理论力学总复习

理论力学总复习1. 物体机械运动的基本规律1.1. 物体运动的描述1.1.1. 描述运动的两种方法1.1.1. 描述物体运动的特征量1.2. 惯性定律和伽利略相对性原理1.2.1. 惯性定律1.2.2. 伽利略相对性原理1.3. 牛顿运动定律和力的独立作用原理1.3.1. 牛顿运动定律1.3.2. 力的独立作用原理1.4. 物体的相互作用描述1.4.1. 力1.4.2. 冲量1.4.3. 功1.5. 物体的动力学描述1.5.1. 质量1.5.2. 动量1.5.3. 动量矩1.5.4. 动能1.6. 作用与反作用定律1.7. 守恒定律1.7.1. 动量守恒定律1.7.2. 动量矩守恒定律1.7.3. 机械能守恒定律1.8. 量纲与单位制2. 刚体运动学基础2.1. 约束和约束方程2.1.1. 柔索约束和刚性约束2.1.2. 线、面接触约束2.1.3. 约束的分类2.2. 自由度和广义坐标2.3. 刚体的平动2.4. 刚体的定轴转动2.5. 动点的速度合成定理2.6. 动点的加速度合成定理3. 刚体的平面运动3.1. 刚体平面运动方程3.1.1. 平面运动的概念3.1.2. 刚体平面运动的运动方程3.2. 基点法3.2.1. 分析平面图形速度分布的基点法3.2.1. 分析平面图形加速度分布的基点法3.3. 速度投影定理3.4. 瞬心3.4.1. 速度瞬心3.4.2. 加速度瞬心3.5. 刚体绕平行轴转动的合成4. 刚体的定点运动和一般运动4.1. 刚体定点运动、欧拉角4.1.1. 定点运动4.1.2. 欧拉角4.2. 欧拉位移定理和转动瞬轴4.3. 角速度和刚体上的速度分布4.4. 角加速度和刚体上的加速度分布4.5. 刚体绕相交轴转动的合成4.6. 刚体的一般运动5. 动力学基本定理5.1. 内力和外力5.2. 主动力和约束反力5.2.1. 柔索5.2.2. 刚性约束5.2.3. 光滑表面5.2.4. 光滑的圆柱形铰链5.2.5. 球形铰链5.3. 分离体与受力分析5.4. 动量定理5.5. 质心运动定理5.6. 动量矩定理5.7. 刚体的平面运动5.8. 力系的功5.9. 动能定理5.11. 保守系统6. 刚体静力学6.1. 静力学基础6.2. 等效力系与力系简化6.2.1. 等效力系6.2.1. 力系简化6.2. 静力学分析7. 刚体动力学 7.1. 矢量力学7.1.1. 坐标变换7.2. 刚体定点运动7.2.1. 角速度矢量7.2.2. 刚体定点转动的运动学关系7.2.3. 四元数表示7.2.4. 定点旋转动力学7.2.5. 刚体定点转动的动能 7.2.6. 刚体定点运动的动力学方程7.2.7. 刚体定点运动的动能定理 7.2.8. Euler动力学方程的首次积分 7.3.刚体一般运动的动力学7.4. 非惯性系动力学8. 达朗伯原理9. 虚位移原理9.1. 虚位移9.2. 力在虚位移上做的功9.3. 约束力做功的问题9.3.1. 纯滚动(只滚不滑)9.3.2. 理想约束9.4. 虚位移(虚功)原理9.4.1. 虚位移原理的应用9.5. 势能原理10. 拉格朗日/哈密顿力学10.1. 动力学普遍方程10.2. 拉格朗日函数与哈密顿函数10.2.1. 拉格朗日函数10.2.2. 广义动量10.2.3. 哈密顿函数10.2.4. 一般质点系的动能10.2.5. 保守系统的首次积分

1. 物体机械运动的基本规律

1.1. 物体运动的描述

1.1.1. 描述运动的两种方法

拉格朗日方法

拉格朗日方法是一种随体方法.观察者在确定研究对象后，自始至终跟随这一对象来描述其空间位形的变化。它通过对物体中各个质点运动状态的研究，达到对物体整体运动的了解

欧拉方法

欧拉方法是连续介质力学中采用的方法.观察者并不随体去考察连续介质中各个质点的运动，而是在固定的空间位置上，考察在不同瞬时经过该空间位置的质点的运动特征。它通过各个空间局部位置上的研究达到对整个介质运动的了解

1.1.1. 描述物体运动的特征量

矢径 $\pmb r$ $t$ 的连续的矢量函数，即

\pmb r=\pmb r(t)

上式对于确定的瞬时t给出了动点在空间确定的位置，所以它描述了整个运动过程中动点空间位置的变化规律，称为动点的运动方程。其矢端曲线(即在某一时间间隔内矢径的端点在空间画出的曲线)给出动点在空问走过的路程，即轨迹，所以该式也是动点轨迹的参数方程

$\Delta t$ $M'$ $\pmb r(t+\Delta t)$ 位移 $\overrightarrow{MM'}$ ，即

\overrightarrow{MM'}=\Delta \pmb r=\pmb r(t+\Delta t)-\pmb r(t)

动点实际走过的路程为：

\Delta s=\widehat{MM'}

$\pmb \tau$ $M$ 的单位切向量，则近似有：

\Delta \pmb r\approx \Delta s\cdot \pmb \tau

$t$ 的瞬时速度矢量为：

\pmb v=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb r}{\Delta t}=\frac{\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}

$\pmb v$ 是一矢量，是矢径对时间的一阶导数，易知

\pmb v=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\pmb \tau

速度大小

v=|\pmb v|=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}

为路程对时间的变化率，速度的方向代表了动点在这一瞬时的运动方向

定义动点在瞬时t的瞬时加速度矢量（简称加速度）为：

\pmb a=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb v}{\Delta t}=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\pmb r}{\mathrm dt^2}

$\pmb v=v\pmb \tau$

由于在曲线运动中速度方向也不断改变，对上式求导得：

\pmb a=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\pmb \tau+v\frac{\mathrm d\pmb \tau}{\mathrm dt}

第一项表示仅仅是速度大小的变化对加速度的贡献，第二项则表示仅仅是速度方向的变化对加速度的贡献，它可以写成

v\frac{\mathrm d\pmb\tau}{\mathrm dt}=v\frac{\mathrm d\pmb\tau}{\mathrm ds}\cdot\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=v^2\frac{\mathrm d\pmb \tau}{\mathrm ds}

$\pmb n$ 表示主法线上指向轨迹内凹方向的单位矢量，则可写出

\frac{\mathrm d\pmb\tau}{\mathrm ds}=\frac{1}{\rho}\pmb n

最后可得加速度表达式：

\pmb a=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\pmb \tau+\frac{v^2}{\rho}\pmb n

记

\pmb a_\tau=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\pmb \tau=\frac{\mathrm d^2s}{\mathrm dt^2}\pmb \tau,\ \ \ \ \pmb a_n=\frac{v^2}{\rho}\pmb n

$\pmb a_\tau$ 沿动点轨迹的切线方向，其大小等于速度大小对时间的变化率，称为切向加速度

$\pmb a_n$ 沿动点轨迹的主法线，指向曲率中心，其大小代表速度矢量方向改变的快慢程度，称为法向加速度

加速度的大小：

|\pmb a|=\sqrt{a_r^2+a_n^2}=\sqrt{\Big(\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\Big)^2+\Big(\frac{v^2}{\rho}\Big)^2}

直角坐标中的运动描述

$Oxyz$ ，动点的矢径可以写成

\pmb r=x\pmb i+y\pmb j+z\pmb k

$\pmb i$ $\pmb j$ $\pmb k$ $x$ $y$ $z$ 轴上的单位矢量，由定义有

\begin{cases} \pmb v=\dot x\pmb i+\dot y\pmb j+\dot z\pmb k\\ \pmb a=\ddot x\pmb i+\ddot y\pmb j+\ddot z\pmb k \end{cases}

速度分量：

\begin{matrix} v_x=\dot x&v_y=\dot y&v_z=\dot z \end{matrix}

速度大小：

v=\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}

加速度分量：

\begin{matrix} a_x=\ddot x&a_y=\ddot y&a_z=\ddot z \end{matrix}

加速度大小：

a=\sqrt{\ddot x^2+\ddot y^2+\ddot z^2}

切向加速度：

a_\tau=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\dot x\ddot x+\dot y\ddot y+\dot z\ddot z}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}}

法向加速度：

a_n\frac{v^2}{\rho}=\frac{\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2}{\rho}

极坐标下的运动描述

$\rho$ $\varphi$ 表示，动点的运动方程为

\begin{matrix} \rho=\rho(t)&\varphi=\varphi(t) \end{matrix}

$\rho^0$ $\pmb r$ 可写成

\pmb r=\rho\pmb \rho^0

$\pmb \rho^0$ $\varphi$ $90^\circ$ $\pmb \varphi^0$ $\pmb \rho^0$ $\pmb \varphi^0$ 组成一个正交的动标架，分析它们的变化规律：

\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm d\varphi}\cdot \frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}=\dot \varphi\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm d\varphi}

其中，

\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm d\varphi}=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\frac{\pmb \rho^0(\varphi+\Delta\varphi)-\pmb \rho^0(\varphi)}{\Delta \varphi}=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb \rho^0}{\Delta \varphi}

$\Delta \varphi\rightarrow 0$ $\Delta \pmb \rho^0$ $\pmb \rho^0$ $\pmb \varphi^0$ 的方向一致，其大小为

\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\Big|\frac{\Delta \pmb \rho^0}{\Delta \varphi}\Big|=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0}\Bigg|\frac{2\sin\frac{\Delta \varphi}{2}}{\Delta \varphi}\Bigg|=1

最后得到：

\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm dt}=\dot\varphi\pmb \varphi^0=\dot{\pmb \varphi}\times \pmb \rho^0

$\pmb k$ 为曲线所在平面的单位法向量，则

\pmb \varphi^0=\pmb k\times \pmb \rho^0

所以

\frac{\mathrm d\pmb \varphi^0}{\mathrm dt}=-\dot{\varphi}\pmb \rho^0=\dot{\pmb \varphi}\times \pmb \varphi^0

因此，极坐标下速度的表达式：

\pmb v=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\rho \pmb \rho^0)=\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dt}\pmb \rho^0+\rho\frac{\mathrm d\pmb \rho^0}{\mathrm dt}=\dot \rho\pmb \rho^0+\rho\dot \varphi\pmb \varphi^0

$v_\rho=\dot \rho$ $v_\varphi=\rho\dot\varphi$ ，速度大小为：

v=\sqrt{v_\rho^2+v_\varphi^2}=\sqrt{\dot\rho^2+(\rho\dot\varphi)^2}

加速度：

\begin{align} \pmb a&=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\dot\rho\pmb \rho^0+\rho\dot\varphi\pmb \varphi^0)\\ &=\ddot\rho\pmb \rho^0+\rho\dot\varphi\pmb \varphi^0+\dot\rho\dot\varphi\pmb \varphi^0+\rho(\ddot\varphi\pmb \varphi^0-\dot\varphi^2\pmb \rho^0)\\ &=(\ddot\rho-\rho\dot\varphi^2)\pmb \rho^0+(\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\dot\varphi)\pmb \varphi^0 \end{align}

$a_\rho=\ddot\rho-\rho\dot\varphi^2$ $a_\varphi=\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\ddot\varphi$

极坐标下加速度大小为：

a=\sqrt{a_\rho^2+a_\varphi^2}=\sqrt{(\ddot \rho-\rho\dot\varphi^2)^2+(\rho\ddot\varphi+2\dot\rho\dot\varphi)^2}

1.2. 惯性定律和伽利略相对性原理

1.2.1. 惯性定律

惯性定律

物体在不受外力作用时的运动状态必定是匀速直线运动或静止

惯性参考系

一定存在着这样的参考系，相对于它，所有不受外力作用的物体都保持匀速直线运动或静止

1.2.2. 伽利略相对性原理

所有的惯性系都是等价的、平权的，在一个惯性系中所能看到的种种力学现象，在另一惯性系中必定也能无任何差别地看到

1.3. 牛顿运动定律和力的独立作用原理

1.3.1. 牛顿运动定律

物体动量的变化与作用力成正比，并发生在力的作用线。数学表达式如下：

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m\pmb v)=\pmb F

特别地，若不考虑质量的变化，则

m\pmb a=\pmb F

牛顿运动定律只适用于惯性系。

1.3.2. 力的独立作用原理

同时施加在某一质点上的各个力彼此是独立无关的，由力的作用所产生的各个加速度也是彼此独认的，只是该质点表现出的最终运动形式(它的加速度)由各个力单独作用于质点时所产生的那些加速度的矢量和来决定。数学表达式如下：

m\pmb a=m\sum\limits_{i=1}^n\pmb a_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i

1.4. 物体的相互作用描述

1.4.1. 力

力的定义

力是物体间的相互作用，是物体机械运动状态发生变化的原因

力的作用效应

力的作用效应可分为外部效应和内部效应两种。外部效应表现为运动状态的改变，内部效应表现为变形和内力的改变

力的性质

凡是真实的力，有受力者必有施力者，反之亦然。
力是物体的相互作用，必然成对出现。
确定一个力，必须确定它的大小、方向和作用点（力的三要素）

1.4.2. 冲量

$\mathrm dt$ $\pmb F\mathrm dt$ $F$ $d\pmb S$ ,即

\mathrm d\pmb S=\pmb F\cdot \mathrm dt

$(t_2-t_1)$ $F$ 对时间的积累效果为

\pmb S=\int_{t_1}^{t_2}\pmb F\cdot \mathrm dt

$\pmb S$ $\pmb F$ $t_2-t_1$ 内的冲量

1.4.3. 功

$F$ $\mathrm ds$ $F$ $\mathrm ds$ $δW$ ，即

\delta W=F\cdot \cos\alpha\cdot \mathrm ds=\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r

功为标量

合力之功定理

$\pmb R$ $\pmb F_1,\pmb F_2,\cdots,\pmb F_n$ 的合力，即

\pmb R=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i

$\pmb R$ $\mathrm d\pmb r$ 上的元功为

\delta W=\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r=\Big(\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i \Big)\cdot \mathrm d\pmb r=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r)=\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i

$\pmb R$ 在无限小位移上的元功等于各分力元功之代数和

$\pmb R$ $\widehat{M_1M_2}$ 的功为

W_R=\int_{\widehat{M_1M_2}}\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r=\sum\limits_{i=1}^n\int_{\widehat{M_1M_2}}\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r=\sum\limits_{i=1}^nW_i

上式说明合力在有限路程上的功等于各分力在同一路程上功的代数和

功率

用功率这一物理量来度量做功的速率，即

P=\frac{\delta W}{\mathrm dt}

功率与速度、加速度等物理量一样，是一瞬时概念。一个力在做功过程中，在不同的瞬时可以具有不同的功率。

P=\frac{\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}=\pmb F\cdot\pmb v

力的功率等于该力与受力质点速度的标量积

1.5. 物体的动力学描述

1.5.1. 质量

惯性质量

牛顿运动定律中出现的质量，是一个反映物体反抗外加的作用力，保持其原来运动状态的物理量

引力质量

万有引力定律中出现的质量，则是一个反映物体之间互相吸引作用的物理量

可以证明，惯性质量和引力质量是相等的

1.5.2. 动量

动量是一个表征物体传递机械运动能力的物理量，定义物体的质量与速度之积为该物体的动量，即：

\pmb p=m\pmb v

$\pmb p$ 是一矢量，它的方向始终与物体速度方向一致

动量定理

微分形式的动量定理：

\mathrm d(m\pmb v)=\pmb F\cdot\mathrm dt

上式表明物体动量的增量等于作用在物体上力的元冲量

积分形式的动量定理：

\int_{t_0}^t\mathrm d(m\pmb v)=\int_{t_0}^t\pmb F\cdot \mathrm dt

得：

m\pmb v-m\pmb v_0=\pmb S

$(t-t_0)$ 内，物体动量的变化等于作用在物体上的力在同一时间间隔内的冲量

1.5.3. 动量矩

动量矩是表征转动物体传递机械运动能力的物理量。物体对于O点的动量矩定义为：

\pmb m_o(m\pmb v)=\pmb r\times m\pmb v

动量矩定理

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb r\times m\pmb v)=\pmb r\times\pmb F

$O$ 的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对同一点之矩

1.5.4. 动能

通过牛顿运动定律，可以把动能和功联系起来：

m\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}\cdot\mathrm d\pmb r=\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r

动能定理的微分形式：

\mathrm d(\frac{1}{2}mv^2)=\pmb F\cdot\mathrm d\pmb r

$T=\frac{1}{2}mv^2$ ，表示动能

\mathrm dT=\delta W

说明了平动物体动能的微分等于作用在物体上的元功

动能定理的积分形式：

\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2=\int_{r_0}^r\pmb F\cdot \mathrm d\pmb r

说明物体在一般路程上动能的变化，等于作用在该物体上的力在同一段路程上所做的功

1.6. 作用与反作用定律

力是成对出现的，通常我们称这一对力中的一个为作用力，另一个为反作用力。牛顿第三定律指出任何两物体彼此之间的相互作用永远相等，且各自指向对方。

1.7. 守恒定律

1.7.1. 动量守恒定律

$\pmb F=\pmb 0$ ，则

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m\pmb v)=0

即：

m\pmb v=\pmb c

表明在不受任何力作用的情况下，物体的动量是一常矢量，由运动的初始条件决定，即物体在运动过程中始终保持其初始时所具有的动量

1.7.2. 动量矩守恒定律

$\pmb r\times \pmb F=\pmb 0$ ，则

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb r\times m\pmb v)=\pmb 0

即：

\pmb r\times m\pmb v=\pmb c

表明作用在物体上所有的力对空间某点的力矩为零时，物体对该点的动量矩是一常矢量，由运动的初始条件决定，即物体在运动过程中始终保持其初始时所具有的动量矩

1.7.3. 机械能守恒定律

保守力

仅是物体位置的函数，而且它们的功只与受力物体在运动过程中初、终位置有关，而与受力物体经过的具体路径无关

机械能守恒

$V$ $T$ ，则

T+V=c

若物体在保守力作用下，其动能和势能可以相互转换，但总值不变，由运动的初始条件决定

1.8. 量纲与单位制

物理量之间并不是互相独立毫无联系的。只要从所有可能的物理量中选择少数几个，对它们的单位作独立规定，再利用其他物理量与这几个物理量之间的关系便可导出所有物理量的单位。这几个被选出来作独立规定单位的物理量叫做基本量，而其他的物理量称为导出量或派生量，不同的基本量的选取就构成了不同的单位制。

$[L]$ $[M]$ $[T]$ 分别表示长度、质量和时间三种量纲。导出的量纲可以用基本量的某一组合来表示

2. 刚体运动学基础

2.1. 约束和约束方程

由运动学分析就能确定的对物体各部分相对位移和相对速度的限制称为约束，其中对物体相对位移的限制又称为几何约束，对物体相对速度的限制又称为运动约束。由约束规定的方程称为约束方程

2.1.1. 柔索约束和刚性约束

$A$ $B$ 之间的约束，约束方程是不等式：

(x_A-x_b)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2\leq l^2

$A$ $B$ 间约束为刚性约束。刚性约束的特征是两点间距离不变，约束方程是等式：

(x_A-x_b)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2= l^2

$AB$ $A$ $B$ $AB$ $B$ $AB$ $A$ $B$ $AB$ 的约束称为柱铰链

$AB$ $Oyz$ 平面内，则约束方程为：

(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2= l^2

2.1.2. 线、面接触约束

物体间的接触约束可以是点约束，线约束和面约束。

轨道对轮心E和F的约束方程为：

z_E=z_F=r(\mathrm{车轮半径})

$C,D$ 的约束方程为：

\pmb v_C=\pmb v_D=\pmb 0

$n$ 个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：

f(\pmb r_1,\pmb r_2,\cdots,\pmb r_n;\pmb v_1,\pmb v_2,\cdots,\pmb v_n;t)\leq 0

2.1.3. 约束的分类

约束方程中显含时间t的约束称为非稳定约束，不显含时间t的约束称为稳定约束；

带不等号的方程表示的约束称为单面约束，带等号的方程表示的约束称为双面约束；

$f(\pmb r_1,\pmb r_2,\cdots,\pmb r_n;t)\leq 0$ 形式的运动约束称为完整约束，不能积分成前述方程形式的运动约束称为非完整约束

2.2. 自由度和广义坐标

$N$ 称为该质点系的自由度数

$q_1,q_2,\cdots,q_N$ 都称为质点系的广义坐标

$\pmb r_i$ $q_1,q_2,\cdots,q_N$ 表示为

\pmb r_i=\pmb r_i(q_1,q_2,\cdots,q_N;t),i=1,2,\cdots,n

刚体的自由度：

刚体是特殊的质点系，各质点之间都存在着刚性约束。如果刚体没有受到其他物体的约束，称为自由刚体。
自由刚体有六个自由度，需要六个广义坐标来描述其位置，并且，刚体上任意三个不共线的点的位置就可以完全确定该刚体的位置。
$6-k$ 个

2.3. 刚体的平动

刚体的平动是刚体运动中最简单的形式，其特征是：在运动中，刚体上任一直线始终平行于其初始位置

在刚体上任取两点A,B，有：

\pmb r_B=\pmb r_A+\overrightarrow{AB}

$t$ 求导，得：

\frac{\mathrm d\pmb r_B}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\pmb r_A}{\mathrm dt}+\frac{\mathrm d {\overrightarrow{AB}}}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d\pmb r_A}{\mathrm dt}

$\pmb v_A=\pmb v_B$

$t$ $\pmb a_A=\pmb a_B$

刚体的平动问题归结为该刚体上任一点的运动问题

2.4. 刚体的定轴转动

刚体在运动中，其上有两点固定，这种运动形式称为定轴转动。过两固定点的直线称为固定轴。

刚体定轴转动时只有一个自由度，仅需一个广义坐标即可描述其位置

$l$ $l$ $O$ $l$ $𝜋$ $𝜋$ $ON$ $ON$ $Ox$ $𝜑$ 为广义坐标，则式

\varphi=\varphi(t)

描写了刚体位置随时间的变化，称为刚体定轴转动的运动方程。

$𝜑$ 的变化速率来描述，定义：

\omega=\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}

为瞬时角速度角速度 $\omega$ $𝜀$ ，即

\varepsilon=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\omega}{\mathrm dt^2}

$[T]^{-1}$ $(rad/s)$ $[T]^{-2}$ ，单位是弧度/秒²

$\pmb \varphi=\varphi\pmb k$

$\pmb k$ $Oz$ 方向的单位矢量，则角速度和角加速度亦可表示成矢量形式

\pmb \omega=\dot\varphi\pmb k,\ \ \ \ \pmb \varepsilon=\ddot \varphi \pmb k

$𝜋$ 上各点的速度和加速度分布

$M$ $M$ $O$ $r$ $M$ 的运动方程为

s=r\varphi(t)

则速度为：

v=\frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}=r\dot \varphi(t)=r\omega

$a_r$ $a_n$ 为

a_r=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=r\dot \omega=r\varepsilon,\ \ \ \ a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2r

加速度大小

a=\sqrt{a_r^2+a_n^2}=r\sqrt{\varepsilon^2+\omega^4}

方向

\tan\alpha=\frac{a_r}{a_n}=\frac{\varepsilon}{\omega^2}

$\pmb \omega$ $M$ 的速度为

\pmb v=\pmb \omega\times \pmb R

$\pmb R$ $M$ 点的矢径

加速度为

\pmb a=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb \omega\times \pmb R)=\pmb\varepsilon\times \pmb R+\pmb\omega\times \pmb v

$\pmb \varepsilon\times R$ $\pmb \omega\times \pmb v=\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \pmb R)$ 为法向加速度

2.5. 动点的速度合成定理

动点相对于定参考系（简称定系）的运动称为绝对运动；动点相对于动参考系（简称动系）的运动称为相对运动。在所考虑的瞬时，假想将动点“冻结”在动参考系上，动系携带着被“冻结”的动点所作的运动称为牵连运动。

动点在定参考系中的轨迹、速度和加速度分别称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度。动点在动参考系中的轨迹、速度和加速度分别称为相对轨迹、相对速度和相对加速度。在所考虑的瞬时，与动点相重合的动参考系上那一点的速度和加速度称为牵连速度和牵连加速度

$\widehat{AB}$ $Oxyz$ $M$ $\widehat{𝐴𝐵}$ $t$ $\widehat{𝐴𝐵}$ $M$ $Δt$ $M’$

$M$ $\Delta \pmb r=\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MM''}+\overrightarrow{M''M'}$

$\overrightarrow{MM''}$ 称为牵连位移，即在所考虑的瞬时，与动点相重合的动参考系上那一点的位移称为动点的牵连位移

$Δ𝑡$ 并求极限：

\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta\overrightarrow{MM''}}{\Delta t}+\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta\overrightarrow{M''M'}}{\Delta t}

$M$ $\pmb v_a$ $\pmb v_e$ $\pmb v_r$

$M$ 的绝对速度等于其牵连速度与相对速度之矢量和。这就是速度合成定理，即：

\pmb v_a=\pmb v_e+\pmb v_r

2.6. 动点的加速度合成定理

$𝐿$ $Oxyz$ $t$ $\widehat{AB}$ $M$ $L$ $t$ $M$ $\pmb v_r$ $\pmb v_e$ $Δt$ $\widehat{𝐴′𝐵′}$ $M$ $M’$ $\pmb v_r'$ $\pmb v_e'$

$t$ $t+\Delta t$ $M$ 的绝对速度分别是

\pmb v_a=\pmb v_e+\pmb v_r\\ \pmb v'_a=\pmb v_e'+\pmb v_r'

$M$ 绝对速度改变量为

\Delta \pmb v_a=(\pmb v'_e-\pmb v_e)+(\pmb v'_r-\pmb v_r)

根据定义，相对运动是动点相对于动参考系的运动，所以在曲线段上看到相对运动中相对速度的改变量为

\Delta\pmb v_r=\pmb v_r'-\pmb v''_r

相对加速度为：

\pmb a_r=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_r}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{v'_r-v''_r}{\Delta t}

相对速度改变量

$L$ $\pmb v_r=\pmb v_r'-\pmb v_r''$ $L$ $t$ $\pmb \omega$ 时，

\pmb v_r''-\pmb v_r=(\pmb \omega\Delta t)\times \pmb v_r

所以

\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\pmb v''_r-\pmb v_r}{\Delta t}=\pmb \omega\times \pmb v_r

牵连加速度为：

\pmb a_e=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta v_e}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{v''_e-v_e}{\Delta t}

$L$ $\pmb v_e=\pmb v_e''$ $L$ $t+\Delta t$ $\pmb \omega'$ 时，由定轴转动的速度分布公式得：

\pmb v_e'-\pmb v_e''=\pmb \omega'\times \overrightarrow{OM'}-\pmb \omega'\times \overrightarrow{OM''}=\pmb \omega'\times \overrightarrow{M''M'}

所以有

\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\pmb v'_e-\pmb v''_e}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\pmb \omega'\times \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\overrightarrow{M''M'}}{\Delta t}=\pmb \omega\times \pmb v_r

$M$ 的绝对加速度为

\begin{align} \pmb a_a&=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb v_a}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_e'-\pmb v_e''}{\Delta t}+\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_e''-\pmb v_e}{\Delta t}+\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_r'-\pmb v_r''}{\Delta t}+\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\pmb v_r''-\pmb v_r}{\Delta t}\\ &=\pmb a_e+\pmb a_r+2\pmb \omega\times \pmb v_r \end{align}

$\pmb a_k=2\pmb \omega\times \pmb v_r$ ，称为科氏加速度，则

\pmb a_a=\pmb a_e+\pmb a_r+\pmb a_k

称为动点的加速度合成定理，即任何瞬时动点的绝对加速度等于该瞬时其牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和；科氏加速度等于动参考系角速度和动点相对速度的矢量积的两倍

3. 刚体的平面运动

3.1. 刚体平面运动方程

3.1.1. 平面运动的概念

$M$ $𝜋$ 的距离保持不变，称该刚体作平面平行运动，简称平面运动。刚体平面运动只有三个自由度。

3.1.2. 刚体平面运动的运动方程

$A$ $x$ $y$ $A$ $S_1$ $AB$ $𝜑$ 。刚体平面运动的运动方程为

\begin{matrix} x=x(t),&y=y(t),&\varphi=\varphi(t) \end{matrix}

$Ax'y'$ $Ax'$ $A𝑦'$ $O_{xyz}$ $O_x$ $O_y$ 平动坐标系 $A$ 基点 $S_1$ $A$ $Ax'y'$ ，定轴转动的合成。

$∆𝜑$ 与基点的选择无关

3.2. 基点法

3.2.1. 分析平面图形速度分布的基点法

$M$ 的速度为

\pmb v_M=\pmb v_e+\pmb v_r

$\pmb c_c$ $M$ 点重合的动坐标系上那一点的速度

$A$ $\pmb v_A$ $\pmb v_c=\pmb v_A$ $M$ $\pmb v_\tau=\pmb \omega\times \overrightarrow{AM}$ ，故

\pmb v_M=\pmb v_A+(\pmb \omega\times \overrightarrow {AM})

$M$ $A$ $A$ $\pmb v_\tau=\pmb \omega\times \overrightarrow{AM}$ 的矢量和

3.2.1. 分析平面图形加速度分布的基点法

在引进基点平动系之后，平面运动分解为跟随基点的平动与绕基点的转动

$B$ 的绝对加速度为

\pmb a_B=\pmb a_e+\pmb a_r+\pmb a_k

$\pmb a_k=\pmb 0$ ，故

\pmb a_B=\pmb a_e+\pmb a_r

$A$ $\pmb a_e=\pmb a_A$ $\pmb \omega$ $\pmb \varepsilon$ $B$ $\pmb a_r^\tau$ $\pmb a_r^n$

其中，

\begin{cases} \pmb a_r^\tau=\pmb\varepsilon \times \overrightarrow{AB}\\ \pmb a_r^n=\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \overrightarrow{AB}) \end{cases}

故

\pmb a_B=\pmb a_A+\pmb\varepsilon \times \overrightarrow{AB}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \overrightarrow{AB})

3.3. 速度投影定理

平面图形在运动中，任意两点沿它们连线方向的相对速度必定为零，即两点的速度在两点连线方向的投影必定相同，才能保证两点距离不变，如图所示：

证明如下

$O_{xyz}$ $A$ $B$ $\pmb r_A$ $\pmb r_B$ ，则刚性约束条件为

(\pmb r_B-\pmb r_A)\cdot (\pmb r_B-\pmb r_A)=l^2=const

$t$ 求导得

(\pmb v_B-\pmb v_A)(\pmb r_B-\pmb r_A)=0

因

(\pmb r_B-\pmb r_A)=\overrightarrow{AB}

故

\pmb v_B\cdot \overrightarrow{AB}=\pmb v_A\cdot \overrightarrow {AB}

即：刚体在运动中任意两点的速度矢量在这两点连线方向的投影相等

3.4. 瞬心

3.4.1. 速度瞬心

$\pmb \omega\neq \pmb 0$ $C$ $\pmb v_c=\pmb 0$ ，称点C为平面图形的瞬时速度中心。简称速度瞬心

求解方法

$\pmb \omega$ $A$ $\pmb v_A$ $Al$ $Al$ $\pmb v_A$ $Al$ $\pmb \omega$ $A$ $90°$ $Al'$ $Al'$ $C$ $AC=v_A/\omega$ $C$ 即为图形的速度瞬心
$C$ 即为速度瞬心
$C$ 即为速度瞬心
已知图形上任意两点的速度平行且相等，方向亦相同，则瞬心在无穷远处。说明图形作瞬时平动
$C$ $A$ 点即为速度瞬心

3.4.2. 加速度瞬心

$\pmb \omega$ $\pmb \varepsilon$ $C^∗$ $\pmb a_{C^*}=\pmb 0$ $\pmb \omega$ $\pmb \epsilon$ $C^∗$ $C^*$ 为瞬时加速度中心，简称加速度瞬心

$M$ 的加速度由下式给出：

\pmb a_M=\pmb a_A+\pmb a_r

其中

\pmb a_r=\pmb\varepsilon \times \overrightarrow{AB}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \overrightarrow{AB})

$\pmb a_r$ 大小

a_r=|\overrightarrow{AM}|\cdot \sqrt{\omega^4+\varepsilon^2},\ \ \ \ \tan\alpha=\frac{\varepsilon}{\omega^2}

$\pmb a_r$ $\pmb a_A$ $Al$ $\pmb \varepsilon$ $\alpha$ $Al'$ $Al'$ $\pmb a_r$ $\pmb a_A$ $\pmb \varepsilon$ $\pmb \omega$ $Al'$ $C^*$ ，使

\pmb a_{C^*}=\pmb a_A+\pmb a_r=\pmb 0

$Al'$ $\pmb \varepsilon\times \pmb a_A$ 所指的一侧，有

|\overrightarrow{AC^*}|=\frac{\pmb a_A}{\sqrt{\varepsilon^2+\omega^4}}

解出

\pmb a_A=-\pmb a_r=-[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AC^*}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{AC^*})]

代入得

\begin{align} \pmb a_M&=\pmb a_A+\pmb a_r\\ &=-[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AC^*}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{AC^*})]+[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{AM})]\\ &=-[\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{C^*M}+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\overrightarrow{C^*M})] \end{align}

3.5. 刚体绕平行轴转动的合成

$OA$ $O_{xy}$ $O_{xy}$ $O_{xy}$ $\pmb \omega_e$ 牵连角速度 $\pmb \omega_r$ 相对角速度 $\pmb \omega_a$

$\pmb \omega_e$ $\pmb \omega_r$ 都沿逆时针方向，如下图所示。
$OA$ $C$ $O_{xy}$ $\pmb v_t$ $\pmb v_e$ 大小相对，方向相反，有
$\pmb v_C=\pmb v_e+\pmb v_r=\pmb 0$
$C$ $\pmb v_e$ $\pmb v_t$ 的定义
$v_e=\omega_e\cdot OC,\ \ \ \ v_r=\omega_r\cdot AC$
$v_e=v_t$ ，故有
$\omega_e\cdot OC=\omega_r\cdot AC$
平面图形角速度
$\omega_a=\frac{v_A}{AC}=\frac{\omega_e(OC+AC)}{AC}$
联立得到
$\omega_a=\omega_e+\omega_r$
说明绕平行轴同向转动时，平面图形的角速度等于牵连速度与相对角速度之和，其转动方向与牵连角速度（或相对角速度）相同
$\pmb \omega_e$ $\pmb \omega_r$ 反之
$OA$ $C$ $\omega_e/\omega_r$ $OC>AC$ $\omega_e<\omega_r$ $OC<AC$ $\omega_e>\omega_r$ ，平面图形加速度：
$\omega_a=\frac{v_A}{AC}=\frac{\omega_e\cdot OA}{AC}$

$OA=|OC-AC|$ ，所以

\omega_a=|\omega_e-\omega_r|

说明绕平行轴反向转动时，平面图形角速度等于牵连角速度与相对角速度之差。其转向与较大的角速度相同

$\omega_e=\omega_r$ 得

\omega_a=|\omega_e-\omega_r|=0

可见这时平面图形的角速度为零，即刚体作平动。角速度大小相等，转动方向相反的两个转动的组合称为转动偶

4. 刚体的定点运动和一般运动

4.1. 刚体定点运动、欧拉角

4.1.1. 定点运动

刚体在运动过程中有一个点固定不动，称为定点运动

4.1.2. 欧拉角

$\psi$ $\theta$ $\varphi$ 为广义坐标，来描述这样的刚体定点运动，通常称为欧拉角

$O$ $Oξηζ$ $Oxyz$ $t=0$ $Oxyz$ $Oζ$ $ψ$ 进动角 $Ox$ $N_0$ $N_1$ $ON_1$ $Oxyz$ $𝑂𝑁_1$ $θ$ 章动角 $Oz$ $Oζ$ $θ$ $Oxyz$ $Oz$ $φ$ ，称为自转角

$Ox$ $𝑂𝑁_1$ $φ$ $𝑂𝑁_2$ $ψ$ $θ$ $φ$ 确定了，则刚体在空间的相对位置即被唯一地确定。因此：

\begin{matrix} \psi=\psi(t)&\theta=\theta(t)&\varphi=\varphi(t) \end{matrix}

就是刚体定点运动的运动方程

4.2. 欧拉位移定理和转动瞬轴

具有一个固定点的刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点的某轴一次转动来完成，该结论称为欧拉位移定理，而该轴称为转动瞬轴

4.3. 角速度和刚体上的速度分布

在定轴转动情况下，定义角速度矢量沿固定转动轴，方向由右手定则确定：

\pmb \omega=\dot \varphi\pmb k

$\pmb k$ 为固定轴方向的单位矢量。根据欧拉位移定理同样可定义

\pmb \omega^*=\frac{\Delta \pmb \varphi}{\Delta t}

$\Delta t$ $OG$ $\Delta t$ $OG$ $OC$ ，因此

\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\pmb \omega^*=\pmb \omega=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta \pmb \varphi}{\Delta t}

$O$ $OC$ ，方向满足右手定则

$\pmb \omega$ $M$ 的速度为：

\pmb v=\pmb \omega\times\pmb r

$\pmb r$ $M$ $\pmb v$ $M$ 的球面的切平面上，上式给出了刚体定点运动的速度分布。

4.4. 角加速度和刚体上的加速度分布

$\pmb \omega$ 随时间的变化率为瞬时角加速度，即

\pmb \varepsilon=\frac{\mathrm d\pmb \omega}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2\pmb \varphi}{\mathrm dt^2}

$\pmb \omega_0$ ，则上式可写为

\begin{align} \pmb \epsilon&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\omega\pmb \omega_0)\\ &=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dt}\pmb \omega_0+\omega\frac{\mathrm d\pmb \omega_0}{\mathrm dt} \end{align}

$\pmb \omega$ $\pmb \epsilon$ $\pmb \omega$ $O$ $\pmb \omega$ $\pmb \epsilon$ 不共线

$M$ 的加速度为：

\begin{align} \pmb a&=\frac{\mathrm d\pmb v}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb \omega\times \pmb r)\\ &=\frac{\mathrm d\pmb\omega}{\mathrm dt}\times \pmb r+\pmb \omega\times\frac{\mathrm d\pmb r}{\mathrm dt}\\ &=\pmb \varepsilon\times \pmb r+\pmb \omega\times \pmb v\\ &=\pmb \varepsilon\times \pmb r+\pmb \omega\times (\pmb \omega\times \pmb r) \end{align}

$\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \pmb r)$ $\pmb \epsilon\times \pmb r$ $\pmb \omega\times \pmb v$ 称为向轴加速度

4.5. 刚体绕相交轴转动的合成

当刚体绕两个相交轴转动时，刚体的瞬时角速度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和，即

\pmb \omega=\pmb \omega_1+\pmb \omega_2

推广到绕多个共点轴转动的情况，即

\pmb \omega=\pmb \omega_1+\pmb \omega_2+\cdots+\pmb \omega_n=\sum\limits_{i=1}^n\pmb \omega_i

如果用欧拉角表示刚体的瞬时角速度

\pmb \omega=\dot{\pmb \psi}+\dot{\pmb \theta}+\dot{\pmb \varphi}

$\pmb i$ $\pmb j$ $\pmb k$ $Oxyz$ 各个坐标轴上的单位矢量，则

\pmb \omega=(\dot \psi\sin\theta\sin\varphi+\dot\theta\cos\varphi)\pmb i+(\dot\psi\sin\theta\sin\varphi-\dot\theta\sin\varphi)\pmb j+(\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi)\pmb k

欧拉运动学方程：

\left\{ \begin{align} \omega_x&=\dot \psi\sin\theta\sin\varphi+\dot\theta\cos\varphi\\ \omega_y&=\dot\psi\sin\theta\sin\varphi-\dot\theta\sin\varphi\\ \omega_z&=\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi \end{align} \right.

规则进动

$\pmb \omega_r$ $\pmb \omega_e$ $\theta$ 为常值，刚体瞬时角速度

\pmb \omega=\pmb \omega_e+\pmb \omega_r

$\theta$ $\omega_r$ $\omega_e$ $\pmb \omega$ $\pmb \omega$ 与固定轴的夹角保持常值

$\pmb \omega$ $\pmb \omega_e$ $\pmb \omega$ 矢量将画出一个正圆锥，矢量端形成圆锥的底面圆

刚体的角速度

\pmb\epsilon=\frac{\mathrm d\pmb \omega}{\mathrm dt}=\pmb \omega_e\times\pmb\omega=\pmb \omega_e\times(\pmb \omega_e\times \pmb \omega_r)=\pmb \omega_e\times \pmb \omega_r

刚体规则进动时，其角加速度矢量等于其公转角速度与自转加速度的矢积

4.6. 刚体的一般运动

自由刚体有6个自由度，需选取6个广义坐标来描述其空间的相对位置，一般采用基点法研究自由刚体的运动

$A$ $A\xi\eta\zeta$ $Axyz$ ，刚体的一般运动分解为随基点平动系的平动与相对于基点平动系的定点运动两部分

$x_A$ $y_A$ $z_A$ $A$ $\psi$ $\theta$ $\varphi$ 来描述刚体的转动，则方程组

\left. \begin{align} x_A&=x_A(t),\ \ \ \ \psi=\psi(t),\\ y_A&=y_A(t),\ \ \ \ \theta=\theta(t),\\ z_A&=z_A(t),\ \ \ \ \varphi=\varphi(t), \end{align} \right\}

即为刚体一般运动的运动方程。

当选取的基点不同时，随基点平动的规律也不同，但可证明刚体相对于基点的瞬时角速度与基点选择无关

一般运动刚体上的速度分布：

\pmb v_M=\pmb v_e+\pmb v_r=\pmb v_A+\pmb \omega\times\overrightarrow{AM}

$A$ $\pmb v_c=\pmb v_A$ $M$ $\pmb v_r$ $M$ $\pmb v_r=\pmb \omega\times\overrightarrow{AM}$

$M$ $A$ $\pmb a_A$ $\pmb a_r=\pmb \epsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times\pmb v_r$ $\pmb a_k=\pmb 0$ $M$ 点的加速度为

\begin{align} \pmb a_M&=\pmb a_A+\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times \pmb v_r\\ &=\pmb a_A+\pmb \varepsilon\times\overrightarrow{AM}+\pmb \omega\times (\pmb \omega\times \overrightarrow{AM}) \end{align}

5. 动力学基本定理

5.1. 内力和外力

如果研究对象是质点系，则作用在质点系上的力可以分为内力和外力两类：

内力是质点系内部各质点之间的相互作用力
外力是质点系以外的物体对质点系的作用力。

内力的两个特点：

成对出现
主矢和主矩皆为零

$\pmb R$ 是所有内力的矢量和

\pmb R^{(i)}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\pmb F^{(i)}_{ij}=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_{ji}^{(i)}

内力的主矩是所有内力对某一点力矩的矢量和

\pmb L_O=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n(\pmb r_i\times \pmb F_{ij}^{(i)})

5.2. 主动力和约束反力

当物体沿着约束所能阻碍地方向有运动趋势时，它就具有改变物体运动状态地作用，就对该物体有力地作用，这种性质地力称为约束反力，约束反力以外的力统称为主动力

5.2.1. 柔索

柔索的特点是只能抗拉。当它受拉时，可以阻止物体沿柔索方向离开，才起约束的作用。所以柔索提供的约束反力，其作用线沿柔索，且背向物体，作用在柔索与物体的连接点上

5.2.2. 刚性约束

保持任意两质点之间的距离不变，这种约束既能承受拉伸也能受压，约束反力沿两质点的连线

5.2.3. 光滑表面

光滑表面提供的约束反力总是过接触点，沿接触表面在该点的公法线方向并指向物体

5.2.4. 光滑的圆柱形铰链

约束反力在与圆柱形孔中心轴线相垂直的平面内，沿圆孔与销钉接触点的公法线

由于作用在零件上的主动力不同，销钉与圆孔的接触点也不同，使得约束反力作用线方向无法确定，一般用经过圆柱形孔中心的两个相互垂直的分量表示

实际圆柱形铰链形式如下：

5.2.5. 球形铰链

在光滑接触条件下，约束反力的作用线必通过球心，通常将约束反力沿坐标轴分解为三个互相正交的分量

5.3. 分离体与受力分析

求解质点系动力学问题的一般步骤：

确定研究对象，取分离体
受力分析
选取坐标系，建立动力学微分方程组
在给定初始条件或边界条件下求解方程

5.4. 动量定理

$n$ $i$ $m_i$ $\pmb v_i$ $\pmb p_i=m_i\pmb v_i$ ，定义质点系的动量为

\pmb p=\sum\limits_{i=1}^n\pmb p_i=\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb v_i

即质点系的动量是系内各质点动量的矢量和

$i$ $\pmb F_i$ ，则由质点动量定理，有

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m_i\pmb v_i)=\pmb F_i,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n

$n$ $\pmb F_i$ $\pmb F_i^{(e)}$ $\pmb F_{ij}^{(i)}(j=1,2,\cdots,n)$ $j=i$ $\pmb F_{ij}^{(i)}=\pmb 0$ $j$ $i$ 个质点的作用力，可知

\pmb F_i=\pmb F_i^{(e)}+\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{ij}^{(i)},\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n

$n$ $\pmb R=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{ij}^{(i)}=\pmb 0$ ，所以

\sum\limits_{i=1}^n\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m_i\pmb v_i)=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_{ij}^{(e)}

交换求导和求和的次序，有

\sum\limits_{i=1}^n\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(m_i\pmb v_i)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\sum\limits_{i=1}^n(m_i\pmb v_i)=\frac{\mathrm d\pmb p}{\mathrm dt}

定义外力系的主矢为

\pmb R^{(e)}=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i^{(e)}

最终得到

\frac{\mathrm d\pmb p}{\mathrm dt}=\pmb R^{(e)}

表明质点系动量对时间的一次导数等于作用于质点系外力系的主矢

注意：

质点系动量定理说明质点系动量的变化只决定于外力的主矢，而与其内力无关
若作用在质点系上的外力系主矢为零，则质点系的总动量不随时间变化
如果质点系外力系的主矢在某一个方向上投影为零，则质点系的动量在该方向上守恒
质点系动量定理的微分形式：
$\mathrm d\pmb p=\pmb R^{(e)}\mathrm dt$
质点系动量定理的积分形式：
$\pmb p_2-\pmb p_1=\int_{t_1}^{t_2}\pmb R^{(e)}\mathrm dt$
动量是该质点的质量与其绝对速度之积

5.5. 质心运动定理

$n$ $i$ $m_i$ $\pmb r_i$ ，质点系的质心位置为

\pmb r_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i}{\sum\limits_{i=1}^nm_i}=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i}{M}

$\pmb r_C$ $C$ $M$ 是质点系的总质量。质心的概念适用于任何质点系，且与外力无关

在直角坐标系中，质心的三个坐标为

\begin{matrix} x_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb x_i}{M}& y_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb y_i}{M}& z_C=\frac{\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb z_i}{M} \end{matrix}

对

M\pmb r_C=\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i

$t$ 求导，得

M\pmb v_C=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb r_i\Big)=\sum\limits_{i=1}^nm_i\pmb v_i

故

M\pmb v_C=\pmb p_C=\pmb p

$M\pmb v_C$ $\pmb p_C$ $\pmb p$ ，两边对时间求导一次，得

\frac{\mathrm d\pmb p_C}{\mathrm dt}=\pmb R^{(e)}

表明质心得动量变化率等于外力系得主矢

5.6. 动量矩定理

$n$ $i$ $m_i$ $\pmb v_i$ $\pmb r_i$ $O$ $\pmb H_{oi}$ ，如图所示，有

\pmb H_{oi}=\pmb r_i\times m_i\pmb v_i\ \ \ \ (i=1,2,\cdots,n)

$O$ 点的动量矩为：

\pmb H_0=\sum\limits_{i=1}^n\pmb H_{oi}=\sum\limits_{i=1}^n\pmb r_i\times m_i\pmb v_i

质点系的动量矩等于系内各质点对同一点动量矩的矢量和

对每一个质点，质点动量矩定理均成立，故

\frac{\mathrm d\pmb H_{oi}}{\mathrm dt}=m_0(\pmb F_i),\ \ \ \ (i=1,2,\cdots,n)

$\pmb F_i$ $i$ $\pmb F_{ij}^{(i)}$ $\pmb F_o^{(e)}$ 两类，故：

\begin{align} \frac{\mathrm d\pmb H_{oi}}{\mathrm dt}&=m_o(\pmb F_i^{(e)})+m_0\Big(\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{ij}^{(i)}\Big)\\ &=m_0(F_i^{(e)})+\sum\limits_{j=1}^nm_0\Big(\pmb F_{ij}^{(i)}\Big), \ \ \ \ (i=1,2,\cdots,n) \end{align}

$n$ 个方程相加，由于内力主矩为零，即

\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^Nm_0(\pmb F_{ij}^{(i)})=0

所以

\sum\limits_{i=1}^n\frac{\mathrm d\pmb H_{oi}}{\mathrm dt}=\sum\limits_{i=1}^nm_0(\pmb F_i^{(e)})

$O$ $\pmb L_0^{(e)}$ ，即

\sum\limits_{i=1}^nm_0(\pmb F_i^{(e)})=\pmb L_0^{(e)}

最终可得

\frac{\mathrm d\pmb H_0}{\mathrm dt}=\pmb L_o^{(e)}

$O$ $\pmb H_0$ 对时间的一阶导数等于作用在质点系上外力系对同一点的主矩

注意：

$\pmb H_0=C$ ，该常矢量由运动的初始条件决定
质点系对固定轴的动量矩定理：
$\left\{ \begin{matrix} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big[\sum\limits_{i=1}^nm_i(\dot z_iy_i-\dot y_iz_i) \Big]=\sum\limits_{i=1}^nm_x(\pmb F_i^{(e)})\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big[\sum\limits_{i=1}^nm_i(\dot x_iz_i-\dot z_ix_i) \Big]=\sum\limits_{i=1}^nm_y(\pmb F_i^{(e)})\\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big[\sum\limits_{i=1}^nm_i(\dot y_ix_i-\dot x_iy_i) \Big]=\sum\limits_{i=1}^nm_z(\pmb F_i^{(e)})\\ \end{matrix} \right.$
质点系所受外力对某一固定点的主矩不为零，但主矩在过该点的某一固定轴上的投影为零，则质点系对此轴的动量矩守恒
动量矩定理微分形式
$\mathrm d\pmb H_0=\pmb L_0^{(e)}\cdot \mathrm dt$
动量矩定理积分形式
$\pmb H_{o2}-\pmb H_{o1}=\int_{t_1}^{t_2}\pmb L_0^{(e)}\mathrm dt$

质点系相对质心的动量矩定理

$Oxyz$ $Cx'y'z'$ $i$ $m$ $Oxyz$ $\pmb r_i$ $\pmb v_i$ $Cx'y'z'$ $\pmb r'_i$ $\pmb v_i'$ $C$ $Oxyz$ $\pmb r_C$ $\pmb v_C$ ，质点系在质心平动坐标系中相对于质心的动量矩为

\pmb H_C'=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb r'\times m_i\pmb v_i')

$O$ 点的动量矩为：

\pmb H_o=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb r_i\times m_i\pmb v_i)

从而

\pmb H_0=\pmb r_C\times M\pmb v_c+\pmb H'_C

$O$ 的动量矩，等于质心的矢径与质点系动量的矢量积以及质点系在相对质心平动坐标系的运动中对质心的动量矩两项之和

在相对质心平动坐标系的运动中，质心系对质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩，如下式

\frac{\mathrm d\pmb H_C'}{\mathrm dt}=\pmb L_C^{(e)}

5.7. 刚体的平面运动

$\pmb F_1$ $\pmb F_2$ $\cdots$ $\pmb F_n$ $n$ $Oxy$ $Cx'y'$ 为质心平动坐标系，将刚体的绝对运动分解成跟随质心的平动和相对质心平动坐标系的转动，则可写出

\frac{\mathrm dp_{Cx}}{\mathrm dt}=M\ddot x_C=R_x\\ \frac{\mathrm dp_{Cy}}{\mathrm dt}=M\ddot y_C=R_y

$M$ $R_x$ $R_y$ $x$ $y$ 方向上的分量，最终可推出

I_C\cdot \varepsilon=L_{Cz}

$I_C$ 是刚体对于通过质心且垂直于平面图形的轴的转动惯量

$I_{Cz}$ 是外力系对通过质心且垂直于平面图形的轴之矩的代数和

$x_C$ $y_C$ $\varphi$ 的封闭方程组

M\ddot x_C=\sum\limits_{i=1}^nF_{ix},\ \ \ \ M\ddot y_C=\sum\limits_{i=1}^NF_{iy},\ \ \ \ I_C\cdot \varepsilon =I_{Cz}

$t=0$ 时，

\begin{align} x_C&=x_{C0},\ \ \ \ \dot x_C=\dot x_{C0}\\ y_C&=y_{C0},\ \ \ \ \dot y_C=\dot y_{C0}\\ \varphi_C&=\varphi_{0},\ \ \ \ \ \ \ \dot \varphi=\dot \varphi_{0} \end{align}

若方程组可解，将得到

x_C=x_C(t),\ \ \ \ y_C=y_C(t),\ \ \ \ \varphi=\varphi(t)

则平面图形的运动状况全部可知

5.8. 力系的功

$\pmb F_i(i=1,2,\cdots,n)$ $\pmb r_i(i=1,2,\cdots,n)$ ，则该力系对质点系的总元功等于各个力所作元功之和，即

\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot\mathrm d\pmb r_i

现讨论具体问题：

作用在平动刚体上外力系的功
$\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_C=\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r_C$
$\pmb R$ 是外力系的主矢，上式表明作用在平动刚体上外力系的总元功，等于外力系的主矢于质心微小位移的标量积
作用在定轴转动刚体上外力系的功
$\pmb F_i(i=1,2,\cdots,n)$ $\pmb F_i$ $\pmb F_{i\tau}$ $\mathrm d\varphi$ ，则受力质点移动的微小弧长为
$\mathrm ds_i=r_i\mathrm d\varphi$
$r_i$ $z$ 的垂直距离。故外力系总元功为
$\begin{align} \delta W&=\sum\limits_{i=0}^nF_{i\tau}\cdot r_i\mathrm d\varphi\\ &=\sum\limits_{i=1}^nL_{zi}\cdot \mathrm d\varphi\\ &=L_z\cdot \mathrm d\varphi \end{align}$
$L_z$ $z$ 的力矩，它等于力系中每一个力对同一个轴力矩的代数和。上式说明作用在定轴转动刚体上外力系的总元功，等于外力系对转轴之矩与微小转角之积
作用在作平面运动刚体上外力系的功
$\pmb F_i$ $\mathrm dr_i$ $\mathrm dr_c$ $r_i'\mathrm d\varphi$ $r_i'$ $\pmb F_i$ 在这两种微小位移上的元功可分别按1和2的情况计算，即
$\begin{align} \delta W&=\sum\limits_{i=0}^n\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_C+\sum\limits_{i=0}^n\pmb F_i\cdot \pmb r_i'\mathrm d\varphi\\ &=\pmb R\cdot \mathrm d\pmb r_C+\pmb L_{Cz}\cdot \mathrm d\varphi \end{align}$
$\pmb L_{Cz}$ $C$ 且垂直于刚体平面图形的轴。上式说明作用在平面运动刚体上外力系的总元功，等于力系主矢在质心位移上的元功与主矩在刚体转动位移上的元功之和
质点系内力的功
$n$ $m_i$ $m_j$ $\pmb F_{ij}$ $\pmb F_{ji}$ $\pmb r_i$ $\pmb r_j$ ，如图所示，则有
$\delta W_{ij}=\pmb F_{ij}\cdot\mathrm d\pmb r_{ij}$
$\mathrm d\pmb r_{ij}$ $m_i$ $m_j$ $m_j$ $m_i$ 距离的微小变化
说明：
- 当两质点间的距离有变化时,一对内力的元功之和不为零
- 当质点系内任意两质点之间距离有变化时，内力的元功之和不为零
- 只有当任意两质点距离不变时，内力的元功之和才为零
- 对于刚体来说，因其任意两质点都受刚性约束，距离不会改变，故内力系元功之和为零

5.9. 动能定理

$T$ 定义为系内各质点动能之和，即

T=\sum\limits_{i=1}^nT_i=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2

故动能总是大于或等于零的

$m_i$ $v_i$ 的质点，有

\mathrm dT=\mathrm d\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2 \Big)=\delta W_i=\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_i

$\pmb F_i$ 为作用在该质点上的合力，是合力的元功之和，作用在该质点上的力可分解为内力和外力，所以

\delta W_i=\delta W_i^{(e)}+\delta W_i^{(i)}

式中，

\delta W_i^{(e)}=\pmb F_i^{(e)}\cdot \mathrm d\pmb r_i\\ \delta W_i^{(i)}=\pmb F_i^{(i)}\cdot \mathrm d\pmb r_i

$n$ 个方程加起来,并在等号左边交换求和与求导次序，得

\mathrm dT=\mathrm d\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2 \Big)=\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i^{(e)}+\sum\limits_{i=1}^n\delta W_i^{(i)}

这就是质点系的动能定理的微分形式，质点系动能的微分，等于作用在质点系上所有力的元功之和

对于质点系,可能存在多个约束反力.若所有的约束反力在可能的位移上所做的元功之和为零，即

\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb N_i\cdot \mathrm d\pmb r_i=0

则称为理想约束。因此，在理想约束下,质点系的动能的变化，决定于全部主动力所做的元功之和，而与约束反力无关

质点系的动能与质心动能的关系

取质心平动坐标系，故

T=\frac{1}{2}Mv_C^2+\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^nm_iv_i'^2

上式说明质点系的动能等于全部质量集中在质心时的质心的动能,加上质点系相对质心平动坐标系运动所具有的动能，这一规律称为柯尼希定理。注意：这一定理仅在以质心为原点的平动坐标系中才成立

应用：

平动刚体的动能
$T=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2=\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i\Big)\cdot v_C^2=\frac{1}{2}Mv_C^2$
定轴转动刚体的动能
$\begin{align} T&=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i(r_i\omega)^2\\ &=\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_ir_i^2 \Big)\cdot \omega^2=\frac{1}{2}I_z\omega^2 \end{align}$
平面运动刚体的动能
$\begin{align} T&=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_iv_i^2=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i(v_C+v_i')^2\\ &=\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i \Big)v_C^2+\frac{1}{2}\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i \Big)v_i'^2+v_C\cdot \sum\limits_{i=1}^nm_iv_i'\\ &=\frac{1}{2}Mv_C^2+\frac{1}{2}I_C\omega^2 \end{align}$

5.11. 保守系统

力场：如果质点在一个空间区域内的任意位置上都受到大小和方向确定的作用力,则称该空间分布了一个力场

保守力场：在质点运动过程中，若力场作用在质点上的力所做的功仅仅取决于质点的起止位置，而与质点所经的具体路径无关，这样的力场就称为有势力场或保守力场

势函数 $\Phi(x,y,z)$ $\Phi(x,y,z)$ 为有势力场的势函数或力函数.

势能函数 $V(x,y,z)=-\Phi(x,y,z)$ $V(x,y,z)$ 为有势力场的势能函数

质点系在保守力场中的动能定理可表述为机械能守恒定律

\mathrm dT=-\sum\limits_{i=1}^n\mathrm dV_i\\ T+V=C

说明保守系统在运动过程的任一位形上动能和势能之和不变，其值由运动的初始条件决定

6. 刚体静力学

6.1. 静力学基础

$\rightarrow$ $\rightarrow$ 平衡力系

$\rightarrow$ 平衡状态

平衡状态

质点：

\pmb v=\pmb v_0(常矢量)

质点系：

\pmb v_k=\pmb v_0(常矢量),\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n

刚体：

\begin{align} \pmb v_i&=\pmb v_c+\pmb \omega\times \pmb r_i\equiv \pmb v_c,\ \ \ \ \forall \pmb r_i\\ \pmb v_c&=\pmb v_0(常矢量),\ \ \ \ \pmb \omega=\pmb 0 \end{align}

平衡力系

质点：

\pmb R\mathop=\limits^{def}\sum\limits_{i}\pmb F_i=\pmb 0

质点系：

\pmb R_k\mathop=\limits^{def}\sum\limits_i\pmb F_{ki}^E+\sum\limits_{j=1}^N\pmb F_{kj}^I=\pmb 0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n\ \ \ \ (\sum\limits_{k=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\pmb F_{kj}^I=\pmb 0)

刚体：

\begin{align} \pmb R&\mathop=\limits^{def}\sum\limits_i\pmb F_i=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(M\pmb v_C)=\pmb 0\\ \pmb L_c&\mathop=\limits^{def}\sum\limits_i\pmb r_i\times \pmb F_i=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\pmb J_c\pmb \omega)=\pmb 0\\ \end{align}\\ 合力(主矢\pmb R)为零，合力矩(主矩\pmb L_c)为零

质点系处于平衡状态的充要条件

\pmb R_k=\pmb 0,\pmb v_k\Big|_{t=0}=\pmb v_0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n

刚体处于平衡状态的充要条件

\pmb R=\pmb 0,\pmb L_c=\pmb 0,\pmb \omega\Big|_{t=0}=\pmb 0

力矩的计算

$\pmb r=r_1\pmb e_1+r_2\pmb e_2+r_3\pmb e_3$ $\pmb F=f_1\pmb e_1+f_2\pmb e_2+f_3\pmb e_3$ $\pmb L=L_1\pmb e_1+L_2\pmb e_2+L_3\pmb e_3$ 如下

\begin{align} \pmb L&=\pmb r\times \pmb F\\ &=\left| \begin{matrix} r_1&r_2&r_3\\ f_1&f_2&f_3\\ \pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3 \end{matrix} \right|= \left| \begin{matrix} \pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\\ r_1&r_2&r_3\\ f_1&f_2&f_3 \end{matrix} \right| \\ &=(r_2f_3-r_3f_2)\pmb e_1+(r_3f_1-r_1f_3)\pmb e_2+(r_1f_2-r_2f_1)\pmb e_3\\ &\mathop=\limits^{\Delta} L_1\pmb e_1+L_2\pmb e_2+L_3\pmb e_3 \end{align}

6.2. 等效力系与力系简化

6.2.1. 等效力系

等效力系

两组力系等效，系指两组力系分别作用于同一物体（质点、质点系、刚体），其动力学特征相同（动量及动量矩的变化率相同）

$\pmb R$ $\pmb L_c$ 相同，即为等效力系

力系主矩定理(对刚体)

\pmb L_A=\pmb L_B+\overrightarrow{AB}\times \pmb R

证明：

\begin{align} \pmb L_A&=\sum\limits_{i}m_A(\pmb F_i)=\sum\limits_i\pmb r_i\times \pmb F_i\\ &=\sum\limits_i(\overrightarrow {AB}+\pmb r_i')\times \pmb F_i=\overrightarrow{AB}\times \sum\limits_i\pmb F_i+\sum\limits_i\pmb r_i'\times \pmb F_i\\ &=\overrightarrow {AB}\times \pmb R+\pmb L_B \end{align}

$\overrightarrow{AB}//\pmb R$ $\pmb L_A=\pmb L_B$ 。由此可得：在力矢量延长线上任取一点作为力作用点，其力矩保持不变

根据主矩定理可以得到

\pmb R=\pmb 0,\pmb L_C=\pmb 0\Leftrightarrow \pmb R=\pmb 0,\pmb L_A=\pmb 0,\forall \pmb A

刚体力系平衡的充要条件：主矢为零、对任一点的主矩为零

刚体力系等效原理

主矢相同、对任一点的主矩相同

力系1与力系2等效的充要条件为：力系1与力系2的主矢相同，力系1与力系2对质心（或其它点）的主矩相同，即有

\begin{cases} \pmb R_1=\pmb R_2\\ \pmb L_{C1}=\pmb L_{C2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \pmb R_1=\pmb R_2\\ \pmb L_{A1}=\pmb L_{A2} \end{cases}, \forall A

其中考虑力系的主矩定理

\pmb L_{A1}=\pmb L_{C1}+\overrightarrow {AC}\times \pmb R_1\\ \pmb L_{A2}=\pmb L_{C2}+\overrightarrow {AC}\times \pmb R_2

力偶

$\{\pmb P, -\pmb P\}$ $\pmb R=\pmb 0$ $C$ 的主矩

\begin{align} \pmb L_C&=\overrightarrow{CA}\times \pmb P+\overrightarrow{CB}\times(-\pmb P)=(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB})\times \pmb P\\ &=\overrightarrow{BA}\times \pmb P\mathop=\limits^{\Delta} \pmb M \end{align}

力矩（力偶矩）与查考点的选取无关，其大小为

|\pmb M|=|\pmb P|d

$d$ 为力偶臂，作用力沿力矢量延长线移动，是相互等效的；作用力平行移动，产生附加力偶

三力平衡原理

若刚体上三力平衡，则三力共面且汇交（平行线相交于无穷远点）

二力构件

三力构件

6.2.1. 力系简化

$\pmb R$ $\pmb L_A$ $A$ $\{\pmb R,\pmb L_A\}$ $\pmb R$ $\pmb L_A$ $A$

$\pmb R$ 为第一不变量

$\{\pmb R,\pmb L_A \}$ $\{\pmb R,\pmb L_B=\pmb 0 \}$ $A$ 点的矩相等，就有

\pmb L_A=\overrightarrow{AB}\times \pmb R\Rightarrow \pmb L_A\perp \pmb R,\pmb L_A\perp \overrightarrow {AB}

上式左边等式实际上是这两力系等效的充分必要条件，右边垂直关系是等效的必要条件

$\pmb L_A\perp \pmb R$ $\pmb R$ $\pmb L_A$ $\Sigma$ $\pmb L_A\perp \overrightarrow{AB}$ $B$ $\Sigma$ 平面中选取，令

\pmb p=\pmb L_A\perp \pmb R\mathop=\limits^\Delta \pmb R^\perp

$\{\pmb L_A,\pmb R,\pmb p\}$ 形成三维直角坐标架。考虑到

\begin{align} \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{AB}_{\pmb R}+\overrightarrow {AB}_{\pmb R^{\perp}}\\ \pmb L_A&=\overrightarrow{AB}\times \pmb R=\overrightarrow{AB}_{\pmb R}\times \pmb R+\overrightarrow{AB}_{\pmb R^\perp}\times \pmb R=\overrightarrow{AB}_{\pmb R^\perp}\times \pmb R \end{align}

$\pmb p=\pmb R^{\perp}$ $B$ 点即可，因此我们取

\overrightarrow{AB}=k\pmb p=k\pmb L_A\times \pmb R,\ \ \ \ k待定

$\pmb L_A=\overrightarrow{AB}\times \pmb R=k(\pmb L_A\times \pmb R)\times \pmb R$ ，取长度

|\pmb L_A|=|k||\pmb L_A|R^2,\ \ \ \ (\pmb R\cdot \pmb R\mathop=\limits^\Delta R^2)

得到

|k|=\frac{1}{R^2}\Rightarrow k=-\frac{1}{R^2},\ \ \ \ (R\neq 0)

于是

\overrightarrow {AB}=-\frac{\pmb L_A\times \pmb R}{R^2}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}

$B$ 点的选择满足了力系等效的条件，事实上

\overrightarrow{AB}\times \pmb R=-\frac{\pmb L_A\times \pmb R}{R^2}\times \pmb R=\pmb L_A

$\{\pmb R\neq \pmb 0,\pmb L_A\}$ $\{\pmb R,\pmb L_B=\pmb 0\}$ $\pmb L_A\perp \pmb R$

$B$ 点取法是不唯一的，事实上一般地可取

\overrightarrow{AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}+\alpha\pmb R,\ \ \ \ \alpha为任意实数

$\pmb R$ $\pmb L_A$ 的值

$\pmb L_A\not\perp \pmb R$ ，就不能作通过选点使主矩为零的简化，但可做一些分析

一般地

\pmb L_A=\pmb L_B+\overrightarrow{AB}\times \pmb R

从而有投影关系

\pmb L_B\cdot \pmb R=\pmb L_A\cdot \pmb R

即，主矩在主矢上的投影不变(第二不变量)

\begin{align} \pmb L_A^{//}&=\Big(\pmb L_A\cdot \frac{\pmb R}{R}\Big)\frac{\pmb R}{R}=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}\\ \pmb L_A^\perp&=\pmb L_A-(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2} \end{align}

$\{\pmb F_A=\pmb R,\pmb L_A\}$ $\{\pmb F_B=\pmb R,\pmb L_B\}$ ，其中同样选择

\overrightarrow{AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A^\perp}{R^2}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}

$B$ ，有

\pmb L_B=\pmb L_A^{//}=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}\mathop=\limits^\Delta \pmb M

$B$ 可以间接证明：

\begin{align} \pmb L_B&=\pmb L_A+\overrightarrow{BA}\times \pmb R=\pmb L_A+\frac{\pmb L_A\times \pmb R}{R^2}\times \pmb R\\ &=\pmb L_A+(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}-(\pmb R\cdot \pmb R)\frac{\pmb L_A}{R^2}\\ &=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2} \end{align}

刚体上力系简化的四种情况

$\pmb R=\pmb 0,\pmb L_A=\pmb 0\Rightarrow$ 平衡力系
$\pmb R=\pmb 0,\pmb L_A\neq \pmb 0\Rightarrow$ $\pmb M=\pmb L_A$
$\pmb R\neq \pmb 0,\pmb L_A\perp\pmb R\Rightarrow$ $\pmb F_B=\pmb R,\overrightarrow{AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}$
$\pmb R\neq \pmb 0,\pmb L_A\not\perp \pmb R\Rightarrow$ $\pmb F_B=\pmb R,\pmb L_B=(\pmb L_A\cdot \pmb R)\frac{\pmb R}{R^2}\mathop=\limits^\Delta\pmb M,\overrightarrow {AB}=\frac{\pmb R\times \pmb L_A}{R^2}$

特别情况：

刚体上平面力系可以简化为合力或合力偶
刚体上空间平行力系可以简化为合力或合力偶
最一般的情形是力螺旋

举例

$n$ $z$ 方向的力

\pmb F_i=(0,0,F_i)

$(x_i,y_i,z_i)$ $i=1,2,\cdots,n$

$(x_B,y_B,0)$ $B$ 点简化，其合力

\pmb F_B=(0,0,F_B),\ \ \ \ \pmb F_B=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i

利用平行力系对原点的矩与等效力对原点的矩相等，可求出等效力的位置坐标

\sum\limits_i\pmb r_i\times \pmb F_i=\pmb r_B\times \pmb F_B\Longrightarrow \sum\limits_i \left|\begin{matrix}x_i&y_i&z_i\\0&0&F_i\\\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\end{matrix} \right|=\left|\begin{matrix}x_B&y_B&0\\0&0&F_B\\\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3 \end{matrix} \right|

其中，

x_B=\frac{\sum\limits_{i=1}^nx_iF_i}{\sum\limits_{i=1}^nF_i},\ \ \ \ y_B=\frac{\sum\limits_{i=1}^ny_iF_i}{\sum\limits_{i=1}^nF_i}

6.2. 静力学分析

分析步骤：

研究对象：确定分离体
受力分析：主动力、被动力（约束力）、受力图
平衡方程：列出平衡方程并求解
结果讨论：讨论与问题总结

对象平衡方程是一组代数方程，平衡方程个数为：

$N$ $\Rightarrow 3N$ 个独立变量
$N$ $\Rightarrow 6N$ 个独立变量

如果通过平衡方程可以解出所有未知量（主要是约束力），称为静定问题；反之，如果不能全部解出未知量，成为静不定问题或超静定问题

桁架结构与常见约束

空间力系平衡方程

$\pmb L$ $\pmb p$

\pmb L=L_1\pmb e_1+L_2\pmb e_2+L_3\pmb e_3,\ \ \ \ \pmb p=p_1\pmb e_1+p_2\pmb e_2+p_3\pmb e_3

$p_1=\cos\alpha,p_2=\cos\beta,p_3=\cos\gamma$ $\pmb p$ 的方向余弦

$\pmb L$ $\pmb p$ 上的投影称为广义的轴距

L_p=\pmb L\cdot \pmb p=L_1p_1+L_2p_2+L_3p_3

$\pmb p,\pmb q,\pmb r$ ，不难证明

\pmb L=\pmb 0\Longleftrightarrow\begin{bmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{bmatrix}=\pmb 0\Longleftrightarrow \begin{bmatrix}p_1&p_2&p_3\\q_1&q_2&q_3\\r_1&r_2&r_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}L_1\\L_2\\L_3\end{bmatrix}=\pmb 0\Longleftrightarrow L_p=L_q=L_r=0

现证明在空间平衡力系中平行不共面的取轴矩最多只能取三条

$A$ $B$ $C$ $D$ $\pmb p$ ，只需证明轴矩关系

L_{Ap}=L_{Bp}=L_{Cp}=0\Longrightarrow L_{Dp}=0

$D$ $ABC$ $D$ $\pmb p$ $D’$ ，我们有

L_{D'p}=\pmb L_{D'}\cdot \pmb p=(\pmb L_D+\overrightarrow {D'D}\times \pmb R)\cdot \pmb p=\pmb L_D\cdot \pmb p=L_{Dp}

$D$ $\overrightarrow{DA}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{CA}$ ，注意到

L_{Ap}=\pmb L_A\cdot \pmb p,\ \ \ \ \pmb L_{Bp}=\pmb L_B\cdot \pmb p=(\pmb L_A+\overrightarrow{BA}\times \pmb R)\cdot \pmb p\\ L_{Cp}=\pmb L_C\cdot\pmb p=(\pmb L_A+\overrightarrow{CA}\times \pmb R)\cdot \pmb p

于是

\begin{align} L_{Dp}&=(\pmb L_A+\overrightarrow{DA}\times \pmb R)\cdot \pmb p=(\pmb L_A+\lambda\overrightarrow{BA}\times \pmb R+\mu\overrightarrow{CA}\times \pmb R)\cdot \pmb p\\ &=(1-\lambda-\mu)L_{Ap}+\lambda L_{Bp}+\mu L_{Cp}=0 \end{align}

得证

摩擦力

摩擦力是两个物体接触处存在的阻碍相对运动的力，库仑摩擦定律表述为：

|\pmb F|\leq F_{\max}=fN,\ \ \ \ |\pmb M|\leq M_{\max}=\delta N

$|\pmb N|=N$ $\pmb F$ $F_\max$ $\pmb M$ $M_\max$ $f$ $\delta$ 为滚动摩擦系数。一般地，动摩擦系数小于静摩擦系数，由于

\pmb F+\pmb N\mathop=\limits^\Delta \pmb S\\ \frac{F_\max}{N}=f\mathop=\limits^\Delta \tan\varphi,\ \ \ \ \varphi=\arctan f

$\pmb S$ $φ$ $\pmb S$ 处于摩擦锥内

7. 刚体动力学

7.1. 矢量力学

7.1.1. 坐标变换

$\pmb u=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3)$ $\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$ ，新旧基向量之间有线性表示(坐标变换)

\pmb e_j=\sum\limits_{i=1}^3\pmb u_iq_{ij},\ \ \ \ j=1,2,3\\ (\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3)\begin{bmatrix} q_{11}&q_{12}&q_{13}\\ q_{21}&q_{22}&q_{23}\\ q_{31}&q_{32}&q_{33} \end{bmatrix}

$\pmb e=\pmb uQ$

$q_{ij}=\pmb u_i\cdot \pmb e_j$ $\pmb u_i$ $\pmb e_j$ $Q=(q_{ij})_{3\times 3}$ ，

$\pmb u_i\cdot \pmb u_i=\delta_{ij}$ $\pmb e_i\cdot \pmb e_j=\delta _{ij}$ ，现对

\pmb e_i=\sum\limits_k \pmb u_kq_{ki},\ \ \ \ \pmb e_j=\sum\limits_l \pmb u_iq_{lj}

做内积，得

\delta _{ij}=\pmb e_i\cdot \pmb e_j=\sum\limits_k q_{ki}q_{kj}

写成矩阵形式

Q^TQ=I=(\delta _{ij})_{3\times 3}, \ \ \ \ Q^{-1}=Q^T

$Q$ $\pmb e$ $\pmb u$ 的坐标变换

\pmb u=\pmb eQ^T

$Q$ $Q$ 一般只有3个独立量

$\pmb u$ $\pmb e$ 为动坐标架，因此有时间导数

\dot{\pmb e}=\pmb u\dot Q=\pmb eQ^T\dot Q

$Q^TQ=I$ 两边求导

0=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(Q^TQ)=\dot Q^TQ+Q^T\dot Q=(Q^T\dot Q)^T+Q^T\dot Q

意味着矩阵

Q^T\dot Q\mathop=\limits^\Delta S(\omega)=\begin{bmatrix} 0&-\omega_3&\omega_2\\ \omega_3&0&-\omega_1\\ -\omega_2&\omega_1&0 \end{bmatrix}

$\pmb p$ $\pmb q$ 有

\pmb p\times \pmb q=S(\pmb p)\pmb q

7.2. 刚体定点运动

7.2.1. 角速度矢量

$\pmb u=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3)$ $\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$ $P$ 的位置矢径

\pmb r=\begin{bmatrix}\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{bmatrix}\mathop=\limits^\Delta \pmb e\cdot r=\pmb uQr

$r=(r_1,r_2,r_3)^T$ $P$ 的速度为

\begin{align} \pmb v&=\dot{\pmb r}=\pmb u\dot Qr=\pmb eQ^T\dot Qr=\begin{bmatrix}\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&-\omega_3&\omega_2\\ \omega_3&0&-\omega_1\\ -\omega_2&\omega_1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}r_1\\r_2\\r_3\end{bmatrix}\\ &=(\omega_2r_3-\omega_3r_3)\pmb e_1+(\omega_3r_1-\omega_1r_3)\pmb e_2+(\omega_1r_2-\omega_2r_1)\pmb e_3\\ &=\left|\begin{matrix}\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\\\omega_1&\omega_2&\omega_3\\r_1&r_2&r_3 \end{matrix}\right|=\pmb \omega\times \pmb r \end{align}

$Q$ ，可称为动坐标架相对于定坐标架的角速度)

\pmb \omega=\omega_1\pmb e_1+\omega_2\pmb e_2+\omega_3\pmb e_3\mathop=\limits^\Delta \pmb e\omega,\ \ \ \ \omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3)^T

$\pmb e$ $\pmb e’$ $\pmb ω$ $\pmb ω’$ ，刚体上某点的速度

\pmb v=\pmb \omega\times \pmb r=\pmb \omega'\times \pmb r,\ \ \ \ \forall \pmb r

$\pmb \omega'=\pmb \omega$ ，即角速度矢量具有不变性，称为刚体的角速度

$\pmb p=\pmb e\begin{bmatrix}p_1&p_2&p_3\end{bmatrix}^T$ 求导，类似有

\begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\pmb p&=\pmb e\begin{bmatrix}\dot p_1\\\dot p_2\\\dot p_3\end{bmatrix}+\dot{\pmb e}\begin{bmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{bmatrix}=\pmb e\begin{bmatrix}\dot p_1\\\dot p_2\\\dot p_3\end{bmatrix}+\pmb eQ^T\dot Q \begin{bmatrix} p_1\\ p_2\\ p_3\end{bmatrix}\\ &\mathop=\limits^\Delta \frac{\tilde{\mathrm d}}{\mathrm dt}\pmb p+\pmb\omega\times\pmb p \end{align}

特别地，基向量的导数

\dot{\pmb e}_i=\pmb \omega\times \pmb e_i,\ \ \ \ i=1,2,3\\ \dot{\pmb e}_i\cdot \pmb e_j=(\pmb \omega\times \pmb e_i)\cdot \pmb e_j=\pmb \omega\cdot(\pmb e_i\times \pmb e_j)

由此得到

\pmb \omega=(\dot{\pmb e}_2\cdot \pmb e_3)\pmb e_1+(\dot{\pmb e}_3\cdot \pmb e_1)\pmb e_2+(\dot{\pmb e}_1\cdot \pmb e_2)\pmb e_3

上述绝对导数与相对导数公式一般可以写成

\frac{\mathrm d^A}{\mathrm dt}\pmb p=\frac{\mathrm d^B}{\mathrm dt}\pmb p+\pmb \omega^{B|A}\times \pmb p

$\frac{\mathrm d^A}{\mathrm dt}$ $\pmb p$ $A$ $\pmb \omega^{B|A}$ $B$ $A$ 的角速度

7.2.2. 刚体定点转动的运动学关系

$Q$ $ZXZ$ 旋转)，计算其旋转变换矩阵

$\{1,2,3\}\Rightarrow \{1',2',3'=3\}$ $z$ $\psi$
$Q_1=\begin{bmatrix} \cos\psi&-\sin\psi&0\\ \sin\psi&\cos\psi&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$
$\{1',2',3'\}\Rightarrow \{1''=1',2'',3''\}$ $x$ $\theta$
$Q_2=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&\cos\theta&-\sin\theta\\ 0&\sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix}$
$\{1'',2'',3''\}\Rightarrow \{1''',2''',3'''=3''\}$ $z$ $\varphi$
$Q_3=\begin{bmatrix} \cos\varphi&-\sin\varphi&0\\ \sin\varphi&\cos\varphi&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$

$\{1,2,3\}$ $\{1’’’,2’’’,3’’’\}$ $\pmb u=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3)$ $\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$ $\{1,2,3\}$ $\{1’’’,2’’’,3’’’\}$ 三次复合变换

\pmb e=\pmb uQ_1Q_2Q_3\mathop=\limits^\Delta \pmb uQ\\ Q=Q_1Q_2Q_3=\begin{bmatrix} \cos \psi\cos\varphi-\sin\psi\cos\theta\sin\varphi&-\cos\psi\sin\varphi-\sin\psi\cos\theta\cos\varphi&\sin\psi\sin\theta\\ \sin\psi\cos\varphi+\cos\psi\cos\theta\sin\varphi&-\sin\psi\sin\varphi+\cos\psi\cos\theta\cos\varphi&-\cos\psi\sin\theta\\ \sin\theta\sin\varphi&\sin\theta\cos\varphi&\cos\theta \end{bmatrix}

$Q$ 求导，并通过角速度矩阵的关系

Q^T\dot Q=\begin{bmatrix} 0&-\omega_3&\omega_2\\ \omega_3&0&-\omega_1\\ -\omega_2&\omega_1&0 \end{bmatrix}

可得刚体定点运动的运动学方程(Euler运动学方程)

\left\{ \begin{align} \omega_1&=\dot\psi\sin\theta\sin\varphi+\dot \theta\cos\varphi\\ \omega_2&=\dot\psi \sin\theta\cos\varphi-\dot\theta\sin\varphi\\ \omega_3&=\dot\psi\cos\theta+\dot\varphi \end{align} \right.

$Q$ ，也确定了随体坐标架的位置

7.2.3. 四元数表示

取

q_0=\cos\frac{\theta}{2},\ \ \ \ q_i=u_i\sin\frac{\theta}{2},\ \ \ \ i=1,2,3

$u_1^2+u_2^2+u_3^2=1$ $q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=1$

$q=(q_1,q_2,q_3)^T$ ，取旋转变换(Rodrigues公式)

Q=(2q_0^2-1)I+2qq^T-2q_0S(q)

$S(q)$ $q$ 的角速度矩阵，可得运动学方程

\begin{bmatrix} \dot q_0\\\dot q \end{bmatrix}= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -q^T\\q_0I+S(q) \end{bmatrix}\omega

7.2.4. 定点旋转动力学

$O$ $\{x,y,z\}$ $\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$ $P$ $i$ 点)，其位置矢径

\pmb r_i=\pmb e\begin{bmatrix}\xi_i\\\eta_i\\\zeta_i \end{bmatrix},\ \ \ \ r_i^2=\xi_i^2+\eta_i^2+\zeta_i^2

刚体动量矩

\begin{align} \pmb H&=\sum\limits_i\pmb r_i\times(m_i\pmb v_i)\\ &=\sum\limits_im_i\pmb r_i\times(\pmb\omega\times \pmb r_i)\\ &=\sum\limits_im_i(\pmb r_i\cdot\pmb r_i)\pmb \omega-\sum\limits_im_i(\pmb \omega\cdot \pmb r_i)\pmb r_i\\ &=\Big(\sum\limits_im_ir_i^2\Big)\pmb \omega-\sum\limits_im_i(\omega_i\xi_i+\omega_2\eta_i+\omega_3\zeta_i)\pmb r_i \end{align}

$\pmb H=H_1\pmb e_1+H_2\pmb e_2+H_3\pmb e_3$ 在随体坐标架上的分量

\begin{align} \begin{bmatrix} H_1\\H_2\\H_3 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} \sum\limits_im_i(\eta_i^2+\zeta_i^2)&-\sum\limits_im_i\xi_i\eta_i&-\sum\limits_im_i\xi_i\zeta_i\\ -\sum\limits_im_i\eta_i\xi_i&\sum\limits_im_i(\zeta_i^2+\xi_i^2)&-\sum\limits_im_i\eta_i\zeta_i\\ -\sum\limits_im_i\zeta_i\xi_i&-\sum\limits_im_i\zeta_i\eta_i&\sum\limits_im_i(\xi_i^2+\eta_i^2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_1\\\omega_2\\\omega_3 \end{bmatrix}\\ &\mathop=\limits^\Delta \begin{bmatrix} J_{11}&-J_{12}&-J_{13}\\ -J_{21}&J_{22}&-J_{23}\\ -J_{31}&-J_{32}&J_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_1\\\omega_2\\\omega_3 \end{bmatrix} \mathop=\limits^\Delta J\omega \end{align}

写成向量及矩阵形式

\pmb H=\pmb e(H_1,H_2,H_3)^T=\pmb eJ\omega,\ \ \ \ \pmb \omega=\pmb e\omega=\pmb e(\omega_1,\omega_2,\omega_3)^T

$J$ 是对称矩阵，称为转动惯量。在刚体转动过程中它是常量（随体坐标下）。相反，若在“定”坐标系中考查转动惯量将是时变的

$\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$ $\pmb e’=(\pmb e’_1,\pmb e’_2,\pmb e’_3)$ 之下，动量矩的表达形式

\pmb H=\pmb e'J'\omega'=\pmb eJ\omega,\ \ \ \ \pmb \omega=\pmb e'\omega'=\pmb e\omega

$\pmb e'=\pmb eP$ $P^{-1}=P^T$ ，从而

\pmb e'\omega'=\pmb eP\omega'=\pmb e\omega\Rightarrow \omega'=P^T\omega\\ \pmb e'J'\omega'=\pmb ePJ'\omega'=\pmb ePJ'P^T\omega=\pmb eJ\omega\Rightarrow J'=P^TJP

$J$ $J’$ $J$ $P$ 使得

P^TJP=\begin{bmatrix} J_1&0&0\\ 0&J_2&0\\ 0&0&J_3 \end{bmatrix}= \mathrm {diag}\{J_1,J_2,J_3\}

$\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$ 即为惯性主轴，则动量矩为

\pmb H=J_1\omega_1\pmb e_1+J_2\omega_2\pmb e_2+J_3\omega_3\pmb e_3

$\overrightarrow{OA}$ (方向)的转动惯量，取单位矢量

\pmb e_1'=\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}

$(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$ $\cos\alpha$ $\cos\beta$ $\cos\gamma$

$\pmb e_2'$ $\pmb e_3'$ $\pmb e’=(\pmb e’_1,\pmb e’_2,\pmb e’_3)$ $\pmb e$ $\pmb e'$ 的变换矩阵为

P=\begin{bmatrix} \cos\alpha&\odot&\odot\\ \cos\beta&\odot&\odot\\ \cos\gamma&\odot&\odot \end{bmatrix}

$\overrightarrow{OA}$ $\pmb e'_1$ 的转动惯量

\begin{align} J_{OA}&=J_{11}'=\sum\limits_{i,j}(P^T)_{1i}(J)_{ij}(P)_{j1}=\begin{bmatrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\end{bmatrix}J\begin{bmatrix}\cos\alpha\\\cos\beta\\\cos\gamma\end{bmatrix}\\ &=J_{11}\cos^2\alpha+J_{22}\cos^2\beta+J_{33}\cos^2\gamma-2J_{12}\cos\alpha\cos\beta-2J_{23}\cos\beta\cos\gamma-2J_{31}\cos\gamma\cos\alpha \end{align}

$x=\frac{\cos\alpha}{\sqrt{J_{OA}}}$ $y=\frac{\cos\beta}{\sqrt{J_{OA}}}$ $z=\frac{\cos\gamma}{\sqrt{J_{OA}}}$ 为参变量，上述方程成为椭球方程

J_{11}x^2+J_{22}y^2+J_{33}z^2-2J_{12}xy-2J_{23}yz-2J_{31}zx=1

$A$ $O$ $\overrightarrow{OA}$ 的转动惯量的平方根成反比，称之为惯量椭球显然，椭球的三个主轴即为中心惯性主轴

7.2.5. 刚体定点转动的动能

\begin{align} T&=\frac{1}{2}\sum\limits_im_iv_i^2=\frac{1}{2}\sum\limits_im_i(\pmb \omega\times \pmb r_i)\cdot \pmb v_i\\ &=\frac{1}{2}\sum\limits_i m_i\pmb \omega\cdot (\pmb r_i\times \pmb v_i)=\frac{1}{2}\pmb \omega\cdot \sum\limits_i\pmb r_i\times (m_i\pmb v_i)\\ &=\frac{1}{2}\pmb \omega\cdot \pmb H=\frac{1}{2}\omega^TJ\omega \end{align}

$J$ 为半正定对称矩阵。如果取惯性主轴，则有

T=\frac{1}{2}J_1\omega_1^2+\frac{1}{2}J_2\omega_2^2+\frac{1}{2}J_3\omega_3^2

7.2.6. 刚体定点运动的动力学方程

在随体坐标架下的动量矩定理

\pmb L=\frac{\mathrm d\pmb H}{\mathrm dt}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times \pmb H

$\pmb L=\pmb e(L_1,L_2,L_3)^T=\pmb eL$ $\pmb H=\pmb e(H_1,H_2,H_3)^T=\pmb eH=\pmb eJ\omega$ ，相对导数为

\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H}{\mathrm dt}=\pmb e_1\dot H_1+\pmb e_2\dot H_2+\pmb e_3\dot H_3=\pmb e(\dot H_1,\dot H_2,\dot H_3)^T=\pmb e\dot H

随体导数可写为

\pmb \omega\times \pmb H=\pmb eS(\omega)H=\pmb eS(\omega)J\omega

于是动量矩定理表述为

\dot H+S(\omega)H=L

或

J\dot\omega+S(\omega)J\omega=L

写成分量形式的动力学方程：

\left\{ \begin{matrix} \dot H_1+\omega_2H_3-\omega_3H_2=L_1\\ \dot H_2+\omega_3H_1-\omega_1H_3=L_2\\ \dot H_3+\omega_1H_2-\omega_2H_1=L_3 \end{matrix} \right.

如果随体坐标架取在惯性主轴上，则可简化为

\left\{ \begin{matrix} J_1\dot\omega_1+(J_3-J_2)\omega_2\omega_3=L_1\\ J_2\dot\omega_2+(J_1-J_3)\omega_3\omega_1=L_2\\ J_3\dot\omega_3+(J_2-J_1)\omega_1\omega_2=L_3 \end{matrix} \right.

$\psi,\theta,\varphi,\omega_1,\omega_2,\omega_3$

7.2.7. 刚体定点运动的动能定理

考查动能变化率

\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\omega^TJ\omega)=\frac{1}{2}(\dot\omega^TJ\omega+\omega^TJ\dot\omega)=\omega^TJ\dot\omega

注意到力矩做功（功率）

\pmb \omega\cdot \pmb L=\omega^TL=\omega^T(J\dot\omega+S(\omega)J\omega)=\omega^TJ\dot\omega

于是主矩做功的功率等于动能变化率，即动能定理

\pmb \omega\cdot\pmb L=\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}

7.2.8. Euler动力学方程的首次积分

$L=0$ ，比如重刚体绕其质心作定点运动， Euler动力学方程转化为

\left\{ \begin{matrix} J_1\dot\omega_1+(J_3-J_2)\omega_2\omega_3=0&\times \omega_1&\times J_1\omega_1\\ J_2\dot\omega_2+(J_1-J_3)\omega_3\omega_1=0&\times \omega_2&\times J_2\omega_2\\ J_3\dot\omega_3+(J_2-J_1)\omega_1\omega_2=0&\times \omega_3&\times J_3\omega_3 \end{matrix} \right.

上式左右两边同乘角速度及动量矩，然后三式相加，得到

\begin{align} J_1\dot\omega_1\omega_1+J_2\dot\omega_2\omega_2+J_3\dot\omega_3\omega_3&=0\Longrightarrow J_1\omega_1^2+J_2\omega_2^2+J_3\omega_3^2=const\ \ \ \ (机械能守恒)\\ J_1^2\dot\omega_1\omega_1+J_2^2\dot\omega_2\omega_2+J_3^2\dot\omega_3\omega_3&=0\Longrightarrow J_1^2\omega_1^2+J_2^2\omega_2^2+J_3^2\omega_3^2=const\ \ \ \ (动量矩大小守恒) \end{align}

边二式分别表示了机械能守恒与动量矩大小守恒（动量矩矢量不一定守恒），这样一来，运动学与动力学微分方程组从6阶降为4阶

7.3.刚体一般运动的动力学

$A$ $\pmb u=(\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3)$ $O$ $\pmb e=(\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3)$ 中研究运动

类似有正交变换

\pmb e=\pmb uQ,\ \ \ \ \pmb u=\pmb eQ^T\\ \dot{\pmb e}=\pmb eQ^T\dot Q=\pmb \omega\times \pmb e

$\pmb \omega$ $\pmb r$ $P$ ，考查其速度及其分解

\begin{align} \pmb r&=\pmb r_o+\pmb r'\\ \pmb v&=\dot{\pmb r}=\dot{\pmb r}_o+\dot{\pmb r}'=\pmb v_o+\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb r'}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times\pmb r'\\ &=\pmb v_r+\pmb v_o+\pmb \omega\times \pmb r'=\pmb v_r+\pmb v_e \end{align}

$\pmb v$ $\pmb v_r=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb r'}{\mathrm dt}$ $\pmb v_e$ 为牵连速度

考查加速度及其分解

\begin{align} \pmb a&=\dot{\pmb v}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb v_r}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times \pmb v_r+\frac{\mathrm d\pmb v_o}{\mathrm dt}+\frac{\mathrm d\pmb\omega}{\mathrm dt}\times\pmb r'+\pmb \omega\times \frac{\mathrm d\pmb r'}{\mathrm dt}\\ &=\pmb a_r+\pmb \omega\times\pmb v_r+\pmb a_o+\pmb\varepsilon\times\pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb v_r+\pmb\omega\times\pmb r')\\ &=\pmb a_r+\pmb a_0+\pmb\varepsilon\times \pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb \omega\times \pmb r')+2\pmb\omega\times \pmb v_r\\ &=\pmb a_r+\pmb a_e+\pmb a_c \end{align}

$\pmb a$ $\pmb a_r$ $\pmb a_e=\pmb a_0+\pmb\varepsilon\times\pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb\omega\times\pmb r')$ $\pmb a_c=2\pmb \omega\times \pmb v_r$ 为哥式加速度

其中角加速度

\pmb \varepsilon=\frac{\mathrm d\pmb \omega}{\mathrm dt}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb \omega}{\mathrm dt}+\pmb\omega\times \pmb \omega=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb \omega}{\mathrm dt}=\pmb e\dot\omega

$\{O,\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\}$ 固连在刚体上，则刚体上一点的速度、加速度有

\begin{align} \pmb v&=\pmb v_o+\pmb \omega\times \pmb r'\mathop=\limits^\Delta \pmb v_e\\ \pmb a&=\pmb a_o+\pmb\varepsilon\times\pmb r'+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times \pmb r')\mathop=\limits^\Delta \pmb a_e \end{align}

$\{A,\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3\}$ $C$ $\{ C,\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\}$ $P$ 的运动

\pmb r_i=\pmb r_c+\pmb r_i'

$M$ $C$ 有关系式

\begin{align} &\sum\limits_im_i\pmb r_i=M\pmb r_C,\ \ \ \ \sum\limits_im_i\pmb r_i=\sum\limits_im_i\pmb r_c+\sum\limits_{i}m_i\pmb r_i'=M\pmb r_c+\sum\limits_im_i\pmb r_i'\\ &\sum\limits_i m_i\pmb r_i'=0,\ \ \ \ \sum\limits_im_i\pmb v_i=\sum\limits_im_i\dot{\pmb r_i}=M\dot{\pmb r}_c=M\pmb v_c \end{align}

得出合力（主矢）与质心加速度的关系

\pmb R=\sum\limits_im_i\ddot{\pmb r}_i=M\ddot{\pmb r}_c=M\pmb a_c

$A$ ，有动量矩定理

\pmb L_A=\frac{\mathrm d\pmb H_A}{\mathrm dt},\ \ \ \ \pmb L_A=\pmb L_c+\pmb r_c\times \pmb R

计算动量矩及其变化率

\begin{align} \pmb H_A&=\sum\limits_i\pmb r_i\times (m_i\pmb v_i)\\ &=\sum\limits_i\pmb r_c\times(m_i\pmb v_i)+\sum\limits_i\pmb r'_i\times (m_i(\pmb v_c+\pmb\omega\times\pmb r_i'))\\ &=\pmb r_c\times(M\pmb v_c)+\sum\limits_im_i\pmb r_i'\times \pmb v_c+\sum\limits_im_i\pmb r_i'\times(\pmb\omega\times \pmb r_i')\\ &=\pmb r_c\times (M\pmb v_c)+\pmb H_c\\ \frac{\mathrm d\pmb H_A}{\mathrm dt}&=\dot{\pmb r}_c\times (M\pmb v_c)+\pmb r_c\times (M\dot{\pmb v_c})+\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt}\\ &=\pmb r_c\times (M\pmb a_c)+\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt} \end{align}

由此得出绕质心转动的动力学

\pmb L_c=\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt}=\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H_c}{\mathrm dt}+\pmb \omega\times \pmb H_c

$\pmb \omega=\pmb e\omega$ $\pmb L_c=\pmb eL_c$ $\pmb H_c=\pmb eH_c=\pmb eJ_c\omega$ ，可以写成矩阵形式

\dot H_c+S(\omega)H_c=L_c

或

J_c\dot\omega+S(\omega)J_c\omega=L_c

可以证明刚体一般运动的动能

T=\frac{1}{2}Mv_c^2+\frac{1}{2}\pmb \omega\cdot \pmb H_c=\frac{1}{2}Mv_c^2+\frac{1}{2}\omega^TJ_c\omega

$x_c,y_c,z_c,\psi,\theta,\varphi,\omega_1,\omega_2,\omega_3$

两类问题：

已知力求运动（解动力学微分方程）
已知（期望）运动求力（控制问题）

7.4. 非惯性系动力学

$\{A,\pmb u_1,\pmb u_2,\pmb u_3\}$ $\{ O,\pmb e_1,\pmb e_2,\pmb e_3\}$ $m$ 之质点的动力学

m\pmb a=\pmb F+\pmb N

$\pmb F$ $\pmb N$ 为被动力(约束力)，加速度有分解式

\begin{align} \pmb a&=\pmb a_r+\pmb a_e+\pmb a_c\\ &=\pmb a_r+\pmb a_o+\pmb \varepsilon\times \pmb r'+\pmb\omega\times(\pmb \omega\times \pmb r')+2\pmb \omega\times\pmb v_r \end{align}

$\pmb a_r$ $\pmb a_e=\pmb a_o+\pmb \varepsilon\times\pmb r'+\pmb \omega\times(\pmb \omega\times\pmb r')$ $\pmb a_c=2\pmb\omega\times\pmb v_r$ $\pmb \omega$ $\pmb \varepsilon$ 分别为非惯性系相对于惯性系的角速度与角加速度

于是有相对运动的动力学方程

m\pmb a_r=\pmb F+\pmb N+\pmb S_e+\pmb S_c

$\pmb S_e=-m\pmb a_e$ $\pmb S_c=-m\pmb a_c$ 称为哥式惯性力，而

\pmb a_r=\frac{\tilde{\mathrm d}^2\pmb r'}{\mathrm dt^2}=\begin{bmatrix}\pmb e_1&\pmb e_2&\pmb e_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\ddot x\\\ddot y\\\ddot z\end{bmatrix}

$(x,y,z)$ 是非惯性系中的坐标(相对坐标)

8. 达朗伯原理

意义： 用静力学的力系平衡条件来处理动力学问题

$m$ 的质点的动力学方程

m\pmb a=\pmb F+\pmb N

$\pmb F$ $\pmb N$ 为被动力(约束力)，定义惯性力

\pmb S=-m\pmb a

则有力系平衡方程

\pmb F+\pmb N+\pmb S=\pmb 0

$n$ 个质点组成的质点系，其达朗伯原理为

\pmb F_k+\pmb N_k+\pmb S_k=\pmb 0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n

$\pmb S_k=-m_k\pmb a_k$ $k$ 个质点的惯性力。这里达朗伯引入的惯性力，不能在同一的非惯性坐标架中描述，可称之为达朗伯惯性力

对于一般刚体运动，可通过质点系力平衡方程相加和力矩平衡方程相加，消除内力影响只留下外约束力，刚体达朗伯原理表示为

\pmb R_F+\pmb R_N+\pmb R_S=\pmb 0\\ \pmb L_{FO}+\pmb L_{NO}+\pmb L_{SO}=\pmb 0

其中惯性力主矢和惯性力主矩分别为

\pmb R_S=-\frac{\mathrm d\pmb p}{\mathrm dt},\ \ \ \ \pmb L_{SO}=-\frac{\mathrm d\pmb H_O}{\mathrm dt}

$O$ 为固定点

$C$ 取矩的刚体运动达朗伯原理为

\pmb R_F+\pmb R_N+\pmb R_S=\pmb 0\\ \pmb L_{FC}+\pmb L_{NC}+\pmb L_{SC}=\pmb 0

这里惯性力主矢和惯性力主矩分别为

\pmb R_S=-M\pmb a_c, \ \ \ \ \pmb L_{SC}=-\frac{\mathrm d\pmb H_c}{\mathrm dt}=-\frac{\tilde{\mathrm d}\pmb H_c}{\mathrm dt}-\pmb \omega\times\pmb H_c

$\pmb \omega=\pmb e\omega$ $\pmb H_c=\pmb eJ_c\omega$

特别地，平面运动刚体的惯性力主矢和惯性力主矩分别为

\pmb R_S=-M\pmb a_c=-M(\ddot{x}_c\ \ \ddot y_c\ \ 0),\ \ \ \ \pmb L_{SC}=-(0\ \ 0\ \ J_c\varepsilon)^T

$\varepsilon=\dot\omega$ 为角加速度

$A$ $\pmb R_A$ $L_A$ $C$ $\pmb R_S$ $\pmb L_{SC}$ ，则“平衡方程”为

\begin{cases} \pmb R_A+\pmb R_S=\pmb 0\\ \overrightarrow{CA}\times\pmb R_A+\pmb L_A+\pmb L_{SC}=\pmb 0 \end{cases}

$C$ 取矩的

$B$ 取矩，将有

\begin{align} &\overrightarrow{BA}\times\pmb R_A+\overrightarrow{BC}\times\pmb R_S+\pmb L_A+\pmb L_{SC}\\ =&(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})\times\pmb R_A+\overrightarrow{BC}\times\pmb R+\pmb L_A+\pmb L_{SC}\\ =&\overrightarrow{BC}\times (\pmb R_A+\pmb R_S)+\overrightarrow{CA}\times\pmb R_A+\pmb L_A+\pmb L_{SC}=\pmb 0 \end{align}

$B$ $C$ 取矩是等价的

9. 虚位移原理

9.1. 虚位移

$n$ $k$ $3n-k$ $m=3n-k$ $i$ 个质点的位置矢径

\pmb r_i=\pmb e\begin{bmatrix}x_i&y_i&z_i\end{bmatrix}^T,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n

通常约束方程可以表示为下面几种情形

\begin{align} f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,x_n,y_n,z_n)=0&\Longrightarrow 定常、完整、双面\\ f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,x_n,y_n,z_n,t)=0&\Longrightarrow 非定常(显含时间t)\\ f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,\dot x_l,\cdots,x_n,y_n,z_n,)=0&\Longrightarrow非完整(含不可积速度约束)\\ f_j(x_1,y_1,z_1,\cdots,x_n,y_n,z_n,t)\leq0(\geq 0)&\Longrightarrow单面(不等式约束) \end{align}

$n$ $k$ $m=3n-k$ $m$ $q=(q_1,q_2,\cdots,q_m)^T$ ，质点系每一质点的位置可表示为

x_i=x_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \ y_i=y_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \ z_i=z_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t)\\ \pmb r_i=\pmb r_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n

考查约束所容许的“无限小”位移

\begin{align} &f_j(\cdots,x_i,y_i,z_i,\cdots,t)=0\\ &f_j(\cdots,x_i+\Delta x_i,y_i+\Delta y_i,z_i+\Delta z_i,\cdots,t+\Delta t)=0 \end{align}

利用Taylor展开，保留线性部分(略去高阶小量)，得到微分形式

\frac{\partial f_j}{\partial t}\mathrm dt+\sum\limits_{i=1}^n\Big(\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm dx_i+\frac{\partial f_i}{\partial y_i}\mathrm dy_i+\frac{\partial f_i}{\partial z_i}\mathrm dz_i \Big)=0

考虑“时间凝固”的位移增量(等时变分)

\mathrm dt\Rightarrow 0,\ \ \ \ (\mathrm dx_i,\mathrm dy_i,\mathrm dz_i)\Rightarrow (\delta x_i,\delta y_i,\delta z_i)\\ \sum\limits_{i=1}^n\Big(\frac{\partial f_i}{\partial x_i}\mathrm \delta x_i+\frac{\partial f_i}{\partial y_i}\mathrm \delta y_i+\frac{\partial f_i}{\partial z_i}\mathrm \delta z_i \Big)

其中，

\begin{align} &(\mathrm dx_i,\mathrm dy_i,\mathrm dz_i)&满足约束条件的位移微分\\ &(\delta x_i,\delta y_i,\delta z_i)&满足约束条件的位移等时变分 \end{align}

如果约束是定常的，位移微分与位移等时变分是一致的。通常真实运动产生的位移称为实位移，它既满足动力学微分方程和初始条件，又满足约束方程，“无限小”的实位移常记成位移微分；仅满足约束方程的位移称为约束容许位 移，在同一时刻两个“无限小”容许位移之差可称为虚位移，实际上就是位移等时变分

由独立广义坐标的变分（虚位移）引起位置矢径的增量（变分）

\begin{align} \delta \pmb r_i&=\pmb r_i(\cdots,q_l+\delta q_l,\cdots,t)-\pmb r_i(\cdots,q_l,\cdots,t)\\ &=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j+O(\|\delta q\|^2)=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j \end{align}

9.2. 力在虚位移上做的功

$n$ $i$ $F_i$ ，则所有力在相应虚位移上作的元功之和（总虚功）为

\delta W=\sum\limits_i\delta W_i=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i

用广义坐标变分来表示

\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j=\sum\limits_{j=1}^m\Big(\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)\delta q_j\mathop=\limits^\Delta \sum\limits_{j=1}^mQ_j\delta q_j

其中广义力为

Q_j=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j},\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m

广义力的量纲取决于广义坐标的量纲，广义力乘以广义坐标的量纲总归是功的量纲

9.3. 约束力做功的问题

9.3.1. 纯滚动(只滚不滑)

$R$ $C$ 的坐标为

\begin{cases} x_C=R\varphi-R\sin\varphi\\ y_C=R-R\cos\varphi \end{cases}

$\varphi$ 为广义坐标，求变分

\begin{cases} \delta x_C|_{\varphi=0}=(1-\cos\varphi)R\delta \varphi|_{\varphi=0}=0\\ \delta y_C|_{\varphi=0}=\sin\varphi R\delta \varphi|_{\varphi=0}=0 \end{cases}

$\delta W=N_x\cdot \delta x_C+N_y\cdot\delta y_C=0$

纯滚动时轮地接触点瞬时速度为零（无滑动），轮心位移及速度为

x_O=R\varphi,\ \ v_O=R\omega

9.3.2. 理想约束

质点系所受的约束力在任意虚位移上做功之和为零，即

\sum\limits_i\pmb N_i\cdot \delta \pmb r_i=0

光滑铰链约束、光滑地面约束、绳索约束、纯滚动约束都是理想约束

在定常约束下，实位移也是虚位移之一。对于非定常约束，如变长度单摆，其虚位移（等时变分）保持与拉力垂直，所做虚功为零，而实位移完全可能不与拉力垂直，所做实功不一定为零。变长度单摆约束仍然是理想约束

9.4. 虚位移(虚功)原理

具有定常、理想约束的质点系保持静止的充要条件是：所有主动力在质点系任何虚位移上所做的总虚功（虚功之和）为零

证明：

$n$ 个质点组成的质点系保持静止，满足力系平衡条件

\pmb F_i+\pmb N_i=\pmb 0,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n

$\pmb F_i$ $i$ $\pmb N_i$ 为约束力

$i$ 个质点上的虚位移，并求和，得到

\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i+\pmb N_i)\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i+\sum\limits_{i=1}^n\pmb N_i\cdot \delta \pmb r_i=0

由于约束是理想的，故约束力在任意虚位移上做功之和为零，即

\sum\limits_i\pmb N_i\cdot \delta \pmb r_i=0

因此主动力总虚功也为零

\sum\limits_i\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i=0

充分性：采用反证法，设主动力总虚功为零，但质点系由静止进入运动。这样质点系动能由零增为大于零，即有动能定理

\mathrm dT=\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i+\pmb N_i)\cdot \mathrm d\pmb r_i=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \mathrm d\pmb r_i+\sum\limits_{i=1}^n\pmb N_i\cdot \mathrm d\pmb r_i>0

$\mathrm d\pmb r_i$ $\delta \pmb r_i=\mathrm d\pmb r_i,\ \ i=1,2,\cdots,n$ ，而理想约束虚功之和为零，得到

\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot\delta \pmb r_i>0

这与主动力虚功之和为零矛盾，得证

$q_1,q_2,\cdots,q_m$ 表述虚位移原理：质点系保持静止的条件是所有广义力为零

\delta W=\sum\limits_{i=1}^n\pmb F_i\cdot \delta \pmb r_i=\sum\limits_{j=1}^mQ_j\delta q_j\xrightarrow[\delta q_1,\cdots,\delta q_m相互独立]{\delta W=0}Q_j=0,\ \ j=1,2,\cdots,m

这里“保持静止”是指原先静止并在主动力作用下仍然保持静止，这个条件不可减少，比如光滑地面上一个质点由一绳牵拉做匀速圆周运动（非平衡状态），但总虚功为零。

9.4.1. 虚位移原理的应用

杠杆原理

考查杠杆在水平位置的平衡，支承点铰链是理想约束，利用虚位移原理

\delta W=F_1\delta y_1+F_2\delta y_2=0

杠杆具有一个自由度，虚位移在水平位置应满足约束条件

\delta y_1/l_1+\delta y_2/l_2=0

由此可得

F_1l_1=F_2l_2

刚体平衡方程

$i$ $F_i$ $A$ $A$ $A$ $6$ 自由度

\pmb r_i=\pmb r_A+\pmb r_i'\\ \delta \pmb r_i=\delta \pmb r_A+\delta \pmb \varphi\times \pmb r_i'

虚功原理给出

\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\delta\pmb r_i=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot (\delta \pmb r_A+\delta\pmb \varphi\times\pmb r_i')=\Big(\sum\limits_i\pmb F_i \Big)\cdot\delta \pmb r_A+\Big(\sum\limits_i\pmb r_i'\times \pmb F_i \Big)\cdot \delta \pmb \varphi=0

$\delta\pmb r_A$ $\delta \pmb \varphi$ 的独立性，即得平衡方程

\sum\limits_i\pmb F_i=\pmb 0,\ \ \sum\limits_i\pmb r_i'\times \pmb F_i=\pmb 0

9.5. 势能原理

一个有势力(保守力)可以表示为一个标量函数的梯度

\pmb F=-\nabla U=-\Big(\frac{\partial U}{\partial x},\frac{\partial U}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial z} \Big)

$U$ 为势能函数

如果质点系中所有主动力均有同一势能函数，则虚功为

\begin{align} \delta W&=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_i(F_{ix}\delta x_i+F_{iy}\delta y_i+F_{iz}\delta z_i)\\ &=-\sum\limits_i\Big(\frac{\partial U}{\partial x_i}\delta x_i+\frac{\partial U}{\partial y_i}\delta y_i+\frac{\partial U}{\partial z_i}\delta z_i \Big)=-\delta U \end{align}

势能原理： $\delta U=0$

用广义坐标表示势能函数（完整约束）

U=U(q_1,q_2,\cdots,q_m)

则有

\delta U=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial U}{\partial q_j}\delta q_j=0\Longrightarrow \frac{\partial U}{\partial q_j}=0\Big(Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j}\Big),j=1,2,\cdots,m

于是在有势力场中的虚位移原理（势能原理）可表示为

\delta W=0\Longleftrightarrow \delta U=0\Longleftrightarrow \frac{\partial U}{\partial q_j}=0,\ \ j=1,2,\cdots,m

有势力场中保持静止（平衡）当且仅当势能取驻值，而稳定平衡意味着势能在平衡点取极小值，即在平衡点有

\delta U=0,\ \ \delta^2U>0

$\delta ^2U$ $\Big(\frac{\partial ^2 U}{\partial q_i\partial q_j}\Big)_{m\times m}$ 正定

10. 拉格朗日/哈密顿力学

10.1. 动力学普遍方程

$n$ 个质点组成的质点系，其达朗伯原理为

\pmb F_k+\pmb N_k+\pmb S_k=\pmb 0,\ \ \ \ k=1,2,\cdots,n

$\pmb F_k$ $\pmb N_k$ $\pmb S_k=-m_k\pmb a_k$ $k$ 个质点的惯性力

质点系动力学问题已转化为力系平衡问题，如果约束是定常和理想的，利用虚位移原理则有

\delta W=\sum\limits_i(\pmb F_i+\pmb N_i+\pmb S_i)\cdot\delta \pmb r_i\\ \xrightarrow[]{\sum\limits_i\pmb N_i\cdot\delta \pmb r_i=0}\sum\limits_i(\pmb F_i-m_i\pmb a_i)\cdot\delta \pmb r_i=0

上述方程称为达朗伯—拉格朗日方程，也称动力学普遍方程。一般地，对于具有理想约束的质点系，动力学普遍方程总是成立的

$n$ $m$ $q_1,q_2,\cdots,q_m$ 。对于完整约束，每个质点的矢径可表为

\pmb r_i=\pmb r_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n

它的等时变分为

\delta \pmb r_i=\sum\limits_{j=1}^m\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\delta q_j,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n

现在来逐项研究动力学普遍方程

\sum\limits_i(\pmb F_i-m_i\pmb a_i)\cdot \delta \pmb r_i=0

利用广义坐标及其变分来分析

\sum\limits_im_i\pmb a_i\cdot \delta \pmb r_i

注意到

\pmb v_i=\dot{\pmb r}_i=\frac{\partial \pmb r_i}{\partial t}+\sum\limits_j\frac{\partial\pmb r_i}{\partial q_j}\dot q_j

$\dot q_1,\dot q_2,\cdots,\dot q_m$ 称为广义速度，再求导

\frac{\part \pmb v_i}{\part \dot q_j}=\frac{\part \pmb r_i}{\part q_j}

考虑到

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j} \Big)=\frac{\partial^2\pmb r_i}{\part t\part q_j}+\sum\limits_k\frac{\partial^2\pmb r_i}{\partial q_k\partial q_j}\dot q_k\\ \frac{\part }{\part q_j}\Big(\frac{\mathrm d\pmb r_i}{\mathrm dt}\Big)=\frac{\partial \pmb v_i}{\partial q_j}=\frac{\partial ^2\pmb r_i}{\partial q_j\partial t}+\sum\limits_k\frac{\partial^2\pmb r_i}{\partial q_j\partial q_k}\dot q_k

假定系统是光滑的，那么二阶混合导数是可交换的，于是得到下式的交换性

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\partial \pmb r_i}{\partial q_j}\Big)=\frac{\part }{\part q_j}\Big(\frac{\mathrm d\pmb r_i}{\mathrm dt}\Big)=\frac{\part \pmb v_i}{\part q_j}

可得

\begin{align} \sum\limits_im_i\pmb a_i\cdot \delta \pmb r_i&=\sum\limits_im_i\dot{\pmb v}_i\cdot\delta \pmb r_i\\ &=\sum\limits_i\Big(m_i\dot{\pmb v}_i\cdot \sum\limits_j\frac{\part \pmb r_i}{\part q_j}\delta q_j\Big)=\sum\limits_j\Big(\sum\limits_im_i\dot{\pmb v}_i\cdot \frac{\part\pmb r_i}{\part q_j}\Big)\delta q_j \end{align}

其中

\begin{align} m_i\dot{\pmb v}_i\cdot \frac{\part \pmb r_i}{\part q_j}&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(m_i\pmb v_i\cdot \frac{\part \pmb r_i}{\part q_j}\Big)-m_i\pmb v_i\cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\part \pmb r_i}{\part q_j}\Big)\\ &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(m_i\pmb v_i\cdot\frac{\part \pmb v_i}{\part \dot q_j}\Big)-m_i\pmb v_i\cdot \Big(\frac{\part \pmb v_i}{\part q_j}\Big)\\ &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\part}{\part \dot q_j}\Big(\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot\pmb v_i\Big)-\frac{\part}{\part q_j}\Big(\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot\pmb v_i\Big) \end{align}

令动能

T=\sum\limits_i\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot \pmb v_i=\sum\limits_i\frac{1}{2}m_iv_i^2

则有

\sum\limits_im_i\pmb a_i\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_j\Big[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\part T}{\part \dot q_j}\Big)-\frac{\part T}{\part q_j}\Big]\delta q_j

将主动力虚功用广义力虚功来表示

\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\delta \pmb r_i=\sum\limits_i\pmb F_i\cdot\sum\limits_j\frac{\part \pmb r_i}{\part q_j}\delta q_j=\sum\limits_j\Big(\sum\limits_i\pmb F_i\cdot \frac{\part \pmb r_i}{\part q_j}\Big)\delta q_j=\sum\limits_jQ_j\delta q_j

得到

\sum\limits_{i=1}^n(\pmb F_i-m_i\pmb a_i)\cdot \delta \pmb r_i=\sum\limits_{j=1}^m\Big[Q_j-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\part T}{\part \dot q_j}\Big)+\frac{\part T}{\part q_j}\Big]\delta q_j=0

$\delta q_1,\delta q_2,\cdots,\delta q_m$ 的独立性，得到第二类拉格朗日方程

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\part T}{\part \dot q_j}\Big)-\frac{\part T}{\part q_j}=Q_j,\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m

拉格朗日方程描述了具有理想、完整约束的质点系的动力学规律

$m$ 个二阶常微分方程组成，可以求解描述质点系（包括刚体）状态的广义坐标随时间的变化规律

10.2. 拉格朗日函数与哈密顿函数

10.2.1. 拉格朗日函数

如果主动力有势，即存在势能函数（与广义速度无关）

U=U(q_1,q_2,\cdots,q_m,t)

使得广义力

Q_j=-\frac{\part U}{\part q_j},\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m

则前述拉格朗日方程可改写成（保守力场）

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\part T}{\part \dot q_j}\Big)-\frac{\part T}{\part q_j}=0,\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m

$L=T-U$ $L=L(q_1,\cdots,q_m,\dot q_1,\cdots,\dot q_m,t)$ 称为拉格朗日函数

这是具有理想、完整约束、主动力有势的一般质点系的动力学方程

10.2.2. 广义动量

$L=L(q_1,\cdots,q_m,\dot q_1,\cdots,\dot q_m,t)$

定义广义动量

p_j=\frac{\part L}{\part \dot q_j}\mathop=\limits^\Delta L=p_j(q_1,\cdots,q_m,\dot q_1,\cdots,\dot q_m,t)\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m

$\dot q_1,\cdots,\dot q_m$

\dot q_j=\dot q_j(q_1,\cdots,q_m,p_1,\cdots,p_m,t),\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m

根据隐函数定理，若下面导函数矩阵

\Big(\frac{\part^2L}{\part\dot q_i\part \dot q_j}\Big)_{m\times m}=\Big(\frac{\part^2T}{\part\dot q_i\part \dot q_j}\Big)_{m\times m}

非奇异，即可解出广义速度。实际上该条件可满足，因为动能具正定性

$q_1,\cdots,q_m,p_1,\cdots,p_m$ 称为哈密顿正则变量

10.2.3. 哈密顿函数

现定义哈密顿函数(广义能量)

H=\sum\limits_jp_j\dot q_j-L=\sum\limits_j\frac{\part L}{\part \dot q_j}\dot q_j-L

对上式微分，得

\begin{align} \mathrm dH&=\sum\limits_jp_j\mathrm d\dot q_j+\sum\limits_j\dot q_j\mathrm dp_j-\sum\limits_j\frac{\part L}{\part q_j}\mathrm dq_j-\sum\limits_j\frac{\part L}{\part \dot q_j}\mathrm d\dot q_j-\frac{\part L}{\part t}\mathrm dt\\ &=\sum\limits_j\dot q_j\mathrm dp_j-\sum\limits_j\dot p_j\mathrm dq_j-\frac{\part L}{\part t}\mathrm dt \end{align}

将哈密顿函数看成广义坐标、广义动量和时间的函数，并作全微分，则有

H=H(q_1,\cdots,q_m,p_1,\cdots,p_m,t),\ \ \ \ \mathrm dH=\sum\limits_j\frac{\part H}{\part q_j}\mathrm dq_j+\sum\limits_j\frac{\part H}{\part p_j}\mathrm dp_j+\frac{\part H}{\part t}\mathrm dt

比较两个微分表达式，就有

\begin{cases} \dot q_j=\frac{\part H}{\part p_j}\\ \dot p_j=-\frac{\part H}{\part q_j} \end{cases}

$j=1,2,\cdots,m$ $\frac{\part H}{\part t}=-\frac{\part L}{\part t}$

哈密顿正则方程 $2m$ 个一阶微分方程

$2m$ $2m$ $1$ ，相空间就是一个二维相平面

如果部分主动力有势，广义力可以分解为

Q_j=Q_j'-\frac{\part U}{\part q_j},\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m

$Q_j'$ 为非保守广义力，则拉格朗日方程可写成

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\part L}{\part \dot q_j}\Big)-\frac{\part L}{\part q_j}=Q_j', \ \ \ \ j=1,2,\cdots,m

哈密顿正则方程可写成

\begin{cases} \dot q_j=\frac{\part H}{\part p_j}\\ \dot p_j=-\frac{\part H}{\part q_j}+Q_j' \end{cases}

$j=1,2,\cdots,m$

10.2.4. 一般质点系的动能

$i$ 个点的位置与速度为

\begin{align} \pmb r_i&=\pmb r_i(q_1,q_2,\cdots,q_m,t),\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n\\ \pmb v_i&=\dot{\pmb r}_i=\frac{\part \pmb r_i}{\part t}+\sum\limits_{j=1}^m\frac{\part \pmb r_i}{\part q_j}\dot q_j,\ \ \ \ i=1,2,\cdots,n \end{align}

质点系动能

\begin{align} T&=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\pmb v_i\cdot \pmb v_i\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\frac{\part \pmb r_i}{\part t}\cdot \frac{\part \pmb r_i}{\part t}+\sum\limits_{j=1}^m\Big(\sum\limits_{i=1}^nm_i\frac{\part \pmb r_i}{\part t}\cdot \frac{\part \pmb r_i}{\part q_j}\Big)\dot{\pmb q}_j+\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^m\Big(\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2}m_i\frac{\part \pmb r_i}{\part q_j}\cdot \frac{\part \pmb r_i}{\part q_k}\Big)\dot q_j\dot q_k\\ &\mathop=\limits^\Delta T_0+T_1+T_2 \end{align}

$T_2$ $\pmb r_i$ $t$ $T_0=0$ $T_1=0$ $T=T_2$

由于动能总是大于等于零，动能恒为零对应质点系静止，所以矩阵

\Big(\frac{\part^2T}{\part\dot q_i\part \dot q_j}\Big)_{m\times m}

为正定对称矩阵。考虑到

\sum\limits_j\frac{\part T_1}{\part \dot q_j}\dot q_j=T_1,\ \ \ \ \sum\limits_j\frac{\part T_2}{\part \dot q_j}\dot q_j=2T_2\\ \sum\limits_j\frac{\part L}{\part \dot q_j}\dot q_j=\sum\limits_j\frac{\part T}{\part \dot q_j}\dot q_j=T_1+2T_2

于是有

H=\sum\limits_j\frac{\part L}{\part \dot q_j}\dot q_j-L=T_1+2T_2-(T-U)=T_2-T_0+U

$T_0=0$ $T_2=T$ $H=T+U$ (机械能)，所以可称哈密顿函数为广义能量

10.2.5. 保守系统的首次积分

$L$ $H$ $q_k$ ，则有

\frac{\part L}{\part q_k}=0\Rightarrow \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\Big(\frac{\part L}{\part \dot q_k}\Big)=0\Rightarrow \frac{\part L}{\part \dot q_k}=\mathrm {const}

或者

\frac{\part H}{\part q_k}=0\Rightarrow \dot p_k=0\Rightarrow p_k=\mathrm {const}

这意味着广义动量守恒，该首次积分通常称为广义动量积分或循环积分

现在考查广义能量的变化率（全导数）

\begin{align} \frac{\mathrm d H}{\mathrm dt}&=\frac{\part H}{\part t}+\sum\limits_j\Big(\frac{\part H}{\part q_j}\dot q_j+\frac{\part H}{\part p_j}\dot p_j\Big)\\ &=\frac{\part H}{\part t}+\sum\limits_j\Big(\frac{\part H}{\part q_j}\frac{\part H}{\part p_j}+\frac{\part H}{\part p_j}\Big(-\frac{\part H}{\part q_j}\Big)\Big)=\frac{\part H}{\part t}=-\frac{\part L}{\part t} \end{align}

$H$ $t$ $L$ $t$ ），则有

\frac{\part H}{\part t}=0\Rightarrow \frac{\mathrm dH}{\mathrm dt}=0\Rightarrow H=\mathrm {const}

意味着广义能量守恒，该首次积分通常称为广义能量积分

这两类首次积分可以总结为：

$H$ $q_k$ $p_k$ 守恒
$H$ $t$ $H$ 守恒