量子光学中的模型

Dicke模型、Rabi模型、T-C模型与J-C模型之间的关系

	有反旋波项（\(\mathcal{P}\)）	无反旋波项（U(1)）
\(N\neq 1\)	Dicke模型 \[H=\hbar \omega_{c} a^{\dagger} a+\hbar \omega_{z} \sum_{j=1}^{N} \sigma_{j}^{z}+\frac{2 \lambda}{\sqrt{N}}\left(a+a^{\dagger}\right) \sum_{j} \sigma_{j}^{x}.\]	Tavis-Cummings模型 \[H=\sum_{s} \omega_{s} a_{s}^{\dagger} a_{s}+\frac{\Omega}{2} \sum_{j=1}^{N} \sigma_{j}^{z}+\frac{1}{V}\left[\left(\sum_{s} \lambda_{s}^{\prime} a_{s}\right)\left(\sum_{j}^{N} \sigma_{j}^{+}\right)+\left(\sum_{s} \lambda_{s}^{\prime} a_{s}^{\dagger}\right)\left(\sum_{j}^{N} \sigma_{j}^{-}\right)\right].\]
\(N=1\)	Rabi模型 \[H_{\text{Rabi}}=\omega a^{\dagger}a + g\left(\sigma^{\dagger}+\sigma^{-}\right)\left(b^{\dagger}+b\right)+\frac{\Omega}{2} \sigma_{z}.\]	Jaynes-Cummings模型 \[\hat{H}_{\mathrm{JC}}=\hbar \omega_{c} \hat{a}^{\dagger} \hat{a}+\hbar \omega_{a} \frac{\hat{\sigma}_{z}}{2}+\frac{\hbar \Omega}{2}\left(\hat{a} \hat{\sigma}_{+}+\hat{a}^{\dagger} \hat{\sigma}_{-}\right)\]

Dicke模型与超辐射相变

(i) 自由空间Dicke Superradiant相变 在mean-field描述下 \[ F\left({\frac{\langle a\rangle }{\sqrt {N}}}=\alpha \right)=\omega _{c}\alpha ^{2}-k_{B}T\ln \left(2\cosh \left({\frac {\sqrt {\omega _{z}^{2}+16\lambda ^{2}\alpha ^{2}}}{2k_{B}T}}\right)\right) \quad \xrightarrow{dF/d\alpha (\alpha =0)=0} \quad \lambda_{c}={\frac{1}{2}}{\sqrt{\omega _{c}\omega _{z}\coth \left({\frac {\hbar \omega _{z}}{2k_{B}T}}\right)}}\]

Dicke模型	最小值数量
\(\lambda>\lambda_c\)	2
\(\lambda<\lambda_c\)	1

(ii) 自由空间与光腔Dicke Superradiant相变的对比

	Environment	Duration	Degree of freedom	Intensity of the field (normal)	Intensity of the field (superradiant)
Dicke superradiance	Free space	Transient(激发态\(\to\)基态)	内部自由度(二能级)	\(N\)	1
Superradiant transition of the Dicke model	Cavity	Steady state(基态\(\to\)基态)	外部自由度(密度分布-r/k空间)	\(N^2\)	\(N\)

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