球面上不规则多边形的面积以及中心位置计算

本文借助格林公式，分析简化了一个较复杂的曲面积分问题。

问题描述

最近遇到这样一个问题，有一系列球面（太阳）上的封闭多边形区域，观测到的是此区域在垂直视线方向上的二维投影（如图中青色边界区域，示意图来自sunpy程序示例文档），我想要计算其三维空间中在球面上的真实面积以及真实中心位置。

比较直接的做法是直接在球面上二维积分，但由于这次的区域分布在了球面上，传统利用扫描线的算法需要很多修正而且计算复杂度很高，最终我选择使用格林公式简化计算。

计算方法

格林公式

格林公式可以将二维的面积分和线积分相互转化，其公式如下： 这里S是二维面积，L是区域边界。

球面积分

由于太阳球面上更常用的是经纬度坐标而非标准的球坐标，所以我选取表示纬度，表示经度，坐标框架体系如图所示:

这样面积微元的计算公式为： 这样封闭多边形的面积： 假设边界都是直线段，那么如果已知多边形每个顶点的经纬度坐标（第i个点的经纬度坐标为()），就可以将上述积分化简： 利用此公式可以方便的计算得到球面上不规则封闭多边形的面积。同理，此区域的中心经纬度也可以使用类似的方法计算，利用几个三角函数相关的不定积分公式： 平均纬度： 同样的方法计算平均经度： 上面两个结果都可以用于后续计算，本文采用后面形式相对简单的版本。对于第i至i+1两个点之间的线段，当时，其方程可以表示为（为对称性使用中点以及斜率表示）： 即： 故：

其中，。故平均经度：