得到有效哈密顿量的常用变换

经典力学中的正则变换(Canonical transformations)

从一组广义坐标和广义动量变换（平移、旋转、缩放等等）到另一组广义坐标和广义动量，用来简化Hamiltonian的形式

量子系统的正则变换

凝聚态和量子光学系统中的正则变换：将占据数Hilbert空间中产生、湮灭算符进行正则变换（保持对易关系），使二次量子化Hamiltonian完全可解

连续体系	变换	应用
Pure Bose system	Boson' Bogoliubov transformation	Interacting bose gas
Pure Fermi system	Fermions' Bogoliubov transformation	Interacting fermi gas
Fermi-bose system	Nakajima transformation	Effective Hamiltonian of superconductor
格点体系	变换	应用
Anderson model \(\downarrow\) s-d交换模型	Schrieffer-Wolf transformation	Kondo effect


相对论量子力学中的正则变换：解决负能解问题

体系	变换	应用
Dirac model \(\downarrow\) 消去负能谱,留下正能谱	Foldy-Wouthuysen(F-W) transformation

本质：将Hamiltonian块对角化，使两部分解耦 \[H=\left(\begin{array}{cc}H_B & W^{\dagger} \\W & H_A \end{array}\right) \quad\to\quad \left(\begin{array}{cc}\bar{H}_B & 0 \\0 & \bar{H}_A \end{array}\right)\] 但实际工作中完全块对角化很难, 都是在微扰意义下近似块对角化 \[\left(\begin{array}{cc}\bar{H}_B^{\prime} & O(\lambda^2) \\O(\lambda^2) & \bar{H}_A^{\prime} \end{array}\right)\] 就可以认为在\(\lambda^1\)阶已经块对角化了.

动力学方法

对于简单的量子光学系统, 可以通过考察系统动力学演化的方法推导系统的有效相互作用. 有时候较为繁琐, 但物理意义更为清晰, 便于理解系统相互作用细节

体系	变换	应用
大失谐J-C模型

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