数学分析 B1

返回笔记目录

第二章 单变量函数的连续

2.1 基本概念

$\lim\limits_{x\to x_0^\pm}f(x)=f(x_0\pm 0)$

可以一边连续一边不连续

区间连续：$\forall x_0\in I,f(x)$ 在 $x_0$ 处连续

间断点：

1. $f(x_0+0)=f(x_0-0)\not=f(x_0)$ 可去间断点
2. $f(x_0+0)\not=f(x_0-0)$ 跳跃点
3. $f(x_0\pm 0)$ 有一个不存在

2.2 性质

两个连续函数四则运算（复合）后任然连续，极限值为直接的四则运算（复合）

2.2.1 零点定理，介值定理

零点定理（连续，区间端点异号）则有零点（证明：二分法）

介值定理：利用零点定理可证

2.2.2 有界性，最大最小值定理

$f(x)\in\mathbb C[a,b]$ 则有界

$f(x)\in\mathbb C[a,b]$ 则 $[a,b]$ 上存在 $f$ 的最大/最小值`

利用介值定理和最值定理，我们有 $f(x)\in\mathbb C[a,b]\Rightarrow f(x)$ 的值域是一个闭区间

仅有单调连续的函数有反函数，且反函数单调连续

2.2.3 一致连续性

定义：对任意 $\varepsilon>0$，若存在 $\delta>0$ 使得：任意 $x_0\in I$ 若 $|x-x_0|<\delta$ 则 $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$，则称 $f$ 在 $I$ 上一致连续