\documentclass{ctexart}

\title{密立根油滴实验报告}
\author{廖子文\quad PB21030837\quad 1419教室\quad 4号}
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       \large{\textbf{密立根油滴实验报告}}\\
\begin{tabular}{ccccc}
    \vspace{0.1cm}廖子文 & PB21030837 & 1419教室 & 4号 & 2022年3月25日
\end{tabular}}
\fancyfoot[C]{ 第 {\thepage} 页，共 \pageref{TotalPages} 页}
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\begin{document}
\maketitle

\section*{实验目的}
\begin{enumerate}
    \item 学习并控制带电油滴在静电场中的运动
    \item 测量带电油滴在静电场中的运动
    \item 学习元电荷电量的测量统计方法
\end{enumerate}
\section*{实验器材}
密立根油滴仪，包括水平放置的平行极板，调平装置，照明装置，显微镜，电源，计时器，实验油，喷雾器等。\\
\begin{minipage}[l]{0.65\textwidth}
    1—油雾室；2—油雾孔开关；3—防风罩；4—上电极
板；5—胶木圆环；6—下电极板；7—底座；8—上盖
板；9—喷雾；10—油孔雾；11—上电极板压簧；12—
上电极电源插孔；13—油滴盒基座
    \end{minipage}
 \begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
    \includegraphics[scale=0.7]{图片.png}\\ \small{图1.密立根油滴仪}\\ \centering \includegraphics[scale=0.5]{图片2.png} \\ \small{图2.油滴实验装置视场中的分划板} \\
 \end{minipage}\\
\section*{实验原理}
用油滴法测电子的电荷，可以用动态测量法和平衡测量法，也可以改变油滴的带电量，用动态测量法和平衡测量法测量油滴带电量的改变量。本次实验用平衡测量法测量，通过油滴在平行板间受到重力和电场力的作用，测量油滴匀速下落的时间$t_f$和平衡电压$U$值，并对已知量带入相应公式求得油滴半径$r_0$和带电量$q$，进而求得实验测得的元电荷的平均值$\overline{q}$，并和标准值比较

\subsection*{平衡测量法}
平衡测量法的出发点是，使油滴在均匀电场中静止在某一位置，或在重力场中作匀速运动。
当油滴在电场中平衡时，油滴在两极板间受到电场力$qE$、重力$m_1g$和浮力$m_2g$达到平衡，从
而静止某一位置。即\[qE=m_1g-m_2g\]
油滴的半径$r_0=\left[\dfrac{9\eta v_f}{2g(\rho_1-\rho_2)} \right]^{\frac{1}{2}}$
油滴在重力场中作匀速运动时，情形同动态测量法，空气粘度的修正$\eta ^{'}=\eta \dfrac{1}{1+\frac{b}{pr_0}}$，电场$E=\dfrac{U}{d}$，下落速度$v_f=\dfrac{s}{t_f}$
油滴带电量$q$最终的计算表达式为：
\[q=9\sqrt{2}\pi d\left[\dfrac{(\eta s)^3}{(\rho_1-\rho_2)g}\right]^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{U}\left[\dfrac{1}{1+\frac{b}{pr_0}}\right]^{\frac{3}{2}}(\dfrac{1}{t_f})^{\frac{3}{2}}\]
  其中，油滴密度$\rho_1=981\,\text{kg/m}^3$，空气密度$\rho_2=1.293\,\text{kg/m}^3$，空气压强$p=1.013 \times 10^5\,$Pa，修正常数$b=0.00823\,$N/m，粘度$\eta=1.32 \times 10^{-5}\,\text{Pa}\cdot \text{s}$，两极板距离$d=5\,$mm，油滴下落距离$s=2\,$mm，重力加速度$g=9.79\,\text{kg/m}\cdot \text{s}^{-2}$ \par

\subsection*{元电荷的测量法}
\par 测量油滴上所带电荷的目的，是找出电荷的最小单位 。为此可以对不同的油滴，分别测出其
所带的电荷值$q_I$，它们应近似为某一最小单位的整数倍。此最小单位，为油滴电荷量的最大公约数，
或不同油滴带电量之差的最大公约数，即为元电荷。有\[q_i=n_{e_i}e\quad \text{（其中$n_i$为一整数）}\]
实验中常采用紫外线、 射线或放射源等照射油滴，来改变同一油滴所带的电荷。测量油滴上所带电荷的改变值$\Delta q_i$，而$\Delta q_i$值也应是元电荷的整数倍\par
也可用作图法$e$值，由$q_i=n_{e_i}e$，$e$为直线方程的斜率，通过拟合曲线，即可求得$e$值

\section*{实验步骤}
\begin{enumerate}
    \item 选择大小适中的带电油滴，（一般直径在1mm左右），调节平衡电压$U$，使油滴平衡
    \item 在重力场中测油滴下落时间$t_f$，每个油滴重复8次，下落距离$s$为$2$mm
    \item 再测量两颗油滴作为对照
\end{enumerate}

\newpage
\section*{实验数据}
\begin{table}[!ht]
  \centering
  第一颗油滴\\
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
        & 下落时间$t_f$/s     & 平衡电压$U$/V     & 带电量$q$/$10^{-19}$C     & 电子数$n_e$  & 误差 \\ \hline
  1     & 24.62 & 187   & 5.44 & 3 & 13.4\% \\ \hline
  2     & 24.44 & 189   & 5.44 & 3 & 13.5\% \\ \hline
  3     & 24.82 & 190   & 5.29 & 3 & 10.2\% \\ \hline
  4     & 23.76 & 181   & 5.94 & 4 & 7.1\% \\ \hline
  5     & 24.00 & 182   & 5.82 & 4 & 9.0\% \\ \hline
  6     & 24.16 & 183   & 5.72 & 4 & 10.5\% \\ \hline
  7     & 24.48 & 184   & 5.58 & 3 & 16.3\% \\ \hline
  8     & 24.68 & 185   & 5.48 & 3 & 14.2\% \\ \hline
  \end{tabular}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
  \centering
  第二颗油滴\\
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
        & 下落时间$t_f$/s     & 平衡电压$U$/V     & 带电量$q$/$10^{-19}$C     & 电子数$n_e$  & 误差 \\ \hline
  1     & 34.02 & 350   & 1.750 & 1     & 9.30\% \\ \hline
  2     & 34.14 & 353   & 1.725 & 1     & 7.80\% \\ \hline
  3     & 34.50 & 347   & 1.726 & 1     & 7.90\% \\ \hline
  4     & 33.82 & 348   & 1.776 & 1     & 11.0\% \\ \hline
  5     & 34.21 & 349   & 1.739 & 1     & 8.70\% \\ \hline
  6     & 34.70 & 351   & 1.691 & 1     & 5.70\% \\ \hline
  7     & 34.31 & 352   & 1.717 & 1     & 7.30\% \\ \hline
  8     & 33.98 & 354   & 1.733 & 1     & 8.30\% \\ \hline
  \end{tabular}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
    \centering
    第三颗油滴\\
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
      \hline
          & 下落时间$t_f$/s     & 平衡电压$U$/V     & 带电量$q$/$10^{-19}$C     & 电子数$n_e$  & 误差 \\ \hline
    1     & 28.12 & 234   & 3.532 & 2     & 10.4\% \\ \hline
    2     & 27.96 & 229   & 3.641 & 2     & 13.8\% \\ \hline
    3     & 27.57 & 231   & 3.690 & 2     & 15.3\% \\ \hline
    4     & 27.73 & 232   & 3.641 & 2     & 13.8\% \\ \hline
    5     & 27.80 & 233   & 3.611 & 2     & 12.9\% \\ \hline
    6     & 28.01 & 235   & 3.538 & 2     & 10.6\% \\ \hline
    7     & 28.03 & 230   & 3.611 & 2     & 12.9\% \\ \hline
    8     & 27.92 & 228   & 3.666 & 2     & 14.5\% \\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}

\newpage
\subsection*{数据处理与不确定度分析}
对第二颗油滴的数据进行数据分析，$n=8,n_e=1$\par
平衡电压平均值$U$为\[\overline{U}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}U_i=\dfrac{350+353+347+348+349+351+352+354}{8}=350.5\,\text{V}\]
标准差为\[\sigma _U=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(\overline{U}-U_i)^2}{n-1}}=2.29\,\text{V}\]
电压的A类不确定度为\[u_A=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(\overline{U}-U_i)^2}{n(n-1)}=\dfrac{\sigma _U}{\sqrt{8}}\approx 0.810\,\text{V}\]
电压的展伸不确定度为\[U_{U,0.95}=\sqrt{(t_{0.95}u_A)^2+(K_p \dfrac{\Delta _B}{C})^2}=\sqrt{(2.37\times 0.810)^2+(1.96\times \dfrac{1}{3})^2}=2.02 \,\text{V},P=0.95\]
油滴下落时间的平均值为\[\overline{t_f}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}t_{f_i}=\dfrac{34.02+34.14+34.50+33.82+34.21+34.70+34.31+33.98}{8}=34.21\,\text{s}\]
标准差为{\large \[\sigma _{t_f}=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(t_f-t_{f_i})^2}{n-1}}=0.27\,\text{s} \]}
下落时间$t_f$的A类不确定度为\[u_A=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(\overline{t_f}-t_i)^2}{n(n-1)}}=\dfrac{\sigma _{t_f}}{\sqrt{n}}=\dfrac{0.27}{\sqrt{8}}=0.095\, \text{s}\]
展伸不确定度为\[U_{t_f,0.95}=\sqrt{(t_{0.95}u_A)^2+(K_p \dfrac{\Delta B}{C})^2}=\sqrt{(2.37\times 0.095)^2+(1.96\times \dfrac{0.2}{3})^2}=0.260 \,\text{s},P=0.95\]
油滴带电量$q$的平均值为\[\overline{q}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}q_i=\dfrac{1.750+1.725+1.726+1.776+1.739+1.391+1.717+1.733}{8}\times 10^{-19}\approx 1.732\times 10^{-19} \,\text{C}\]
标准差为\[\sigma _q=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(\overline{q}-q_i)^2}{n-1}}=0.021\times 10^{-19}\, \text{C} \]
油滴带电量$q$的A类不确定度为\[u_A=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}(\overline{q}-q_i)^2}{n(n-1)}}=\dfrac{\sigma _q}{\sqrt{n}}=0.007\times 10^{-19} \,\text{C} \]
由公式$q=9\sqrt{2}\pi d\left[\dfrac{(\eta s)^3}{(\rho_1-\rho_2)g}\right]^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{U}\left[\dfrac{1}{1+\frac{b}{pr_0}}\right]^{\frac{3}{2}}(\dfrac{1}{t_f})^{\frac{3}{2}}$\par
取对数微分，得到带电量$q$的展伸不确定度为\[\dfrac{U_{q,0.95}}{\overline{q}}=\sqrt{1^2\times (\dfrac{U_{U,0.95}}{\overline{U}})^2+(\dfrac{3}{2})^2\times (\dfrac{U_{t_f,0.95}}{\overline{t_f}})^2}=\sqrt{(\dfrac{2.02}{350.5})^2+(\dfrac{3}{2}\times \dfrac{0.260}{34.21})^2}=5.8\times 10^{-3},P=0.95\]
\[U_{q,0.95}=5.8\times 10^{-3}\times 1.732\times 10^{-19}=1.00\times 10^{-21}\,\text{C},P=0.95\]
根据置信概率$P=0.95$，测量结果的最终表达式为\[q=\overline{q}+U_{q,0.95}=(1.732\pm 1.00)\times 10^{-19}\, \text{C},P=0.95\]
故所测得的元电荷$e$为\[e=\dfrac{q}{n_e}=\dfrac{q}{1}=(1.732\pm 1.00)\times 10^{-19}\,\text{C}\]

{三颗油滴的电荷量$q/\, 10^{-19}\text{C}$分别为：
\begin{table}[!ht]
  \centering
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    & 第一滴 & 第二滴 & 第三滴 \\ \hline
    带电量 & 5.590 & 1.732 & 3.616 \\ \hline
  \end{tabular}
\end{table}

油滴带电量的拟合图像为\centering
\begin{figure}[!h] \includegraphics[scale=1.2]{图片.png}\end{figure}}

\newpage
\section*{思考题}

\subsection*{预习思考题}
\begin{itemize}
  \item [1.]为什么必须使油滴作匀速运动或静止运动状态？
  \item []答：实验原理要求油滴受力平衡，即油滴做匀速运动或者处于静止状态
  \item [2.]相对于下落的微小油滴而言，空气能看成理想流体吗？本实验作了如何修正。
  \item []答：不能考虑到油滴的直径与空气分子的间隙相当，空气已不能看成连续介质，其粘度需作相应的修正$\eta ^{'}=\eta \dfrac{1}{1+\frac{b}{pr_0}}$，此处$p$为空气压强，$b$为修正常数，$b=0.00823\text{N/m}$
  \item [3.]你能想出其他方法，测量基本元电荷电量吗？
  \item []答：多次测量多个不同的油滴的带电量，绘制带电量直方图，直方图将呈现多个峰值，峰值的最大公约数即为元电荷的值
\end{itemize}

\subsection*{实验过程思考题}
\begin{itemize}
  \item [1.]实验室中如何保证油滴在测量范围内作匀速运动？
  \item []答：首先调节电压为零，喷出油滴后观察仪器的显示器，寻找一个下落速度适中的油滴，下落时间介于$20\sim30$秒为宜，后调节平衡电压至$250\sim 300\,$V ，使该油滴处于平衡状态，则油滴符合要求
  \item [2.]油滴上电荷量的改变，主要体现在平衡电压的变化，还是下落时间的变化？
  \item []答：下落时间，由公式\[q=9\sqrt{2}\pi d\left[\dfrac{(\eta s)^3}{(\rho_1-\rho_2)g}\right]^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{U}\left[\dfrac{1}{1+\frac{b}{pr_0}}\right]^{\frac{3}{2}}(\dfrac{1}{t_f})^{\frac{3}{2}}\]可见，下落速度$t_f$的$3/2$次方与电荷量$q$成反比，而平衡电压$U$的一次方与电荷量成反比
  \item [3.]油滴下落时间要求多次测量，以消除随机误差的影响。而油滴静止状态的平衡电压也需多次测量吗？仅仅测量平衡电压的上下限，是否可行？
  \item []答：油滴静止状态的平衡电压$U$需要多次测量，仅测量平衡电压的上下限不可行，会增大误差
\end{itemize}

\subsection*{实验报告思考题}
\begin{itemize}
  \item [1.]油滴带电量表达式中，空气粘滞系数的非理想流体模型的修正量，其数量级有多大？对油滴带电量的相对不确定度影响（贡献）有多大？
  \item []答：数量级为$10^{-3}$。\\ \qquad 若无修正，则有$\dfrac{U_{q,0.95}}{\overline{q}}=6.83\times 10^{-3}$。\\ \qquad 与所得不确定度相差为$1.03\times 10^{-3}$
  \item [2.]试计算直径为$10^{-6}$m的油滴在重力场中下落达到力的平衡状态时所经过的距离
  \item []答：设油滴达到平衡状态时的速度为$v_s$，由公式$r_0=\left[\dfrac{9\eta v_f}{2g(\rho_1-\rho_2)} \right]^{\frac{1}{2}}$，解得\\ $v_s\approx 1.1\times 10^{-4}\text{m/s}$
        \\ 油滴的运动方程为\[(m_1-m_2)g-Kv=m_1\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\]
        解微分方程得\[v=-\dfrac{(m_1-m_2)g}{K}(1-\mathrm{e}^{-\frac{Kt}{m_1}})\]
        解得达到平衡状态的时间为$t_s=-\dfrac{m_1}{K}\ln (1-\dfrac{Kv_s}{(m_1-m_2)g})$
        则油滴达到平衡状态时经过的距离为\[s=\int_{0}^{t_s}v \mathrm{\,d}t\approx 2.16\times 10^{-9}\text{m}\]
\end{itemize}

\label{TotalPages}
\end{document}