10.18主要内容

相互作用情形下的二次量子化

1. 两体相互作用（以Ferimi gas为例）
   由于系统具有平移对称性，可以简化计算，并且\(p\)是好量子数。通过平面波展开，最终得到二次量子化形式 \( \sum_{k_1 k_2 q} V_q C_{k_1}^{\dagger} C_{k_2}^{\dagger} C_{k_2 +q} C_{k_1 -q}\)
2. 多体相互作用（Slater determinant）

补充：波函数可线性叠加，但得到的产生、湮灭算符之间可用幺正变换联系起来，故可选择不同的基
PS. 一维相互作用电子气暂时跳过，以后再讲

路径积分概念

1. Path integral起源 Remarks on the Origin of Path Integration: Einstein and Feynman. 原文下载
2. 目的：计算\( \left \langle q_f \right | e^{-iHt} \left | q_i \right \rangle \in \mathbb{C}\)， propagator/Green function/correlation function
3. \(H\) in Schrodinger \(\longrightarrow\) path integral;
   canonical quantization\(H(a, a^{\dagger}) \) \(\longrightarrow\) path integral/coherent state;
   spin \(H=\vec{B} \cdot \vec{\sigma}\) \(\longrightarrow\) spin path integral;
4. 两种处理办法：
   (a)\( e^{-i\delta t (T+V)/ \hbar}= e^{-i\delta t T/ \hbar} e^{-i\delta t V/ \hbar} e^{{\delta t}^2}\) (b)\( e^{-i H \delta t/ \hbar}= 1 - iH \delta t/ \hbar\) （该方法下次课再讲）

Gaussian integral（基本是所有可解析求解的情况）

1. \(dx\) & \(Dx\)
2. 无穷维积分
最终得到\(\int Dx e^{S} = \frac{1}{\sqrt{det M}}\)， 复数情况下\(\int D\overline{z} Dz e^{-\overline{z} M z} = \frac{1}{\sqrt{det M}}\)
补充
常用的大多数模型都适用Gaussian integral的原因是：\(H_0=\sum_{k} \varepsilon_{k} a_{k}^{\dagger} a_k\)是二次型

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