物理概念 | 定义 | 例子 |
| Hibert空间(Hibert space) | Hibert空间是在\(\mathbb{C}\)上具有标量积的有限维或无限维线性向量空间. | |
| 完备(complete) | 如果每个Cauchy列在该空间中都有极限, 则该(函数)空间称为完备空间. | |
| Cauchy列(Cauchy sequence) | 如果\(\forall \epsilon \in \mathbb{R}_{+}, \exists N\in\mathbb{N}\), 使得对于所有自然数\(n, m>N: \left\|\psi_{\mathrm{n}}-\psi_{\mathrm{m}}\right\|< \epsilon\), 则序列\(\{\psi_{i}\}\)是柯西列. | 这使得序列的元素越来越接近, 在空间中有极限. 该空间包含其收敛序列的所有极限就是完备, 也就是不会遗失任何点. 保证了每个函数都可以相对于所选的完备正交基展开.平面波基\(\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}\}\) |
| 右矢(ket) | "ket"表示Hilbert空间的向量\(|\psi\rangle\in\mathcal{H}\). | |
| 左矢(bra) | "bra"表示对偶Hilbert空间的向量\(\langle\psi|\in\mathcal{H}^{*}\). | |
| 跃迁幅(transition amplitude) | 物理态\(|\psi\rangle\)到\(\langle\phi|\)跃迁振幅 \[\left\langle\phi |\psi\right\rangle=\int\mathrm{d}x\ \phi^{*}(x)\psi(x)\] 其中\(|\psi\rangle^{\dagger}=\langle\psi|\) | |
| 厄米算符(hermitian operator) | \(A|\psi\rangle\to \langle\psi | A^{\dagger}\) | |
| 投影算符(projection operator) | \(P:=|\psi\rangle \langle\psi|\) | Polarization Filter |
| 本征方程(eigenvalue equation) | \(A|j\rangle=\lambda_{j}|j\rangle\) | |
| 正规算符(normal operator) | 如果\(A^{\dagger}A=AA^{\dagger}\), 则线性算子\(A\)是正规的. | |
| 谱定理(spectral theorem) | 每个正规算子\(A\)都可以通过投影算子展开其谱\(\{\lambda_{i}\}\) \[A=\sum_{j}\lambda_{j}|j\rangle\langle j|\] | |
| 量子力学公理(axioms) | 1.系统的量子态由波函数\(\psi(t,x)\)描述. 在区间\((x,x+\mathrm{d}x)\)中找到粒子的概率由\(|\psi(t,x)|^{2}\mathrm{d}x\)给出.2.量子态的时间演化由Schrodinger方程 \[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(t,x)=H\psi(t,x)\] 其中\(H\)是Hamilton算符: \(H=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(x)\)3.可观测物理量(如\(E,P,X\))由具有实特征值的hermitian算符\(A^{\dagger}=A\)表示. 其本征值\(a_{n}\)由本征方程决定 \[A|n\rangle=a_{n}|n\rangle\] 4.态叠加原理\[|\psi\rangle=\sum_{n}c_{n}|n\rangle\] 系数\(c_{n}=\langle n|\psi\rangle\)5.可观测量的期望值是通过测量大量全同系统再平均获得的. 可观测量\(A\)在量子态\(|\psi\rangle\)上的平均值\(\langle A\rangle_{\psi}\)定义为 \[\langle A\rangle_{\psi}=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x\ \psi^{*}(t,x)A\psi(t,x)\] \[\langle A\rangle_{\psi}=\langle\psi|A|\psi\rangle=\sum_{n}|c_{n}|^{2}a_{n}\]6.投影假设(projection postualte): 在量子态\(|\psi\rangle\)中找到特征值\(a_{n}\)的概率由\(|c_{n}|^{2}=|\langle n|\psi\rangle|^{2}\)给出. 在测量\(A\)给出\(a_{n}\)之后, 系统保持本征态\(|n\rangle\). 7.不确定关系\[\Delta A\Delta B\leq \frac{1}{2}|\langle[A,B]\rangle|\] | |