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\fancyfoot[C]{第 \thepage 页，共 \pageref{lastpage} 页}
\fancyhead[L]{1402教室4号}
\fancyhead[C]{
  {\large 霍尔效应实验报告}
  \\——————————————————————\\
  \vspace{0.3cm}
  廖子文PB21030837}
\fancyhead[R]{2022.11.29}

\begin{document}

\section{实验目的}
\begin{enumerate}
    \item 了解霍尔效应原理以及有关霍尔器件对材料要求的知识。
    \item 学习用“对称测量法”消除副效应影响。
    \item 根据霍尔电压判断霍尔元件载流子类型。
    \item 计算载流子的浓度和迁移速度。
\end{enumerate}

\section{实验原理}
\subsection{通过霍尔效应测量磁场}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{minipage}[l]{0.6\textwidth}
      \begin{circuitikz}[>=Stealth]
        \draw (0,0) to[rmeter,t=mA](2,0) to[battery](3,0) to[closing switch](4,0) to[R](6,0)--(7,0)--(7,1.5)
                    to[R](0,1.5)--(0,0);
        \draw [->] (0,1.5)node[circ]{$M$}--(0,4.3)--(1,4.3)node[above]{$I_S$};
        \draw (1,4.3)--(2.15,4.3)node[circ]{} (2,3)--(2,5)--(5,5)--(5,3)--(2,3)
              (2,5)--(2.3,5.3)--(5.3,5.3)--(5.3,3.3)--(5,3) (5,5)--(5.3,5.3);
        \draw [dashed](2,3)--(2.3,3.3)--(5.3,3.3) (2.3,3.3)--(2.3,5.3);
        \draw (5.15,4.3)node[circ]{}--(7,4.3)--(7,1.5)node[circ]{};
        \draw (3.5,5.15)node[circ]{}--(3.5,5.8)--(8,5.8) to[rmeter,t=V](8,2.5)--(3.5,2.5)node[circ]{};
        \draw [->,very thick](2,3)--(2,7.3)node[above]{$x$};
        \draw [->,very thick](2,5)--(7,5)node[right]{$y$};
        \draw [->,very thick](2,5)--(3.5,6.5)node[right]{$z$};
        \draw (5.3,5.3)--(6.5,5.3);
        \draw [->](6.3,5.6)--(6,5.3);
        \draw [->](5.4,4.7)--(5.7,5);
        \draw (5.6,5.15)node[right]{$d$};
        \draw [->](4.5,4.4)--(4.5,5.2);
        \draw [->](4.5,4)--(4.5,3.1);
        \draw (4.5,4.2)node{$b$};
        \draw [->] (6,0)node[circ]{}--(6,1)--(5,1)--(5,0.2);
        \draw [->] (3.5,3.15)node[circ]{}--(3.5,1.7);
        \draw (3.5,3)node[below left]{$B'$} (3.5,5.15)node[above right]{$B$};
        \draw (7,1.5)node[right]{$N$};
        \draw (3.5,0)node[below]{$K_2$} (5,-0.2)node[below]{$R_2$} (3.5,1.4)node[below]{$R_1$};
        \draw (2,4.3)node[above left]{$C$} (4.8,4.3)node[below right]{$D$};
      \end{circuitikz}
      \caption{实验装置图（霍尔元件部分）}
      \label{fig:1}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}[r]{0.38\textwidth}
      \begin{tikzpicture}
        \draw (0,4) to[battery](0,2) to[closing switch](0,0) to[rmeter,t=mA](2,0)--(2,1.5)--(2.3,1.5);
        \draw (2.3,4) to[tgeneric](0,4);
        \draw (2.8,1.2)--(2.3,1.2)--(2.3,4.2)--(2.8,4.2) (3.3,1.2)--(3.8,1.2)--(3.8,4.2)--(3.3,4.2);
        \draw (2.8,2.8)--(2.8,4.4)--(2.2,4.4)--(2.2,4.2)--(2.3,4.2)
              (2.8,2.4)--(2.8,1)--(2.2,1)--(2.2,1.2)--(2.3,1.2)
              (3.3,2.8)--(3.3,4.4)--(3.9,4.4)--(3.9,4.2)--(3.8,4.2)
              (3.3,2.4)--(3.3,1)--(3.9,1)--(3.9,1.2)--(3.8,1.2)
              (2.8,2.8)--(3.3,2.8) (2.8,2.4)--(3.3,2.4);
        \draw (4.8,4.4) arc(0:180:0.75) (5.3,4.4) arc(0:180:1.25);
        \draw (4.8,4.4)--(4.8,2.8)--(5.3,2.8)--(5.3,4.4);
        \draw (4.8,1) arc(0:-180:0.75) (5.3,1) arc(0:-180:1.25);
        \draw (4.8,1)--(4.8,2.4)--(5.3,2.4)--(5.3,1);
        \draw (-0.3,3)node[left]{$E$} (0,1)node[left]{$K_1$} (1.15,4)node[above]{$R_1$};
      \end{tikzpicture}
      \caption{电磁铁气隙中的磁场}
      \label{fig:2}
    \end{minipage}
\end{figure}
如图 \ref{fig:1} 和图 \ref{fig:2}所示，将一个半导体薄片放在垂直于它的磁场中，当沿电极C, D上施加电流$I_S$时，薄片内定向移动的载流子(设平均速率为$u$)受到洛伦兹力$F_B$的作用，$F_B=quB$
在磁力作用下，载流子发生偏移，产生电荷积累，从而在薄片$B',B$两侧产生一个电位差$V_{BB'}$,形成一个电场$E$，电场使载流子又受到与$F_B$反向的电场力$F_E$
\begin{equation}
  F_E=qE=\dfrac{qV_{BB'}}{b} \label{eq:1}
\end{equation}
其中$b$为薄片宽度,$F_E$随着点和积累而增大，当达到稳定状态时$F_E=F_B$，即
\begin{equation}
  quB=q\dfrac{V_{BB'}}{b} \label{eq:2}
\end{equation}
此时$B,B'$两侧建立的电场称为霍尔电场，相应的电压为霍尔电压，电极$B,B'$称为霍尔电极
射载流子浓度为$n$,薄片厚度为$d$，则电流强度$I$与$u$的关系为：
\begin{equation}
  I=bdnqu \label{eq:3}
\end{equation}
由式 \ref{eq:2} 和 \ref{eq:3} 可得到
\begin{equation}
  V_{BB'}=\dfrac{1}{nq} \dfrac{IB}{d} \label{eq:4}
\end{equation}
令$R=\frac{1}{nq}$，则
\begin{equation}
  V_{BB'}=R \dfrac{I B}{d} \label{eq:5}
\end{equation}
$R$称为霍尔系数，它体现了材料的霍尔效应大小。根据霍尔效应制作的元件称为霍尔元件。在应用中，式 \ref{eq:5} 常以如下形式出现：
\begin{equation}
  V_{BB'}=K_HIB \label{eq:6}
\end{equation}
式中$K_H=\frac{R}{d}=\frac{1}{nqd}$称为霍尔元件灵敏度，$I$称为控制电流。
由式 \ref{eq:6} 可见，若$I,K_H$已知，只要测出霍尔电压$V_{BB'}$，即可算出磁场$B$的大小。并且，若知载流子类型(N型半导体多数载流子为电子，P型半导体多数载流子为空穴)，则由$V_{BB'}$的正负可测出磁场方向，反之若已知磁场方向，则可判断载流子类型。
\par 由于霍尔效应建立所需时间很短($10^{-12}\sim 10^{-14}$s),因此霍尔元件使用交流电或者直流电都可。指示交流电时，得到的霍尔电压也是突变的。 \ref{eq:6} 中的$I$和$V_{BB'}$应理解为有效值。

\subsection{霍尔效应实验中的副效应}
在实际应用中，伴随霍尔效应经常存在其他效应。例如实际中载流子迁移速率$u$服从统计分布规律，速度小的载流子受到的洛伦兹力小于霍尔电场作用力，向霍尔电场作用力方向偏转，速度大的载流子受到磁场作用力大于霍尔电场作用力，向洛伦兹力方向偏转。这样使得一侧高速载流子较多，相当于温度较高，而另一侧低速载流子较多，相当于温度较低。这种横向温差就是温差电动势$V_{E}$，这种现象称为爱廷豪森效应。这种效应建立需要一定时间，如果采用直流电测量时会因此而给霍尔电压测量带来误差，如果采用交流电，则由于交流变化快使得爱廷豪森效应来不及建立，可以减小测量误差。
\par 此外，在使用霍尔元件时还存在不等位电动势引起的误差，这是因为霍尔电极$B,B'$不可能绝对对称焊在霍尔片两侧产生的。由于目前生产工艺水平较高，不等位电动势很小，故一般可以忽略，也可以用一个电位器加以平衡(图 \ref{fig:1} 中电位器$R_1$)。
\par 我们可以通过改变$I_S$和磁场$B$的方向消除大多数副效应。具体说在规定电流和磁场正反方向后，分别测量下列四组不同方向的$I_S$和$B$组合的$V_{BB'}$,即
\[\begin{aligned}
  +B,\quad & +I\qquad &V_{BB'}&=V_1\\
  -B,\quad & +I\qquad &V_{BB'}&=-V_2\\
  +B,\quad & -I\qquad &V_{BB'}&=-V_3\\
  -B,\quad & -I\qquad &V_{BB'}&=V_4
\end{aligned}\]
然后得到霍尔电压平均值，这样虽然不能消除所有的副效应，但其引入的误差不大，可以忽略不计。
\par 电导率测量方法如下图所示。设$B',A'$间距离为$L$，样品横截面积为$S=bd$，流经样品电流为$I_S$，在零磁场下，测得$B$间电压为$V_{B'A'}$,根据欧姆定律可以求出材料的电导率。
\par 电导率$\sigma $与载流子浓度$n$及迁移率$\mu $之间有如下关系：
\begin{equation}
  \sigma = ne\mu \label{eq:7}
\end{equation}

\section{实验仪器}
恒流源、电磁铁、霍尔样品和样品架、换向开关和接线柱、数字万用表、小磁针

\section{实验内容}
用六脚霍尔片接好线路，霍尔片的尺寸为：$d=\SI{0.5}{mm}, b=\SI{4.0}{mm},L=\SI{3.0}{mm}$
\begin{enumerate}
  \item 保持$I_M$不变，取$I_M=\SI{0.45}{A}$，$I_S$取$1.00,1.50,\dots ,4.50\, \si{mA}$，测绘$V_H\!-\!I_S$曲线,计算$R_H$
  \item 保持$I_S$不变，取$I_S=\SI{4.50}{mA}$，$I_M$取$0.100,0.150,\dots ,0.450\, \si{A}$，测绘$V_H\!-\!I_M$曲线,计算$R_H$
  \item 在零磁场下，取$I_S=\SI{1.00}{mA}$，测$V_{B'A'}$
  \item 确定样品导电类型，并求$R_H,\, n,\, \sigma ,\, \mu$
  \item 使用四脚锑化铟片完成。取$I_S=1.00\si{mA}$,$I_M$在$0\sim 0.800\, \si{A}$之间，测绘$V_H\!-\!I_M$曲线（此实验$I_M,\, I_S$不用换向）
\end{enumerate}

\section{数据数据与处理}
\subsection{六脚霍尔片}
六脚霍尔片电阻$R_1=\SI{228}{\ohm}$ 励磁线圈参数$\SI{3700}{Gs/A}$
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{ccccccc} \hline
    $I_S/\si{mA}$ & $I_{S\text{实}}/\si{mA}$ & $V_{H1}/\si{mV}$ & $V_{H2}/\si{mV}$ & $V_{H3}/\si{mV}$ & $V_{H4}/\si{mV}$ & avg/\si{mV} \\ \hline
    1.00  & 0.97  & 1.57 & -1.55 & 1.91  & -1.90  & 1.7325 \\ \hline
    1.50  & 1.47  & -2.80 & 2.82  & -2.28 & 2.31  & 2.5525 \\ \hline
    2.00  & 1.98  & -3.01 & 3.72  & 3.03  & -3.02 & 3.1950 \\ \hline
    2.50  & 2.48  & -3.76 & 3.76  & -4.60  & 4.62  & 4.1850 \\ \hline
    3.00  & 2.96  & 5.49  & -5.46 & 4.47  & -4.45 & 4.9675 \\ \hline
    3.50  & 3.46  & -5.20  & 5.22  & -6.38 & 6.38  & 5.7950 \\ \hline
    4.00  & 3.97  & 7.29  & -7.27 & 5.96  & -5.93 & 6.6125 \\ \hline
    4.50  & 4.47  & -6.68 & 6.69  & -8.18 & 8.20   & 7.4375 \\ \hline
  \end{tabular}
  \caption{使用六脚霍尔片，保持$I_M$不变，改变$I_S$，测量$V_H$的值}
\end{table}
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.7]{Fig1.png}
\end{figure}
由式 \ref{eq:4} 和 \ref{eq:5} 可得：$R_H=\dfrac{V_H d}{I_S B}=1.6711\times \dfrac{0.5\times 10^{-3}}{3700\times 10^{-4} \times 0.45}=5.0183\times 10^{-3}\,\si{Gs}$

\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{ccccccc} \hline
    $I_M/\si{A}$ & $I_{M\text{实}}/\si{A}$ & $V_{H1}/\si{mV}$ & $V_{H2}/\si{mV}$ & $V_{H3}/\si{mV}$ & $V_{H4}/\si{mV}$ & avg/\si{mV} \\ \hline
    0.100 & 0.1002 & -2.53 & 2.54  & -1.02 & 1.03  & 1.7800 \\ \hline
    0.150 & 0.1501 & 1.91  & 1.89  & 3.41  & -3.42 & 2.6575 \\ \hline
    0.200 & 0.2003 & -4.30  & 4.32  & -2.81 & 2.82  & 3.5625 \\ \hline
    0.250 & 0.2500 & 3.70   & -3.68 & 5.26  & -5.25 & 4.4725 \\ \hline
    0.300 & 0.3002 & -6.13 & 6.15  & -4.70  & 4.72  & 5.425 \\ \hline
    0.350 & 0.3501 & 5.62  & -5.60  & 7.22  & -7.21 & 6.4125 \\ \hline
    0.400 & 0.4001 & -8.12 & 8.13  & -6.67 & 6.69  & 7.4025 \\ \hline
    0.450 & 0.4500 & 7.62  & -7.59 & 9.16  & -9.14 & 8.3775 \\ \hline
  \end{tabular}
  \caption{使用六脚霍尔片，保持$I_S$不变，改变$I_M$，测量$V_H$的值}
\end{table}
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.5]{Fig2.png}
\end{figure}
$R_H=\dfrac{V_H d}{I_S B}=\dfrac{V_H d}{I_S \cdot I_M \cdot 3700\times 10^{-4}}=\dfrac{18.318\times 10^{-3}\times 0.5\times 10^{-3}}{4.50\times 10^{-3}\times 3700\times 10^{-4}}=5.5192\times 10^{-3}\,\si{Gs}$

零磁场下令$I_S=\SI{1.00}{mA}$，测得$V_{B'A'}=\SI{62.2}{mV}$

$n=\frac{1}{R_H e}=1.24\times 10^{21} \, \si{m^{-3}}$

$\sigma = \frac{GL}{A} = \frac{L}{Rbd} = \frac{3.0\times 10^{-3}}{228\times 0.5\times 10^{-3} \times 4.0\times 10^{-3}} = \SI{6.578}{\siemens}$

$\displaystyle \mu = \sigma R_H=6.578\times 5.5192 = 0.0363$

\subsection{四脚锑化铟片}
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{ccc} \hline
    $I_M / \si{A}$ & $I_{M\text{实}} / \si{A}$ & $V_H / \si{V}$ \\ \hline
    0.000 & 0.0010 & 0.0040 \\ \hline
    0.050 & 0.0503 & 0.0435 \\ \hline
    0.100 & 0.1002 & 0.0847 \\ \hline
    0.150 & 0.1500 & 0.1227 \\ \hline
    0.200 & 0.2000 & 0.1577 \\ \hline
    0.250 & 0.2502 & 0.1861 \\ \hline
    0.300 & 0.3001 & 0.2050 \\ \hline
    0.350 & 0.3500 & 0.2199 \\ \hline
  \end{tabular}
  \begin{tabular}{ccc} \hline
    0.400 & 0.4001 & 0.2341 \\ \hline
    0.450 & 0.4500 & 0.2453 \\ \hline
    0.500 & 0.4999 & 0.2559 \\ \hline
    0.550 & 0.5498 & 0.2667 \\ \hline
    0.600 & 0.6000 & 0.2775 \\ \hline
    0.650 & 0.6499 & 0.2884 \\ \hline
    0.700 & 0.6998 & 0.2995 \\ \hline
    0.750 & 0.7497 & 0.3103 \\ \hline
    0.800 & 0.7998 & 0.3205 \\ \hline
  \end{tabular}
  \caption{使用四脚锑化铟片，保持$I_S$不变，改变$I_M$，测量$V_H$的值}
\end{table}
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.7]{Fig3.png}
\end{figure}

\label{lastpage}
\end{document}