\documentclass{article}
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\geometry{left=3.0cm,right=3.0cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm}
\begin{document}

{\centering \section*{\Large 单摆法测重力加速度实验方案设计}
\section*{廖子文\quad PB21030837}}
\section{实验原理}
单摆的周期公式为：$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}P\left[1+\frac{d^{2}}{20l^{2}-\frac{m_0}{12m}(1+\frac{d}{2l}+\frac{m_0}{m})+\frac{\rho _0}{2\rho}+\frac{\theta ^2}{16}}\right]}$$
式中$T$是单摆周期，$l$、$m_0$是单摆摆线的长度和质量，$d$、$m$、$\rho$是摆球的致敬、质量、密度，$\rho _0$、$\theta$是空气密度、摆角。一般情况下，摆球几何形状、摆的质量 、空气浮力、摆角（$\theta <5^{\circ}$）对$T$的修正都小于$10^{-3}$.\\
由于实验精度要求$\frac{\Delta g}{g}<1\%$，采用一级近似的单摆周期测量公式{$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$}可得{$g=4\pi ^2 \frac{l}{T^{2}}$}
\section{实验设计}
\subsection{利用不确定度均分原理设计的过程}
对单摆周期测量公式等式两边等式取对数得\[\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta l}{l}+2\frac{\Delta T}{T}\]
由于实验要求{$\frac{\Delta g}{g}<1\%$}，由不确定度均分原理得{$2 \frac{\Delta T}{T}<0.5\% , \frac{\Delta l}{l}<0.5\%$}
\subsection{摆长至少需要多长？增加摆长是否可以体高精度？}
由{$\frac{\Delta l}{l}<0.5\%$} ，带入解得{$\Delta l=\Delta _{\text{尺}}=0.2cm$， $l>40 cm$}可取{$l=80 cm$}
\subsection{摆长用什么仪器测量？需要用游标卡尺测量摆球直径吗？}
由$\frac{\Delta l}{l}<0.5\%$，带入$l=l_{\text{绳}}+\frac{d_{\text{球}}}{2}=80 cm +\frac{2cm}{2}=81cm$得$\Delta l<0.405cm$而钢卷尺$\Delta _{\text{尺}}=0.2cm$，故在允差内，用钢卷尺测量摆长\\
小球直径$\frac{\Delta d}{d}<0.5\%$，带入得$d=2cm$得$\Delta d<0.01 cm$，故需用游标卡尺测量直径
\subsection{至少需要测量多少个周期？}
由$2 \frac{\Delta T}{T}<0.5\%$，带入$\Delta T=\Delta _{\text{人}}+\Delta _{\text{秒}}=0.21s$得$T>84s$，又$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \approx 1.8s$得$N\approx 46$，可取$N=50$

\end{document}