ 则构造

这个构造很简单,只要在 $(a-\varepsilon,a+\varepsilon )$ 上用一段小圆弧连接就行了
所以假设不成立 $f(x)\equiv 0(x\in\lbrack 0,x_0\rbrack)$

如何求 y ?

与常规的极大极小值问题不同的是,这里的变量是一条曲线,而曲线的变化比单独的变量要复杂的多

假设 $y=f(x)$ 满足 $T(f)=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int_0^{x_0}\sqrt{\frac{1+f’^2}{f}}dx=inf T(y)$
则 $\forall\varphi(x),x\in\lbrack 0,x_0\rbrack,\varphi(0)=\varphi(x_0)=0,\varphi(x)$ 连续,对于 $t>0$ 为一个参数,有

也是连接 A,B 的一段曲线,由假设有

对前一部分利用分部积分(去除 $\varphi’$)

其中

由引理知

引入记号

计算 f(x)

已知

求解 Euler-Lagrange 方程

可设 $f(1+f’^2)=a$