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\fancyhead[l]{ }
\fancyhead[r]{ }
   \fancyhead[C]{
\begin{tabular}{ccccc}
    &\multicolumn{3}{c}\large{\textbf{重力加速度的测量实验报告}}\\
    \vspace{0.1cm}网络空间安全学院 & 廖子文 & PB21030837 & 小组6号 & \today
\end{tabular}}
\fancyfoot[C]{ 第 {\thepage} 页，共 \pageref{TotalPages} 页}
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\begin{document}

\section*{\Large 实验一：单摆法测重力加速度}
\subsection*{实验器材}
钢卷尺、电子秒表、支架、细线、摆球
\subsection*{实验原理}
单摆的周期公式为：$$T=2\pi \sqrt{\dfrac{L}{g}P\left[1+\dfrac{d^{2}}{20L^{2}-\dfrac{m_0}{12m}(1+\dfrac{d}{2L}+\dfrac{m_0}{m})+\dfrac{\rho _0}{2\rho}+\dfrac{\theta ^2}{16}}\right]}$$
式中$T$是单摆周期，$L$、$m_0$是单摆摆线的长度和质量，$d$、$m$、$\rho$是摆球的致敬、质量、密度，$\rho _0$、$\theta$是空气密度、摆角。一般情况下，摆球几何形状、摆的质量 、空气浮力、摆角（$\theta <5^{\circ}$）对$T$的修正都小于$10^{-3}$.\\
由于实验精度要求$\dfrac{\Delta g}{g}<1\%$，采用一级近似的单摆周期测量公式{$T=2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$}可得{$g=4\pi ^2 \dfrac{l}{T^{2}}$}
\subsection*{实验步骤}
\begin{enumerate}[1]
    \item 组装实验仪器
    \item 测量摆长L
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item 测量悬挂点到摆球上端和下端的距离$L_1$和$L_2$
        \item 计算摆长$L=\dfrac{L_1+L_2}{2}$
    \end{enumerate}
    \item 使摆球偏离平衡位置并使其在竖直平面内摆动，偏离平衡位置的角度$\theta <5^{\circ}$
    \item 小球摆动之后，在小球经过最低点时开始计时
    \item 在小球摆过$N=50$个周期之后停止计时，得到小球摆动50个周期的时间$t$，计算得到小球摆动一个周期所需的时间$T=\dfrac{t}{N}$
    \item 重复上述操作6次
    \item 调整摆线长度，进行对照实验操作1\~{} 2次
\end{enumerate}
\newpage
\subsection*{实验数据}
\begin{table}[!ht]
    \centering
    $L\approx 70.5cm,N=50$\\
      \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
      组    & 上端长$L_1/cm$ & 下端长$L_2/cm$ & 摆长$L/cm$ & 总时间$t/s$ & 周期$T/s$ \\ \hline
      1     & 69.54 & 71.72 & 70.63 & 83.93 & 1.679 \\ \hline
      2     & 69.42 & 71.58 & 70.50 & 84.31 & 1.686 \\ \hline
      3     & 69.53 & 71.69 & 70.61 & 84.31 & 1.686 \\ \hline
      4     & 69.53 & 71.70 & 70.62 & 84.34 & 1.689 \\ \hline
      5     & 69.65 & 71.80 & 70.73 & 84.34 & 1.689 \\ \hline
      6     & 69.60 & 71.75 & 70.68 & 84.25 & 1.685 \\ \hline
    平均    & 69.545 & 71.707 & 70.626 & 84.247 & 1.685 \\ \hline
    标准差  & 0.066 & 0.062 & 0.064 & 0.13 & 0.00268 \\ \hline
      7     & 58.30 & 60.60 & 59.45 & 77.28 & 1.546 \\ \hline
      \end{tabular}
\end{table}
\quad {\Large {第7组为$L\approx 59.45cm$的对照实验}}
\subsection*{数据处理与不确定度分析}
\subsubsection*{重力加速度的计算}
由$g=\dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}}$，有\[\bar{g}=\dfrac{4\pi^{2}\bar{L}}{\bar{T}^{2}}=\dfrac{4\cdot (3.14)^{2}\cdot 70.626}{(1.685)^2}m/s^{2}=9.806 m/s^{2} \]
\subsubsection*{不确定度分析}
钢卷尺误差为正态分布，摆长标准差为$\sigma _{L}=0.064cm$,置信系数为$C=3$,\quad 置信因子为$K_p=1.960$,\,$t_{0.95}=2.57,n=6$\\
展伸不确定度为$$U_{L,0.95}=\sqrt{(t_{0.95}\dfrac{\sigma _L}{\sqrt{n}})^{2}+(K_p \dfrac{\Delta _B}{C})^2}=\sqrt{(2.57\times \dfrac{0.064}{\sqrt{6}})^{2}+(1.960\times \dfrac{0.2}{3})^{2}}\, cm=0.147cm,P=0.95$$
秒表误差为正态分布，周期标准差为$\sigma _T=0.00268s$，由合成公式得$$\Delta _T=\dfrac{1}{50}\sqrt{(\Delta T_{\text{人}})^2+(\Delta T_{\text{表}})^2}=\dfrac{1}{50}\sqrt{(0.2)^2+(0.01)^2}\approx 0.004s$$
展伸不确定度为$$U_{T,0.95}=\sqrt{(t_{0.95}\dfrac{\sigma _T}{\sqrt{n}})^{2}+(K_p \dfrac{\Delta _B}{C})^2}=\sqrt{(2.57\times \dfrac{0.00268}{\sqrt{6}})^{2}+(1.960\times \dfrac{0.004}{3})^{2}}\, s=0.0038s,P=0.95$$
重力加速度$g$的展伸不确定度为$$\dfrac{U_{g,0.95}}{\bar{g}}=\sqrt{(\dfrac{U_{L,0.95}}{\bar{L}})^2+(2\dfrac{U_{T,0.95}}{\bar{T}})^2}=\sqrt{(\dfrac{0.147}{70.626})^2+(2\times \dfrac{0.0038}{1.685})^2}=0.0050,P=0.95$$
计算得$$U_{g,0.95}=0.0050\cdot \bar{g}=0.049m/s^2$$
最终结果为$$g=\bar{g} \pm U_{g,0.95}=(9.806\pm 0.049)m/s^2$$
\subsection*{思考题}
\begin{itemize}
  \item [1.] 分析基本误差的来源，提出进行改进的方法
  \item []误差来源分析：
  \begin{enumerate}[(1)]
    \item 摆绳受到空气阻力和摩擦
    \item 摆球没有做标准的竖直平面内的单摆运动，而是做幅度较小的圆锥摆运动
    \item 计时起表停表有一定误差
    \item 测量摆长时读数有误差
  \end{enumerate}
  \item []改进方法：
  \begin{enumerate}[(1)]
    \item 使用钢尺移动摆绳至合适角度后待释放，以减少单摆在摆动平面外的偏移
    \item 适当增加单摆的周期数，减少因计时带来的误差
    \item 待摆绳静止后再测量绳长
  \end{enumerate}
\end{itemize}

\section*{\Large 实验二：自由落体法测重力加速度}
\subsection*{实验器材}
小钢球（大、小），小圆柱，电磁铁，光电门
\subsection*{实验原理}
由牛顿运动定律得自由落体公式$h=\dfrac{1}{2}gt^{2}$，本实验采用双光电门测法，保持上光电门不动，即两个光电门的距离\\
\begin{align*}
    \Delta h_1 & =  v_0\Delta t_1+\dfrac{1}{2}g\Delta t_1^{2}\\
    \Delta h_2 & =  v_0\Delta t_2+\dfrac{1}{2}g\Delta t_2^{2}\\
    \cdots & \\
    \Delta h_n & =  v_0\Delta t_n+\dfrac{1}{2}g\Delta t_n^{2}
\end{align*}
可得
\begin{align*}
  \dfrac{\Delta h_1}{\Delta t_1} & =  v_0+\dfrac{1}{2}g\Delta t_1\\
  \dfrac{\Delta h_2}{\Delta t_2} & =  v_0+\dfrac{1}{2}g\Delta t_2\\
  \cdots & \\
  \dfrac{\Delta h_n}{\Delta t_n} & =  v_0+\dfrac{1}{2}g\Delta t_n
\end{align*}
具有线性关系，利用线性拟合即可求出当地重力加速度
\subsection*{实验步骤}
\begin{enumerate}[1]
    \item 组装实验仪器并调整仪器角度
    \item 调整上光电门到$h_1=20.0cm$刻度处，下光电门到$h_2=75.0cm$刻度处，计算出两个光电门之间的距离$\Delta h=h_2-h_1=55.0cm$
    \item 选用较大的小钢球进行测量
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item 按下RESET后按下START键，从数字仪表读出并记录小球经过光电门1、2的时间$t_1$,$t_2$及经过两个光电门的时间差$\Delta t$
        \item 重复操作3次
        \item 调整下光电门的高度$h_2$为$60.0cm,55.0cm,50.0cm,40.0cm,35.0cm$分别测量3组数据
    \end{enumerate}
    \item 换用小球作对照，使光电门在$h_2=60.0cm$和$h_2=50.0cm$下分别测量3组数据
\end{enumerate}
\subsection*{实验数据}
\begin{table}[!ht]
  \centering
  小球（对照）\\
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
      \hline
      组     & $h_1/cm$ & $h_2/cm$ & $\Delta h/cm$ & $t_1/ms$ & $t_2/ms$ & $\Delta t/ms$ & $\bar{\Delta t}/ms$ & $\Delta h\cdot (\Delta t)^{-1}/cm\cdot ms^{-1} $ \\ \hline
      1     & \multirow{3}[0]{*}{20.0} & \multirow{3}[0]{*}{60.0} & \multirow{3}[0]{*}{40.0} & 204.8 & 351.4 & 146.6 & \multirow{3}[0]{*}{146.7} & \multirow{3}[0]{*}{0.27266} \\
      2     &       &       &       & 203.9 & 350.5 & 146.6 &     &  \\
      3     &       &       &       & 204.7 & 351.5 & 146.8 &     &  \\ \hline
      4     & \multirow{3}[0]{*}{20.0} & \multirow{3}[0]{*}{50.0} & \multirow{3}[0]{*}{30.0} & 205.2 & 321.5 & 116.3 & \multirow{3}[0]{*}{147.4} & \multirow{3}[0]{*}{0.20352} \\
      5     &       &       &       & 205.2 & 321.6 & 116.4 &      &  \\
      6     &       &       &       & 204.8 & 321.8 & 117.0 &      &  \\ \hline
    \end{tabular}
\end{table}
\begin{table}[!ht]
    \centering
    大球
      \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
        \hline
      组     & $h_1/cm$ & $h_2/cm$ & $\Delta h/cm$ & $t_1/ms$ & $t_2/ms$ & $\Delta t/ms$ & $\bar{\Delta t}/ms$ & $\Delta h\cdot (\Delta t)^{-1}/cm\cdot ms^{-1} $ \\ \hline
      1     & \multirow{3}[0]{*}{20.0} & \multirow{3}[0]{*}{75.0} & \multirow{3}[0]{*}{55.0} & 201.8 & 390.4 & 188.6 & \multirow{3}[0]{*}{188.6} & \multirow{3}[0]{*}{0.29162} \\
      2     &       &       &       & 201.7 & 390.3 & 188.6 &      &  \\
      3     &       &       &       & 202.2 & 390.8 & 188.6 &      &  \\ \hline
      4     & \multirow{3}[0]{*}{20.0} & \multirow{3}[0]{*}{60.0} & \multirow{3}[0]{*}{40.0} & 201.9 & 349.3 & 147.4 & \multirow{3}[0]{*}{147.4} & \multirow{3}[0]{*}{0.27137} \\
      5     &       &       &       & 201.8 & 349.1 & 147.3 &      &  \\
      6     &       &       &       & 201.7 & 349.2 & 147.5 &      &  \\ \hline
      7     & \multirow{3}[0]{*}{20.0} & \multirow{3}[0]{*}{55.5} & \multirow{3}[0]{*}{35.0} & 202.5 & 334.9 & 132.4 & \multirow{3}[0]{*}{132.4} & \multirow{3}[0]{*}{0.26435} \\
      8     &       &       &       & 201.4 & 333.8 & 132.4 &      &  \\
      9     &       &       &       & 202.1 & 334.6 & 132.5 &      &  \\ \hline
      10    & \multirow{3}[0]{*}{20.0} & \multirow{3}[0]{*}{50.0} & \multirow{3}[0]{*}{30.0} & 202.1 & 319.0 & 116.9 & \multirow{3}[0]{*}{116.9} & \multirow{3}[0]{*}{0.25663} \\
      11    &       &       &       & 201.3 & 318.2 & 116.9 &      &  \\
      12    &       &       &       & 202.2 & 319.1 & 116.9 &      &  \\ \hline
      13    & \multirow{3}[0]{*}{20.0} & \multirow{3}[0]{*}{40.0} & \multirow{3}[0]{*}{20.0} & 202.3 & 285.5 & 83.2 & \multirow{3}[0]{*}{83.2} & \multirow{3}[0]{*}{0.24038} \\
      14    &       &       &       & 202.0 & 285.2 & 83.2 &      &  \\
      15    &       &       &       & 201.6 & 284.9 & 83.3 &      &  \\ \hline
      16    & \multirow{3}[0]{*}{20.0} & \multirow{3}[0]{*}{35.0} & \multirow{3}[0]{*}{15.0} & 201.8 & 266.6 & 64.8 & \multirow{3}[0]{*}{64.8} & \multirow{3}[0]{*}{0.23148} \\
      17    &       &       &       & 201.7 & 266.5 & 64.8 &      &  \\
      18    &       &       &       & 201.7 & 266.5 & 64.8 &      &  \\ \hline
      \end{tabular}
\end{table}\newpage
\subsection*{数据处理与不确定度分析}
{\centering 大球实验数据的线性拟合图像
\begin{figure}[!h] \includegraphics[scale=0.8]{图像.png}\end{figure}}
\par 由拟合曲线和实验原理中的公式，斜率$k=\dfrac{g}{2}=4.854 m/s^{2}$，计算得$g=2k=9.708 m/s^{2}$
\subsection*{误差分析}
\begin{enumerate}[1.]
  \item 存在不可忽略的空气阻力，使得测量的重力加速度偏小
  \item 光电门不完全与地面平行
  \item 小球吸附在电磁铁上晃动，未完全静止就释放小球
\end{enumerate}
\subsection*{思考题}
\begin{itemize}
  \item [1.]在实际工作中，为什么利用式$h=\dfrac{1}{2}gt^{2}$很难精确测量重力加速度݃ ？
  \item []答；电磁铁有剩磁，小球因此受到一定的阻力
  \item [.2]为了提高测量精度，光电门1和光电门2的位置应如何选取？
  \item []答：保持光电门1不动，调整光电门2的高度，同时注意光电门1和光电门2的距离不要过小
  \item [3.]利用本实验装置，你还能提出其他测量重力加速度的实验方案吗？
  \item []答：只使用一个光电门，测量经过光电门的时间$t$和光电门的高度$h$，由$h=\dfrac{1}{2}gt^{2}$，设$x$轴为$t/ms$，y轴为$h\cdot t^{-1}/cm\cdot ms^{-1}$，线性拟合后得到$g$
\end{itemize}

\label{TotalPages}
\end{document}