数学分析 B1

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第一章 极限

1.1 实数

1.1.1 自然数和整数

有限，可数无限，不可数无限

1.1.1.1 归纳公理

$$\left. \begin{aligned} &1\in S\\ &s\in S\Rightarrow s+1\in S \end{aligned} \right\}\Rightarrow S=\mathbb{N^*}$$

1.1.1.2 最小数原理

如果 $T\subset\mathbb{N^*}$，则 $\min T$ 存在

$Proof.$ 设 $S=\{s\mid s\in\mathbb{N},s\le t\ (\forall t\in T)\}$
显然 $1\in S\Rightarrow S\not ={\varnothing}$
$\forall t\in T,t+1\not\in S$，$\therefore S\not =\mathbb{N^*}$
$\exists s_0\in S,s_0+1\not\in S$
要证 $s_0\in T$，若 $s_0\not\in T\Rightarrow s_0<t(\forall t\in T)\Rightarrow s_0+1\le t(\forall t\in T)$
因此 $s_0 + 1\in S$，矛盾
所以 $s_0\in T$ 即 $\min T = s_0$

1.1.1.3 数学归纳法

1. 命题 $P$ 对 $a$ 成立
2. 若 $P$ 对 $n$ 成立，则对 $n+1$ 成立

推出 $P$ 对一切 $n \ge a$ 且 $n\in\mathbb{N^*}$ 成立

$Proof.$ 如果 $P$ 对 $t\ge a$ 不成立，则 $t-1,t-2,\dots,a$ 都不成立，矛盾

1.1.2 无限集合

1.1.2.1 一一对应

$\operatorname{def} f:A\rightarrow B$

1. 若 $a\not ={b}$ 则 $f(a)\not ={f(b)}$， 则 $f$ 是单射
2. 若 $\forall b\in B,\exists a\in A$ 使得 $f(a)=b$，则 $f$ 是满射
3. 若 $f$ 又单又满，则 $f$ 称为一一映射

$\operatorname{def}$ 设 $\operatorname{set} A,B$

1. 如果 $A\rightarrow B$ 是一一对应，称 $A,B$ 的基数相等
2. 如果 $A\rightarrow B$ 是满射（非单射），称 $A$ 的基数大于 $B$ 的基数
3. 如果 $\exists n\in\mathbb N$ 使得 $A$ 与 $\{1,2,3,\cdots,n\}$ 一一对应，称 $A$ 为有限集合；否则 $A$ 为无限集合
4. 称 $A$ 的基数是可数的，当且仅当 $A$ 与 $\mathbb N$ 存在一一对应

性质：$\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ 都是可数的，而 $2^\mathbb{N}$ 是不可数的

1.1.2.2 算术

证明 $\sqrt{2}$ 不是有理数

$Proof.$ 设 $a=\frac{p}{q}=\sqrt{2}$
$\therefore\frac{p^2}{q^2}=2$
$\Rightarrow p$ 偶数 $\Rightarrow q$ 偶数
矛盾，所以 $\sqrt{2}\not\in Q$

1.1.2.3 有理数的稠密性

神奇的事情：设 $X=\{x\in\mathbb{Q}\mid x^2<2或x<0\}$，$Y=\{y\in\mathbb{Q}\mid y^2>2\}$，则 $\max X,\min Y$ 均不存在，但 $X\cap Y=\mathbb{Q}$
$Proof.$ 对 $a\in X$ 能找出一个 $a'=a+\frac{2-a^2}{a+2}>a,a'\in X$；对 $a\in Y$ 能找出一个 $a'=a-\frac{a^2-2}{a+2}<a,a'\in Y$。矛盾

$\therefore X$ 在 $Q$ 中没有最小上界，$Y$ 在 $Q$ 中没有最大下界

为了克服有理数的缺点，我们引入了无理数 $\mathbb R\setminus \mathbb Q$

Lesson 2 (9.15)

1.1.3 域

1.1.3.1 定义

设 $S$ 是域

1. 对加法封闭 $\forall x,y\in S,x+y\in S$
2. 存在零元 有元素 $0_S\in S$ 使得 $\forall x\in S,x+0_S=x$
3. 加法交换律 $\forall x,y\in S,x+y=y+x$
4. 存在负元 $\forall x\in S$ 存在负元 $-x\in S$ 使得 $x+(-x)=0_S$
5. 对乘法封闭$\forall x,y\in S,x\cdot y\in S$
6. 存在单位元 有元素 $1_S\in S$ 使得 $\forall x\in S,x\cdot 1_S=x$
7. 乘法交换律 $\forall x,y\in S,x\cdot y=y\cdot x$
8. 乘法结合律 $\forall x,y\in S,(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$
9. 乘法分配律 $\forall x,y\in S,(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
10. 存在逆元 $\forall x\in S$ 存在逆元 $x^{-1}\in S$ 使得 $x\cdot x^{-1}=1_S$

1.1.3.2 有序域

序：$\forall x,y\in F$，那么三种情况 $x<y,x>y,x=y$ 有且仅有一种情况发生

有序域：

1. $x,y,z\in S,x<y\Rightarrow x+z<y+z$
2. $x,y\in S,x>0,y>0\Rightarrow xy>0$

反证 $\mathbb C$ 不可能是有序域：不论规定 $i>0,i<0,i=0$ 中的哪一种，$i^2$ 均 $\ge 0$，而 $i^2=-1<0$，矛盾

1.1.4 界

1.1.4.1 有界定义

设 $E\subset F$。
若 $\exists\beta\in F,$ 使得 $\forall\alpha\in E,$ 有 $\alpha\le\beta$，则称 $\beta$ 是 $E$ 的上界

1.1.4.2 确界定义

设 $E\subset F,E$ 有上界。
若在 $F$ 中存在 $E$ 的最小的上界，则称这个最小的上界为上确界 $\sup E\in F$。同理可定义下确界 $\inf E\in F$

1.1.4.3 确界原理

若 $F$ 的任意子集 $E$ 有上（下）界，那么 $E$ 在 $F$ 中有上（下）确界，此时称 $F$ 满足确界原理

定理：若 $F$ 满足上确界原理，那么 $F$ 一定满足下确界原理

定理：存在满足上确界定理的有序域，且以 $\mathbb Q$ 为其子集，称为 $\mathbb R$

1.1.5 实数的特点

1. 与数轴上的点一一对应
2. 不可数

1.1.6 有理数的稠密性

1.1.6.1 阿基米德原理

$\forall x,y\in\mathbb R$ 若 $x >0$ 则 $\exists n\in\mathbb N \verb| s.t. |nx>y\ge(n-1)x$

设 $E=\{nx\mid n\in \mathbb N\}$

反证：若不成立，则 $y$ 是 $E$ 的上界即 $E$ 有上确界

记 $\alpha=\sup E\in\mathbb R$

$\alpha-x<\alpha\Rightarrow\alpha-x$ 不是 $E$ 的上界 $\exists nx\in E$ 使得 $\alpha-x<nx$

$\Rightarrow \alpha<(n+1)x\in E$ 矛盾

此时存在 $nx>y$，找到最小的 $n$，即所求

1.1.6.2 两个数之间有一个有理数

形式化的说，$\forall x,y\in\mathbb R,x<y,\exists z\in\mathbb Q\verb| s.t. |x<z<y$

原因：

不妨假设 $x<y$，则存在足够大的整数 $n$ 使得 $n(y-x)>1$，此时存在整数 $m$ 使得

$nx<m<nx+1<ny\Rightarrow x<\frac{m}{n}<y$

1.1.6.3 十进制小数

有限小数 $a_0+\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\frac{a_3}{10^3}+\cdots+\frac{a_n}{10^n}(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\in\{0,1,2,\cdots 9\})$

循环小数 $a_0+\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\frac{a_3}{10^3}+\cdots+\frac{a_{m-1}}{10^{m-1}}+\frac{a_m}{10^m}+\cdots+\frac{a_n}{10^n}(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\in\{0,1,2,\cdots 9\},a_m\sim a_n$ 不断循环 $)$

用这种方法也可以证明“两个数之间有一个有理数”

1.1.7 绝对值

绝对值：$\mathbb R$ 上的一种距离

“距离”的要求：$|a|\ge0,|a-b|=|b-a|,|a+b|\le|a|+|b|$

“绝对值”定义：$|a|=\begin{cases}a&a>0\\0&a=0\\-a&a<0\end{cases}$

1.2 数列的极限

数列（点列） $a=\{a_1,a_2,\cdots\}$ 即 $\mathbb N\Rightarrow\mathbb R$ 的映射

$x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{2}{x_n}}{2}(x_1=1), x_n=?(n\rightarrow\infty)$

$y=x^2$ 微元法 $[0,1]:\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{n}(\frac{k}{n})^2=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\rightarrow\frac{1}{3}$

1.2.1 定义

$\forall\varepsilon > 0,\exists N$ 使得 $\forall n>N,|a_n-a|<\varepsilon$，那么 $a$ 是 $\{a_n\}$ 的极限，记为 $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=a$ 或者 $a_n\rightarrow a(n\to+\infty)$

例子：设 $|q|<1$ 证明 $\lim\limits_{n->+\infty}q^n=0$

1.2.2 刻画 $\{a_n\}$ 不以 $a$ 为极限

对 $\varepsilon_0>0,$ 对 $\forall N,\exists n>N$ 使得 $|a_n-a|\ge\varepsilon_0$

1.2.3 性质

1. 设 $\{a_n\}$ 收敛，则极限（收敛值）唯一（反证，取 $\varepsilon_0=\frac{|a-b|}{2}$ 易证）
2. 改变 $\{a_n\}$ 有限项的值，不影响 $\{a_n\}$ 的收敛性及收敛值
   不妨设 $a_n\rightarrow a$，若改变有限项的值，则 $\exists n_r$ 使得 $a_n(n\ge n_r)$ 不变
3. 设 $a_n\rightarrow a(n\to+\infty)$ 则
   1. $\{a_n\}$ 有界（$\exists M$ 使得 $|a_n| \le M(\forall n)$
   2. 若 $a>l$ 则对充分大的 $n$ 有 $a_n > l$
   3. 若对充分大的 $n$ 有 $a_n\ge l$ 则 $a\ge l$
4. 极限的四则运算
   1. $\lim\limits_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to+\infty}a_n+\lim\limits_{n\to+\infty}b_n$
   2. $\lim\limits_{n\to+\infty}a_nb_n=\lim\limits_{n\to+\infty}a_n\cdot\lim\limits_{n\to+\infty}b_n$
   3. $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to+\infty}b_n}$（存在充分大的 $N$ 有 $n > N$ 时 $b_n\not=0,b\not=0$）

例：记 $\sigma_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$，则 $\lim\limits_{n\to+\infty}\sigma_n=\lim\limits_{n\to+\infty}a_n$
证明：取 $N$ 使得 $n>N$ 时 $|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}$。
$|\sigma_n-a|\le\frac{|a_1-a|+|a_2-a|+\cdots+|a_N-a|+|a_{N+1}-a|+\cdots+|a_n-a|}{n}\le\frac{NM+\frac{(n-N)\varepsilon}{2}}{n}<\frac{NM}{n}+\frac{\varepsilon}{2}$（因为 $\{a_n\}$ 有界）
因此，取 $N_1=\max\{N, \frac{2NM}{\varepsilon}\}$，那么 $n>N_1$ 时 $\sigma_n-a<\frac{NM\varepsilon}{2NM}+\frac{\varepsilon}{2}\le\varepsilon$

1.2.4 夹逼定理

设 $b_n\rightarrow a,c_n\rightarrow a$
若对充分大的 $n$ 有 $b_n\le a_n\le c_n$
那么 $a_n\rightarrow a$

例：$\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}(\alpha>0)$
$1<\sqrt{1+\frac{1}{n^\alpha}}<1+\frac{1}{n^\alpha}$，夹逼定理即可

例：$\lim\limits_{n\to+\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})$
$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}<\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}<\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$

例：$\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\alpha}$
设：$\sqrt[n]{\alpha}=1+\lambda$ 则 $\alpha=(1+\lambda)^n>1+n\lambda$
所以 $0<\lambda<\frac{\alpha-1}{n}$
夹逼定理得到 $\lim\limits_{n\to+\infty}\lambda = 0$，之后易得

例：$\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{n}$
$1<\sqrt[n]{n}<\sqrt[n]{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}\cdot \underbrace{1\dots1}_{n-2 \texttt{个}}}<\frac{2\sqrt{n}+n-2}{n}\rightarrow 1$

1.2.4 子列

$\{a_n\}$ 无限项构成的数列
定理：$\{a_n\}$ 收敛，则 $\{a_n\}$ 的任意子列收敛到同一值

例：如果 $\{a_n\}\rightarrow a(a\not=0)$，那么 $\{a_n\}$ 至多有有限项为 $0$。否则子列收敛到 $0$，矛盾

1.2.5 实数完备性的若干等价命题

1.2.5.1 确界原理

$\mathbb R$ 中任何有上（下）界的子集 $E$ 必有上（下）确界

设：$X\subset\mathbb R,a=\sup X$
$\forall\varepsilon>0, a-\varepsilon<a\Rightarrow a-\varepsilon$ 不是 $X$ 的上界 $\Rightarrow\exists x_\varepsilon\in X$ 但是 $a-\varepsilon<x_\varepsilon\le a$

定义：若 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\le a_{n+1}$ 对 $\forall n$ 成立（$n$ 足够大的情况下）
则称 $\{a_n\}$ 单调递增（单调递减同理）

定理：单调递增（减）有上（下）界的数列必然收敛
证明：根据确界原理 $\{a_n\}\subset\mathbb R$ 必有上确界，记 $a=\sup\{a_n\}\Rightarrow\forall\varepsilon>0,a-\varepsilon$ 不是上界 $\Rightarrow\exists a_{n_0}\in\{a_n\}$ 使得 $a-\varepsilon<a_{n_0}$
又因为 $a_n\nearrow$，当 $n>n_0$ 时有 $a-\varepsilon<a_{n_0}\le a_{n_0}\le a<a+\varepsilon\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon\Rightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=a$

例：$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots}}}$ 的极限
先证明收敛 再解 $a=\sqrt{2+a}$ 得到答案

例：设 $a_n$ 单调递减 $\rightarrow 0$，$S_n=a_1+\cdots+a_n$，若 $0\le a_1-a_n+a_2-a_n+\cdots+a_{n-1}-a_n\le M$，证明 $S_n$ 收敛
证明：因为 $a_n\ge 0,S_n\nearrow$，对 $\forall n<m$
$0\le a_1-a_n+a_2-a_n+\cdots+a_{n-1}-a_n\le M\Rightarrow 0\le a_1-a_m+\cdots+a_n-a_m\le M$
令 $m\rightarrow+\infty,0\le S_n\le M$

定理：$e_n=(1+\frac{1}{n})^n$ 收敛

$$\begin{aligned} e_n&=(1+\frac{1}{n})^n\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k-1)}{n^k}\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot(1-\frac{1}{n})\cdot(1-\frac{2}{n})\cdots\cdot(1-\frac{k-1}{n})\\ &\le\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\\ &\le 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\\ &\le 1+1+\frac{1}{2\cdot 1}+\frac{1}{3\cdot 2}+\cdots+\frac{1}{n\cdot (n-1)}\\ &=3-\frac{1}{n}\\ &<3 \end{aligned}$$

因此 $e_n$ 有界

$$\begin{aligned} e_n&=(1+\frac{1}{n})^n\\ &=1\cdot\underbrace{(1+\frac{1}{n})\cdot(1+\frac{1}{n})\cdots(1+\frac{1}{n})}_{n \texttt{个}}\\ &<\left(\frac{1+1+\frac{1}{n}+\cdots+1+\frac{1}{n}}{n+1}\right)^{n+1}\\ &=e_{n+1}\\ \end{aligned}$$

因此 $e_n$ 单调。

$\Rightarrow e_n$ 有极限

意义：有理数列的极限可以不是有理数

例：$a_1=3, a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$

若：$a_{2n}<a_{2n+2},a_{2n+1}>a_{2n+3}$
则：$a_{2n+4}-a_{2n+2}=\frac{1}{1+a_{2n+3}}-\frac{1}{1+a_{2n+1}}=\frac{a_{2n+1}-a_{2n+3}}{(1+a_{2n+3})(1+a_{2n+1})}$
奇偶互推，数学归纳，得到奇数项单减，偶数项单增

又可证 $0<a_n<3$（有界）

$\lim\limits_{n\to+\infty}a_{2n} = a$
$\lim\limits_{n\to+\infty}a_{2n+1} = b$
$\begin{cases}a=\frac{1}{1+b}\\ b=\frac{1}{1+a}\end{cases}$

$\Rightarrow a=b\Rightarrow a^2+a-1=0\Rightarrow a_{+}=b_{+}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

1.2.5.2 列紧性

区间套定理
若 $[a_n,b_n]$ 满足：

1. $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n](\forall n)$
2. $\lim\limits_{n\to+\infty}(b_n-a_n)=0$

$\{a_n\},\{b_n\}$ 单增（减）有上（下）界
$a_n<b_n\Rightarrow a\le b$

推广：$[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n](\forall n)$ 则 $\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}[a_n,b_n]\not=\varnothing$
特别 $\lim\limits_{n\to+\infty}(b_n-a_n)=0$ 则 $\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}[a_n,b_n]=\{\xi\}$

定理（Bolzano-Weierstines）
任何有界数列必有收敛子列（二分法，两个子区间中必有一个含有无穷项，重复此过程）

1.2.5.3 Cauthy 收敛准则

$\{a_n\}$ 收敛 $\Leftrightarrow \{a_n\}$ 是基本列（$|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}, |a_m-a|<\frac{\varepsilon}{2}\Rightarrow|a_n-a_m|<\varepsilon$ 基本列：$\forall\varepsilon,\exists n$ 使得 $\forall p,|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon$

1.2.6 发散到正无穷

记为 $\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\pm\infty$

发散到正无穷 $\Leftrightarrow$ 无界

$\forall M,\exists N,n>N\begin{cases}a_n>M&\Rightarrow a_n\to+\infty\\ a_n<-M&\Rightarrow a_n\to-\infty\\ |a_n|>M&\Rightarrow a_n\to\infty\\ \end{cases}$

1.2.6.1 无穷大（小）量

$\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\infty/\frac{1}{\infty}$

1.2.6.2 Stolz 定理

$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}(\verb|only if |a_n,b_n\to 0\verb| or |b_n\to\infty)$

例子：已知 $\lim\limits_{n\to+\infty}2a_{n+1}+a_n=a$，求证 $a_n$ 收敛

设 $b_n=a_n-\frac{a}{3}$，则 $a_n$ 收敛 $\Leftarrow\lim\limits b_n=0$

$\because(-1)^n b_n=\frac{(-2)^nb_n}{2^n}$

$\therefore\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{(-2)^nb_n}{2^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{(-2)^{n+1}b_{n+1}-(-2)^nb_n}{2^{n+1}-2^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}(-1)^{n+1}(2b_{n+1}+b_n)=0$

$\therefore\lim\limits_{n\to+\infty}b_n=0$

例子：已知 $0<a_1<1,x_{n+1}=x_n(1-x_n)$ 求证 $x_n\sim\frac{1}{n}(n\to+\infty)$

首先，证明单调有界得出极限是 $0$

然后，$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{x_{n+1}^{-1}-x_n^{-1}}{(n+1)-n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{x_n-x_{n+1}}{x_nx_{n+1}}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{x_n-x_n+x_n^2}{x_n^2(1-x_n)}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{1-x_n}=1$

1.3 函数极限

1. 有界：$\forall x\in I,|f(x)|\le M\verb| or |m\le f(x)\le M$
2. 单调：$\forall x<y\in I,x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)$ 单增（单减同理）
3. 一一对应 $\Rightarrow$ 反函数 $f^{-1}(f(x))=x$

1.3.1 初等函数

1.3.1.1 基本初等函数

1. 幂函数 $x^a(x>0)$
2. 指数函数 $a^x(|x|<+\infty)$
3. 对数函数 $\log_ax(\ln x)(x>0)$
4. 三角函数 $\sin x/\cos x$
5. 反三角函数 $\arcsin x$

1.3.1.2 初等函数

双曲函数

1. $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
2. $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
3. 性质 $\cosh^2 x-\sinh^2 x=1$

初等函数 $=$ 基本初等函数经过有限次加减乘除复合而成

隐函数 $x^2+y^2=1$

1.3.2 单点极限

定理 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限存在 $\Leftrightarrow$ $f(x)$ 在 $x_0$ 处的两个单侧极限存在且相等

例：$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^k}=0$ （$k$ 是正整数）
$\forall\varepsilon>0,$ 令 $X=\sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}},$ 则对于所有的 $x>X,|x^k-0|<\varepsilon$

例：$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{a^x}=0(0<a<1)$ $\forall\varepsilon>0,$ 令 $X=\log_a\varepsilon,$ 则对于所有的 $x>X,|a^x-0|<\varepsilon$

例：$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0$
$\forall\varepsilon>0,$ 令 $\delta=\varepsilon$ 则对于所有的 $|x|<\delta,|x\sin\frac{1}{x}-0|<\varepsilon$

证明：$\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x^2-x}=2$
$\forall\varepsilon>0,$ 令 $\delta=\min\left\{\frac{1}{2},\frac{\varepsilon}{2}\right\},$ 则对于所有的 $0<|x-1|<\delta,\left|\frac{x^2-1}{x^2-x}-2\right|=\left|\frac{x-1}{x}\right|<2|x-1|<2\delta<\varepsilon$

设 $f(x)\rightarrow a,g(x)\rightarrow b(x\to x_0)$
则：

1. $\lim\limits_{x\to x_0}(\alpha\cdot f(x)+\beta\cdot g(x))=\alpha\cdot a+\beta\cdot b$
2. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot g(x)=a\cdot b$
3. $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}(b\not=0)$

定理：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=a$ 的充分必要条件是：任意收敛到 $x_0$ 的数列 $\{a_n\}$ 有 $\lim\limits_{n\to+\infty}f(a_n)=a$

1.3.3 【总结】性质与定理

1. 极限唯一
2. 局部有界
3. 四则运算直接带入
4. 保序性（$x_0$ 的附近 $f(x)>g(x)$，则 $\lim\limits_{n\to x_0}f(x)\geq\lim\limits_{n\to x_0}g(x)$
5. 复合直接带入
6. $a_n\to x_0(n\to\infty),\lim\limits_{n\to+\infty}f(a_n)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$
7. 三明治定理
8. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，其上任意一点有左、右极限且相等
9. Cauthy 收敛准则：$f(x)$ 在 $x_0$ 附近有定义，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 有极限 $\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,$ 使得当 $0<|x'-x_0|<\delta,0<|x''-x_0|<\delta$ 有 $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon$

   证明（$\Rightarrow$）：设极限为 $a$，$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0$,当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时有 $|f(x)-a|<\frac{\varepsilon}{2}$，所以 $|f(m)-a|<\frac{\varepsilon}{2},|f(m)-a|<\frac{\varepsilon}{2}\Rightarrow |f(m)-f(n)|<\varepsilon$
   证明（$\Leftarrow$）：任取 $a_n\rightarrow x_0(n\to+\infty)$。$\forall N,$ 当 $n,m>N$ 时有 $0<|n-x_0|<\delta,0<|m-x_0|<\delta$，则 $\{f(a_n)\}$ 满足 Cauthy 准则，收敛到 $a$

1.3.4 一些重要极限

1. $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
   $0<1-\frac{\sin x}{x}<1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}\le2\left|\sin\frac{x}{2}\right|\le|x|$
2. $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$

1.3.5 无穷大量和无穷小量

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty:\forall M>0,\exists\delta$ 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时 $|f(x)|>M$
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0:$ 同理

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\begin{cases}0&f(x) \text{比} g(x) \text{低阶}\\ c&f(x) \text{与} g(x) \text{同阶}\\ \infty &f(x) \text{比} g(x) \text{高阶}\end{cases}$

*** 在求极限的过程中，等价无穷小量可以互相代替！