数学分析 B1

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第三章 单变量函数微分学

3.1 导数

3.1.1 定义

曲线的切线

tan⁡α(M)=k∣x=x0=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx\tan\alpha(M)=k|_{x=x_0}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

3.1.2 导数四则运算

  1. (f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x)(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)
  2. (f(x)⋅g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)
  3. (f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g2(x)\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}
  4. f(g(x))′=f′(g(x))g′(x)f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)

3.2 微分

可导与可微等价，当且仅当单变量的情况

d⁡y=f′(x)d⁡x\operatorname{d}y=f'(x)\operatorname{d}x

3.3 微分中值定理

3.3.1 极值

∃x0∈I,\exists x_0\in I, 使得 ∃ε>0,∣x−x0∣<ε\exists \varepsilon>0,|x-x_0|<\varepsilon 时 f(x)≤f(x9)f(x)\le f(x_9)（或 f(x)≥f(x0)f(x)\ge f(x_0)）

3.3.2 Fermat 定理

若 f(x)f(x) 在 II 内部一点 x0x_0 取到极值，且 f(x)f(x) 在 II 上可导，则极值点的导数等于 00

证明：不妨只对 x0x_0 是极大值情况进行证明。
f(x0+h)−f(x0)≤0⇒f(x0+h)−f(x0)h≤0f(x_0+h)-f(x_0)\leq 0\Rightarrow\frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h}\leq 0
对 hh 取趋向于 00 的极限，有 f+′(x0)≤0f_{+}'(x_0)\leq 0
同理 f−′(x0)≥0f_{-}'(x_0)\geq 0
由于极限存在，所以 f(x0)=f−′(x0)=f+′(x0)=0f(x_0)=f_{-}'(x_0)=f_{+}'(x_0)=0

极值点一定 f′(x0)=0f'(x_0)=0，但是 f′(x0)=0f'(x_0)=0 不一定是极值点

f′(x0)=0f'(x_0)=0 的 x0x_0 称为函数驻点

3.3.3 Rolle 定理

f(x)f(x) 在闭区间 [l,r][l,r] 上连续，开区间 (l,r)(l,r) 上可导，而且 f(a)=f(b)f(a)=f(b)，那么 ∃ξ∈(l,r)\exists\xi\in(l,r) 使得 f′(ξ)=0f'(\xi)=0

证明：f(x)f(x) 为常数显然；f(x)f(x) 不为常数一定有最大值 & 最小值

3.3.4 Lagrange 中值定理

f(x)f(x) 在闭区间 [l,r][l,r] 上连续，开区间 (l,r)(l,r) 上可导，那么 ∃ξ∈(l,r)\exists\xi\in(l,r) 使得 f′(ξ)=f(b)−f(a)b−af'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

证明：记直线方程 g(x)=f(b)−f(a)b−a(x−a)+f(a)g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)，利用 Rolle 定理，记 F(x)=f(x)−g(x)F(x)=f(x)-g(x) 容易验证定理所述为真