09.29主要内容

二次量子化(Second quantization)

Altland, Simons. Chapter 2 footnote: The term "second quantization" is unfortunate. Historically, this terminology was motivated by the observation that the ladder operator algebra fosters an interpretation of quantum excitations as discrete "quantized" units. Fundamentally, however, there is nothing like "two" superimposed quantization steps in single- or many-particle quantum mechanics. Rather, one is dealing with a particular representation of the "first and only quantized" theory tailored to the particular problem at hand.
1. Nagaosa-\(\S 1.3\) Second quantization
2. Michael Stone-Chapter 1

Dirac 辐射的量子理论

1. PAM Dirac, 1927 The quantum theory of the emission and absorption of radiation, 114(767), 243-265. 原文下载

Some models (Harmonic oscillator; Hydrogen model; phonon field)

1. phonon(Quantum chain), Altland, Simons-\(\S 1.4\) Quantum chain

第三次课总结

• 总结
  1. 关于场论的几个问题
     1. 场论那么复杂，有什么用?
        A: 场论之所以复杂，主要有几个原因。
        a. 内容庞杂，有各种不同的模型，从粒子物理到凝聚态有很多不同的非常抽象的模型；
        b. 涉及到的细节多，比如考虑energy-momentum tensor, lorentz invariant, tensor, Noether theorem, spontaneous symmetry breaking，group theory等；
        c. 无统一的较为简单的教材; 比如粒子物理比较广泛采用path-integral, 但是凝聚态更多使用的是Green's function。
     2. 学习场论有用吗?
        A: 有用。但是在实际研究过程中，大家还是采用更加简单的一些方法，导致场论的用处并没有书本上讨论的广泛。 比如Peskin的书覆盖的内容，绝大部分对凝聚态没有用; Zee的书，从凝聚态到粒子物理到string理论都有，但是缺乏足够多的细节。
     3. 有什么建议?
        A: 好好学习，努力使用。
  2. 二次量子化的几个问题:
     1. 为什么要量子化?
        A: 从经典场获得量子化的激发。
     2. 为什么可以用粒子数表象?
        A: 参考Dirac文章，他证明N和相位是H的共轭量, 哈密顿可以用\(N\)和\(-i \partial_N \)完全表示。
     3. Dirac的贡献是什么?
        A: 1.薛定谔方程纳入哈密顿方程中; 2. 证明粒子和相位是共轭算子; 3. 将之推广到全同粒子，自动满足粒子之间的对易关系。
     4. 为什么波函数可以量子化?
        A: 波函数本质上也是某个格点的位置变化(比如phonon等), 只是做了连续化近似，得到了经典场方程。 所以波函数本质上可以认为是在格点场上的某种振动，即\(x\), 因此它可以量子化，而且和\( [x,p] \)的量子化一样。
     5. 二次量子化有二次的意思吗?
        A: No.
     6. 如何理解二次量子化?
        A: 1. 二次量子化 == H的粒子数表象; 2. 波函数可以认为是某个位置的振动，所以波函数本质上可以认为是位置算子, 可以量子化; 3. 量子化本质上还是位置振动的量子化，所以和\( [x, p] = i\hbar \)没有本质区别，即没有引入新的内容。
     7. 二次量子化和正则量子化的关系?
        A: 二次量子化也叫正则量子化，即将哈密顿理论纳入哈密顿正则方程的体系中。所以二次量子化，正则量子化，哈密顿的粒子数表象，这三个概念，反映的是同一件事情的不同方面。
        下面的内容来自百度百科之正则量子化:
        物理学中，正则量子化是多种对经典理论进行量子化的数学方法中的一种。“正则”这个词其实源自经典理论，指的是理论中一种特定的结构（称作辛结构(Symplectic structure)），这样的结构在量子理论中也被保留。 这在保罗·狄拉克尝试建构量子场论时由他首先强调。 普通的量子力学方法只能处理粒子数守恒的系统。但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮没，普通量子力学的数学表述方法不再适用。 二次量子化通过引入产生算符和湮没算符处理粒子的产生和湮没，是建立相对论量子力学和量子场论的必要数学手段。 相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理全同粒子的对称性和反对称性，所以即使在粒子数守恒的非相对论多体问题中，也被广泛应用。

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