\documentclass{ctexart}

\title{表面张力实验报告}
\author{廖子文\quad PB21030837\quad 1423教室\quad 1号}
\date{2022年4月15日}

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    \large{\textbf{表面张力实验报告}}\\
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    \vspace{0.1cm}廖子文 & PB21030837 & 1423教室 & 1号 & 2022年4月15日
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\begin{document}
\maketitle

\section*{实验器材}
\begin{minipage}[l]{0.65\textwidth}
    焦利秤的构造如图所示，它实际上是一种用于测微小力的精细弹簧秤。一般的弹簧秤都是弹簧秤上端固定，在下端加负载后向下伸长，而焦利秤与之相反，它是控制弹簧下端的位
置保持一定，加负载后向上拉动弹簧确定伸长值。\\
    三线对齐为了保证弹簧下端的位置是固定的，必须三线对齐，即玻璃圆筒$E$上的刻线、
小平面镜上的刻线、$E$上的刻线在小平面镜中的像，三者始终重合。在力$F$作用下弹簧伸
长 $\Delta l$，根据虎克定律可知，在弹性限度内 $F=k\Delta l$ ，将已知重量的砝码加在砝码盘中，测
出弹簧的伸长量，由上式即可计算该弹簧的 $k$ 值，由 $k$ 值就可测外力 $F$ 。
\end{minipage}
\begin{minipage}[l]{0.35\textwidth}
    \centering \includegraphics[scale=0.7]{焦利氏秤.png}\\ \small{图1.密立根油滴仪}\\
\end{minipage}\\

\begin{minipage}[l]{0.65\textwidth}
    金属丝缓慢拉出水面的过程中，金属丝框下面将带起一水膜，当水膜刚被拉断时，诸力的平衡条
件是\[F=mg+2F'\]而\[F'=\sigma l\]
得到\[\sigma =\dfrac{F=mg}{2l}\]
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
    \centering \includegraphics[scale=0.7]{金属丝.png}\\ \small{图2.金属丝}\\
\end{minipage}


\section*{实验原理}
\begin{minipage}{0.65\textwidth}
    液体表面层（其厚度等于分子的作用半径）内的分子所处的环境跟液体内部的分子是不同的。\par
表面层内的分子合力垂直于液面并指向液体内部，所以分子有从液面挤入液体内部的倾向，并使液体表面自然收缩，想象在液面上划一条直线，表面张力就表现为直线两旁的液膜以一定的拉力相互作用。拉力 $F$ 存在
于表面层，方向恒与直线垂直，大小与直线的长度$l$成正比，即\[F=\sigma l\]
式中$\sigma$称为表面张力系数，它的大小与液体的成分、纯度、浓度以及温度有关。
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
    \centering \includegraphics[scale=1.0]{实验原理.png}
\end{minipage}


\section*{实验内容}
\begin{enumerate}[1.]
    \item 确定焦利氏秤上锥形弹簧的劲度系数（基础）\begin{enumerate}[(1)]
        \item 把锥形弹簧，带小镜子的挂钩和小砝码盘依次安装到秤框内的金属杆上。调节支架底座的底脚螺丝，使秤框竖直，小镜子应正好位于玻璃管中间，挂钩上下运动时不致与管摩擦。
        \item 逐次在砝码盘内放入砝码，每次增量 $0.5$g 的砝码，从 $0.5$g $\sim$ $5$g 范围内增加。每次操作都要调节升降钮，做到三线对齐。记录升降杆的位置读数。用最小二乘法和作图法计算出弹簧的劲度系数$k$。
    \end{enumerate}
    \item 用金属圈测量自来水的表面张力系数（基础）\begin{enumerate}[(1)]
        \item 用游标卡尺测量金属圈的直径 $d$；当液膜刚要破裂时，记下金属杆的读数。测量 $5$ 次，取平均，计算自来水的表面张力系数和不确定度。
        \item 取下砝码，在砝码盘下挂上金属圈，仍保持三线对齐，记下此时升降杆读数 $l_0$
        \item 把盛有自来水的烧杯放在焦利氏秤台上，调节平台的微调螺丝和升降钮，使金属圈浸入水面以下
        \item 缓慢地旋转平台微调螺丝和升降钮，注意烧杯下降和金属杆上升时，始终保持三线对齐。当液膜刚要破裂时，记下金属杆的读数。测量 $5$ 次，取平均，计算自来水的表面张力系数和不确定度。
    \end{enumerate}
    \item 用金属丝测量体积分数为$1$\textperthousand 洗洁精的表面张力系数（基础）\begin{enumerate}[(1)]
        \item 用游标卡尺测量金属丝两脚之间的距离 $s$
        \item 取下砝码，在砝码盘下挂上金属丝，仍保持三线对齐，记下此时升降杆读数 $l_0$，然后重复上述 2 中的步骤 (3) 和 (4) 步骤即可
    \end{enumerate}
    \item 运用金属丝测量不同浓度的洗洁精的表面张力系数（至少 3 个不同浓度），得出浓度与表面张力的关系曲线（提升）
\end{enumerate}

\section*{数据处理与不确定度分析}
\subsection*{弹簧劲度系数的测量}
\begin{table}[!h]
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    距离$X$/cm & 8.02  & 8.54  & 8.94  & 9.42  & 9.82  & 10.29 & 10.77 & 11.21 & 11.7  & 12.14 \\ \hline
    质量$m$/g & 0.5   & 1.0   & 1.5   & 2.0   & 2.5   & 3.0   & 3.5   & 4.0   & 4.5   & 5.0 \\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}
\begin{figure}[!h]
    \centering
    最小二乘法\\
    \includegraphics[scale=0.45]{劲度系数最小二乘法.png}\\
    画图法见数据纸
\end{figure}
采用最小二乘法的拟合结果，取$g=9.793\,$m/$\text{s}^{-2}$，则弹簧的劲度系数为\[k=\dfrac{mg}{l}=(1.075\pm 0.068)\,\text{N/m}\]
\subsection*{水表面张力的测量}
\subsubsection*{金属圈直径$d$的测量}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
    \multicolumn{3}{|c|}{金属圈直径$d$/cm} \\ \hline
    4.00  & 3.95  & 4.02  \\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}
\[\bar{d}=\dfrac{d_1+d_2+d_3}{3}=3.99\,\text{cm}\]
由不确定度合成公式 (钢尺允差为 0.02cm)
\[\sigma _d=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{3}(d_i-\bar{d})^2}{2}}=0.036\,\text{cm}\]
A类不确定度为\[u_A=\dfrac{\sigma _d}{\sqrt{3}}=0.0208\,\text{cm}\]
B类不确定度为\[u_B=K_p \dfrac{\Delta _B}{C}=1.960\times \dfrac{0.02}{3}=0.013\,\text{cm}\]
金属圈直径的不确定度为\[U_{d,0.95}=\sqrt{(t_{0.95}u_A)^2+u_B^2}=0.0491\,\text{cm},P=0.95\]
\subsubsection*{弹簧伸长量的测量}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    液体    & 组件    & 初始距离$l_0$/cm & \multicolumn{5}{c|}{破裂时的距离$l$/cm} \\ \hline
    自来水   & 金属圈   & 7.52  & 9.07  & 9.13  & 9.26  & 9.19  & 9.14 \\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}
\[\overline{\Delta l}=\dfrac{\sum_{i=1}^{5}l_i-5\, l_0}{5}=1.638\,\text{cm}\]
\[\sigma _{\Delta l}=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{5}(\Delta l_i-\overline{\Delta l})^2}{4}}=0.071\,\text{cm}\]
由不确定度合成公式（弹簧长度允差为0.01cm）
A类不确定度为\[u_A=\dfrac{\sigma _{\Delta l}}{\sqrt{5}}=0.0317\,\text{cm}\]
B类不确定度为\[u_B=K_p \dfrac{\Delta _B}{C}=1.960\times \dfrac{0.01}{3}=0.0065\,\text{cm}\]
弹簧伸长量的不确定度为\[U_{\Delta l,0.95}=\sqrt{(t_{0.95}u_A^2)+u_B^2}=0.0647\,\text{cm},P=0.95\]
自来水的表面张力系数为\[\sigma =\dfrac{k\overline{\Delta l}}{2\pi \overline{d}}=0.0701\,\text{N/m}\]
由间接不确定度合成公式\[\dfrac{U_{\sigma,0.95}}{\sigma}=\dfrac{\Delta k}{k}+\dfrac{U_{\Delta l,0.95}}{\overline{\Delta l}}+\dfrac{U_{d,0.95}}{\bar{d}}=0.07094\]
\[U_{\sigma ,0.95}=\dfrac{U_{\sigma ,0.95}}{\sigma} \times \sigma=0.0037\,\text{N/m},P=0.95\]
综上，自来水的表面张力系数为\[\sigma =(0.0701\pm 0.0037)\,\text{N/m}\]

\subsection*{洗洁精表面张力系数的测量}
\subsubsection*{金属丝距离的测量}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
    \multicolumn{3}{|c|}{金属丝距离$s$/cm} \\ \hline
    4.25  & 4.23  & 4.24 \\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}
\[\bar{s}=\dfrac{s_1+s_2+s_3}{3}=4.24\,\text{cm}\]
\subsubsection*{弹簧伸长量的测量}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    液体    & 组件    & 初始距离$l_0$/cm & \multicolumn{5}{c|}{破裂时的距离$l$/cm} \\ \hline
    洗洁精   & 金属丝   & 7.67  & 7.81  & 7.89  & 7.9   & 7.85  & 7.85 \\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}
\[\overline{\Delta l}=\dfrac{\sum_{i=1}^{5}l_i-5l_0}{5}=0.19\,\text{cm}\]
\[\sigma=\dfrac{k\overline{\Delta l}}{2\bar{s}}=0.0241\,\text{N/m}\]

\subsection*{自配浓度的洗洁精溶液表面张力系数测量}
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    组件    & 浓度    & 初始距离$l_0$/cm & \multicolumn{3}{c|}{破裂时的距离$l$/cm} & $\overline{\Delta l}/\text{cm}$ & $\sigma /$N$\cdot$m$^{-1}$ \\ \hline
    \multirow{4}[0]{*}{金属丝} & 5.0‰    & 7.37  & 7.87  & 7.95  & 7.95 & 0.553 & 0.0688 \\
        & 1.0\%   & 7.50  & 7.89  & 7.91  & 7.89 & 0.397 & 0.0493 \\
        & 1.5\% & 7.57  & 7.90  & 7.90  & 7.92 & 0.337 & 0.0426 \\
        & 3.0\% & 7.50  & 7.90  & 7.79  & 7.85 & 0.347 & 0.0430 \\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}
\subsection*{洗洁精溶液的表面张力系数与浓度的关系}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.7]{洗洁精浓度拟合.png}
\end{figure}

\newpage
\section*{思考题}
\begin{itemize}
    \item [1、]焦利氏秤法测定液体的表面张力有什么优点？
    \item [答：] \begin{enumerate}[(1)]
        \item  焦利氏称在测量过程中下端保持在三线对齐的位置上，通过上端的位移来称量，可以迅速测出液膜破裂时的弹簧长度
        \item  锥形弹簧可以克服弹簧自重的影响，保持弹簧均匀伸长
        \item  锥形弹簧灵敏度高，劲度系数小，测量精度高
    \end{enumerate}
    \item [2、]焦利氏秤的弹簧为什么做成锥形？
    \item [答：] 为了消除弹簧自重的影响，使弹簧均匀伸长
    \item [3、]实验中应注意哪些地方，才能减小误差？
    \item [答：] \begin{enumerate}[(1)]
        \item 实验前先调节底脚螺丝，调节焦利氏称水平，防止平面镜升降过程中与玻璃管摩擦
        \item 放置砝码等托盘稳定后再读数
        \item 测量清洁精的表面张力系数前先将其混合均匀，防止洗洁精沉降导致溶液各部位浓度不同，表面洗洁精浓度低于平均浓度
        \item 实验用的金属圈和金属丝应当尽量压平，防止表面张力有非竖直分量，使表面张力系数结果偏小
        \item 金属圈或金属丝尽量调整到与液体表面平行
        \item 保持操作前后观察的视角不变，防止三线合一对应的位置发生改变
        \item 缓慢地同时转动平台的高度调节螺母和升降钮，始终保持三线合一
    \end{enumerate}
\end{itemize}

\label{TotalPages}
\end{document}